Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
Оценки качества по запасам устойчивости Частотные оценки качества можно разделить на оценки: по запасам устойчиво- сти; по виду ВЧХ P( ω ); по показателю колебательности. Оценка качества ПП по запасам устойчивости является простейшей прибли- женной оценкой и может быть применена только для САУ с единичной обратной связью. Вид ПП определяется среднечастотной областью ЛАХ. Длительность ПП (время регулирования T p ) зависит обратно пропорционально от частоты среза ω c и приближенно оценивается T p c c ≈ ≤ 7 9 4 ω π ω (5.37) Перерегулирование σ при достаточной протяженности среднечастотного участ- ка ЛАХ с наклоном -20 дБ/дек оценивается по эмпирической формуле ( ) σ γ ω ≈ − 73 c , (5.38) где ( ) γ ω c - запас по фазе. 5.4.3. Оценки качества по виду вещественной частотной характеристики На основании (5.36) можно сделать заключение, что различные САУ имеют ма- ло отличающиеся кривые переходных процессов, если им соответствуют близкие по виду ВЧХ ( ) P ω Перерегулирование σ существенно зависит от вида ВЧХ. 1. Если ( ) P ω монотонно убывает (рис. 5.7.а) и dP d ω < 0 , то σ = 0 2. Переходный процесс имеет σ ≤ 18% , если ВЧХ положительно ( ) P ω > 0 и представляет собой невозрастаюшую функцию частоты (рис.5.7.б). 3. Если ВЧХ ( ) P ω имеет горб, то ( ) ( ) σ ≤ − ⋅ 118 0 0 100% , max P P P 4. Если ВЧХ имеет вид (рис. 5.7,в),то а б в Рис. 5.7 130 ( ) ( ) σ ≤ + − ⋅ 118 0 27 0 0 100% , , max min P P P P В этом выражении уже учтен знак P min . Чем больше выбросы на ВЧХ в положительном и отрицательном направлениях, тем больше колебательность ПП. При исследовании САУ ограничиваются ее поведением в диапазоне частот, на которые система практически реагирует. Этот диапазон называют полосой пропус- кания, и он характеризуется интервалом частот от 0 до ω П , при котором ( ) ( ) P P П ω = ± 0 05 0 , (рис.5.8). Время регулирования приблизительно оценивается по величине ω П : π ω π ω П p П T ≤ ≤ 4 . На рис. 5.8 показаны ПП, соответствующие ВЧХ с разными ω П 5.4.4. Использование показателя колебательности для оценки качества САУ Показатель колебательности M max представляет собой максимальное значение АЧХ (М)замкнутой системы (рис. 5.9): ( ) M Ф j = ω Эта величина M max может быть определена по виду частотной характеристики разомкнутой цепи данной системы. В самом деле: ( ) ( ) ( ) ( ) M Ф j W j W j U jV U jV U V U V = = + = + + + = + + + ω ω ω 1 1 1 2 2 2 2 Отсюда ( ) U V M U V 2 2 2 2 2 1 + = + + (5.39) После деления всех членов на M 2 1 − и при- бавления и вычитания члена ( ) M M 4 2 2 1 − получим: ( ) U C V R + + = 2 2 2 , (5.40) где C M M = − 2 2 1 , R M M = − 2 1 Рис. 5.8 Рис. 5.9 131 Следовательно, линии равных значений величины М, нанесенные на плоскости ( ) W j ω , будут окружностями со смещающимся центром С и меняющимся радиусом R, как показано на рис. 5.10. Имея такую диаграмму линий M=const, можно по заданной амплитудно- фазовой характеристике разомкнутой цепи ( ) W j ω легко определить показатель ко- лебательности M max ,и построить всю амплитудно-частотную характеристику ( ) M Ф j = ω замкнутой системы (рис.5.9). Изображенные на рис.5.10 характеристики ( ) W j ω ( 1 и 2 )соответствуют харак- теристикам 1 и 2 замкнутой системы (рис.5.9). Если, например, желательно иметь M max < 15 , то характеристику 1 (рис.5. 10) нужно скорректировать так, чтобы она не заходила внутрь круга М=1,5 (рис.5. 11). Такую запретную область можно перенести на плоскость логарифмической час- тотной характеристики следующим образом. На кривой М=1,5(рис.5.11) в каждой Рис. 5.10 Рис. 5.11 Рис. 5.12 132 точке имеем определенное значение амплитуды А и фазы ϕ . Следовательно, зная ( ) L m ω (рис.5.12), можем для каждого значения L A m = 20lg нанести соответствующую точку ϕ . Таким образом, образуется кривая М=l,5 на поле логарифмических характе- ристик, очерчивающая зону, в которую не должна заходить фазовая частотная ха- рактеристика ( ) ϕ ω Чем больше показатель колебательности, тем больше перерегулирование. Оп- тимальным считается значение M max , равное 1,1...1,3. Показателю M max соответст- вует резонансная частота ω p , примерно равная частоте среза ω cp . Время регулирова- ния оценивается по величине ω p следующим образом: ( ) T p p ≈ 1 2 2 π ω 5.5. Интегральные оценки качества Интегральными оценками качества называются такие, которые одним числом оценивают и величины отклонений, и время затухания переходного процесса. Будем отклонение х в переходном процессе отсчитывать от нового установившегося со- стояния, так что x → 0 при t → ∞ Для монотонного процесса (рис. 5.13) интегральной оценки может служить площадь под кривой переходного процесса: ( ) I x t dt 1 0 = ∞ ∫ (5.41) Этот интеграл имеет конечное значение для любого решения x(t) линейного уравнения. Здесь процесс будем считать тем лучше, чем меньше число I 1 . Однако такая оценка не годится для колебательного процесса, так как нижние площади при вычислении интеграла (5.41) будут вычитаться из верхних (рис.5.14). Поэтому по минимуму величины I 1 наилучшим оказывался бы процесс с незату- хающими колебаниями, что недопустимо. В связи с этим в 1907 г. Л.И.Мандельштамом и Н.Д.Папалески впервые был предложен метод квадратичной интегральной оценки: ( ) I x t dt 2 2 0 = ∞ ∫ (5.42) Этот метод был развит Харкевичем (1937 г.), Фельдбаумом (1951 г.). Величину I 2 выражают непосредственно через коэффициенты дифференциального уравнения замкнутой системы. Рис.5.13 Рис.5.14 133 Однако выбор параметров системы из условия I 2 = min приводит к получению системы с резко колебательными процессами. Например, имеем две кривые (рис. 5.15) с одинаковым временем регулирова- ния. Если судить по минимуму I 2 , то кривая переходного процесса (а) лучше, чем (б), однако в действительности монотонная и плавная кривая соответствует системе с лучшими показателями качества. Развивая интегральные методы, А.А.Фельдбаум предложил так называе- мый обобщенный интегральный крите- рий, который учитывал недостатки пер- вых методов. Оценка качества переходно- го процесса производится по этому мето- ду по минимуму интеграла вида: I V dt V = ∞ ∫ 0 , (5.43) где V - квадратичная форма от переменных, характеризующих состояние системы, например от величины х и ее производных: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] V x t T x t T x t n n = + + + 2 1 2 2 2 2 & (5.44) Физический смысл критерия I V состоит в том, что при выборе параметров по условию I V = min выдвигаются одновременно требования к обеспечению малого времени регулирования и малой колебательности ПП. Первое условие обеспечивает- ся минимумом интеграла ( ) x t dt 2 0 ∞ ∫ , второе - малыми значениями интегралов от про- изводных ( ) T x dt 1 2 0 & ∞ ∫ , ( ) T x dt 2 2 0 && ∞ ∫ и т.д. Рассмотрим так называемую улучшенную интегральную квадратичную оценку (ИКО) ( ) I x T x dt V = + ∞ ∫ 2 2 2 0 & , (5.45) где Т назначается в соответствии с заданием желаемых свойств ПП. Покажем, что при стремлении I V = min кривая ПП приближается к экспоненте с желаемой по- стоянной времени Т, что впервые показал А.А. Красовский. Проделаем следующие преобразования: ( ) ( ) I x T x dt x Tx dt Txxdt V = + = + − ∞ ∞ ∞ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 0 2 0 0 2 & & & Рассмотрим второе слагаемое и преобразуем его: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 0 2 2 2 0 0 T x dx dt dt T x dx T x T x x T x x x x x = = = ∞ − = − ∞ ∞ ∞ ∫ ∫ , Рис. 5.15 134 так как ( ) x 2 0 ∞ = Таким образом, ( ) ( ) I x Tx dt Tx 2 2 2 0 0 = + + ∞ ∫ & Последнее слагаемое является постоянной величиной и определяет начальное отклонение системы. Наименьшее возможное значение I v будет при x Tx + = & 0 . Решим это уравне- ние: dx x T dt = − 1 , lnx T t = − 1 , x x e t T = − 0 , где для данного случая ( ) x T x 0 2 0 = . Это решение и будет той экспонентой, к ко- торой приближается ПП (рис.5.16) при стремлении уменьшить значение интеграль- ной оценки I v Рассмотрим вычисление ИКО для САУ (рис.5.17). На основании теоремы Пар- севаля можно записать: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I t dt j S S dS j Ф S Ф S G S G S dS j j g g j j 2 2 0 1 2 1 2 = = − = − − − ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞ ∫ ∫ ∫ ε π ε ε π ε ε Вычисление ИКО производят с помощью табличного интеграла: ( ) ( ) ( ) ( ) I j C S C S d S d S dS n j j = − − − ∞ ∞ ∫ 1 2 π , где ( ) C S C S C n n = + + − − 1 1 0 , ( ) d S d S d n n = + + 0 . Для вычисления табличного интеграла I n изображение ошибки ( ) ε S представляют в дробно-рациональном ви- де: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε S Ф S g S C S d S g = = Значение табличного интеграла I n при n=1 и n=2 имеет вид Рис.5.16 Рис.5.17 135 I C d d I C d C d d d d 1 0 2 0 1 2 1 2 0 0 2 2 0 1 2 2 2 = = + ; Пример. Определить ИКО для САУ ( рис.5.17 ) при следующих данных: ( ) g t V t W S S S = = + , ( ) 1 2 2 Рассчитаем ПФ ошибки замкнутой САУ по управлению: Φ ε g S W S S S S g S V S ( ) ( ) ( ) = + = + + = 1 1 2 1 2 2 2 , Изображение ошибки имеет вид ε ( ) ( ) ( ) ( ) S C S d S V S S S S V S S = = + + = + + 2 2 2 2 2 1 2 1 Поскольку n=2, то ИКО определяется интегралом I 2 Коэффициенты имеют значение: C V C d d d 0 1 0 1 2 0 1 2 1 = = = = = , , , , Таким образом, I C d C d d d d V V 2 1 2 0 0 2 2 0 1 2 2 2 2 2 2 4 = + = ⋅ = 5.6. Корневые оценки качества Корневыми оценками качества называются такие, которые основываются на расположении корней характеристического уравнения замкнутой системы, т.е. по- люсов передаточной функции замкнутой системы, а также и нулей этой ПФ. Этот метод впервые был предложен И.М.Вознесенским в 1941 г. Степень устойчивости - расстояние η от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости корней λ характеристического уравнения замкнутой системы (рис.5.18). Понятие "степень устойчивости" введено Я.3.Цыпкиным и В.П.Бромбергом. Если ближайшим является вещественный корень (рис.5.18.а), то ему соответст- вует апериодическая составляющая решения ПП C e t 1 −η (апериодическая степень ус- тойчивости η ). Время затухания t n = ≈ 1 1 3 η η lg ∆ (при ∆ = 5% ) (5.46) а б Рис. 5.18 Рис. 5.19 136 характеризует общую длительность ПП, так как все члены решения, соответст- вующие остальным корням, затухают быстрее. Если же ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексных корней (рис.5.18 ,6), то доминирующая составляющая решения ПП в виде C e t C t 1 1 2 − + η β sin( ) будет колебательной ( колеба- тельная степень устойчивости), причем оценка длительности ПП t n остается преж- ней (5.46). Определяется величина степени устойчивости следующим образом. Вво- дится новая комплексная переменная z = + λ η (рис.5.19).Тогда на плоскости z мнимая ось ′ β пройдет через ближайшие корни, т.е. решение составленного относи- тельно zхарактеристического уравнения должно лежать на границе устойчивости. Таким образом, если задано характеристическое уравнение D a a a a n n n n ( ) λ λ λ λ = + + + + − − 0 1 1 1 =0, (5.47) то, подставив λ η = − z , а именно a z a z a n n n 0 1 0 ( ) ( ) , − + + − + = − η η получим новое уравнение, которое называется смещенным, в виде a z A z A z A n n n n 0 1 1 1 0 + + + + = − − , (5.48) где коэффициенты A A A n 1 2 , ,.. являются функциями η . Их можно вычислить следующим образом: A D A D A D n n n n = − = − = − − − − ( ), ( ) ! ,..., ( ) ( )! , ( ) η η η 1 1 1 1 1 (5.49) что вытекает из представления выражения (5.48) как результата разложения функции D( ) λ (5.47) , при λ η = − z в ряд Тейлора. Затем к уравнению (5.48) приме- няется условие расположения его корней на границе устойчивости, например по Гурвицу: A n ( ) η = 0 и ∆ n − = 1 0 ( ) , η (5.50) откуда и определяется величина η . Колебательность ПП определяется величиной µ β α = , где α и β - вещественная и мнимая части корней характеристического уравнения. Именно эта величина харак- теризует быстроту затухания амплитуды колебаний за каждый период. В самом де- ле, паре комплексных корней λ α β 1 2 , = − ± j соответствует колебательная составляю- щая решения ПП. Период колебаний равен T = 2 π β . Через один период амплитуда C e t 1 − | | α умень- шится до величины C e C e e t t 1 2 1 2 − + − − = | |( ) | | α π β α π α β 137 Следовательно, чем больше величина µ, названная колебательностью, тем сла- бее будет затухание колебаний в ПП. Линия µ=const образует центральный угол (рис.5.20,а) на комплексной плоскости корней. Суммарное требование определенных значений степени устойчивости η и коле- бательности µ приводит к области, изображенной на рис.5.20,б, внутри которой должны лежать все корни характеристического уравнения замкнутой системы. Далее необходимо иметь ввиду, что для определения качества ПП при единич- ном скачке внешнего воздействия существенны не только корни характеристическо- го уравнения, т.е. полюсы, но также и нули передаточной функции замкнутой систе- мы Ф(S). T.е. следует учитывать не только динамические свойства самой системы, опи- сываемой характеристическим уравнением D(S)=0 , но и вид полинома числителя M(S) ПФ замкнутой системы Φ ( ) ( ) ( ) S M S D S = Удаление нулей от полюсов ведет к увеличению амплитуд колебаний ПП. По- этому для повышения качества необходимо подбирать значения нулей так, чтобы они располагались вблизи полюсов ПФ замкнутой системы. На связи между нулями и полюсами ПФ замкнутой системы основан метод корневого годографа. 5.7. Чувствительность САУ 5.7.1. Основные понятия функции чувствительности Качество и характеристики САУ определяются параметрами основных ее уст- ройств ( коэффициентами усиления элементов и блоков, сопротивлением, емкостью и индуктивностью элементов, коэффициентами утечек и сжимаемости рабочей жид- кости в гидроприводах и т.п.). Все эти параметры обычно в виде коэффициентов пе- редачи и постоянных времени входят в математические модели систем. Физические параметры элементов и узлов обладают технологическим разбросом (вследствие до- пусков на изготовление), а также по разным причинам изменяются при эксплуатации САУ. а б Рис.5.20 138 Свойство автоматических систем изменять показатели качества при изменении (вариации) их параметров называют чувствительностью. С помощью прикладных методов теории чувствительности решают задачи анализа и синтеза малочувстви- тельных (грубых) систем с варьируемыми параметрами. Рассмотрим основные понятия и характеристики. Систему, у которой значения параметров равны заданным и не претерпевают вариации, называют исходной системой, а движение в ней - исходным движением (основным) Систему, в которой произошли вариации параметров, называют варьированной системой, а движение в ней - варьированным движением. Разность между варьиро- ванным и исходным движением называют дополнительным движением. Рассмотрим исходную систему, движение которой описывается нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями dx dt x x t i i n m = ϕ α α ( ,..., , , ,..., ), 1 1 (5.51) при начальных условиях x x x n 10 20 0 , ,..., , причем i= 1,2, ... ,n; α j , - изменяющиеся со временем параметры (j=l,2,..., т). Процесс в системе (5.51) при неизменных параметрах, определенный ее реше- нием x t x t x t n 1 2 ( ), ( ),..., ( ) , называется исходным движением. Если в некоторый момент времени в системе произошли мгновенные вариации параметров ∆α ∆α j j j , т .е . α + , то движение в системе будет описываться уже другой системой уравнений. Если порядок уравнения и начальные условия в результате вариаций не изме- нятся, то варьированное движение будет описываться следующими уравнениями: dx dt x x t i i n m m ( ,..., , , ,..., ), = + + ϕ α α 1 1 1 ∆α ∆α (5.52) где i=l,2,..., п ; j=1,2,..., т. Дополнительное движение будет определяться разностью решений уравнений (5.51) и (5.52): ∆ x t x t x t i i i ( ) ( ) ( ). = − (5.53) Если x x i i и допускают дифференцирование по a j , то дополнительное движе- ние (5.53) может быть разложено в ряд Тейлора. Если вариации параметров ∆ a j , достаточно малы, то для определения устойчивости и оценки качества дополнитель- ного движения можно ограничиться лишь линейными членами разложения. Уравнения первого приближения для дополнительного движения имеют вид ( ) ∆ ∆α ∆α ∆α x t x x x i i i i m m = + + + ∂ ∂ α ∂ ∂ α ∂ ∂ α 1 1 2 2 K , (5.54) где i=1,2,...,n. 139 Обозначим U x i j i j = ∂ ∂ α функциями чувствительности (5.55)Таким образом, до- полнительное движение ( ) ∆ x t i можно построить, зная функции чувствительности и задаваясь вариациями параметров ∆α j : ( ) ( ) ∆ ∆α x t U i n i i j j j m = = = ∑ , , ,..., 12 1 (5.56) Дополнительное движение ( ) ∆ x t i определяет абсолютное отклонение варьиро- ванного движения от исходного. Во многих случаях целесообразнее использовать относительные отклонения δ x i координат системы и δ α j параметров системы: δ δα α x x x i i i j j j = = ∆ ∆α , Если ∆α j → 0 , то можно считать, что ∂ ∂α x x a a i j i j j j = = ∆ ∆α 0 , где a j 0 - номинальное значение параметра a j . Умножая левую часть (5.56)на x x i i , а правую - на α α j j , полу- чим: δ δα α x x x i i i x j j m j i S = = = ∑ ∆ 1 , (5.57) где α α j i x i j j i S U x = - относительная или логарифмическая чувствительность, так как α δ δα α j i x i j i j S x d x d = = ln ln (5.58) Относительную чувствительность также называют коэффициентом влияния ва- риации параметра α j на координату x i . Определение функций чувствительности производится следующим образом. Продифференцируем уравнение (5.51)по параметрам α j : ∂ ∂α ∂ϕ ∂ ∂ ∂α ∂ϕ ∂α j i i k k j i j k n dx dt x x = + = ∑ 1 (5.59) Меняя в левой части порядок дифференцирования и учитывая (5.55), получим: d dt x dU dt x U i j ij i k kj i j k n ∂ ∂α ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂α = = + = ∑ 1 (5.60) Уравнения (5.60) называются уравнениями чувствительности. Непосредствен- ное определение функции чувствительности U i j этим уравнениям затруднительно. Поэтому применяются косвенные методы, например моделирования или графов. Пример. Задано уравнение системы (Tp+1)x=kg(t), p=d/dt. Введем две функ- ции чувствительности U x k U x T k T = = ∂ ∂ ∂ ∂ , Уравнение системы в нормальной форме 140 dx dt T x k T g t = − + 1 ( ). Отсюда по формуле (5.60) получим уравнение чувствительности dU dt T U T g t dU dt T U T x kg t k k t T = − + = − + − 1 1 1 1 2 ( ), [ ( )]. Для определения функций чувствительности может быть использовано преоб- разование Лапласа. Обозначим через Ф(S, α) ПФ системы с варьируемыми парамет- рами. Тогда сигнал на выходе системы может быть представлен с помощью обрат- ного преобразования Лапласа: x t L S g S ( , ) { ( , ) ( )}, α α = − 1 Φ (5.61) где g(S) - изображение по Лапласу входного сигнала g(t). Если уравнение (5.61) является дифференцируемым по параметру α , то получим функцию чувствительности по параметру α : U t x t L S g S α α α ∂ α ∂α ∂ α ∂ α ( ) ( , ) ( , ) ( ) . = = ⋅ = − = 0 1 0 Φ (5.62) Пример. Φ ( , ) ( ) , S T S α α = + + 1 1 G (S) = 1 S Основное движение x t e T 0 1 1 ( ) = − − Функция чувствительности U t L T S S L T S T e t T α α ∂ ∂ α α ( ) ( ) ( ) = + + ⋅ = − + = − − = − − 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 Варьированное движение x t x t U t t T e t T ( , ) ( ) ( ) ( ) α α α α = + ⋅ = − + − 0 1 1 5.7.2. Учет влияния изменения параметров на точность САУ Рассмотрим систему (рис.5.21), на которую действуют задающее g(t) и возму- щающие f t f t 1 2 ( ), ( ) воздействия, где W 1 (S) - ПФ регулятора; W 2 (S) - ПФ объекта по управлению; W 3 (S) - ПФ объекта по возмущению. Согласно структурной схеме запишем уравнение ошибки ε ( ) S : ε ε ε ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), S S g S S f S S f S g f f = + + Φ Φ Φ 1 2 1 2 (5.63) где Φ ε g S W W ( ) ; = + 1 1 1 2 Φ ε f S W W W 1 2 1 2 1 ( ) ; = + Φ ε f 2 (S)= W W W 3 1 2 1 + 141 Таким образом, установившуюся ошибку ε уст можно представить в виде сум- мы ε ε ε ε уст g f f = + + 1 2 (5.64) Предположим, что : g(t) = at 2 2 , f t f f t f W S K W S K S W K S 1 10 2 20 1 1 2 2 2 3 3 2 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , = = = = = Согласно методике (см. п. 5.2) рассчитаем ε ε ε g f f , , : 1 2 ε g S a S S K K S a K K = + = = 3 1 2 2 0 1 2 1 , (5.65) ε f S S K S K K f S f K 1 2 2 1 2 10 0 10 1 = + = = , (5.66) ε f S S K S K K f S f K K K 2 3 2 1 2 20 0 20 3 1 2 = + = = , (5.67) Общее выражение установившейся ошибки имеет вид ε α уст = + + K K f K f K K K 1 2 10 1 20 3 1 2 (5.68) Рассмотрим влияние вариаций коэффициентов K 1 , K K 2 3 , на величину ε уст Для этого рассмотрим следующие функции чувствительности: U K K f K f K K K K 1 1 2 2 10 1 2 20 3 1 2 2 1 1 = = − − − = − ∂ε ∂ α ε уст 1 уст K , (5.69) U K K K f K K K K g f 2 2 1 2 2 20 3 1 2 2 2 1 2 = = − − = − + ∂ε ∂ α ε ε уст ( ), (5.70) U K K f 3 3 3 2 = = ∂ ε ∂ ε уст (5.71) Рис.5.21 142 Абсолютное приращение ошибки в наихудшем случае рассчитывается путем суммирования слагаемых: ∆ε ∆ ∆ ∆ ∆ = = + + + = ∑ U K K K K K K K i i i g f f 1 1 1 3 2 2 3 3 2 2 ε ε ε ε уст ( ) (5.72) Приращение относительной ошибки δε имеет вид δε δ δ ε ε ε ε δ ε ε = − + + + K K K g f f 1 2 3 2 2 уст уст уст , (5.73) где δε ε δ = = = ∆ε ∆ уст ; ( ,..., ). K K K i i i i 1 3 Таким образом, для максимально возможного значения ошибки ε max можно записать: ε ε ε δε max ( ) = + = + уст уст ∆ε 1 (5.74) Если изменения параметров происходят случайно, то среднеквадратичный мак- симум ( ) ε ε δ δ α α δ α ус т с к = + + + + max , 1 1 2 2 2 0 2 2 3 2 2 2 K K K (5.75) где α ε ε α ε ε 0 2 2 = = g f уст уст ; Если внешние возмущения отсутствуют, то ε ε δ δ ус т с к = + + max 1 1 2 2 2 K K (5.76) Пример. Для САУ (рис.5.22) определить коэффициент разомкнутой системы с учетом вариаций параметров при следующих исходных данных: ε max , , = 0 01 && , g a c m = = − 1 2 f f K = = = ± 10 1 1 10%, , δ K c 2 2 0 5 0 25 = ± − , , , W K W K S 1 1 2 2 2 = = , Без учета вариаций параметров примем ε ε уст = max = 0,01: K K K a f K c p уст = = + = + ⋅ = − 1 2 10 2 2 1 1 0 5 0 01 150 ε , , Найдем K p c учетом вариаций параметров : a a a f K g 0 10 2 1 1 1 0 5 0 66 = = + = + ⋅ ≈ ε ε max , , , δ K K K 2 2 2 0 25 0 5 0 5 = = = ∆ , , , , Рис.5.22 143 ε ε δ δ уст ск K K a = + + = + + ⋅ = max , , , , , 1 0 01 1 01 0 5 0 66 0 0075 1 2 2 2 0 2 2 2 2 Требуемое значение добротности K p находится из выражения : K a f K c p уст ск = + = + ⋅ = − 10 2 2 1 0 5 1 0 0 0075 200 ε , , , Т.е. для уменьшения влияния вариаций параметров необходимо увеличивать добротность K p системы (обычно за счет коэффициента K 1 ). 5.8. Частотный метод построения переходного процесса Для окончательного решения вопроса о динамических свойствах проектируе- мой системы важно уметь построить кривую переходного процесса. Для построения ПП могут быть использованы аналитический, графоаналитический, частотный и машинные способы. В основе частотного способа построения ПП лежит метод гра- фического решения интегральной зависимости h t P tdt ( ) ( ) sin = ∞ ∫ 2 0 π ω ω ω (так называемый метод трапецеидальных характеристик). Для уяснения этого метода рассмотрим ос- новные свойства характеристики P( ) ω и ее связь с функцией h(t). Свойство линейности характеристики P( ω). Если ( ) P ω может быть представ- лена в виде суммы ( ) P ω = ( ) P i i n ω = ∑ 1 , то переходная характеристика ( ) ( ) h t h t i i n = = ∑ 1 (5.77) Действительно, ( ) ( ) ( ) h t P t i i n = ∞ = ∫ ∑ ∑ 2 0 1 π ω ω ω ω sin td = h i i=1 n Изменение масштаба по оси ординат. Изменение масштаба характеристики ( ) P ω по оси ординат в n раз изменяет масштаб переходной характеристики h(t) по оси ординат также в n раз: ( ) ( ) n h t nP ⋅ = ∞ ∫ 2 0 π ω ω ω ω sin td ,t>0. (5.78) Изменение масштаба по оси абсцисс. При увеличении (уменьшении) масшта- ба характеристики P( ω ) по оси частот уменьшается (увеличивается) в то же число раз по оси времени (рис.5.23): ( ) h t n P n td = ∞ ∫ 2 0 π ω ω ω ω sin (5.79) 144 Произведя замену ω ω = n , t = t n 1 получим: ( ) ( ) h t n P n n n P n 1 1 1 1 0 1 1 1 2 = ∞ ∞ ∫ ∫ π ω ω ω ω π ω ω ω ω sin n t n d = 2 sin t d 1 1 0 1 1 1 , опуская индексы, получим требуемую зависимость. Кроме этого, необходимо учитывать связь начальных и конечных значений ( ) P ω и h(t) (выражения (5.28) и (5.29)). Рассмотрим построение ПП методом трапецеидальных характеристик при воз- действии типа "единичный скачок" и при нулевых начальных условиях. Для упрощения задачи построения h(t) В.В.Солодовниковым был предложен метод построения ВЧХ ( ) P ω в виде суммы элементарных характеристик ( ) P T ω В ка- честве элементарной характеристики была взята характеристика в виде трапеции. На рис.5.24 показана элементарная трапецеидальная характеристика, форма которой определяется: высотой P T интервалом положительности ω n ; интервалом равномерного пропус- кания частот ω d ; коэффициентом наклона χ ω ω = d n ВЧХ ( ) P ω (рис.5.25) может быть аппроксимирована i-м числом трапе- ций. Для этого характеристика ( ) P ω заменяется ломаной линией, с необ- ходимым приближением вписываю- щей характеристику ( ) P ω . Затем че- рез точки сопряжения проводятся прямые, параллельные оси частот, в результате получаем i трапеций. С учетом свойства линейности (5.77) а б Рис.5.23 Рис.5.24 Рис.5.25 145 ( ) ( ) ( ) h t P P T i n T i i i = = = ∞ ∞ = ∞ ∑ ∫ ∫ ∑ 2 2 0 0 0 π ω ω ω π ω ω ω 0 sin tdt sin tdt Таким образом, задача по построению ПП сводится к построению составляю- щих ( ) ( ) h t P i T i = ∞ ∫ 2 π ω ω ω ω 0 sin td (5.80) и последующему алгебраическому суммированию ( ) h t i ( ) ( ) h t h t i i = = ∞ ∑ 0 (5.81) Для графоаналитического решения интеграла (5.80) с возможностью использо- вания заранее подготовленных таблиц вводится понятие единичной трапецеидаль- ной характеристики P T ' , характеризуемой высотой P T ' =l для частот 0 < < ω ω d интер- валом положительности ω n = 1 (при этом ′ = P T 0 при ω ω > n ); наклоном χ , на ин- тервале частот ω ω ω d n < < , в котором ордината ′ P T ′ = − − − P T d n d 1 ω ω ω ω (5.82) В этом случае переходная характеристика i-йтрапеции с величиной наклона χ в соответствии с формулой (5.80) может быть представлена в виде следующей сум- мы интегралов: h t t d t d t d d d n d n d n d χ ω ω ω ω ω π ω ω ω π ω ω ω π ω ω ω ω ω ω ω ( ) sin sin sin = + − − − ∫ ∫ ∫ 2 1 2 2 0 (5.83) Выражение sin y y dy si 0 χ χ ∫ = - интегральный синус, находится по таблицам. si(0)=0; lim ( ) χ χ π →∞ = si 2 Раскрывая интегралы и используя выражения (5.83), h t si t si t si t t t t si t si t i d n d n d n d d n d n d n d d χ π ω ω π ω π ω ω ω ω π ω ω ω ω π ω ω ω ω ( ) (cos cos ) = + − + − − + + − − − 2 2 2 1 2 2 Учитывая, что для единичной трапеции ω n = 1, ω χ d = , получим выражение в виде h t si t t t t si t si t i χ π χ χ χ χ χ ( ) cos cos ( ) . = + − − + − − 2 1 1 1 . (5.84) 146 Это выражение представляется в виде таблиц h t i χ ( ) , получивших название таблиц h-функций. Входами в таблицу h-функций является величина коэффициента наклона χ , и табличное время τ Чтобы найти переходную функцию h t i ( ) , соответствующую i-трапецеидальной характеристике с параметрами P T i , χ , ω n , необходимо для единичной трапеции с тем же коэффициентом наклона χ: увеличить табличное значение ординаты h-функции в P T i раз ; уменьшить табличное значение аргумента τ , h - функции в ω n раз. Для получения ПП необходимо произвести сложение ординат i-х переходных процессов в полном соответствии со схемой разбиения на i трапеций ВЧХ Р( ω ). Контрольные вопросы и задачи к главе 5 5.1. По какой зависимости определяется установившаяся ошибка ε ус т САУ, обусловленная задающим воздействием ? Выбрать правильный ответ: 1. ε уст = lim ( ) ( ) S S g S W S → ⋅ + 0 1 2. ε уст = lim ( ) ( ) S S g S W S →∞ ⋅ + 1 3. ε уст = lim ( ) ( ) ( ) S S W S W S g S → ⋅ + 0 1 4. ε уст = lim ( ) ( ) ( ) S g S W S W S → + 0 1 5. ε уст = lim ( ) ( ). S W S g S → + 0 1 1 6. ε уст = lim ( ) ( ) ( ) S g S W S W S →∞ + 1 5.2. Чему равны коэффициенты ошибок C C C 0 1 2 , , для САУ, ПФ которой в ра- зомкнутом состоянии имеет вид : W S S S S ( ) ( ) ( , ) = + + 100 1 2 1 01 2 ? Выбрать правильный ответ: 1. C C C 0 1 2 0 1 100 = = = ; ; 2. C C C 0 1 2 1 1 0 01 = = = ; ; , . 3. C C C 0 1 2 0 0 0 01 = = = ; ; , . 4. C C C 0 1 2 0 0 100 = = = ; ; 5.3. Какие значения установившейся ошибки ε уст имеет САУ с ПФ в разомкну- том состоянии W S S S S ( ) ( , )( ) = + + + 99 1 0 2 2 1 2 при задающем воздействии g(t)= 10 1 ⋅ (t)? Выбрать правильный ответ: 1. ε уст =0,1. 2. ε уст =0. 3. ε уст = ∞ . 4. ε уст =0,01. 5.4. Какие из структурных схем (рис.5.26) принадлежат астатической системе? Выбрать правильный ответ: 1. Схемы рис.5.26, а, в. 2. Схемы рис.5.26, а, в, г. 3. Схемы рис..5.26, б, г. 4. Схемы рис.5.26, б, в. 147 5.5. Определите порядок астатизма САУ при задающем воздействии ( ) g t at = 2 2 и с переходной функцией ошибки (рис.5.27). Выбрать правильный ответ: 1. Нулевой. 2. Первый. 3. Второй. 4. Третий. 5.6. Какие запасы устойчивости по фазе и амплитуде имеет САУ с АФХ (рис.5.28)? Выбрать правильный ответ: 1. m = = 6 30 д Б , γ o 2. m = = 14 30 д Б , γ o 3. m = = 14 60 д Б , γ o 4. m = = 6 60 д Б , γ o 5.7. Какое перерегулирование и время регулирования может иметь САУ, если максимальное значение ВЧХ P max = 1 3 , , полоса пропускания ω п = − 40 1 c Выбрать правильный ответ: 1. σ ≤ ≤ 18%, 01 T c p , 2. σ ≤ ≤ 54%, 0 314 T c p , 3. σ ≤ ≤ 30%, 0 314 T c p , 4. σ ≤ ≤ 54%, 0 0785 T c p , а б в г Рис.5.26 Рис.5.27 Рис.5.28 148 5.8. Укажите соответствие между кривыми ВЧХ и переходными характеристи- ками (рис. 5.29). Выбрать правильный ответ: 1. 1 2 → → a, в 2. 1 2 → → г в , 3. 1 2 → → г, a 4. 1 2 → → г б , 5.9. Определите ИКО для САУ с ПФ в разомкнутом состоянии ( ) W s K S V = и за- дающим воздействием g(t)=1(t) . Выбрать правильный ответ: 1. I K V 2 1 2 = 2. ( ) I K K V V 2 1 2 = + 3. I K K V V 2 1 = + 4. I K V 2 1 2 = + Рис.5.29 |