Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
Критерий устойчивости Льенара-Шипара. Представляет собой модификацию критерия Гурвица для САУ, имеющих порядок характеристического уравнения п>5. Предложен в 1914 г. П.Льенаром и Р.Шипаром. Формулировка критерия. При выполнении необходимого условия для устой- чивости системы достаточно положительности либо четных ∆ ∆ ∆ 2 4 6 , , , ... , либо не- четных определителей Гурвица ∆ ∆ ∆ 1 3 5 , , , ... , Применение этого критерия позволяет уменьшить количество вычислений. Пример. Определить устойчивость системы (рис. 4.2) и найти области устойчи- вости. Пе редаточная функция разомкнутой системы ( ) ( ) ( )( ) W s K T s K T s s K s T s T s K K K = + + = + + = 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 , Характеристическое уравнение l+W(S)=0 запишем в виде ( ) T T 1 2 λ λ λ 3 1 2 2 + T T + + K = 0 + (4.23) Коэффициенты уравнения положительны, следовательно необходимое условие выполняется. Достаточное условие по Гурвицу (4.22) имеет вид T T KT T 1 2 1 2 + > или K T T < + 1 1 1 2 (4.24) Границы устойчивости: ) 1 0 0 K = 0 a = , 2) ∆ n K T T − = = + 1 1 2 0 1 1 , г р ) 3 0 0 2 T 1 a T n = = , Эти три границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметров K T T , , 1 2 и найти области устойчивости системы. 88 Рассмотрим сначала области устойчивости системы по одному параметру К (коэффициент передачи разомкнутой системы). Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости - точки на ней К=0 и K=Kгр (рис.4.3). Область устойчивости согласно (4.24) лежит между этими точками. Те же гра- ницы устойчивости можно построить на плоскости двух параметров, например K T , 1 Первая граница (К=0) лежит на оси T 1 (рис. 4.4). Вторая граница 1 1 1 2 T K T = − имеет вид гиперболы с асимптотами T K T 1 2 0 1 = = , Третья граница ( T 1 0 = ) совпадает с осью K. Область устойчивости, определяемая неравенством (4.24), обозначена на рис.4.4. Штриховка границ делается в сторону области устойчивости. Из рисунка видно, что увели- чение постоянных времени T 1 и T 2 приводит к сужению об- ласти устойчивости. Отрица- тельно влияет на устойчивость увеличение коэффициента пе- редачи К. Любому сочетанию T 1 и T 2 соответствует свое K г р (рис. 4.3), после чего сис- тема становится неустойчивой. В дальнейшем будет показано, что для повышения точности САУ нужно увеличивать К. Тут выявляется противоречие между требова- нием точности (увеличение К) и устойчивости (ограничение К). 4.5. Частотные критерии устойчивости Частотные критерии позволяют судить об устойчивости САУ по виду частот- ных характеристик ( амплитудно-фазовых, логарифмических и т.п.). Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое применение благодаря нагляд- ности и относительной простоте исследования систем высоких порядков. В 1932 г. американским ученым Найквистом был предложен критерий оценки устойчивости Рис. 4.3 Рис. 4.4 89 электронных усилителей с обратными связями по амплитудно-фазовым характери- стикам разомкнутого контура усиления. Советским ученым А. В. Михайловым было предложено использовать этот критерий для оценки устойчивости САУ различной физической природы. А в 1938 г. А.В.Михайлов разработал собственный критерий устойчивости САУ. Методически удобнее рассматривать вначале критерий Михай- лова. Критерий Михайлова Этот критерий является графической интерпретацией принципа аргумента и по- зволяет судить об устойчивости системы при рассмотрении некоторой кривой Ми- хайлова. Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы: ( ) D s a S a S a n n n n = + + + − − 1 1 0 (4.25) В соответствии с теоремой Безу можно записать ( ) ( )( ) ( ) D s a S S S S S S n n = − − − 1 2 (4.26) где S a j i i = ± ω i - корни уравнения D(S)=0. После подстановки S j i = ω полу- чим: ( ) ( )( ) ( ) D j a j j j n ω ω ω ω = - S - S - S 1 2 n (4.27) Каждый из корней (вещественный или комплексно-сопряженный) на комплекс- ной плоскости можно изобразить в виде точки - A i (рис. 4.5). Частотный оператор j ω при из- менении ω с определенным шагом также можно представить в виде то- чек B i на мнимой оси. Таким обра- зом, каждый из сомножителей (4.27) может быть представлен на ком- плексной плоскости в виде разност- ного вектора ( ) W j i = ω - S i При изменении ω от 0 до ∞ век- тор W i будет вращаться относительно полюса S i (точки A i ) Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным. Рис. 4.5 90 Исследуем вращение векторов W i относи- тельно точки A i в зависимости от вида корней S i характеристического уравнения: Случай 1. Корни S i - вещественные, т.е. S i = ± a i , характер поворота векторов W i при изменении частоты ω показан на рис.4.6: если S i < 0, то вектор W i при 0 < < ∞ ω по- вернется вокруг точки A i на угол + π 2 если S i > 0 , то вектор W i при 0 < < ∞ ω повернется вокруг точки A k на угол − π 2 Случай 2. Корни характеристического уравнения комплексно - сопряженные, т.е. S a j i = ± ± β (рис. 4.7.) При отрицательной вещественной части a i < 0 имеем два вектора W i1 и W i2 с точка- ми A i1 и A i2 вращения. Приращение аргу- мента каждого вектора соответственно со- ставит ( ) ϕ π γ ω ω i W j i 1 0 1 2 = = + < <∞ arg ∆ ( ) ϕ π γ ω ω i i W j 2 0 2 2 = = − < <∞ ∆ arg Аналогично при положительной вещественной части a i > 0 приращения аргу- ментов векторов W W i i i i 3 4 3 4 2 2 , : , ϕ π γ ϕ π γ = − + = − + Таким образом, для двух корней с a i < 0 суммарный угол поворота векторов W i 1 и W i 2 ϕ ϕ π γ π γ π i i 1 2 2 2 2 2 + = + + − = при 0 ≤ ≤ ∞ ω , а для двух корней a i > 0 ϕ ϕ π γ π γ π i i 3 4 2 2 2 2 + = − − − + = − при 0 ≤ ≤ ∞ ω Предположим, что полином D( S) имеет т правых корней и n-m левых. Тогда при 0 ≤ ≤ ∞ ω приращение аргумента вектора ( ) D j ω равное сумме углов поворота векторов ( ) j S i ω − , равно ( ) ( ) ( ) ∆ arg D j n m m n m ω π π π ω = − − = − < <∞ 2 2 2 2 0 (4.28) Рис. 4.6 Рис. 4.7 91 Правило. Изменение (приращение) аргумента ( ) D j ω при изменении частоты ω от 0 до ∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(S)=0, умноженной на π 2 Подставим в характеристический полином (4.25) S = j ω , получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D j X j jY j D e j ω ω ω ω ϕ ω = + = (4.29) где ( ) ( ) X a a Y a a ω ω ω ω ω = − + = − + 0 2 2 1 3 3 ...; ...; (4.30) ( ) D ω и ( ) ϕ ω - модуль и фаза ( аргумент) вектора ( ) D j ω При изменении частоты ω вектор ( ) D j ω изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую, назы- ваемую кривой (годографом) Михайлова. Практически кривая Михайлова строится по точкам. Для нескольких значений ω от 0 до ∞ вычисляются по выражениям (4.30) координаты X и У кривой Михайлова. В соответствии с (4.28) угол поворота вектора ( ) D j ω вокруг начала координат при 0 < ∞ ω < равен ( ) π 2 2 n m − . Из выражения (4.28) можно записать выражение для нахождения числа правых корней: ( ) m n D j = − < <∞ π ω π ω 2 0 ∆ arg / (4.31) Из (4.31) видно, что число т будет равно нулю только при выполнении условия ( ) ∆ arg D j n ω π ω = < <∞ 2 0 ( ) 4 32 Условие (4.32) является необходимым, но не достаточным условием устойчиво- сти. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все n корней урав- нения D(S)=0 были левыми. Формулировка критерия. Для устойчивости линейной САУ n-го порядка не- обходимо и достаточно, чтобы вектор кривой ( ) D j ω при изменении ω от 0 до ∞ по- вернулся, нигде не обращаясь в ноль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол n π 2 .Заметим, что для минимально-фазовых систем кривая Михайло- ва начинается при ω =0 на вещественной положительной оси. Вторая формулировка критерия Михайлова. Для устойчивости САУ необхо- димо и достаточно, чтобы кривая Михайлова начиналась на вещественной положи- 92 тельной полуоси при ω =0 и при возрастании ω до ∞ проходила последовательно п квадрантов против часовой стрелки. Признаком неустойчивости САУ является нарушение числа и последовательно- сти пройденных кривой М квадрантов координатной плоскости, вследствие этого приращение аргумента ( ) D j ω оказывается меньше n π 2 . Число правых корней можно определить по (4.31). На рис.4.8.а показаны кривые М для устойчивых систем, а на рис.4.8.б показаны кривые Михайлова для неустойчивых систем. Для кривой 2 можно определить количество правых корней т по (4.31) ( ) m n D j = − = − = 2 4 2 0 2 ∆ arg ω π π На рис. 4.9 показаны кривые Михайлова для САУ, находящихся на границе устойчивости. Кривая 1 соответствует апериодической границе устойчивости ( ) a 0 0 = Кривая 2 - колебательной границе. Малыми деформациями годографа в начале координат (пунктирная линия) можно обеспечить устойчивость по Михайлову. На рис. 4.10 показан случай неустойчивой сис- темы. Кроме корней S j i = ± ω имеются еще правые корни в уравнении D(S)=0. Еще одна форма критерия Михайлова состоит в использовании свойства пере- межаемости корней многочленов ( ) X ω и ( ) Y ω , кото- рое состоит в том, что при последовательном прохо- ждении кривой М квадрантов координатной плоско- А Б Рис. 4.8 Рис. 4.9 Рис. 4.10 93 сти поочередно обращаются в ноль функции ( ) X ω и ( ) Y ω При пересечении кривой М с вещественной осью ( ) Y ω =0; при пересечении с мнимой осью ( ) X ω =0 , т.е. корни уравнений ( ) Y ω =0 и ( ) X ω =0 должны последова- тельно перемежаться, иначе говоря, следовать друг за другом поочередно. На рис. 4.11 показан случай устойчивой системы порядка n=5. На рис. 4.12 показаны графики ( ) Y ω и ( ) X ω для неустойчивой системы. Пример. Для предыдущего примера (4.23) уравнения (4.30) принимают вид ( ) ( ) X K T T ω ω = − + = 1 2 2 0 ( ) Y T T ω ω ω = − = 1 2 3 0 Перемежаться должны корни: ω ω ω 0 1 1 2 2 1 2 0 1 = = + = ; ; K T T T T Следовательно (рис. 4.13), должно выпол- няться условие ω ω 2 1 > т.е. 1 1 2 1 2 T T K T T > + , откуда вытекает ранее полученное условие устойчи- вости K T T < + 1 1 1 2 λ Рис. 4.11 Рис.4.12 Рис. 4.13 94 4.6. Построение областей устойчивости в плоскости параметров системы При проектировании САУ необходимо знать пределы изменения некоторых ее параметров (коэффициентов передач, постоянных времени), при которых система будет оставаться устойчивой. Это позволяет установить допуски на те или иные па- раметры при изготовлении конкретных устройств, учесть возможные изменения па- раметров в связи со "старением" элементов и т. д. Такая задача называется задачей построения областей устойчивости в пространстве параметров системы. Уравнения границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устой- чивости. Однако чаще всего на практике применяют наиболее общий метод по- строения областей устойчивости, который был предложен Ю.И. Неймарком и назван им методом Д -разбиения характеристического уравнения замкнутой системы: ( ) D S a S a S a n n n n = + + + − − 1 1 0 =0 (4.33) Практически выделение областей устойчивости производится для одного, двух и, в крайнем случае, трех параметров системы, что объясняется трудностью графи- ческого представления трехмерного пространства. 4.6.1. Д-разбиение по одному параметру Пусть некоторый параметр К, влияние которого на устойчивость надо выяснить, входит в характеристическое уравнение следующим образом: D(S)=A(S)+KB(S) (4.34) откуда, с учетом S j = ω ( ) ( ) ( ) ( ) K A j B j X jY = − = + ω ω ω ω (4.35) Так как параметр К должен быть только вещественным (коэффициент передачи, постоянная времени и т.п.), то (4.35) следовало бы дополнить условием ( ) Y ω = 0 . Вначале для удобства представления этого не будем делать. Придавая ω значения от −∞ ≤ ≤ ω 0 и затем 0 ≤ ≤ ∞ ω , можно вычислить ( ) Y ω и ( ) X ω и построить на ком- плексной плоскости границу Д-разбиения. При построении границы Д-разбиения достаточно построить ее для положительных значений ω и затем дополнить зеркаль- ным отображением построенного участка относительно действительной оси (рис.4.14,а). 95 Изменению параметров системы на плоскости корней соответствует переход корней из левой полуплоскости в правую и наоборот. Область на плоскости пара- метра K системы, для каждой точки которой все корни характеристического уравне- ния лежат слева от мнимой оси, будет областью устойчивости системы, а линия Д - разбиения будет границей устойчивости. Если при изменении − ∞ ≤ ≤ ∞ ω в плоско- сти корней двигаться по мнимой оси и штриховать ее слева (рис.4. 14,6), то такому движению на плоскости K соответствует движение по линии Д -разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении ω от − ∞ до +∞ . Переходу с за- штрихованной стороны линии Д-разбиения на незаштрихованную соответствует на плоскости корней переход одного корня из левой полуплоскости в правую (стрелка 1) и наоборот (стрелка 2). Если штриховка двойная (например в точке пересечения кривых), то мнимую ось пересекают два корня. Выберем в плоскости К произвольную точку а и предположим , что при К=а рассматриваемое уравнение имеет r корней, расположенных слева от мнимой оси (левых корней) и n-r правых корней (число r пока неизвестно). Это значит, что точка а принадлежит области D(r). Для того чтобы из точки а перейти в точку б, необхо- димо пересечь границу Д-разбиения один раз с незаштрихованной стороны на за- штрихованную. Следовательно, точка б находится в области D(r+1). Рассуждая ана- логично, установим, что точка в расположена в области D(r+2) н т.д. Область с наи- высшей отметкой (в нашем случае D(г+3)) является претендентом на область устой- чивости. Обычно это область, внутрь которой направлена штриховка. Чтобы установить, является ли эта область областью устойчивости, необходимо задаваться каким-либо значением K из этой области. Подставив это значение в ха- рактеристическое уравнение D(S)=0, нужно проверить по какому-либо критерию выполнение условий устойчивости. Часто можно вычислить число корней справа в какой-либо точке плоскости K, если воспользоваться формулой а б Рис. 4.14 96 m V V n = + + − 0 1 2 2 ϕ π (4.36) где m- число правых корней полинома D(S)=0 при каком-либо значении K K = 0 V - число правых корней уравнения B(S)=0 V 0 - число ненулевых и число мнимых корней этого же уравнения; n 1 - разность степеней полиномов D(S) и B(S) ϕ - Приращение аргумента вектора, начало которого лежит в точке K K = 0 , а конец скользит по границе Д-разбиения от точки, соответствующей ω = −∞ , до точ- ки, соответствующей ω = +∞ Если граница Д-разбиения состоит из нескольких ветвей, то ϕ - сумма прира- щений указанного вектора, подсчитанных порознь для каждой из ветвей границы Д- разбиения. После определения области устойчивости (m=0), в ней выделяют отрезок ус- тойчивости, т.е. отрезок вещественной оси, лежащий в области устойчивости, на- пример АБ на рис. 4.14.а. Точке А соответствует колебательная граница устойчиво- сти, точке Б - апериодическая. Следовательно, для построения кривой Д-разбиения по одному параметру необходимо: решить характеристическое уравнение относительно этого параметра и привес- ти к виду (4.33); построить в координатах X и У кривую для различных значений 0 < < ∞ ω и до- полнить ее зеркальным отображением относительно оси абсцисс, что соответствует изменению частоты −∞ < < ω 0 ; нанести штриховку с левой стороны кривой при движении от точки ω = −∞ к точке ω = +∞ ; найти область - претендент на устойчивость, определить в ней число правых корней по формуле (4.36); если m=0, то выбрать значение параметра на отрезке устойчивости, при этом нужно избегать значений параметров, близких к граничным. Пример. Определим границу устойчивости САУ, содержащей три апериодиче- ских звена, имеющей передаточную функцию в разомкнутом состоянии ( ) ( )( )( ) W S K T S T S T S = + + + 1 2 3 1 1 1 и граничные значения ее коэффициента усиления K = µ , при котором система еще остается устойчивой. Пусть T c T c T c 1 2 3 0 5 01 1 = = = . ; . ; Характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии будет записано в виде ( ) ( ) ( ) T T T S T T T T T T S T T T S 1 2 3 3 1 2 2 3 1 3 2 1 2 3 1 0 + + + + + + + + = µ После подстановки значений Т и замены S j = ω получим: 0.05 ( ) j ω 3 +0.65 ( ) j ω 2 +1.6 ( ) j ω + ( ) µ + 1 =0, 97 -0.05 j ω 3 -0.65 ω 2 +1.6 ( ) j ω + ( ) µ + 1 =0, µ = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 65 1 0 05 16 2 3 ω ω ω ω ω − + − = − j X jY ( ) ( ) X Y ω ω ω ω = − = − 0 65 1 0 05 1 6 2 3 , Значения X( ω) и Y(ω), найденные для различных ω , сведем в табл.4.1. График кривой Д-разбиения приведен на рис.4.15. Заштрихованная область является претендентом на устойчивость, следователь- но параметр K должен удовлетворять условию − < < 1 19 8 K Определим число правых корней т в этой области по формуле (4.36). Посколь- ку в рассматриваемом примере ( ) B j ω = 1 , то, следовательно, V V n = = 0 1 3 Выберем точку K K 0 0 19 9 , < < , например K 0 = 10, тогда ϕ π = 3 .По формуле (4.36) получим: m = − = − = 3 2 3 2 3 2 3 2 0 π π , т.е. точка K=0 принадлежит области устойчи- вости. 4.6.2. Д-разбиение по двум параметрам Пусть в характеристическом уравнении (4.33) системы варьируется два каких- либо параметра µ и ν , от которых зависят коэффициенты уравнения a i . В общем случае параметры µ и ν могут входить в коэффициенты a i нелинейно. При этих ус- ловиях параметры µ и ν легко выделить и характеристическое уравнение (4.33) при- водится к виду ( ) ( ) ( ) µ ν Q S P S R S + + = 0 (4.37) Заменим в уравнении (4.37) S на j ω и,отделяя вещественные части от мнимых, получим ( ) [ ( ) ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] µ ω ω ν ω ω ω Q Q 1 2 P jP j R jR 1 2 1 2 + + + = − + (4.38) Таблица 4.1 ω , c − 1 0 1 2 3 5 5.65 10 X -1 -0.35 1.6 4.85 15.25 19.8 64 Y 0 -1.55 -2.8 -3.45 -1.75 0 34 Рис. 4.15 98 Приравнивая действительные и мнимые части в правой и левой половинах уравнения (4.38), получим систему уравнений: ( ) ( ) ( ) µ ω ν ω ω Q 1 P R 1 1 + = − (4.39) ( ) ( ) ( ) µ ω ν ω ω P Q 2 2 + = − R 2 Если характеристический определитель системы ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∆ ω ω ω ω ω = ≠ P Q P Q 1 1 2 2 0 (4.40) то уравнения (4.39) совместны и имеют определенное решение, а для каждого значения частоты можно определить величины µ и v : ( ) ( ) ( ) µ ω ω ω = ∆µ ∆ , ( ) ( ) ( ) ν ω ω ω = ∆ν ∆ , где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∆µ ω ω ω ω ω = − − R Q R Q 1 1 2 2 , (4.41) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∆ν ω ω ω ω ω = − − P R P R 1 1 2 2 (4.42) частотные определители системы (4.39). Задавая значения ω от - ∞ до + ∞ , получим совокупность точек, образующих кривую Д -разбиения. Однако для этой кривой значениям ω ω = − 1 и ω ω = + 1 соответ- ствует одна и та же точка. Это следует из того, что определители ( ) ( ) ( ) ∆ ∆µ ∆ν ω ω ω , , являются нечетными функциями ω , а поэтому параметры µ и ν являются четными функциями ω В силу этого для значений 0 ≤ ≤ +∞ ω и −∞ ≤ ≤ ω 0 получается одна и та же кри- вая Д -разбиения, т.е. кривая Д -разбиения пробегает дважды. После построения кривой Д -разбиения на ней следует нанести штриховку, характеризующую переход корней через мнимую ось плоскости корней. При этом следует руководствоваться следующими правилами: 1. Если в системе уравнений (4.39) первое уравнение получено из вещественных частей функции ( ) ( ) ( ) P j Q j R j ω ω ω , , , а второе - из мнимых, и если в этой систе- 99 ме µ по написанию стоит на первом месте, а ν - на втором, то система коор- динат должна быть правой, по оси абсцисс откладывается + µ а по оси орди- нат - ν (рис. 4.16). 2. Двигаясь по кривой при изменении ω в сторону ее возрастания, нужно штри- ховать кривую с левой стороны при, ∆ > 0 и с правой при ∆ < 0 . В результате изображающей точкой кривая проходится дважды: один раз - при изменении ω от О до - ∞ , второй раз 0 ≤ ≤ +∞ ω Оба раза кривая штрихуется с одной и той же стороны, так как на концах кри- вой при значениях ω = 0 и ω = ∞ знак главного определителя D ( ω) изменяется (см. рис. 4.16). Прохождение функции ∆ через ноль может соответствовать двум случаям: если числители выражений для µ и ν не равны нулю ( ) ∆µ ∆ν ≠ ≠ 0 0 , ,то пере- ход функции ∆ через ноль может произойти в бесконечно удаленной точке границы области, т.е. при µ ν = = ∞ ; при переходе функции ∆ через ноль числители в выражении для µ и ν также обращаются в нуль, т.е. ∆µ ∆ν = = 0 Тогда выражения (4.39) согласно выражениям (4.41) и (4.42) являются следст- вием друг друга, отличаясь только постоянными множителями. В этом особом слу- чае система уравнений (4.39) сводится к одному уравнению, определяющему для некоторой ω ω = * на плоскости µ , ν уже не точку, а прямую линию, которая называ- ется особой прямой. Рис. 4.16 100 Различают два вида особой прямой: свободный член характеристического уравнения a 0 зависит от параметра µ или ν , при этом особая прямая при ω =0 и ее уравнение будет до ( ) a 0 0 µ ν , = ; особая прямая, соответствующая ω = ∞ и получаемая приравниванием к нулю коэффициента ( ) a n µ ν , = 0 при старшей степени S характеристического уравнения; особая прямая соответствует ω ω = * , когда уравнения становятся линейно зави- симыми (4.39). Для ω = 0 и ω = ∞ особые прямые, которые обычно называют концевыми, штрихуют одинарной штриховкой так, чтобы в окрестности точек ω = 0 и ω = ∞ штриховка совпадала со штриховкой кривой Д-разбиения. Особые прямые, соответ- ствующие ω ω = * , штрихуют двойной штриховкой так, чтобы в окрестности точек пересечения этих особых прямых и кривой Д -разбиения совпадали. Без доказательства приведем следующее правило. В той области, куда направлена штриховка, будет меньше корней с положи- тельной вещественной частью. Кривые с двукратной штриховкой соответствуют ко- лебательной границе устойчивости, на которой пара комплексных корней меняет знак вещественной части с минуса на плюс. Кривые и прямые с однократной штри- ховкой соответствуют переходу одного вещественного корня через мнимую ось плоскости корней. После определения области, заштрихованной со всех сторон (например область 1 на рис. 4.16), следует проверить, будет ли эта область областью устойчивости. Для этого следует внутри рассматриваемой области взять какие-то значения µ и ν , под- ставить в характеристическое уравнение и проверить выполнение одного из крите- риев устойчивости (Гурвица или Михайлова). Возьмем в области 3 (рис. 4.16) точку А. Предположим, что ей соответствует m правых корней (D(m)).Тогда в области 2 получим D(m-2), в области 1 D(m-4), в об- ласти 4 D(m-2). Следовательно , областью-претендентом на устойчивость являет- ся область 1. Пример. Для рассматривавшегося выше примера характеристическое уравне- ние системы имело вид ( ) ( ) D S T T S T T S S K = + + + + = 1 2 3 1 2 2 0 , после подстановки S j = ω получим ( ) ( ) X K ω ω = − + = T T 0 1 2 2 , ( ) Y T T ω ω ω = − = 1 2 3 0 101 Рассмотрим случай, когда варьируются параметры К, T 1 . Запишем систему уравнений (4.39) в виде 1* K T T − = 1 2 2 2 ω ω , 0 * K T T − = − 1 2 3 ω ω Главный определитель ∆ = − − 1 0 2 2 3 ω ω T Частные определители ∆ k T T = − − − 2 2 2 2 3 ω ω ω ω Таким образом, K T T T T = + = 1 1 2 2 2 1 2 2 ω ω , При изменении 0 ≤ ≤ ∞ ω мы идем по гиперболе (рис. 4.17); при −∞ < < ω 0 снова проходим по ней. Для определения штриховки определим знак определителя ∆ . В первом случае штриховка справа, во втором - слева. Штриховки накладываются друг на друга. Кроме этой гиперболы, получаем две особые прямые T 1 0 = при ω = ∞ и К=0 при ω = 0 (последнее вытекает непосредственно из уравнения Х=0, указанного выше). Область 1 - область устойчивости; в области 2 m=1, в области 3 m=2; в области 4 m=1; в области 5 m=2. Рис. 4.17 102 4.7. Критерий Найквиста Разработан в 1932 г. американским ученым Г.Найквистом и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики ра- зомкнутой системы. Известна передаточная функция разомкнутой системы в виде ( ) ( ) ( ) W S M S N S b S b S b d S d S d m n m m n n = = + + + + + + ≤ ; 1 0 1 0 (4.43) Подставляя в (4.43) ( ) S j = ω , получаем частотную передаточную функцию ра- зомкнутой системы ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W j M j N j U jV A e j ω ω ω ω ω ω ϕ ω = = + = где ( ) U ω и ( ) V ω - ВЧХ и МЧХ; ( ) A ω и ( ) ϕ ω -АЧХ и ФЧХ; ( ) A U V ω = + 2 2 ; ( ) ( ) ( ) ϕ ω ω ω = arctg V U Введем вспомогательную функцию ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f S W S N S M S N S D S N S = + = + = 1 , (4.44) где D(S) = N(S) + M(S) = a S a S a n n + + + 1 0 - характеристический полином замкну- той системы( a d b k k k = + ) . Заметим, что вследствие выполнения условия m n ≤ степень полинома D(S) рав- на степени характеристического полинома разомкнутой системы N(S). Подставляя в (4.44) ( ) S j = ω , получим ( ) ( ) ( ) f j D j N j ω ω ω = (4.45) Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения D(S)=0 были левыми, при этом по критерию Михайлова изменение аргумента ( ) ∆ arg D j n ω π ω = < < ∞ 2 0 , (4.46) В зависимости от свойств разомкнутой системы возможны три случая: 1. Разомкнутая система устойчива. Характеристический полином системы (разомкнутой) имеет только левые кор- ни, следовательно изменение аргумента ( ) ∆ arg N j n ω π ω = ≤ ≤ ∞ 2 0 , (4.47) Таким образом, приращение аргумента ( ) f j ω 103 ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ arg arg D arg N f j j j n n ω ω ω π π = − = − = 2 2 0 Это значит, что годограф ( ) f j ω не должен охватывать начало координат (рис.4.18). Рассмотрим функцию ( ) ( ) W j f j ω ω = − 1 , которая представляет собой АФХ ра- зомкнутой системы (рис.4. 19). Отсюда получаем следующую формулировку частотного критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчивой, если амплитудно-фазовая характеристика ус- тойчивой разомкнутой системы при изменении частоты ω от нуля до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, j0). При сложной форме характеристики ( ) W j ω целесообразно применять правило переходов, предложенное Я.З.Цыпкиным. Положительным переходом при возрастании частоты ω называется переход АФХ разомкнутой системы участка ( ) −∞ − , 1 из верхней полуплоскости в нижнюю; отрицательным - переход из нижней полуплоскости в верхнюю. а б Рис. 4.18 а б Рис.4.19 104 Если при ω =0 АФХ разомкнутой системы начинается на отрезке ( ) −∞ − , 1 дейст- вительной оси, то этому соответствует +l/2 или -1/2 перехода в зависимости от того, вниз или вверх от этого отрезка идет АФХ при увеличении частоты (рис.4.20). Формулировка критерия Найквиста в данном случае такова: замкнутая система будет устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ устойчивой разомкнутой системы через отрезок вещественной оси ( ) −∞ − , 1 при изменении частот от 0 до ∞ равна нулю. График на рис. 4.19,а соответствует устойчивой системе, а график на рис. 4.19,6 соответствует условно устойчивой системе, так как в этом случае устойчивость замкнутой системы связана с условием К > К min .При уменьшении коэффициента передачи К система может стать неустойчивой (пропорционально величине коэффи- циента К меняются радиусы-векторы всех точек характеристики). 2. Разомкнутая система нейтральна (астатична). Характеристический полином N(S) передаточной функции имеет нулевые кор- ни. а остальные корни - левые: ( ) ( ) ( ) ( ) W S M S S N S b S b S b S a S a S a m m n n = = + + + + + + = − + ν ν ν ν ν ν ν , , ,..., 1 0 1 12 (4.48) где v - порядок астатизма. Частотная передаточная функция разомкнутой астатической системы ( ) ( ) ( ) ( ) W j M j j N j ω ω ω ω ν ν = (4.49) Рис. 4.20 105 При ( ) ω ω → → ∞ 0 W j a ее АФХ претерпевает разрыв. Поэтому в данном слу- чае трудно решить вопрос об устойчивости замкнутой системы, так как неясно, ох- ватывает ли АФХ ( ) W j ω точку ( ) − 1 0 , j Векторы j ω при изменении частоты ω от −∞ до +∞ изменяют при переходе через начало координат плоскости корней (рис.4.21) фазовый угол скачком с − π 2 до + π 2 , но в каком направлении проходит их поворот в момент перехода через начало координат - сказать невозможно. Чтобы освободиться от этой неопределенности, идя по мнимой оси при измене- нии −∞ ≤ ≤ +∞ ω , обходят начало координат справа по полуокружности бесконечно малого радиуса r, т.е считают не S=0, а S re r j = → − ≤ ≤ + ψ π ψ π , , 0 2 2 . При этом все корни становятся левыми. Обходу начала координат по малой дуге re j ψ в плоскости корней соответствует передаточная функция разомкнутой системы ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W S M S S N S M N re b a r e j j = = = − ν ν ν ψ ν ν ν ψν 0 0 1 1 0 (4.50) где b 0 и a ν - свободные члены полиномов M(S) и N (S) Обозначим R= b a r 0 1 ν ν ϕ ψν , = − (4.51) При r R → → ∞ 0 , а аргумент ϕ изменяется 0 2 < < − ϕ ν π , при изменении −∞ ≤ ≤ +∞ ω и 0 2 ≤ ≤ − ψ π . Таким образом, при движении по дуге бесконечно малого радиуса в плоскости корней АФХ ( ) W j ω может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной плоскости по ча- совой стрелке на угол −ν π 2 при 0 ≤ ≤ ∞ ω Формулировка критерия Найквиста. Для определения устойчивости системы с астатизмом любого порядка v достаточно построить одну ветвь АФХ разомкнутой системы, соответствующую положительным частотам, дополнить ее дугой на угол −ν π 2 окружности бесконечно большого радиуса и затем применить критерий для ус- тойчивых разомкнутых систем. Рис.4.21 106 3. Разомкнутая система неустойчива. Пусть характеристический многочлен N(S) разомкнутой системы имеет т кор- ней с положительной вещественной частью. Тогда вспомогательная функция ( ) ( ) ( ) ( ) f S W S D S N S = + = 1 (4.52) при замене S j = ω согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы должна иметь следующее изменение аргумента при 0 ≤ ≤ ∞ ω : ( ) ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ arg argD arg f j j N j n n m m m ω ω ω π π π π = − = − − = = 2 2 2 2 2 (4.53) Таким образом, если разомкнутая система неустойчива и имеет т правых кор- ней, то замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда АФХ вспомо- Рис.4.22. Годографы АФХ астатических систем: а-устойчивая замкнутая система; б-неустойчивая замкнутая система Рис.4.23. Годографы АФХ астатических систем: а-неустойчивая замкнутая системам: б-устойчивая замкнутая система 107 гательной функции ( ) f j ω при 0 ≤ ≤ ∞ ω охватывает начало координат в положитель- ном направлении m/2 раза. Переходя к АФХ ( ) W j ω , получим следующую формулировку критерия устой- чивости при неустойчивой разомкнутой системе для устойчивости замкнутой сис- темы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы ( ) W j ω при изме- нении частоты 0 ≤ ≤ ∞ ω охватывала точку ( ) − 1 0 , j в положительном направлении m/2 раз, где т - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой сис- темы. Или: замкнутая система будет устойчивой, если при изменении частоты 0 ≤ ≤ ∞ ω разность между положительными и отрицательными переходами АФХ ра- зомкнутой системы отрезка действительной оси ( ) −∞ − , 1 равна m/2. На рис.4.24 показана устойчивая замкнутая (а) и неустойчивая (б) замкнутая системы, при неустойчивой разомкнутой системе W(S) имеет один полюс в правой полуплоскости. Особенностью критерия Найквиста в отличие от предыдущих является то, что не обязательно знать уравнения всех звеньев системы, а можно использовать АФХ отдельных звеньев или даже всей разомкнутой системы, полученных эксперимен- тальным путем. Параметры передаточной функции W(S) (коэффициенты передач и постоянные времени) обычно задаются неточно и в процессе работы претерпевают изменения по разным причинам. Для устойчивой работы системы в этих условиях годограф АФХ ( ) W j ω должен проходить на достаточном удалении от точки ( ) − 1 0 , j . Это удаление оценивается запасом устойчивости по фазе и амплитуде. Запасом устойчивости по фазе называют угол ( ) γ π ϕ ω = − c , соответствующий тому значению частоты ω , при котором модуль ПФ ( ) W j c ω = 1 . Частоту ω c . называ- ют частотой среза (рис.4.25). m а m б Рис.4.24 108 Запас устойчивости h по амплитуде опре- деляется модулем ПФ 1 W( j ω п )на частоте ω п , соответствующей ( ) ϕ ω π п = − . h вычисляется по формуле h = 20log 1 H .Запасы устойчивости по фазе и амплитуде характеризуют некоторым образом диапазон изменения параметров сис- темы (коэффициентов передач и постоянных времени звеньев), в котором сохраняется ус- тойчивость. Запас устойчивости задается при проектировании в виде величин h и γ. Счита- ется у что система обладает удовлетворительным качеством при 30°< γ <50°,10 |