Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 2.1. Уравнения САУ Для анализа и синтеза САУ необходимо располагать ее математическим описа- нием - описанием физических процессов в САУ и ее основных подсистемах на язы- ке математики. Для описания систему разбивают на отдельные подсистемы, узлы, элементы и т. д. Затем для каждого элемента составляют уравнения на основании физического закона, которому подчиняются процессы, протекающие в данном эле- менте. Совокупность уравнений всех элементов составляет математическое описа- ние САУ (математическую модель САУ). Понятие математической модели связано с принятыми допущениями при составлении уравнений. Математическая модель сис- темы должна быть, с одной стороны, как можно точнее, а с другой - по возможности проще, чтобы не усложнять исследования. Эти требования противоречивы, и только в результате разумного компромисса между ними находится математическая модель системы. Уравнения переходных режимов называют уравнениями динамики, а уравнения установившихся режимов - уравнениями статики. Уравнения динамики - дифферен- циальные и интегродифференциальные, а уравнения статики - алгебраические. Система управления и каждый ее элемент производят преобразование входной ве- личины х(t) в выходную величину у(t). С математической точки зрения она осущест- вляет отображение r r r y t A x t ( ) ( ) = ⋅ , согласно которому каждому элементу x(t) из множества X входных сигналов [ ] x t ( ) ∈ X ставится в соответствие единственный, вполне определенный элемент у(t) из множества Y выходных сигналов [ ] y t ( ) ∈ Y . Оператор A, определяющий соответ- ствие между входными и выходными сигналами системы управления (элемента), называют оператором этой системы (элемента). Задать оператор системы - значит задать правила определения выходного сигнала системы по ее входному сигналу. Все реальные системы состоят из различных элементов - механических, электрических, электронных, гидравлических и других устройств, которые могут отличаться друг от друга по своему физическому и конструктивному выполнению. Однако, несмотря на это, многие элементы САУ описываются одинаковыми диффе- ренциальными уравнениями, они обладают одинаковыми динамическими свойства- ми. Поэтому при исследовании САУ элементы делят не по физической природе и конструктивному исполнению, а по их динамическим свойствам. Этим лишний раз подтверждается известное положение В.И.Ленина, что "единство природы обнару- живается в "поразительной аналогичности" дифференциальных уравнений, относя- щихся к разным областям явлений". В теории САУ элементы, процессы в которых 21 описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, называ- ются звеньями системы. Состояние уравнения динамики каждого конкретного звена является предметом соответствующей конкретной области технических наук (элек- тротехники, теплотехники, динамики полета и т.п.), к которым и следует обращаться в случае необходимости. В общем случае звенья и системы описываются нелинейными дифференциаль- ными уравнениями. Для примера рассмотрим звено (рис.2.1), которое можно опи- сать дифференциальными уравнениями второго порядка F y y y x x f ( , &, &&, , &) + = 0 , (2.1) где у - выходная величина, х и f - входные величи- ны, y’ и x’- первые производные по времени, у” - вто- рая производная по времени. Уравнение (2.1), описывающее процессы в звене при произвольных входных воздействиях, называют уравнением динамики Пусть при постоянных входных величинах x x = 0 и f f = 0 процесс в звене с течением времени установится; величина у примет постоянное значение y y = 0 . Тогда (2.1) примет вид F(y 0 ,0,0,x 0 ,0)+f 0 =0. Это уравнение описывает статический или установившийся режим и его назы- вают уравнением статики . Статический режим можно описать графически с помощью статических харак- теристик. Статической характеристикой звена с одним входом и выходом назы- вают зависимость выходной величины от входной в установившемся режиме. Если звено имеет несколько входов, то оно описывается с помощью семейства статиче- ских характеристик, представляющих собой кривые зависимости выходной величи- ны у от одной величины х (или f) при различных фиксированных значениях другой - f (или х). Пример. В электрическом двигателе любого типа скорость вращения в установившемся режи- ме ω является функцией двух переменных: под- водимого напряжения Uи момента нагрузки на валу ω =f (U, M н ). Эта зависимость представляется семейством механических характеристик ω = f 1 (М н ) при фик- сированных значениях управляющего напряже- ния U = const (рис.2.2). 2.2. Линеаризация Для упрощения исследований САУ нелинейные дифференциальные уравнения во многих случаях можно приближенно заменить линейными. Процесс преобразо- вания нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией. Основой возможности линеаризации нелинейных уравнений является выдвину- тое И.А.Вышнеградским положение о том, что в течение процесса управления про- исходят лишь достаточно малые отклонения всех величин от их установившихся Рис. 2.1. УУ ОУ u u u z x x x z z 1 1 1 2 2 2 n n n 2 1 n … … … … … f f f Рис. 2.2. 22 значений. Этот метод получил название метода малых отклонений. Математической основой метода малых отклонений является разложение нелинейных функций в ряд Тейлора. Рассмотрим нелинейное уравнение (2.1). Пусть заданному режиму соответст- вуют x x x x f f y y y y = = = = = * * * * * ; & & ; ; & & ; && && Обозначим отклонения реальных значений x, f, у от требуемых через ∆ x, ∆ f, ∆ y тогда можно записать: x x x y y y f f f = + = + = + * * * , , , ∆ ∆ ∆ & & &; & &; && && &&. * * * x x x y y y y y y = + = + = + ∆ ∆ ∆ Подставив эти выражения в (2.1), разложив это уравнение в ряд Тейлора, от- бросим нелинейные члены (выше первого порядка) как достаточно малые величины: F F y y F y y F y y F x x F x x f f * * * * * * * & & && && & & + + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 0 , (2.2) здесь звездочкой обозначена подстановка ( && , & , , , & , * * * * * * y y y x x f ). После установления в системе заданного режима уравнение (2.1) приобретает вид F * +f * =0. (2.3) Вычитая из уравнения (2.2) уравнение (2.3), получим линеаризованное уравне- ние звена (уравнение первого приближения) a y a y a y b x b x x c f 2 1 0 1 0 0 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ && & & + + = + + + , (2.4) где a F y 0 = ∂ ∂ * ; a F y 1 = ∂ ∂ & ; * a F y 2 = ∂ ∂ && ; * b F x 1 = − ∂ ∂ & ; * b F x 0 = − ∂ ∂ * ; c 0 1 = − Общепринято, чтобы выходная величина у и все ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина х и все остальные члены - в правой час- ти. Если время t явно не входит в исходное уравнение (2.1) и, кроме того, заданный режим является статическим (величины у, х не зависят от времени), то коэффициен- ты линеаризованного уравнения (2.4) постоянны. Уравнение (2.4) было получено при следующих предположениях: a) отклонения переменных у и х достаточно малы; b) функция F обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестности точек, соответствующих заданному режиму. При невыполнении хотя бы одного из этих условий линеаризацию проводить нельзя. Следует отметить относительность понятия "малые отклонения", величина отклоне- ния определяется видом нелинейности. Геометрическая трактовка этого способа линеаризации состоит в следующем. Рас- смотрим нелинейную зависимость переменной у от х (рис.2.3,а) у=F(х). 23 Отметим значение, соответствующее заданному режиму, и проведем в точке С каса- тельную под углом α ; ∂ ∂ α F x tg = * Переход от линейного уравнения (2.1) к уравнению (2.4) в отклонениях соответст- вует переносу начала координат в точку С (рис.2.3,б). Пример. Рассмотрим авиационный двигатель с винтом изменяемого шага, введем следующие обозначения: ϕ - угол лопасти винта, меняющийся с изменением режима работы двигателя; ω - скорость винта (выходного вала двигателя). Требуется получить математическую модель двигателя как объекта управления, входящего в САУ скоростью вращения авиационного двигателя. Первым шагом в составлении уравнений динамики выделенного объекта САУ яв- ляется установление физического закона, определяющего поведение объекта. Обыч- но таким законом является закон энергии (объекты регулирования температуры), второй закон Ньютона (объекты регулирования скорости, центробежный маятник и т.п.) или какой-либо из других законов физики. Вторым шагом должно быть определение факторов, от которых зависят перемен- ные, входящие в исходные уравнения, и установление выражений, характеризующих эту зависимость. Последние могут быть аналитическими функциями или заданы графически. В большинстве случаев они являются нелинейными выражениями. Подставив их в исходное уравнение, получим нелинейное уравнение рассматриваемого объекта САУ. Для нашего примера на основе второго закона Ньютона можно записать исходное уравнение J d dt M M g c ω = − , где J- момент инерции движущихся частей, приведенный к валу двига- теля; M g - момент, развиваемый двигателем; M с - момент сил сопротивления на валу двигателя; t - время. а б Рис. 2.3 24 Теперь необходимо установить, от каких величин и какими выражениями опреде- ляется движущий момент M g , момент сопротивления М c и является ли постоянной величиной приведенный момент инерции J. Движущий момент зависит от угловой скорости двигателя ω и величины наддува, которая задается летчиком и не может быть заранее определена (является неизвест- ной функцией времени). Поэтому можно написать M g =M g ( ω, t). Момент сопротивления зависит от угловой скорости двигателя ω, угла установки лопасти винта ϕ и ряда других факторов (плотности воздуха, скорости полета и др.), измерение которых затруднительно. Допустим, что выражение для момента сопро- тивления имеет вид M c = M c ( ω ,ϕ, t). На основании теории двигателей можно получить аналитическое выражение полу- ченных функций или представить в виде графиков. Момент инерции J вращающихся частей будем считать постоянными. Для линеаризации нелинейных уравнений необходимо конкретизировать понятие "заданный режим". При этом возможны два варианта: первоначальное состояние равновесия, т.е. режим, существовавший до действия возмущения и начала переходного процесса; установившийся режим после затухания переходных процессов, вызванных внеш- ним воздействием. Для данного случая уравнение установившегося режима можно записать в виде ра- венства на валу двигателя моментов ( ) ( ) M t M t g c 0 0 0 0 0 ω ω ϕ , , , − = (2.6) далее примем: ω ω ω = + = + = + 0 0 0 ∆ ∆ ∆ , , M M M M M M g g g c c g c Подставляя в исходное уравнение (2.5) варьированные переменные, получим: ( ) J d dt M M M M g g c c ω ω 0 0 0 + = + − − ∆ ∆ ∆ (2.7) Вычитая из уравнения (2.7) уравнение (2.6), получим уравнение возмущенного дви- жения в отклонениях (вариациях) ( ) ( ) ( ) J d dt M t M t g c ∆ω ∆ ∆ = − ω ω ϕ , , , (2.8) Произведем линеаризацию нелинейных уравнений и найдем отдельно каждое из приращений ∆M g и ∆M c : ( ) ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ M t M M t M t M M M t g g g c c c c ω ∂ ∂ω ω ω ϕ ∂ ∂ω ω ∂ ∂ϕ ϕ , , , , = + = + + Здесь через ∆M g (t) и ∆M c (t) обозначим составляющие приращений ∆M g и ∆M c изме- няющиеся во времени по неизвестному или заданному закону. Таким образом, можно записать 25 ( ) ( ) ( ) J d dt M M t M M M t g g c c c ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ω ∂ ∂ω ω ∂ ∂ω ω ∂ ∂ϕ ϕ = + − − − 0 0 0 Перенося в левую часть члены, содержащие ∆ ω , и обозначив ∆ M g (t)- ∆ M c (t)= ∆ M(t) найдем ( ) ( ) J d dt M M M t M c g c ∆ ∆ ∆ ∆ ω ∂ ∂ ω ∂ ∂ω ω ∂ ∂ϕ ϕ + − = − 0 0 (2.9) Таким образом, мы получили линейное уравнение первого приближения, записанное в абсолютных величинах. Все члены уравнения имеют размерность момента. Полученное уравнение первого приближения обычно приводят к уравнению в от- носительных единицах с безразмерными коэффициентами. Такая форма записи уравнений весьма удобна, так как избавляет от необходимости в каждом конкретном случае согласовывать размерности отдельных уравнений, входящих в систему, а также дает возможность свести изучение и сравнение динамических свойств боль- шого разнообразия элементов самой различной физической природы к изучению свойств ограниченного числа типовых динамических звеньев комбинаций. Для приведения уравнения (2.9) к безразмерному виду его следует поделить на не- которую постоянную величину, имеющую размерность членов этого уравнения (размерность момента). Такой величиной обычно выбирают номинальное, макси- мальное или некоторое начальное значение данной переменной. Поделим все члены уравнения (2.9) на величину номинального М н момента двига- теля и получим уравнение с безразмерными членами: ( ) J M d d t M M M M t M M M н н c g н н c ∆ ∆ ∆ ∆ ω ∂ ∂ ω ∂ ∂ ω ω ∂ ∂ ϕ ϕ + − = − 1 1 0 0 0 ( ) (2.10) Перейдем к относительным единицам. Выберем некоторые постоянные значения для каждой координаты, для каждого приращения, входящего в полученное уравнение. Умножим и разделим каждый член уравнения, в который входит та или иная переменная, на соответствующую ей по- стоянную величину: ( ) J M d dt M M M M t M M M н н c g н н c ω ω ω ω ω ∂ ∂ ω ∂ ∂ ω ω ϕ ϕ ∂ ∂ϕ ϕ 0 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆ ∆ ∆ + + = − ( ) (2.11) Введем обозначения: y = ∆ω ω 0 - выходная координата; U = ∆ ϕ ϕ 0 - входное управляющее воздействие; T J M н 0 0 = ω - постоянная времени, характеризующая время разгона; ( ) ( ) ∆ M t M f t н = - возмущающее воздействие; 26 K M M M c c g н = − ∂ ∂ω ∂ ∂ω ω 0 0 0 - коэффициент самовыравнивания; K M M u c н = ∂ ∂ϕ ϕ 0 - коэффициент регулирующего воздействия. В этом случае уравнение (2.10) преобразуется к виду ( ) T dy dt K y f t K U c u 0 + = − (2.12) В уравнении (2.12) коэффициент при производной имеет размерность времени в сте- пени, равной порядку производной. В общем случае при первой производной - с, при второй - с 2 , при третьей - с 3 и т.д. Такая форма записи уравнений называется первой формой или формой Стодолы. Обозначив d/dt = p уравнение (2.12) можно записать в символическом виде и в форме, принятой в ТАУ: ( ) ( ) T d y d t K y f t K U T p y K f K U T T K K K K K K c u c c u c 0 1 1 2 1 0 1 2 1 1 + = − + = − = = = , , , , (2.13) Уравнения (2.12) и (2.13) являются линейной математической моделью стацио- нарного непрерывного объекта, составленной в форме "вход-выход". При линеаризации уравнений элементов (с не аналитическими статическими характеристиками) может быть использован метод усреднения На рис.2.4 показана зависимость в ус- тановившемся режиме угловой скорости вращения ω g двигателя постоянного тока от величины управляющего напряжения U вх . Уравнение линеаризации ∆ ω g =K g ∆ U вх , где K g =tg α Линию усреднения проводят таким образом, чтобы минимальная относитель- ная ошибка была δ ω ω ω = − g g лин g U вх Рис. 2.4 |