Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
Астатическая САУ первого порядка ПФ разомкнутой САУ определяется из (5.10) при a 0 0 = : ( ) ( ) ( ) W S K S S S S S V m m n n = + + + + + + − − β β γ γ 1 1 1 1 1 1 , (5.13) где K b a V = 0 1 ; γ k k a a = + 1 Для упрощения анализа можно принять ( ) W S K S S V → = 0 Позиционная ошибка ε S V S S K S g S = + = = 1 1 0 0 0 (5.14) В астатических системах позиционная (статическая) ошибка равна нулю. Скоростная ошибка ε V V S V V S K S S V K = + = = 2 0 1 1 (5.15) Для астатической САУ первого порядка скоростная ошибка представляет собой постоянную величину. Коэффициент K V , имеющий размерность 1 c , называют добротностью системы по скорости. Ошибка по ускорению ε a v S a S K S S = + = ∞ = 3 0 1 1 (5.16) Астатическая САУ второго порядка ПФ разомкнутой САУ определяется из (5.10) при a 0 0 = a 1 0 = : ( ) ( ) ( ) W S K S S S S S a m m n n = + + + + + + − − β β µ µ 1 2 2 2 1 1 1 , где K b a a = 0 2 ; µ K K a a = + 1 2 121 В случае астатической САУ второго порядка позиционная и скоростная ошибки равны нулю. Ошибка по ускорению ε a a S a a S K S S a K = + = = 3 2 0 1 1 (5.17) Коэффициент K a , имеющий размерность 1 2 c , называют добротностью сис- темы по ускорению. Из вышеизложенного следует два важных вывода: чем больше коэффициент передачи в статической или астатической системах, тем меньше величина установившейся ошибки по управлению; в астатических системах (содержащих интегрирующие звенья) позиционная (ста- тическая) ошибка по управлению равна нулю. Следует отметить, что не всякая система астатическая по “управлению” будет астатическая по отношению к возмущающему воздействию. Для решения этой зада- чи необходимо вычислить ошибку от возмущающего воздействия. Общая методика вычисления установившейся ошибки от некоторого воздейст- вия z(t), приложенного в произвольном месте структурной схемы, может быть пред- ставлена в виде: В многоконтурных САУ для вычисления ПФ ( ) Ф S z ε целесообразно пользовать- ся формулой Мезона. 122 Пример. Для САУ (рис.5.2) определить ошибку ε f при ( ) W S K 1 1 = , ( ) W S K S 2 2 = , ( ) f t f = 0 . Изображение возмущающего воздействия ( ) { } L f t f S = 0 ; передаточная функция ( ) Ф S K S K K S K S K K f ε = + = + 2 1 2 2 1 2 1 Установившаяся ошибка ε f S S f S K S K K f K = + = = 0 2 1 2 0 0 1 Таким образом, в данном случае , несмотря на наличие интегрирующего звена, САУ является статической по возмущающему воздействию. Можно показать, что по управлению система будет астатической. 5.2.1. Установившаяся ошибка при произвольном воздействии (коэффициен- ты ошибок) В общем случае изображение ошибки ( ) ε t воспроизведения задающего воздей- ствия g(t) ( ) ( ) ( ) ε ε g S g Ф S G S = , ( ) ( ) Ф S W S g ε = + 1 1 (5.18) Передаточную функцию ( ) Ф S g ε представим в виде ряда ( ) Ф S C C S C S C S g n n ε = + + + + 0 1 2 2 (5.19) Коэффициенты этого ряда C i называются коэффициентами ошибок и опреде- ляются с помощью выражений: ( ) [ ] C Ф S g S 0 0 = = ε , ( ) C dФ S dS g S 1 0 = = ε , ( ) C n d Ф S dS n n g n S = = 1 0 ! ε Но ( ) Ф S g ε является отношением многочленов при ( ) ( ) ( ) ( ) Ф S N S N S KM S g ε = + Очевидно, что произведя деление многочлена числителя на многочлен знамена- теля по известному алгебраическому правилу, мы получим выражение типа (5.19) , а значит, и значение всех коэффициентов ошибок. После этого, подставив в выражение (5.18) выражение (5.19) и переходя к ори- гиналам , получим: ( ) ( ) ( ) ε ус C g t C dg t dt C d g t dt = + + + + 0 1 2 2 2 (5.20) Пример. Для САУ с астатизмом первого порядка (рис.5.3) необходимо вычис- лить ошибку при задающем воздействии g(t), имеющем вид ( ) g t g V t at = + + 0 0 2 2 123 Вычислим W(S): ( ) ( )( ) W S K S T S T S = + + 1 2 1 1 где K K K = 1 2 Вычислим ПФ ошибки по управлению: ( ) ( ) ( ) ( ) Ф S W S T T S T T S S T T S T T S S K g ε = + = + + + + + + + 1 1 1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 Разделим числитель на знаменатель: Дальше делить нет смысла , так как g(t) не имеет производных выше второго порядка. Таким образом, ( ) Ф S K S K T T K S s ε = + + − + 1 1 1 1 2 2 Отсюда, сравнивая с ( 5.19 ), получим: C 0 0 = , C K 1 1 = , C T T K K 2 1 2 2 1 = + − Вычислим производные g(t): dg dt V at = + 0 , d g dt a 2 2 = В соответствии с (5.20) получим: ( ) ( ) ( ) ε t C g t C dg dt C d g dt K V at T T K K a = + + = + + + − = 0 1 2 2 2 0 1 2 2 1 1 ( ) = + + + − 1 0 1 2 K V at a T T a K Из этого примера также видно , что с увеличением добротности системы К ус- тановившаяся ошибка уменьшается , но с течением времени бесконечно увеличива- ется из-за недостаточно большого при заданном g(t) порядке астатизма. 5.2.2. Точность при гармоническом воздействии Установившиеся ошибки при гармоническом воздействии определяются ЧХ замкнутой системы ( ) Ф j g ε ω и Φ ε ω f j ( ) . Что касается основных частотных характе- ристик ( ) ( ) A Ф j З ω ω = , ( ) ( ) ϕ ω ω З Ф j = arg , построенных по главной передаточной Рис. 5.3 _ ( ) ( ) S T T S T T S S K S T T K S + + + + + + + 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 1 1 ( ) K S T T S T T S + + + + 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 2 2 K S K T T K S + + − _ T T K S T T T T K S T T K S K T T K S 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 + − + − + − + + − + 124 функции ( ) Ф j ω замкнутой системы, то они включают в себя всю информацию об ус- тановившемся слежении за синусоидальным задающим воздействием ( ) g t t = sin ω Поэтому установившаяся ошибка воспроизведения амплитуды g(t) определится за- штрихованными частями ординат. Ошибка в амплитуде при ω = 0 представляет со- бой статическую ошибку системы (рис.5.4). ФЧХ ( ) ϕ ω З (рис.5.4,в) представляет установившуюся ошибку, выражающуюся в сдвиге фазы на выходе ( ) ( ) ( ) x A t З З = + ω ω ϕ ω sin по отношению ко входному воздей- ствию. АЧХ ( ) A З ω для астатических (рис.5.4.а) и статических (рис.5.4.б) систем обыч- но имеет падающий вид при увеличении частоты ω , причем ( ) A З ω → 0 при ω → ∞ . В результате получается ограниченный диапазон частот ω n , в котором ошибка вос- произведения амплитуды ( ) ∆ A A З З = − 1 ω не превышает допустимого значения. Этот диапазон частот 0 < < ω ω n определяет полосу пропускания системы. Полоса пропускания является важным показателем точности системы. Она ха- рактеризует возможности системы при воспроизведении быстро меняющихся сигна- лов, то есть инерцию системы. Ошибка в установившемся состоянии, при изменении управляющего воздейст- вия по гармоническому закону ( ) ( ) g t t g = sin ω , равна ( ) ( ) ( ) g t t g g max max sin = + ε ω ϕ ω (5.21) то есть является также гармонической функцией. Величина ошибки в этом случае обычно оценивается по амплитудному значе- нию ( ) ( ) ε ω ω ε max max max = = + Ф j g g W j g g g 1 (5.22) при ( ) W j g ω >> 1 ; ( ) ( ) ε ω ω max max max ≈ ≈ g W j g A g g (5.23) где ( ) A g ω значение АЧХ разомкнутой системы при ω ω = g . Для астатической системы Рис.5.4 125 ( ) ( ) ( ) W S K M S S N S = ν ν 1 , при ω → 0 ( ) ( ) W j K j ω ω ν ν ≈ (рис.5.5) Поэтому максимальная ошибка ( ) ε ω ω ν ν max max max = = g W j g K g И при гармоническом воздействии ошибка в первом приближении обратно пропорциональна добротности системы К. Часто при проектировании и испытании САУ пользуются эквивалентным сину- соидальным задающим сигналом и в том случае, когда требования к системе заданы по максимальной скорости V и ускорению а входного воздействия. Рассмотрим определение амплитуды g m и частоты ω g эквивалентного гармо- нического сигнала. Если g g t m g = sin ω , то скорость изменения dg dt g t m g g = ω ω cos , a ускорение d g dt g t m g g 2 2 = − ω ω sin . Следовательно, максимальное значение скорости и ускорения гармонического сигнала имеют вид & max g g m g = ω , && max g g m g = ω 2 Приравнивая эти величины соответственно V и а ,получим после несложных преобразований: ω g g g a V = = && & max max , ( ) g g g V a m = = & && max max 2 2 . Эти значения g m и ω g принимают за расчетные рабочие значения амплитуды и частоты для данной системы. 5.3. Требования к показателям качества переходного процесса Кроме устойчивости и точности система должна удовлетворять требованиям к виду переходного процесса (время затухания, колебательность и т.п.). Для сравнения различных переходных процессов ( ПП) в инженерной практике используются следующие показатели качества, определяющие поведение системы в переходном режиме: время регулирования Tр, перерегулирование σ , число колеба- ний n. Применяются и другие показатели качества. Временем регулирования Tрназывается время ПП, по истечении которого от- клонение ε становится меньше и остается впредь меньше допустимого значения ∆ ( рис.5.6 ). Время регулирования характеризует быстродействие системы: Рис.5.5 126 ( ) ( ) ( ) ( ) ε T x x T x p p = ∞ − ∞ ⋅ ≤ ≈ 100% 5% ∆ (5.25) Перерегулированием σ называют относительное максимальное отклонение вы- ходной величины от установившегося значения: ( ) ( ) σ = − ∞ ∞ ⋅ x x x m 100% (5.26) По числу колебаний ПП за время T p ПП делится на колебательные (больше двух выбросов) , малоколебательные (один выброс) , монотонные ( dx dt > 0 при 0 ≤ t ≤ T p ). Быстродействие системы также характеризуется скоростью нарастания пере- ходного процесса за время t σ изменения ( ) x t от 10 до 90% от установившегося зна- чения. Для систем с единичной обратной связью время t σ обратно пропорционально частоте среза ω c : ( ) t c σ ω ≈ 0 3 0 45 1 , , K Построение ПП - достаточно трудоемкая работа, и во многих практических слу- чаях удобно использовать косвенные оценки качества, не требующие построения графика ПП. Существуют три основных вида приближенных оценок качества пере- ходного процесса: 1) частотные; 2) интегральные; 3) корневые. Рис.5.6 127 5.4. Частотные оценки качества 5.4.1. Связь между переходной характеристикой h(t) и частотными характери- стиками замкнутой САУ АФХ замкнутой САУ полностью определяет ее динамические свойства. Поэто- му между видом вещественной ( ) P ω и мнимой ( ) Q ω частями АФХ замкнутой САУ и видом кривой переходного процесса ( ) h t существует определенная аналитическая зависимость, устанавливаемая на основании интегральных преобразований Фурье. Рассмотрим вначале предельные значения переходного процесса ( ) h t при еди- ничном скачке задающего воздействия ( ) ( ) g t t = 1 В изображениях по Лапласу ( ) ( ) ( ) h S Ф S g S = , ( ) g S S = 1 , (5.27) где ( ) Ф S - главная ПФ замкнутой системы. На основании теорем о предельных значениях можно записать для начального значения ( ) ( ) h t h = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h S h S S Ф S g S Ф S S S S 0 = = = →∞ →∞ →∞ lim lim lim Заменяя S j = ω и учитывая ( ) ( ) ( ) Ф j P jQ ω ω ω = + , получим ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) h P jQ P 0 = + = →∞ →∞ lim lim ω ω ω ω ω , (5.28) так как МЧХ ( ) Q ω при ω = ∞ равна нулю для различных систем. Таким образом, начальное значение ( ) h t равно конечному значению ВЧХ ( ) P ω . Для конечного значения ( ) ( ) h t h t →∞ = ∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h S h S S Ф S g S Ф S S S S ∞ = = = → → → lim lim lim 0 0 0 , или при замене S j = ω ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) h P jQ P ∞ = + = → → lim lim ω ω ω ω ω 0 0 , (5.29) так как ( ) Q ω = 0 при ω = 0 для систем любого порядка астатизма. Таким образом, конечное значение ( ) h t равно начальному значению ( ) P ω . Для определения общей взаимосвязи ПП ( ) h t с ВЧХ ( ) P ω и МЧХ ( ) Q ω запишем выражение интеграла Фурье (обратное преобразование): ( ) ( ) ( ) h t h j e d Ф j j e d j t j t = = −∞ ∞ −∞ ∞ ∫ ∫ 1 2 1 2 π ω ω π ω ω ω ω ω (5.30) Вычтем из (5.30) установившееся значение ( ) ( ) h P ∞ = 0 : ( ) ( ) ( ) ( ) h t P Ф j P j e d j t − = − −∞ ∞ ∫ 0 1 2 0 π ω ω ω ω (5.31) 128 Здесь учтено, что изображение ( ) { } ( ) L P P S 0 0 = , а обратное преобразование Фу- рье ( ) P j 0 ω равно ( ) P 0 : ( ) ( ) P P j e d j t 0 1 2 0 = −∞ ∞ ∫ π ω ω ω Используя формулу Эйлера e t j t j t ω ω ω = + cos sin и отбрасывая мнимую часть (5.31) , так как ( ) h t -вещественная функция, получим: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] h t P P t Q t P t d − = + − −∞ ∞ ∫ 0 1 2 1 0 π ω ω ω ω ω ω ω sin cos sin (5.32) Подынтегральное выражение представляет собой четную функцию. Поэтому интегрирование в пределах ( ) −∞ ∞ , можно заменить на ( ) 0, ∞ и удвоить результат. Заметим, что ( ) ( ) 1 0 0 2 0 π ω ω ω P t d P sin ∞ ∫ = , поскольку - 2 1 0 π ω ω ω sin t d = ∞ ∫ - табличный интеграл. В результате получим: ( ) ( ) ( ) ( ) h t P P t d Q t d = + + ∞ ∞ ∫ ∫ 0 2 1 1 0 0 π ω ω ω ω π ω ω ω ω sin cos (5.33) Поскольку даны нулевые начальные условия, причем нулевые значения функ- ции распространяются на t<0, т.е. h(t)=0 при t<0 , и учитывая, что при t=-t ( ) ( ) cos cos ; sin sin ω ω ω ω t t t t = − = − − то для t=-tпо аналогии с (5.33) запишем: ( ) ( ) ( ) 0 0 2 1 1 0 0 = − + ∞ ∞ ∫ ∫ P P t d Q t d π ω ω ω ω π ω ω ω ω sin cos (5.34) Складывая и вычитая (5.33) и (5.34) приходим к формулам ( ) ( ) ( ) h t P Q t d = + ∞ ∫ 0 2 0 π ω ω ω ω cos , (5.35) или ( ) ( ) h t P td = ∞ ∫ 2 0 π ω ω ω ω sin (5.36) Формулы (5.35) и (5.36) равноценны, однако на практике наибольшее примене- ние получило выражение (5.36). Приведем здесь также частотный способ определения импульсно-переходной (весовой) функции. Как известно, ( ) K t dh dt h = , поэтому, дифференцируя (5.36), находим ( ) ( ) K t P td h = ∞ ∫ 2 0 π ω ω ω cos . |