Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
4.26) запас по фазе γ определяется анало- гично предыдущему. Запас устойчивости по амплитуде определяется двумя значе- ниями модуля H 1 и H 2 . Чем больше H 1 и меньше H 2 , тем больше запас устойчи- вости по амплитуде, который вычисляет- ся по формулам H 1 = 20 1 lg H ; H H 2 2 20 1 = lg Определение устойчивости САУ по ЛЧХ. Благодаря простоте построения ЛАХ по сравнению с годографом разомкнутой системы, в инженерной практике получил широкое распространение анализ устойчивости замкнутых САУ с помощью ЛЧХ разомкнутой САУ. Как было показано выше, АФХ не должна охватывать точку (-1 , j0)в случае устойчивой замкнутой САУ. Это значит, что должно выполняться условие ( ) ( ) A A ω ω п п < 1 и 20log < 0 ,где ω п - частота, при которой ( ) ϕ ω π п = − . Таким образом, в случае устойчивой разомкнутой системы для устойчивой замкнутой САУ необходимо, чтобы частота среза ( ) ) ω ω c c A ( = 1 всегда была левее частоты ω п (рис .4.27): ω c < ω п На рис. 4.27 показаны запас по фазе и амплитуде. H Рис. 4.25 Рис. 4.26 109 С ростом коэффициента К передачи разомкнутой системы (ЛАХ перемещается параллельно вверх) частота среза смещается вправо и при некотором предельном или критическом значении K=Kпр система будет на границе устойчивости, при этом ω ω c = Π . При K>Kпр система будет неустойчива. Для условно устойчивых систем удобнее применять правило переходов. Внимание: здесь отрицательным переходом считается переход ФЧХ через ли- нию - π сверху вниз, а положительным - снизу вверх. Правило переходов целесообразно применять и для нейтральных (замкнутых астатических) САУ. При этом график ФЧХ ( ) ϕ ω необходимо дополнять в области низких частот ( ) ω → 0 дугой на угол −ν π 2 , где ν - порядок астатизма. Критерий устойчивости. Для устойчивости замкнутых САУ необходимо и достаточно, чтобы в области ЛЧХ, где ( ) 20 0 lgA ω > , разность между числом положи- тельных и отрицательных переходов ФЧХ ( ) ϕ ω через линию ±π была равна нулю (рис. 4.28). Для неустойчивых в разомкнутом состоянии САУ эта разность должна быть равна m/2, где m- число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. На рис. 4.28 показан запас по фазе и амплитуде. Рис. 4.27 110 Если ФЧХ при ω → 0 начинается на линии ±π , то это переход 1/2. На рис 4.29 показаны ЛЧХ разомкнутой САУ астатизма первого порядка с одним правым кор- нем. Рассматриваемая САУ устойчива в замкнутом состоянии, так как , дополнив график ФЧХ ( ) ϕ ω дугой на угол − π 2 (пунктирная линия на рис. 4.29), получим, что разность между положительным (+l) и отрицательным (-1/2) переходом равна (+1/2) соответствующей m/2 при m=l. Использование экспериментальных характеристик. Особенностью критерия Найквиста, в отличие от предыдущих, является то, что при неизвестных уравнениях отдельных звеньев можно использовать их экспериментальные характеристики. Рис. 4.28 Рис. 4.29 111 Особенные преимущества в этом отношении имеет метод ЛЧХ. Методика экс- периментального определения ЛЧХ отдельных звеньев состоит в следующем. Собирается схема эксперимента (рис. 4.30). С ГСК на вход ИО поступает синусоидальный сигнал ( ) x x t m = sin ω с фиксированной амплитудой x m , и варьированной в необходимом диапазоне частоты ω Сигнал на выходе объекта имеет вид ( ) ( ) y y t m = + sin ω ϕ ω Измеритель АЧХ вычисляет А ( ω ) = ( ) ( ) y m ω ω x m Измеритель ФЧХ вычисляет фазовый сдвиг ( ) ϕ ω между выходной и входной синусоидой. Затем находится ЛАХ исследуемого объекта ( ) ( ) L A ω ω = 20lg , которая суммируется с ЛАХ других звеньев САУ, ту же процедуру проделыва- ют с ФЧХ звеньев. По виду полученных суммарных ЛАХ и ФЧХ системы можно судить об ее ус- тойчивости и качестве переходных процессов. Контрольные вопросы и задачи к главе 4 4.1. Укажите график свободной составляющей ( ) x t c переходного процесса САУ, асимптотически устойчивой в целом , на рис.4.31. Рис. 4.30. Структурная схема экспериментальной установки: ГСК - генератор синусоидальных колебаний: ИО - исследуемый объект; ИАЧХ - измеритель амплитудно-частотных характеристик: ИАФХ - измеритель фазово- частотных характеристик 112 Выбрать правильный ответ: 1. а. 2. б. 3. в. 4. г. 4.2. Даны характеристические уравнения замкнутой САУ: 1. 0 5 10 49 0 4 2 . S S S + + + = 2. 0 2 2 4 50 0 4 3 2 . S S S S + + + + = 3. 0 8 6 2 51 0 4 3 2 . S S S S + − + + = 4. 4 0 5 48 0 4 3 2 S S S S + + + + = Определить , какие из уравнений соответствуют неустойчивым системам по критерию Стодола. Выбрать правильный ответ: 1. 1 и 4. 2. 2 и 4. 3.1 и 3. 4. 3. 4.3. Передаточная функция W(S) разомкнутой системы задана в виде ( ) ( ) ( )( ) W S K T S T S T S T S = − + + + 1 2 2 1 2 3 2 1 1 1 ξ Укажите характеристическое уравнение замкнутой САУ в примере 4.2, для ко- торого К=50. Выбрать правильный ответ: 1.1. 2.2. 3.3. 4.4. 4.4. Укажите соотношение между коэффициентами характеристического урав- нения замкнутой САУ a S a S a S a 3 3 2 2 1 0 0 + + + = , которое должно выполняться в устойчивой системе. Выбрать правильный ответ: 1. a a a a a a a a a a a a a a a a 2 3 0 1 2 1 3 0 2 1 3 0 2 0 3 1 > + > > > . 2. . 3. . 4. 4.5. В примере 4.2 укажите характеристическое уравнение, которому соответст- вует следующий определитель Гурвица: ∆ n = 0 1 0 0 0 5 10 49 0 0 0 1 0 0 0 5 10 49 Выбрать правильный ответ: 1.1. 2.2. 3.3. 4.4. Рис. 4.31 113 4.6. Вычислением каких диагональных миноров ∆ i определителя Гурвица мож- но ограничиться при оценке устойчивости САУ, имеющей характеристическое урав- нение пятого порядка? Выбрать правильный ответ: 1.1 и 2. 2.3 и 5. 3. 4. 4.7. На рис. 4.32 показаны кривые А.В. Михайлова. Какая из них соответствует устойчивой САУ, характеристическое уравнение которой имеет пятую степень? Выбрать правильный ответ: 1. Рис.4.32,а. 2.Рис.4.32,б. 3.Рис.4.32,г. 4.Рис.4.32,в. 4.8. Укажите передаточную функцию разомкнутой САУ W(S), устойчивой в замкнутом состоянии, которая соответствует рис.4.32.д. Выбрать правильный ответ: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 2 3 4 2 2 4 . W S K T S T S S T S T S T S = + + + + + ξ ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 2 2 3 4 . W S K T S T S S T S T S = + + + + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 4 5 2 2 5 . W S K T S T S S T S T S T S T S = + + + + + + ξ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 4 5 2 2 5 . W S K T S T S S T S T S T S T S = − + + + + + ξ 4.9. Определите кривую А.В. Михайлова на рис. 4.32, которая соответствует пе- редаточной функции разомкнутой системы а б в г д е Рис. 4.32 114 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) W S K T S T S S T S T S T S T S = − + + − + + 1 2 3 2 4 5 2 2 5 1 1 1 1 2 1 ξ Выбрать правильный ответ: 1. Рис. 4.32,а. 2. Рис. 4.32,6. 3. Рис. 4.32,в. 4. Рис. 4.32д. 4.10. На плоскости a j β (рис. 4.33) укажите область-претендент на устойчивость по кривой Д-разбиения. Выбрать правильный ответ: 1.I. 2.II. 3.III. 4.IV. 4.11. Замкнутая САУ устойчива. Устойчива ли система в разомкнутом состоя- нии, если ее АФХ имеет вид (рис. 4.34)? Выбрать правильный ответ: 1. Устойчива. 2.Неустойчива. 3.На границе устойчи- вости. 4. Мало данных. 4.12. Сколько корней характеристического уравнения разомкнутой системы N(S)=0расположено в правой полуплоскости, если АФХ разомкнутых систем имеют вид, изображенный на рис.4.35,а,б (число корней обозначим соответственно m a , m б )? Выбрать правильный ответ: 1. m a =l, m б =2. 2. m a =2, m б =1.3. m a =1 m б =1. 4. m a =2, m б =2. 4.13. Укажите на рис.4.35 АФХ системы, устойчивой в замкнутом состоянии, если ее передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид Рис. 4.33 Рис. 4.34 115 ( ) ( )( ) ( ) ( ) W S K T S T S S T S T S T S = + + + + − 1 2 3 4 2 2 4 1 1 1 2 1 ξ Выбрать правильный ответ: 1. Рис. 4.35,а. 2. Рис. 4.35,6. 3. Рис. 4.35,в. 4. Рис. 4.35,г. 4.14. Устойчива ли замкнутая система (минимально-фазовая), если она в ра- зомкнутом состоянии имеет Л АХ (рис.4.36)? Выбрать правильный ответ: 1. Устойчива. 2.Неустойчива. 3.На границе устой- чивости. 4. Мало данных. 5. Необходимо проверить по ФЧХ. 4.15. Можно ли обеспечить устойчивость САУ (рис.4.37) подбором ее парамет- ров K,T? а б в г Рис. 4.35 Рис. 4.36 116 Выбрать правильный ответ: 1. Можно. 2. Нельзя. 3. Мало данных. Рис. 4.37 117 Глава 5. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 5.1. Общие положения При создании САУ проектировщику приходится сталкиваться с тремя состоя- ниями объекта управления (ОУ): ОУ неустойчив (содержит неминимально-фазовое звено); ОУ нейтрален (содержит интегрирующее звено); ОУ устойчив (содержит только минимально-фазовые звенья). Задачей регулятора в первых двух случаях является обеспечение: во-первых, ус- тойчивости САУ и, во-вторых, требуемого качества процесса управления. В случае устойчивого ОУ основной задачей регулятора является обеспечение требуемого ка- чества процесса управления. Методы исследования устойчивости САУ были рассмотрены в предыдущей главе. В данной главе рассмотрим основные показатели и методы оценки качества процесса управления. Процесс управления во времени определяется решением дифференциального уравнения (4.13) динамики замкнутой системы. Это решение для выходной величи- ны САУ имеет вид (4.14). Откуда следует, что качество процесса управления можно оценить по его собственной (свободной) составляющей ( ) x t соб и вынужденной ( ) x t вын . Составляющая ( ) x t соб представляет собой переходный процесс в замкнутой САУ, ( ) x t вын - установившаяся часть процесса управления (рис.5.1). Переходной процесс теоретически длится бесконечно долго, но практически его влияние становится ничтожно малым через конечное время. В результате различают две группы показателей: показатели качества переходного процесса ( ) x t соб ; показатели, характеризующие установившуюся составляющую, по которой оп- ределяют точность системы. Рис. 5.1 118 Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса, называют прямыми оценками качества. В инженерной практике широко применяются косвенные оценки качества, не связанные с необходимостью построе- ния переходного процесса, и могут быть рассчитаны теоретически или получены экспериментальным путем. 5.2. Точность САУ Точность САУ в общем случае определяется величиной сигнала ошибки ( ) ε t Рассмотрим структурную схему САУ (рис.5.2), находящуюся под воздействием задающего g(t) и возмущающего f(t) сигналов. Согласно структурной схеме можно записать выражение для изображения ошибки ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε ε ε S S g S S f S S S g g g f = ± = + Φ Φ (5.1) где ( ) ( ) Φ ε g S W S = + 1 1 (5.2) -передаточная функция ошибки от задающего воздействия. Обозначим через ( ) ( ) ( ) W S W S W S = 1 2 передаточную функцию разомкнутой сис- темы, а через ( ) ( ) ( ) Φ ε f S W S W S = + 2 1 (5.3) - передаточную функцию ошибки от возмущающего воздействия. Ошибку ε ус т САУ в установившемся режиме ( ) ( ) ( ) ε ε ε ус т t t t g f = + (5.4) можно вычислить по теореме преобразования Лапласа о конечном значении функции. Для ошибки ( ) ε g t от задающего воздействия ( ) ( ) ( ) ε ε g t g t S S g S = →∞ → lim S 0 Φ (5.5) Для ошибки ε f от возмущающего воздействия ( ) ( ) ( ) ε ε f t f t S S f S = →∞ → lim S 0 Φ (5.6) Точность САУ в установившемся режиме характеризуется ошибками, возни- кающими при типовых воздействиях в виде: Рис.5.2 119 постоянной величины g 0 ; постоянной скорости Vt; постоянного ускорения a t 2 2 ; гармонической функции g t p max sin ω Подставляя в выражение (5.5) и (5.6)значения соответствующих ПФ и изобра- жения типовых сигналов g(S) и f(S) и приравнивая S кнулю, получим соответствую- щее значение ошибки. Рассмотрим определение ошибки ε g , учитывая , что ошибка ε f определяется аналогично. Позиционная ε g или статическая ошибка при g(t)= g 0 . Изображение воздействия ( ) g S g S = 0 . Учитывая (5.2) и (5.5) ,можно записать: ( ) ( ) ( ) ( ) ε S S S S S W S g S S W S g S g W S = + = + = + = = = 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 . (5.7) Скоростная ε ν ошибка при g(t)=Vt , ( ) g S = V S 2 ( ) ( ) ε ν = + = + = = S W S V S V S W S S S 1 1 1 1 2 0 0 (5.8) Ошибка по ускорению ε a при ( ) ( ) g t = at 2 , g S 2 = a S 3 ( ) ( ) ε a S S S W S a S a S W S = + = + = = 1 1 1 1 3 0 2 0 (5.9) Рассмотрим определение вышеперечисленных ошибок при различных ПФ ра- зомкнутой системы W(S) . Статическая САУ ПФ разомкнутой системы ( ) ( ) ( ) W S M S N S b S b S b S b a S a S a S a K S S a S a S m m m m n n n n m m n n = = + + + + + + + + = + + + + + + − − − − 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 β β (5.10) где k b a = 0 0 ; β i i b b = 0 ; a a a k k = 0 ; i= 1 , ... , m; k= 1 , ... , n. Для статических систем ( ) W S K S → = 0 , поэтому позиционная ошибка в соответствии с (5.7) равна ε S q k = + 0 1 (5.11) Величину S k = + 1 1 называют статизмом системы , и чем больше коэффициент усиления К, тем меньше ошибка системы. |