Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
Логарифмические частотные характеристики. Ускорение и упрощение расчетов САУ достигается при использовании логарифмических амплитудно-частотных ха- рактеристик (ЛАЧХ) и логарифмических фазово-частотных характеристик (ЛФЧХ). Такое построение было предложено Н. Боде в 1945 г. и получило дальнейшее разви- тие в трудах ученых В.В.Солодовникова, Н.Т.Кузовкова и др. При построении логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) пользуются еди- ницами измерений, заимствованными из других областей науки и техники. Эти еди- ницы служат для оценки коэффициента усиления и диапазона частот. В акустике, электросвязи и радиотехнике для измерения разности уровней (усиления или ослаб- ления) звуковых или электромагнитных мощностей применяются логарифмическая шкала и безразмерные логарифмические единицы. Для этого существуют следую- щие основания: 1. Диапазон, в котором изменяется сила (интенсивность) звука, весьма велик: от 10 16 − Вт/см 2 (слабые звуки вблизи порога слышимости) до 10 2 − Вт/см 2 (громкие зву- ки, вызывающие болевые ощущения), т.е. изменение в 10 14 − раз. Во избежание столь огромных чисел используют их логарифмы и вводят логарифмический масштаб и логарифмические единицы. Рис. 2.13 35 2. В соответствии с законом Вебера-Фехнера восприятие звука в известных пределах про- порционально десятичному логарифму раз- дражения, т.е. человеческое ухо реагирует на изменение мощности звука по закону лога- рифма. Следует отметить, что А>1 соответствует верхняя полуплоскость ЛАЧХ (усиление ам- плитуды), A<1 (ослабление амплитуды) - нижняя полуплоскость ЛАЧХ; A=1соответствует значение L m =0, частота, соответ- ствующая значению L m =0, называется частотой среза ω c . 2.7. Типовые звенья и их характеристики Типовыми называют динамические звенья, описываемые дифференциальными урав- нениями не выше второго порядка. Основные типы звеньев делят на три группы: по- зиционные, дифференцирующие и интегрирующие. Позиционными называют звенья, выходная и входная величины которых связаны пропорциональной зависимостью в установившемся режиме. В общем случае передаточная функция такого звена имеет вид ( ) W S b S b S b a S a S a m m n n = + + + + + + K K 1 1 0 1 1 0 (2.32) Передаточную функцию типового звена обычно приводят к стандартному виду (сво- бодные члены полиномов равны l): ( ) ( ) ( ) W S K M S N S = , (2.33) где ( ) ( ) M S S S N S S S m m n n = + + + = + + + β β α α K K 1 1 1 1 ; ; ( ) ( ) K b a b b j m i n j j i i = = = = = 0 0 0 0 1 1 ; , , ; , , β α α α K K Интегрирующими называют звенья, выходную и входную величины которых в уста- новившемся режиме связывает интегральная зависимость. Если в выражении (2.17) коэффициент а 0 =0, то передаточная функция W(S) имеет вид ( ) ( ) ( ) W S K S M S N S K b a = = 1 1 1 0 1 , , (2.34) где N 1 (S) имеет свободный член, равный 1. Передаточная функция W(S) содержит одно интегрирующее звено (сомножитель знаменателя S имеет первую степень). У дифференцирующих звеньев в выражении (2.32) отсутствует свободный член числителя, т.е. для однократно дифференцирую- щего звена будет Рис. 2.14 36 ( ) ( ) ( ) W S K S M S N S b = = 2 1 0 0 , , (2.35) где М 1 ( S) имеет свободный член, равный 1; K b a 2 1 0 = Интегрирующие и дифференцирующие звенья более высоких порядков получают из (2.32) в случае равенства 0 коэффициентов более высоких порядков соответственно знаменателя и числителя передаточной функции. Знание характеристик типовых звеньев столь же необходимо для расчетов систем управления, как знание таблицы умножения в арифметике. 2.7.1. Позиционные звенья Идеальное пропорциональное (безынерционное) звено К таким звеньям относятся элементы САУ, инерция которых пренебрежительно ма- ла по сравнению с инерцией всей системы. К таким звеньям электромеханических систем можно отнести рычажную механическую передачу, ламповые и транзистор- ные усилители, потенциометрические датчики и т.п. Уравнения и передаточная функция звена ( ) x K x W S K 2 0 1 0 = = , Амплитудно-фазовая характеристика (рис.2.15); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W j K U K V A K ω ω ω ω ϕ ω = = = = = 0 0 0 0 0 , , , , ЛАХ имеет вид ( ) L j K m ω = 20 0 lg Поскольку АЧХ A( ω) не зависит от частоты, то и ЛАХ представляет собой прямую линию, проведен- ную параллельно оси абсцисс на высоте, равной ор- динате 20 0 ⋅ lg K (дБ). Переходная функция h t K t ( ) ( ) = ⋅ 0 1 Импульсно-переходная функция k t d h t d t K t ( ) ( ) ( ) = = 0 δ Инерционное (апериодическое) звено первого порядка Уравнение и передаточная функция звена ( ) ( ) T p x K x W s K T S 1 2 1 1 1 1 1 1 + = = + , . Частотная передаточная функция (АФХ) W j K T j ( ) ω ω = + 1 1 1 Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженную знаменателю функ- цию, получим Рис. 2.15 37 W j K T j T j T j U jV ( ) ω ω ω ω ω ω ( ) ( )( ) ( ) ( ) = − − + = + 1 1 1 1 1 1 1 Вещественная частотная ВЧХ U( ω) и мнимая V(ω) МЧХ частотная характеристики: U K T ( ) ω ω = + 1 1 2 2 1 , V K T T ( ) ω ω ω = − + 1 1 1 2 2 1 . Амплитудная АЧХ и фазовая ФЧХ частотные характеристики (рис.2.16,б): A U V K T ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω = + = + 2 2 1 1 2 2 1 (2.36) ϕ ω ω ω ω ( ) = arctg V( ) U( ) = − arctg T 1 (2.37) АФХ (рис.2.16,а) представляет собой полуокружность для частот 0 ≤ ≤ ∞ ω . Действи- тельно, A U V 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ω ω ω = + Сравнивая выражения U( ω) и A(ω), видим, что A K U 2 1 ( ) ( ). ω ω = ⋅ Тогда U K U K V K 2 1 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , ω ω ω − + + = U K V K ( ) ( ) ω ω − + = 1 2 2 1 2 2 2 представляет собой уравнение окружности при изменении частоты - ∞ ≤ ω ≤ + ∞ Радиус этой окружности R K = 1 2 , центр ее располагается по положительной оси U( ω) на удалении K 1 2 ( ) ( ) L A K T m ω ω ω = = − + 20 20 20 1 1 1 2 2 lg lg lg Для построения ЛАХ примем К 1 = 1 и рассмотрим три участка ЛАХ: а б Рис. 2.16. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (рис.2.17,а) 38 ( ) ( ) ( ) a T L б T L T в T L m m m ) lg ; ) lg ; ) lg . . ω ω ω ω ω ω ω << = − = >> = − = = − = − 1 20 1 0 1 20 1 20 2 3 03 1 1 1 1 д Б В области высоких частот при ω >> 1 1 T ЛАХ является линейной функцией логарифма частоты и обращается в нуль, т.е. сопрягается с выражением L m ( ω ) в области низких частот при частоте ω 1 1 1 = T , называемой сопрягающей частотой. Если увеличить час- тоту ω в 10 раз, ω = 10 1 1 T , то получим L T T m ( ) lg ω = − = − 20 10 20 1 1 д Б Таким образом, в области высоких частот ЛАХ апериодического звена представля- ется прямой линией с наклоном -20дБ/дек. В дальнейшем наклоны ± 20дБ/дек, ± 40дБ/дек будем обозначать соответственно ±1, ±2. Наибольшее отличие асимптотической ЛАХ от точной будет на частоте сопряжения ω = 1 1 T , равно -3 дБ. Если коэффициент К 1 апериодического звена не равен 1 ( K 1 1 ≠ ), то при K 1 1 > ЛАХ смещается параллельно вверх на величину 20 lg K 1 , а при K 1 1 < - вниз вдоль оси ор- динат на − 20 1 lg K Переходная функция, согласно решению уравнения звена, при ( ) x t 1 1 = и нулевых начальных условиях представляет собой экспоненту (рис.2.17.в) и описывается вы- ражением ( ) ( ) h t K e t t T = − > − 1 1 0 1 , Импульсно-переходная (весовая) функция (рис.2.1.г) Рис. 2.17 39 ( ) k t dh dt K T e t t T = = > − 1 1 1 0 , Примером апериодического звена могут быть: электродвигатель постоянного тока (в первом приближении), если x 1 - управляющее напряжение, x 2 - угловая ско- рость вала двигателя; сглаживающие L-R и R-С - фильтры (рис.2.18). Инерционное звено второго порядка Вид дифференциального уравнения ( ) T p T p x K x 2 2 2 1 2 1 1 1 + + = , p d dt = , ( ) T p T p x K x 2 2 2 1 1 2 1 + + = ξ , T T T T = = 2 1 2 2 , ξ Передаточная функция ( ) W S K T S T S K T S T S = + + = + + 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ξ . При выполнении условия T T 1 2 2 1 >> ≥ , ξ корни характеристического уравнения T T 2 2 2 1 1 0 λ + + = , λ 1 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 , = ± − T T T T будут вещественными. В этом случае инерционное звено 2-го порядка называют апериодическим звеном 2- го порядка. Его передаточная функция ( ) ( )( ) W S K T S T S = + + 1 3 4 1 1 , T T 3 1 4 2 1 1 = − = − λ λ , Переходная характеристика (рис.2.19,а) ( ) ( ) h t K C e C e t T t T = − + − − 1 1 2 1 3 4 / / , где C T T T C T T T 1 3 3 4 2 4 3 4 = − = − ; АФЧХ (рис.2.19,б) ( ) ( )( ) W j K T j T j ω ω ω = + + 1 3 4 1 1 ; АЧХ Рис. 2.18 Рис. 2.19, а 40 ( ) ( )( ) A K T T ω ω ω = + + 1 3 2 2 4 2 2 1 1 ; ФЧХ (рис.2.20) ( ) ϕ ω ω ω = − − arctg T arctg T 3 4 ; ЛАХ (рис.2.20) ( ) ( ) L A K T T m ω ω ω ω = = − − − + 20 20 20 1 20 1 1 3 2 2 4 2 2 lg lg lg lg Если T T T T 1 2 3 4 2 1 = = = ξ , , , то частоты сопряжения сходятся в одну точку. Примером такого звена является двигатель постоянного тока при учете инерционно- сти цепи якоря, электромашинный усилитель. Если выполняется условие T T 1 2 2 1 < < , ξ , то корни характеристического уравнения T T 2 2 2 1 0 λ ξλ + + = - комплексные. Инерционное звено 2-го порядка с передаточной функцией ( ) W S K T S T S = + + 1 2 2 2 1 ξ называется колебательным; ξ - параметр затухания (коэффициент относительного демпфирования). Переходная характеристика (рис.2.21) ( ) h t K e T t T t t T = − − + − − − 1 2 2 2 1 1 1 1 ξ ξ ξ ξ ξ cos sin Рис. 2.19, б Рис. 2.20 41 Амплитудно-фазовая характеристика (рис.2.22); ( ) W j K T j T K T j T ω ω ξ ω ω ξ ω = − + + = − + = 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) = − − − + K T j T T T 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ω ξ ω ω ξ ω , (2.39) ( ) ( ) ( ) ( ) U K T T T ω ω ω ξ ω = − − + 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 , ( ) ( ) ( ) V K T T T ω ξ ω ω ξ ω = − − + 1 2 2 2 2 2 1 2 , ( ) A K T T ω ω ξ ω = − + 1 2 2 2 2 2 2 1 4 ( ) , (2.40) ( ) ϕ ω ξ ω ω = − − arctg T T 2 1 2 2 ЛАХ и ФЧХ (рис.2.23): ( ) ( ) L K T T m ω ω ξ ω = − − + 20 20 1 4 1 2 2 2 2 2 2 lg lg : (2.41) 1) ω ω << 1 , ( ) L K K m ω = − = 20 20 20 1 1 lg lg1 lg , ( ) ω ϕ ω T << = 1 0 , 2) ω ω = 1 , ( ) ( ) L m ω ξ ϕ ω π = − = − 20 2 2 lg , Пусть ξ > 0 5 , 2 1 ξ > , следовательно lg , 2 0 ξ > а ( ) L m ω < 0. При ( ) ξ ξ ξ ω < < < < 0 5 2 1 2 0 0 . , , lg , L m При ( ) ξ ω = = 0 5 0 . , ; L m 3) ( ) ω ω ω ω ω >> = − = − 1 1 2 2 1 20 20 20 40 , lg lg lg lg L K T K T m Таким образом, асимптотическая ЛАЧХ в области низких частот ω ω < 1 параллельна оси частот, а при ω ω ≥ 1 имеет наклон "-2", т.е. -40 дБ/дек. При значениях 0 5 1 ≤ ≤ ξ характеристика близка к ломаной. Если же ξ < 0 5 , то полу- чится заметный горб (резонансный пик). Имеются шаблоны для вычерчивания точ- Рис. 2.21 Рис. 2.22 Рис.2.23 42 ной ЛАХ. В упрощенных расчетах достаточно находить величину резонансного пика на частоте сопряжения: H = 20 1 2 lg ξ Примерная последовательность действий при построении ЛЧХ звена 2-го порядка Да Нет Исходные данные уравнения звена, параметры K,T, ξ Анализ условия ξ <1 Построить ЛФЧХ двух апериодических звеньев с T 1 1 1 = ω и T 2 2 1 = ω и сложить их Уточнить вид ЛАХ, используя поправки апериодического звена первого порядка На частоте ω 2 изменить наклон ЛАХ на -20дБ/дек На частоте ω 1 изменить наклон ЛАХ на -20дБ/дек На частоте ω < ω 1 отложить 20lg K и провести линию оси абсцисс до ω 1 Отложить частоты сопряжения ω 1 = λ 1 и ω 2 = λ 2 Определить вещественные корни λ 1 , λ 2 По величине ξ выбрать из номограммы соответствующую кривую ϕ ( ω ) Уточнить вид ЛАХ нанесением поправки, соответствующей ξ На частоте ω = 1 T изменить наклон ЛАХ на -40дБ/дек На частоте ω < 1 T отложить 20lg K и провести линию оси абсцисс до ω = 1 T Консервативное звено В частном случае ( ξ = О) колебательное звено вырождается в консервативное звено с передаточной функцией ( ) W S K T S = + 2 2 1 Частотная передаточная функция W j K T ( ) ; ω ω = − 1 2 2 (2.42) АЧХ ( ) A K T ω ω = − 1 2 2 (2.43) При ω = 1 T АЧХ претерпевает разрыв ( ) A ω = ∞ ФЧХ, как это следует из годографа (рис.2.24,а), АФХ имеет вид 43 ( ) ϕ ω ω π ω = < − > 0 1 1 , , при при T T (2.24) Переходная функция ( ) ( ) h t K t T = − = 1 1 1 1 cos , ω ω В установившемся режиме в консервативном звене возникают незатухающие гар- монические колебания (рис.2.24,б). ЛАХ (рис.2.25) на частоте ω = 1 T также имеет разрыв. Неустойчивые (неминимально-фазовые) звенья При рассмотрении инерционных звеньев первого и второго порядков было показано, что переходные характеристики изменялись по затухающему апериодическому или колебательному закону. Это обусловлено тем, что характеристические уравнения этих звеньев не имели вещественных положительных корней или комплексных кор- ней с положительной вещественной частью. Особенностью этих звеньев является наличие минимального фазового сдвига, характеризуемого ФЧХ ( ) ϕ ω Однако существуют звенья, у которых корни характеристических уравнений имеют положительные вещественные части. Переходные характеристики таких звеньев имеют расходящийся характер, такие звенья являются неустойчивыми и имеют сле- дующие передаточные функции: ( ) W S K T S = − 1 , ( ) W S K T S T S = + − 2 2 2 1 ξ , ( ) W S K T S T S = − + 2 2 2 1 ξ , ( ) W S K T S T S = − + − 2 2 2 1 ξ (2.45) Характеристическое уравнение неустойчивого апериодического звена имеет поло- жительный вещественный корень: T S S T − = = 1 0 1 1 , Переходная характеристика (рис.2.26) имеет апе- риодический расходящийся вид. Частотные ха- рактеристики такого звена: ( ) A K T ω ω = + 1 2 2 , ( ) ϕ ω ω = − + 180 0 arctgT Сравнивая это выражение с выражением для апе- риодического устойчивого звена, видим, что АЧХ звеньев совпадают, а фазовый сдвиг во втором случае значительно больше. Эта особенность характерна для всех звеньев (2.45). Поэтому неустойчивые звенья относятся к так называемым немини- мально-фазовым звеньям. По аналогии САУ, содержащие такие звенья, называют неминимально-фазовыми системами. Рис. 2.26 44 В минимально-фазовых системах существует аналитическая зависимость между АЧХ и ФЧХ. Благодаря этой зависимости можно по АЧХ минимально-фазовой САУ (звена) определить фазовый сдвиг ( ) ϕ ω i на некоторой частоте ω i по формуле Н.Винера ( ) ( ) ( ) ϕ ω ω π ω ω ω ω ω i i i i A A d = − − −∞ +∞ ∫ 2 2 2 ln ln (2.47) где ( ) ϕ ω i выражено в радианах. Для ЛЧХ фазовый сдвиг в минимально-фазовых САУ определяется наклоном асим- птотической ЛАХ вблизи рассматриваемой частоты ω i Следует понять и запомнить следующее: если ЛАХ параллельна оси абсцисс, то ( ) ϕ ω i → 0 при ω i → ∞ если ЛАХ представляет собой прямую с наклоном ±20дБ/дек, то ( ) ϕ ω i → ±90°;а при наклоне ±40дБ/дек ( ) ϕ ω i → ± 180 0 при ω i → ∞ В неминимально-фазовых системах (звеньях) такая аналитическая зависи- мость между АЧХ и ФЧХ отсутствует, при этом фазовый сдвиг будет больше в неминимально-фазовой системе. На рис.2.27 приведены ЛЧХ устойчивого и неустойчивого апериодических звеньев. Из рис.2.27 видно, что ФЧХ ( ) ϕ ω 2 в области низких частот имеет значи- тельно большее по модулю значение, чем ФЧХ ( ) ϕ ω устойчивого звена. В неминимально-фазовых САУ труднее компенсировать фазовые сдвиги, чем в мини- мально-фазовых, поэтому такие системы имеют относительно худшие показатели качества. Основные сведения об элементарных неминимально-фазовых звеньях приведены в табл. 2.1. ЛАХ этих звеньев строится аналогично ЛАХ соответствующих минималь- но- фазовых звеньев. Также следует учитывать, что некоторые полиномы второго порядка с правым корнем могут быть разложены на произведение полиномов первой степени, например: ( )( ) T S T S T S T S 2 2 1 2 2 1 1 1 + − = + − ξ Таблица 2.1 Элементарные неминимально-фазовые звенья Передаточная функция W Выражение ФЧХ График ЛФЧХ 1 2 3 Рис. 2.27 45 τ ξ τ 2 2 2 1 S S − + − − arctg 2 1 2 2 ξ τ ω τ ω − + − τ ξ τ 2 2 2 1 S S 180 2 1 0 2 2 − − arctg ξ τ ω τ ω 1 2 1 2 2 T S T S − + ξ − + − 360 2 1 0 2 2 arctg T T ξ ω ω 46 1 2 3 1 2 1 2 2 − + − T S T S ξ − + − 180 2 1 0 2 2 arctg T T ξ ω ω 1 − τ S − arctg ω τ 1 1 − T S − + 2 π ω arctg T -270 -315 -360 2.7.2. Интегрирующие звенья Идеальное интегрирующее звено Уравнение и передаточная функция x K x dx 2 1 1 = ∫ , или при нулевых начальных условиях ( ) ( ) ( ) x K S x W S x S x S K S 2 1 1 2 1 1 = = = , (2.48) Частотная передаточная функция ( ) W j K j j K K e j ω ω ω ω π = = − = − 1 1 1 2 / (2.49) Частотные характеристики ( ) ( ) ( ) ( ) U V K A K ω ω ω ω ω ϕ ω π = = − = = − 0 2 1 1 , , , Переходная характеристика ( ) h t K t = 1 АФЧХ (рис.2.28,а) интегрирующего звена совпадает с отрицательной мнимой полу- осью. 47 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (рис.2.28,б) имеет вид ( ) L K ω ω = − 20 20 1 lg lg . (2.50) Отметим, что на частоте ω =1 ЛАХ ( ) L K ω = 20 1 lg , а на частоте ω = K 1 ЛАХ пересека- ет ось частот, так как 20 20 0 1 lg lg K − = ω ЛАХ интегрирующего звена имеет наклон -20 дБ/дек. Для построения ЛАХ линию с таким наклоном проводят либо через точку с абсциссой ω =1и ординатой 20 lg K , ли- бо через точку с абсциссой ω = K 1 и ординатой L m = 0 . ФЧХ не зависит от частоты, и фазовый сдвиг равен -90° на всех частотах. Переход- ная характеристика h(t) представляет собой прямую, проходящую через начало ко- ординат с угловым коэффициентом наклона K 1 (рис.2.28.в). Примером интегрирующих звеньев могут служить двигатели, если выходной величиной является угол поворота вала; операционный усилитель в режиме интегратора (рис.2.29). ( ) ( ) x S R CS x S 2 1 1 = Инерционное интегрирующее звено Уравнение и передаточная функция звена: ( ) ( ) ( ) T S S x K x W S K S T S 1 2 1 1 1 1 1 1 1 + = = + , (2.51) Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис.2.30) ( ) ( ) ( ) ( ) W j K j T j A K T ω ω ω ω ω ω = + = + 1 1 1 1 2 1 1 1 , ( ) ϕ ω ω = − − 90 0 1 arctg T . а б в Рис. 2.28 Рис. 2.29 48 ВЧХ и МЧХ имеют вид ( ) U K T T ω ω = − + 1 1 1 2 2 1 , ( ) ( ) V K T ω ω ω = − + 1 1 2 2 1 Из выражений ВЧХ и МЧХ следует, что при ( ) ( ) ω ω ω → → − → −∞ 0 1 1 U K T V , ЛАЧХ описывается выражением ( ) L K T m ω ω ω = − − + 20 20 20 1 1 1 2 2 lg lg lg Асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ звена пред- ставлены на рис.2.31. Переходная функция как решение уравнения звена имеет вид ( ) h t K t T e t t T ( ) ; / = − − > − 1 1 1 0 1 и изображена на рис.2.32. Из рисунка видно, что за счет постоянной вре- мени T 1 , вместо идеального интегрирования, здесь получается интегрирование с инерционным за- паздыванием. Примером инерционного интегри- рующего звена может служить электродвигатель при учете электромеханической постоянной, ес- ли выходной величиной считать угол поворота вала двигателя. Следует обратить внимание на следующую важную особенность позиционных и ин- тегрирующих звеньев: асимптоты ЛАЧХ этих звеньев в области высших частот имеют отрицательные наклоны, крутизна которых определяется порядком полинома знаменателя передаточной функции звена; фазовые сдвиги, вносимые этими звенья- ми, также отрицательны. 2.7.3. Дифференцирующие звенья Идеальное дифференцирующее звено Уравнение и передаточная функция звена ( ) x K S x W S K S 2 1 1 1 = = , (2.52) Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис.2.33.а) ( ) W j K j A K ω ω ω ϕ = = = + 1 1 0 90 , , Идеальным такое звено называют потому, что степень полинома числителя переда- точной функции (m=1) больше степени полинома знаменателя (n=0), что, в свою Рис. 2.30 Рис. 2.31 Рис. 2.32 49 очередь, свидетельствует о бесконечно большом усилении ( A → ∞ ) в области высо- ких частот ( ω → ∞ ), что в реальных звеньях физически невозможно. В реальных системах такой вид характеристики звена возможен лишь в ограничен- ной полосе частот. Логарифмические частотные характеристики (рис.2.33,в) ( ) L K m ω ω ϕ = + = + 20 20 90 1 0 lg lg , Для построения ЛАХ линию наклоном +20 дБ/дек проводят через точку 20 1 lg K на частоте ω = 1 либо через точку L m = 0 на частоте ω = 1 1 K Переходная функция представляет собой δ - функцию: ( ) ( ) h t K t = 1 δ Примером такого звена может служить тахогенератор (рис.2.34,а) - маломощный электрогенератор, выходное напряжение U вых которого пропорционально угловой скорости вращения якоря (производной угла поворота якоря &ϕ вх ) или дифференци- рующий операционный усилитель (рис.2.34,б). Еще раз подчеркиваем, что дифференцирующими свойствами эти устройства обла- дают в ограниченной полосе частот, где пренебрежимо мало влияние инерционных составляющих передаточных функций звеньев. а б в Рис. 2.33 Частотные характеристики идеального дифферен- цирующего звена 50 Инерционное (реальное) дифференцирующее звено Уравнение и передаточная функция звена ( ) ( ) T S x K S x W S K S T S 1 2 1 1 1 1 1 1 + = = + , (2.53) Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис.2.35.а) звена ( ) ( ) W j j K T j A K T ω ω ω ω ω ω = + = + 1 1 1 1 2 2 1 1 , , ( ) ϕ ω ω = − 90 0 1 arctgT Логарифмические частотные характеристики (рис.2.36) ( ) L K T m ω ω ω = + − + 20 20 20 1 1 1 2 2 lg lg lg Переходная функция (рис.2.37) ( ) h t K T e t T = − 1 1 1 Примером такого звена может служить дифференцирующая R-C цепь (рис.2.38). а б Рис. 2.34 Рис. 2.35 Частотные характеристики реального дифферен- цирующего звена 51 Форсирующее звено (идеальное звено с введением производной) Форсирующим звеном первого порядка называют звено, которое описывается урав- нением ( ) K T S x x 1 1 2 1 + = Передаточная функция ( ) ( ) W S K T S = + 1 1 1 . (2.54) Это звено так же, как и апериодическое характеризуется двумя параметрами: посто- янной времени T 1 и передаточным коэффициентом K 1 Частотная передаточная функция (рис.2.39,а) ( ) ( ) ( ) W j K j T A K T ω ω ω ω = + = + 1 1 1 1 2 2 1 1 ; ; ( ) ϕ ω ω = arctg T 1 ВЧХ и МЧХ имеет вид ( ) ( ) U K V K T ω ω ω = = 1 1 , Уравнение асимптотической ЛАХ форсирующего звена ( ) L K K T m ω ω ω ω ω ω = < + ≥ 20 20 20 1 1 1 1 1 lg , , lg lg , , где ω 1 1 1 = T частота сопряжения. Рис. 2.36 Рис. 2.37 Рис. 2.38 52 Асимптотическая ЛАЧХ после частоты сопряжения имеет "+l" наклон или +20 дБ/дек. ЛФЧХ форсирующего звена можно полу- чить зеркальным отражением относитель- но оси частот ЛФЧХ апериодического звена и пользоваться теми же номограм- мой и шаблонами. Переходная функция (рис. 2.40) ( ) ( ) ( ) h t K T t = + 1 1 1 δ Форсирующее звено второго порядка Уравнение и передаточная функция ( ) x K T S T S x 2 2 2 1 2 1 = + + ξ , ( ) ( ) W S K T S T S = + + 2 2 2 1 ξ при условии, что 0 1 ≤ < ξ Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис.2.41) ( ) ( ) W j K T jK T ω ω ξ ω = − + 1 2 2 2 , ( ) ( ) ( ) A K T K T ω ω ξ ω = − + 1 2 2 2 2 2 , ( ) ϕ ω ξ ω ω = − arctg T T 2 1 2 2 , ( ) ( ) U K T ω ω = − 1 2 2 , ( ) V K T ω ξ ω = 2 а б Рис. 2.39 Рис. 2.40 53 Выражения и графики для ЛАЧХ и ЛФЧХ могут быть получены из аналогичных графиков колебательного звена (при тех же значениях, ξ ) путем зеркального отобра- жения относительно оси частот при K=1. Следует отметить, что при частотах, превышающих сопрягающую частоту, ЛАЧХ форсирующего звена второго порядка имеет "+2" наклон или +40 де/дек. Если ξ ≥ 1 , то передаточная функция этого звена представляется в виде произведе- ния двух форсирующих звеньев первого порядка. 2.7.4. Звено чистого запаздывания Выходная величина в звеньях чистого запаздывания воспроизводит входную с от- ставанием по времени (рис.2.43). Таким звеньям соответствуют объекты с распределенными параметрами, например длинные электрические линии. Уравнение звена ( ) x x t 2 1 = − τ , (2.56) где τ - запаздывание сигнала во времени Функцию ( ) x t 1 − τ можно разложить в ряд Тейлора по степеням τ, полагая τ малой постоянной величиной и введя замену p d dt = ( ) ( ) ( ) x t p p p p n x t n n n 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 − = − + − + + − τ τ τ τ τ ! ! ! (2.57) Сравнивая это выражение с известным рядом ( ) e p p p p n pt n n n − = − + − + + − 1 2 3 1 2 2 3 3 τ τ τ τ ! ! ! , (2.58) можно записать (2.56) в операторном виде ( ) ( ) x S e x S s 2 = −τ (2.59) Рис. 2.41 Рис. 2.42 Рис. 2.43 54 Таким образом, передаточная функция запаздывающего звена представляет собой трансцендентную функцию ( ) W S e s = −τ (2.60) Амплитудно-фазовая частотная характеристика ( ) W j e j ω ωτ = − (2.61) представляет собой окружность единичного радиуса (рис.2.44,а). Амплитудно-частотная характеристика ( ) A ω = 1 не зависит от частоты, а фазово- частотная характеристика пропорциональна частоте: ( ) ϕ ω τ ω τ ω = − = − рад 57 3 град. Следует отметить, что при построении ЛФЧХ необходимо переводить радианную меру в градусную. ЛАЧХ и ЛФЧХ этого звена приведены на рис.2.44.б. Мы рассмотрели основные ти- повые звенья, которые входят в состав различных САУ. Знание ЛЧХ типовых звень- ев необходимо при построении ЛЧХ систем также, как знание таблицы умножения - при выполнении арифметических действий. В практике при построении ЛЧХ САУ обычно используют шаблоны ЛЧХ типовых звеньев, приведенные в литературе. Контрольные вопросы и задачи к главе 2 2.1. Дифференциальное уравнение САУ имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) a y t a y t a y t b x t b n n m m + + + = + + 1 1 0 0 0 Записать данное уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях. Выбрать правильный ответ: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) a y S a y S a y S b S b n n m m + + + = + + 1 1 0 0 0 χ 2. ( ) ( ) ( ) a S a S a S y S b S b x S n n m m + + + = + + ( ) 1 1 0 0 0 3. ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) a S a S a S y S y b S b x S x n n m m + + + + = + + + 1 1 0 0 0 2.2. Какое из нижеследующих определений передаточной функции (ПФ) следует считать верным? Выбрать правильный ответ: 1. ПФ звена есть отношение выходного сигнала ко входному. 2. ПФ звена есть отношение изображения Лапласа выходного сигнала и входного. Рис. 2.44 55 3. ПФ звена есть отношение изображения Лапласа выходного сигнала и входного при нулевых начальных условиях. 2.3. Уравнение нелинейного звена (множительного устройства) имеет вид y t x t x t ( ) ( ) ( ) = ⋅ 1 2 Записать линеаризованное уравнение звена при малых отклонениях переменных x 1 и x 2 и выбрать правильный ответ: 1. ∆ ∆ ∆ y x x x x = + 2 1 1 2 2. ∆ ∆ ∆ y x x = + 1 2 3. ∆ ∆ ∆ y x x = ⋅ 1 2 2.4. Передаточная функция звена имеет вид W T S T S = + − 1 1 Какими выражениями определяется его АЧХ ( ) A ω и ФЧХ ( ) ϕ ω ? Выбрать правильный ответ: 1. ( ) ( ) A T T arctg T T ω ω ω ϕ ω ω ω = + − = − + 2 2 2 2 1 1 1 1 , 2. ( ) ( ) A arctg T T ω ϕ ω ω ω = = − 1 2 1 2 2 , 3. ( ) ( ) A T T arctg T T ω ω ω ϕ ω ω ω = − + = + 1 1 1 2 2 , 4. ( ) ( ) A arctg T T ω ϕ ω ω ω = = + 1 1 2 2 , 2.5. Даны четыре передаточные функции: 1. ( ) W S S S 1 2 50 0 04 112 1 = + + 2. ( ) W S S S 2 2 50 0 04 016 1 = + + 3. ( ) W S S S 3 2 50 0 04 1 08 1 = + + 4. ( ) W S S S 1 2 50 0 04 0 4 1 = + + Какая из них соответствует колебательному звену? Выбрать правильный ответ: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 W S W S W S W S 2.6. Даны дифференциальные урав- нения: 1. ( ) x x x вых вх вх = + 10 0 24 & 2. 0 25 40 & x x x вых вых вх + = 3. 0 4 10 & , x x x вых вых вх + = 4. & , x x x вых вых вх + = 4 40 Рис. 2.45 56 &x dx dt вых вых = , & x dx dt вх вх = Какое из них является уравнением звена, ЛАХ которого изображена на рис.2.45? Выбрать правильный ответ. 2.7. Даны четыре передаточ- ные функции: 1. ( ) W S S 1 40 10 = + 2. ( ) W S S 2 8 0 7 5 = + 3. ( ) W S S 3 40 5 = + 4. ( ) W S S 4 40 6 = + Какая из них соответствует характеристике, изображенной на рис.2.46? Выбрать правильный ответ: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 4 W S W S W S W S 2 3 4 2.8. На рис.2.47 изображены АФХ динамических звеньев. Какая из них является АФХ форсирующего звена второго порядка? Выбрать правильный ответ на Рис.2.47: 1. а. 2. б. 3. в. 4. г. Рис. 2.46 а б в г Рис. 2.47 |