Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
2.3. Преобразование Лапласа и его основные свойства В ТАУ в качестве математического аппарата для анализа линейных уравнений движения систем выступает операторное преобразование Лапласа. По образному выражению академика А.А.Андронова, "операционное исчисление является азбукой современной автоматики и телемеханики". Рассмотрим функцию f (t) вещественной переменной (t), отвечающую следую- щим условиям: 1) f (t)непрерывна для всех значений t ≥ 0, допускается конечное число точек разрыва непрерывности первого рода; 2) f (t) при t < 0 3) f (t) имеет ограниченный порядок возрастания, т.е. можно указать такие по- стоянные числа М > 0 и С 0 ≥ 0, при которых выполняется неравенство ( ) ( ) f t M e t C t < > 0 0 , где число С 0 является показателем роста функции f (t). Функция f (t), удовлетворяющая условиям (1) - (3), называется оригиналом. Пример: 1(t), 1(t)Asin ω t, e at 1(t), t n 1(t). Изображением функции f (t) по Лапласу на- зывается функция F(S) комплексного переменного S=с+j ω, определяемая равенством ( ) ( ) ( ) ( ) { } F S f t e dt F S L f t st = = − ∞ ∫ , 0 , (2.14) где L - оператор Лапласа. Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа. 1. Свойство линейности: ( ) ( ) L f t F S k k k n k k k n λ λ = = ∑ ∑ = 1 1 (2.15) 2. Дифференцирование оригинала: ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) L f t SF S f f f t t ′ = − + + = →+ 0 0 0 , lim , (2.16) ( ) ( ) { } ( ) ( ) L f t S F S S f n n n k k n k = − + − = − ∑ 1 1 0 , (2.17) Если начальные условия нулевые, т.е. ( ) ( ) ( ) ( ) f f f n 0 0 0 1 = ′ = = − K , то последняя формула принимает вид ( ) { } ( ) L f t S F S n = , т.е. дифференцированию f(t) соответствует умножение изображения F(S) на S. 3. Интегрирование оригинала: ( ) ( ) ( ) L f t dt F S S f S T 0 0 ∫ = + + (2.18) При нулевых начальных условиях интегрирование оригинала сводится к деле- нию изображения на S: 28 ( ) ( ) L f t dt F S S T 0 ∫ = (2.19) Свойства 3 и 2 позволяют дифференциальные и интегральные уравнения пре- образовать в алгебраические, что существенно упрощает исследование САУ. 4. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа τ ( ) { } ( ) { } ( ) L x t e L x t e x S S S − = = − − τ τ τ (2.20) 5. Теорема о свертке (теорема умножения изображений) Если f 1 (t) и f 2 (t) - оригиналы, а F 1 (S) и F 2 (S) - ихизображения, то ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F S F S f f t d f f t d t t 1 2 1 2 0 2 1 0 ⋅ = − = − ∫ ∫ τ τ τ τ τ τ (2.21) Интеграл правой части называют сверткой функции f 1 (t) и f(t) и обозначают f 1 (t)*f 2 (t). 6. Теорема о предельных значениях. Если f(t) оригинал, а F(S) - его изображение, то ( ) ( ) f S F S S 0 = →∞ lim , и при существовании предела ( ) ( ) f f t t ∞ = →∞ lim , ( ) ( ) f S F S S ∞ = → lim 0 2.4. Передаточная функция звена Ее определение дается на основе преобразования Лапласа. Рассмотрим динамиче- ское звено (рис.2.4), описываемое дифференциальным уравнением T d x dt T d x dt x K dx dt x 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 + + = + τ . (2.22) Или в символической записи ( ) ( ) T p T p x K p x p d dt 2 2 2 1 2 1 1 1 1 + + = + = τ , с начальными условиями: ( ) ( ) x x dx dt x x x t 2 20 2 0 20 1 10 0 0 = = = = , & , Тогда ( ) ( ) ( ) L dx dt Sx S x L dx dt S x S x L d x dt S x S Sx x 2 2 20 1 1 10 2 2 2 2 2 20 20 = − = − = − − , , & . Применив преобразование Лапласа к уравнению (2.22), получим ( ) ( ) ( ) ( ) x S K S T T S x S B S T S T S 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 = + + + + + + τ , (2.23) где через B(S) обозначен многочлен, включающий в себя все члены с величинами начальных условий. При нулевых начальных условиях В(S) =0. Рис. 2.4 29 В этом случае динамические свойства звена характеризуются передаточной функ- цией ( ) ( ) ( ) ( ) W S x S x S K S T S T S = = + + + 2 1 1 1 2 2 1 1 1 τ , (2.24) Определение. Передаточной функцией звена W(S) называется отношение изображе- ний Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях. В общем случае уравнение звена или последовательности звеньев, после исключе- ния промежуточных переменных, можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a d x t dt a d x t dt a x b d x t dt b d x t dt b x n n вых n n n вых n вых m m вх m m m вых m вх + + + = + + + − − − − − − 1 1 1 0 1 1 1 0 L (2.25) где x вх (t) - входная величина; x вых (t) - выходная величина. Правая часть уравнения (2.25) характеризует воздействие, поданное на вход. Левая часть, приравненная к нулю, характеризует свойства самого звена, его свободное движение. Порядок уравнения определяет число степеней свободы звена. Формально передаточную функцию звена можно составить как отношение опера- торных многочленов левой и правой частей уравнения звена и, наоборот, зная пере- даточную функцию, легко написать уравнение звена. Передаточная функция W (S) имеет вид дробно-рациональной функции от перемен- ной: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W S b S b S b a S a S a M S N S m m m m n n n n = + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 0 K K (2.26) Для физически реализуемых звеньев выполняется условие n ≥ m. Следует отметить, что при ненулевых начальных условиях передаточные функции неполно описывают процессы в звеньях и системах. Если собственный оператор N(S) и оператор воздействия М(S) имеют общие множители, то они при вычислении ω (S) сокращаются. И в этом случае по передаточной функции системы нельзя восстановить ее дифференциальное уравнение и получить описание процессов в ней при произволь- ных начальных условиях. Корни уравнения М(S)=0 называют нулями передаточной функции, а корни уравнения N(S) =0 - полюсами. Коэффициенты a i ( i=0 , ... , п) и b j ( j=0 , ... , т )вещественны, так как они явля- ются функциями параметров системы. 2.5. Типовые воздействия САУ функционирует под действием управляющих и возмущающих сигналов. По отношению к указанным воздействиям САУ должна вести себя по-разному. В соответствии с управляющим сигналом происходит изменение регулируемых пере- менных, возмущающие же воздействия должны как можно меньше влиять на изме- нение регулируемых переменных. Для правильного проектирования САУ или даже для составления технических требований к ней необходимо знать условия ее работы, т.е. знать возмущения, дей- 30 ствующие на систему. Прикладываемые к САУ воздействия отличаются крайним разнообразием. Поэтому для анализа и синтеза САУ приняты наиболее часто встре- чающиеся или неблагоприятные стандартные или типовые воздействия, которые за- дают в виде функций времени. Реакция системы на стандартные возмущения харак- теризует основные динамические свойства САУ. Для всех САУ в качестве типовых воздействий обычно используют следующие сигналы: 1. Ступенчатый сигнал в виде единичной функции 1(t)- ступенчатый скачок (рис.2.5.) 1 1 0 0 0 ( ) , , , t t t = ≥ < при при Если действие единичного сигнала проявляется со смещением во времени т после момента t = 0 (рис.2.6), то соответствующая функция имеет вид 1 1 0 ( ) , , , t r t t − = ≥ < при при τ τ 2. Сигнал в виде импульсной функции первого порядка или δ (t) - функции. Импульсная функция представляет собой импульс бесконечно малой длительности. Математически он описывается функцией δ (t) (дельта-функция), которую можно представить как производную от единичной функции в момент t=0: ( ) ( ) d t dt t t t п ри п ри 1 0 0 0 = = ∞ = > δ Отсюда следует ( ) δ t dt = −∞ ∞ ∫ 1 Таким образом, площадь импульса имеет конечную величину, равную 1. Импульс- ная δ - функция может рассматриваться как ударное воздействие с продол- Рис. 2.5 Рис. 2.6. 31 жительностью значительно меньшей длительности переходного процесса. В этом случае величина импульса будет 1 ∆ t (рис. 2.7). ( ) δ t t t t t t = > ≤ ≤ 0 1 0 , , , при при ∆ ∆ ∆ 3. Гармонический входной сигнал задается в виде функции х(t)=А sin ω t, где А - амплитуда колебаний, часто принимают A=1, ω π = 2 T - круговая частота колебаний; Т - период колебаний. 4. Линейно возрастающий сигнал х(t)=Vt при t ≥ 0. Согласно этому входное воздей- ствие должно изменяться с постоянной скоростью (рис. 2.8). 5. Степенные функции времени: квадратичная ( ) x t at = 2 2 ; кубическая ( ) x t bt = 3 3 Для задания сигналов в виде ступенчатой, импульсной и гармонической функции применяют генераторы импульсов и периодических колебаний. 2.6. Основные характеристики САУ Характеристики САУ делят на временные и частотные. 2.6.1. Временные характеристики 1. Переходная функция Переходной функцией h(t)называют реакцию звена или системы на единичное сту- пенчатое воздействие 1(t)на входе при нулевых начальных условиях: ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) x t t x S L t S y S W S x S = = = = 1 1 1 ( ) , , , откуда Рис. 2.7. Рис. 2.8. 32 ( ) ( ) ( ) ( ) y t h t L W S S j W S e S dS st c j c j = = = − − ∞ + ∞ ∫ 1 1 2 π (2.27) 2. Импульсная переходная или весовая функция Импульсной переходной или весовой функцией звена (системы) называют реакцию звена (системы) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных ус- ловиях (рис.2. 10). Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (обратное преобра- зование Лапласа передаточной функции). Зная импульсную переходную функцию k(t), можно определить передаточную функцию звена (системы): ( ) ( ) { } W S L k t = , ( ) ( ) x t d t dt = 1 , ( ) ( ) { } x S L x t = = 1, ( ) ( ) ( ) ( ) y S W S x S W S = = , ( ) ( ) { } ( ) k t L y S j W S e dS c j c j st = = − − ∞ + ∞ ∫ 1 1 2 π 2.6.2. Частотные характеристики Частотными характеристиками называют формулы и графики, характеризующие ре- акцию звена на гармоническое входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные гармонические колебания звена. Если на вход звена подается единичный синусоидальный сигнал (рис.2.11) х(t)=sin ωt, то на выходе будет (в установившемся режиме) у(t)=А sin ( ωt+ϕ), где А - амплитуда (усиление амплитуды); ϕ - сдвиг фазы относительно входного сигнала. Применяется символическая запись синусоидальных колебаний в виде x e j t = ω (строго говоря, е j ωt =cos ωt + j sin ωt), что геометрически изображается вращающим- Рис. 2.9. Рис 2.10. 33 ся единичным вектором (рис.2.12). Проекции последнего на прямоугольные оси да- ют cos ωt и sin ωt. Поэтому для суждения о вынужденных синусоидальных колеба- ниях звена достаточно исследовать реакцию звена на сигнал е j ωt Пусть уравнение звена имеет вид (TS+1)y=KSx. (2.29) Используем символическую запись: ( ) ( ) x e S x j e y A e Sy j A e j t j t j t j t = = = = + + ω ω ω ϕ ω ϕ ω ω , , , Подставив эти величины в уравнение звена, получим ( ) T j A e e Kj e j t j j t ω ω ω ϕ ω + = 1 , откуда A e K j T j j ϕ ω ω = + 1 Сравним эти выражения с передаточной функцией звена: ( ) ( ) ( ) W S y S x S KS T S = = + 1 (2.30) Из сопоставления видно, что ( ) [ ] ( ) A e W S W j j S j ϕ ω ω = = = (2.31) Функцию W(j ω) называют частотной передаточной функцией или амплитудно - фа- зовой частотной передаточной характеристикой (АФХ). Функцию А( ω)- амплитудно - частотной характеристикой (АЧХ). Функцию ϕ(ω)-фазовой частотной характери- стикой (ФЧХ). Кроме показательной формы, W(j ω) можно представить и в алгебраической: W(j ω)=U(ω)+jV(ω)=A(ω)cos ϕ ( ω)+jA(ω)sin ϕ ( ω), где U( ω) - вещественная частотная характеристика (ВЧХ); V ( ω) - мнимая частотная характеристика (МЧХ). Рис. 2.11 Рис. 2.12 34 Связь между частотными характеристиками. ( ) ( ) ( ) A U V ω ω ω = + 2 2 - т.е. АЧХ представляет собой модуль частотной передаточной функции и определяет, во сколько раз амплитуда выходного гармонического сигнала отличается от амплитуды входного сигнала. ( ) ( ) ( ) ϕ ω ω ω = arctg V U - аргумент передаточной функции W(j ω), определяет фазовый сдвиг между выходной и входной синусоидами. АФХ W(j ω) может быть изображена как годо- граф на комплексной плоскости (рис.2.13) в полярных ( А, ϕ ) либо в прямоугольных коор- динатах ( U, V ). При этом частоту ω изменяют от 0 до ∞ (сплошная кривая на рис.2. 13) или же от - ∞ до ∞ , когда добавляется еще симмет- ричная к ней пунктирная кривая. Следует отметить, что ВЧХ U( ω)=А(ω)cos ϕ ( ω) есть четная функция частоты ω, а МЧХ V( ω)=А(ω)sin ϕ ( ω) - нечетная функция частоты. Этим и объясняется зеркальная симметрия АФХ относительно оси абсцисс. |