Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
Глава 3. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 3.1. Передаточные функции разомкнутой системы В зависимости от способа получения требуемых характеристик и технической реализации САУ звенья могут быть соединены в различные комбинации. Структур- ная схема представляет собой графическое отображение математической модели САУ. Как бы сложна ни была структурная схема САУ, в ней всегда можно выделить три типовых соединения однонаправленных звеньев: последовательное; параллель- ное; встречно-параллельное. Однонаправленные звенья отличаются тем, что в результате присоединения по- следующего звена к выходу предыдущего у последнего значение выходной коорди- наты не изменяется. Воздействие в таких звеньях передается только в одном направ- лении. Найдем передаточные функции типовых звеньев. Последовательное соединение. Рассмотрим цепочку, состоящую из n последо- вательно соединенных однонаправленных звеньев (рис.3.1). Передаточные функции звеньев ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X S X S W S X S X S W S X S X S W S n n n 1 1 2 1 2 1 = = = − , , ... , Произведя последовательную подстановку, получим ( ) ( ) ( ) X S W S X S n = , (3.1) где ( ) ( ) W S W S i i n = = ∏ 1 Таким образом, передаточная функция цепи последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев. Параллельное соединение звеньев. Рассмотрим цепь, состоящую из парал- лельно соединенных однонаправленных звеньев (рис.3.2). Рис. 3.1 58 Передаточные функции звеньев: ( ) ( ) ( ) ( ) X S X S W S i n i i = = , , ,..., . 1 2 Выходная величина цепи равна сумме входных величин звеньев Y x i i n = = ∑ 1 , , а переда- точная функция цепи имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) W S Y S X S W S i i n = = ∑ 1 (3.2) Следовательно, при параллельном соединении звеньев передаточная функция цепи равна сумме передаточных функций всех звеньев. Встречно-параллельное соединение звеньев (цепь с местной обратной свя- зью) Рассмотрим часто встречающийся случай (рис.3.3), когда одно или несколько последовательно соединенных звеньев охвачены обратной связью (положительной или отрицательной). На рис.3.3 показаны три последовательно соединенных звена. Второе звено с передаточной функцией ( ) W S 2 охвачено обратной связью, которая может быть поло- жительной или отрицательной. Рассмотрим вначале передаточную функцию звена, охваченного отрицательной обратной связью (часть схемы на рис.3.3, обведенная пунктиром). При отрицательной обратной связи (ООС) для величины ( ) X S 2 можно записать: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X S X S X S X S W S X S oc oc oc 2 1 3 = − = , Для выходной величины второго звена запишем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] X S W S X S W S X S W S X S oc 3 2 2 2 1 3 = = − , ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) X S W S W S W S X S oc 3 2 2 1 1 + = Отсюда получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W S X S X S W S W S W S Э oc = = + 3 1 2 2 1 (3.3) Передаточная функция всей схемы (рис.3.3) Рис. 3.2 Рис. 3.3 59 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W S W S W S W S W S W S W S W S W S Y S X S oc = = + = 1 3 1 2 3 2 1 э (3.4) Правило. Передаточная функция разомкнутой цепи с местной отрицательной (положительной) обратной связью равна произведению передаточных функций всех звеньев прямой цепи, деленному на единицу плюс (минус) произведение передаточ- ной функции обратной связи на передаточную функцию охватываемого ею звена. Если в той же схеме (рис. 3.3) местная обратная связь будет положительной (ПОС), то ( ) ( ) ( ) X S X S X S oc 2 1 = + и, рассуждая аналогично предыдущему, получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W S Y S X S W S W S W S W S W S oc = = − 1 2 3 2 1 . (3.5) • Обращаем ваше внимание на знак при втором слагаемом знаменателя. При ООС он положителен, а при ПОС - отрицателен. Пользуясь выражениями ( 3.1), (3.2), (3.4), (3.5), можно составить общие пере- даточные функции для цепей различной сложности. В качестве примера рассмотрим случай, где условие однонаправленности не выполняется. Примером может служить подключение к зажимам источника питания пассивной электрической цепи ( потребителя) соизмеряемой мощности (рис.3.4). Источник питания представлен в виде источника напряжения ( ) E S с внутренним сопротивлением ( ) r S , потребитель харак- теризуется полным сопротивлением ( ) R S Ток в цепи определяется согласно за- кону Ома для полной цепи ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I S E S R S r S E S R S r S R S E S Y S r S Y S = + = ⋅ + = + 1 1 1 1 / / (3.6) Если сопоставить выражение (3.6) с выражением (3.3), то присоединение потребителя к источнику питания со- измеримой мощности можно предста- вить как охват проводимости нагрузки отрицательной обратной связью через внутреннее сопротивление потребителя энергии (рис.3.5). Рис. 3.4 Рис. 3.5 60 В общем случае ПФ разомкнутой системы обычно представляют в стандартной форме ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W S KM S N S Y S X S = = , где M(S)и N(S) - полином числителя и знаменателя со свободными членами, равными единице; К - коэффициент передачи разомкнутой системы. В реальных системах степень п знаменателя N(S)больше степени т числителя KM(S), т.е. п>т . Дифференциальное уравнение разомкнутой системы в символической форме ( p d dt = ) N(p)Y(t)=KM(p)x(t), характеристическое уравнение ( ) N λ = 0 3.2. Построение ЛЧХ разомкнутой одноконтурной системы Передаточная функция цепи из n последовательно соединенных звеньев ( ) ( ) W S W W W W S n i i n = ⋅ ⋅ ⋅ = = ∏ 1 2 0 (3.7) Представим каждую передаточную функцию в виде ( ) ( ) ( ) W j A e i i j i ω ω ϕ ω = Частотная передаточная функция цепи ( ) ( ) ( ) W j A e i j i n i i n ω ω ϕ ω = ∑ = = ∏ 1 1 . Таким образом, амплитудно-частотная характеристика цепи ( ) A A i i n ( ) ω ω = = ∏ 1 . (3.8) Фазово-частотная характеристика цепи ( ) ( ) ϕ ω ϕ ω = = ∑ i i n 1 (3.9) Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ( ) ( ) ( ) L A A m i i n ω ω ω = = = ∑ 20 20 1 lg lg . (3.10) Если передаточная функция ( ) W S i принадлежит типовым звеньям, то ЛАЧХ и ФЧХ последовательно соединенных звеньев строятся суммированием ЛАЧХ и ФЧХ типовых звеньев. В этом состоит одно из главных достоинств метода ЛЧХ. 61 Методика построения ЛЧХ последовательной цепи звеньев состоит из следую- щих этапов: 1. Определяют сопрягающие частоты ω i i T = 1 / и отмечают их значение по оси частот. 2. Строят низкочастотную (НЧ) область ЛАХ. При этом возможны три случая: а) позиционная (статическая) система; НЧ область ЛАХ описывается выраже- нием 20lgK, где K- добротность системы, коэффициент передачи разомкнутой сис- темы. На любой частоте ω 0 меньше первой сопрягающей частоты ω 1 откладывается по оси ординат отрезок 20lgK, через полученную точку проводится линия, парал- лельная оси частот до первой сопрягающей частоты ω 1 (рис.3.6,а); б) интегрирующая (скоростная, астатическая) система; НЧ область ЛАХ опре- деляется выражением 20 lg / K s ν ν , где K ν - коэффициент передачи разомкнутой сис- темы; ν - порядок астатизма. На частоте ω = 1 через ординату 20 lg K ν проводится прямая с наклоном - ν 20 дБ/дек до первой сопрягающей частоты ω 1 . Для ЛАХ, сме- щенных в область высоких частот, НЧ область нередко удобнее строить следующим образом: через частоту K ν ν проводится прямая с наклоном - ν 20 дБ/дек до первой сопрягающей частоты ω 1 (рис.3.6.а); в) дифференцирующая система; НЧ область определяется выражением 20lg K S µ µ . Прямую с наклоном + µ 20 дБ надо провести либо через точку с ордина- той 20 lg K µ на частоте ω= 1, либо через точку ω µ µ = 1 / K на оси частот, естественно, до первой сопрягающей частоты ω 1 , (рис.3.6.а). 3. На частоте сопряжения ω 1 наклон ЛАХ изменяют на -20 дБ/дек, если звено ( ) 1 + T S i находится в знаменателе передаточной функции, и на +20 дБ/дек, если в числителе; наклон ЛАХ на частоте ω 1 изменяется на -40 дБ/дек, если звено ( ) T S T S i i 2 2 2 1 + + ξ находится в знаменателе передаточной функции и на +40 дБ/дек, если в числителе. 4. Вид ЛАХ уточняется с помощью кривых поправок. Рис. 3.6 а 62 5. Фазово-частотная характеристика строится путем алгебраического суммиро- вания фазово-частотных характеристик отдельных типовых звеньев. Пример. Построить ЛЧХ разомкнутой системы с передаточной функцией W S K T S S T S T S T S ( ) ( ) ( )( ) = + + + + ν ξ 2 1 3 2 2 3 1 1 2 1 , где K c T T = = = = 100 0 5 01 0 01 2 3 c ; T c; c; = 0.8 -1 1 ; ξ (рис.3.6,б). 3.3. Составление и преобразование структурных схем САУ Методика составления структурной схемы САУ по заданной системе диффе- ренциальных уравнений ее отдельных звеньев может быть представлена в виде сле- дующего алгоритма: а) система дифференциальных уравнений записывается в операторной форме; б) для каждого уравнения системы условно выбирается входная и выходная ве- личины; в) каждое уравнение решается относительно выходной величины или члена, со- держащего ее старшую производную; г) строятся графические отображения каждого из дифференциальных уравне- ний; Рис. 3.6. б 63 д) строится общая структурная схема как совокупность графических отображе- ний каждого дифференциального уравнения (путем соединения одноименных пере- менных на структурных схемах отдельных звеньев линиями связи). Следует отметить, что задача построения структурных схем решается не одно- значно, т.е. можно получить несколько вариантов графического изображения, но по- сле соответствующих преобразований все изображения оказываются эквивалентны- ми. Пример. Построить структурную схему двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при управлении по цепи яко- ря (рис.3.7). Процессы в двигателе описы- ваются системой дифференциальных урав- нений: U t C t I t R L dI t dt e g я я я я я ( ) ( ) ( ) ( ) = + + ω , (3.11) M t M t F t J d t dt g c c g g ( ) ( ) ( ) ( ) = + + ω ω я , (3.12) M t C I t g ( ) ( ) = µ я , (3.13) где U t я ( ) - напряжение, приложенное к цепи якоря; I t я ( ) - ток в цепи якоря; R L я я , - активное сопротивление и индуктивность цепи якоря; C e - коэффициент противо-ЭДС двигателя; ω g t ( ) - угловая скорость вращения ротора двигателя; M t g ( ) - вращающий момент двигателя; C µ - коэффициент момента двигателя; M t c ( ) - момент сопротивления от сил сухого трения; F c - коэффициент вязкого трения; J я -момент инерции вращающихся частей. В качестве выходной величины двигателя принимается угловая скорость ω g t ( ) Решение 1. Уравнения (3. 11), (3. 12), (3. 13) в операторной форме запишем в виде U t C S I S R S L I S e g я я я я я ( ) ( ) ( ) ( ) = + + ω , (3.14) C I S M S F S S J S c c g g µ ω ω я я ( ) ( ) ( ) ( ) = + + , (3.15) 2. Примем для уравнения (3.14) в качестве входной величины напряжения U я , а выходной - ток I я . Для уравнения (3.15) в качестве входной - I я , а выходной - угло- вую скорость ω g Рис. 3.7 64 3. Решаем уравнение (3.14) относительно тока I я и уравнение (3.15) - относи- тельно скорости ω g Получим: I S S L U S C S I S R e g я я я я я ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) = − − 1 ω , (3.16) ω µ g c c S S J F C I S M S ( ) ( ( ) ( )) = + − 1 я я (3.17) 4. Строим схему, соответствующую уравнению (3.16) (рис. 3.8); строим схему, соответствующую уравнению (3.17) (рис. 3.9) Рис. 3.8 Рис. 3.9 5. Объединяем рис.3.8 и 3.9, получаем структурную схему двигателя (рис.3.10). 3.4. Правила преобразования структурных схем При преобразовании структурных схем часто возникает необходимость перено- са и перестановки сумматоров и узлов. Рассмотрим основные правила (табл.3.1) Таблица 3.1 Операция при преобра- зовании Исходная схема Преобразованная схема 1 2 3 Рис. 3.10 65 Перенос узла через узел 66 Окончание таблицы 3.1 1 2 3 Перенос сумматора через сумма- тор ( ) ( ) ( ) ( ) Y S X S X S X S = − + 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) Y S X S X S X S = + − 1 3 2 Перенос узла через сумма- тор Перенос сумматора через узел Перенос узла через звено Перенос сумматора через звено Пример. Представить в одноконтурном виде структурную схему САУ (рис. 3.11) 67 Данная схема содержит параллельные и перекрестные связи. Анализируя схему, видим, что перенос узла разветвления сигнала, идущего на сумматор 4, со входа на выход звена W S 5 ( ) позволяет исключить перекрестную связь. Свертывание схемы произведем в такой последовательности: 1. Объединим параллельно включенное звено W S 2 ( ) с линией, передающей воз- действие с выхода звена W S 1 ( ) на сумматор 2: W S W S э ( ) ( ) = + 1 2 . 2. Передаточная функция звеньев, включенных между сумматорами 1 и 2, W S W S W S W S W S э1 э2 ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) = = + 1 1 2 1 . 3. Передаточная функция звеньев W S 4 ( ) и W S 5 ( ) , охваченных отрицательной обратной связью через W S 6 ( ) , W W S W S W S W S W S э3 = + 4 5 4 5 6 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Передаточная функция прямой цепи звеньев, находящейся между суммато- ром 2 и входом звена W S 9 ( ) , W S W S W S W S W S W S W S W S W S э4 э3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + 3 3 4 5 4 5 6 1 5. Передаточная функция цепи обратной связи между элементами W S W S W S W S W S W S W S W S э5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) = − + = − − + 8 7 8 5 7 5 1 1 Рис. 3.11 5 Рис. 3.12 68 К этому моменту свертывания структурная схема примет следующий вид (рис.3.13). Передаточная функция всех элементов схемы, очерченных пунктирной линией, W S W S W S W S W S W S W S W S W S W S W S W S W S W W э э4 э э 6 4 5 3 4 5 4 5 6 3 4 8 5 7 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] = + = + + − Передаточная функция прямой цепи от g к х W S W S W S W S p ( ) ( ) ( ) ( ) = э2 э6 9 3.5. Передаточные функции и уравнения замкнутой системы Рассмотрим определение передаточных функций (ПФ) замкнутой системы (рис.3.14) при известных передаточных функциях всех звеньев САУ. Согласно структурной схеме можно записать: X S W S W S S W S W S f S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 2 2 4 ε , (3.18) ε ( ) ( ) ( ) ( ) S g S W S X S = − 3 (3.19) Уравнение (3.19) называют обычно уравнением замыкания. Подставляя в уравнение (3.18) значение ошибки из (3.19), после несложных преобразований получим: X S W S W S W S W S W S g S W S W S W S W S W S f S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + 1 2 1 2 3 4 2 1 2 3 1 1 ; (3.20) передаточную функцию разомкнутой системы W S W S W S W S ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 2 3 ; (3.21) Рис. 3.13 Рис.3.14. Структурная схема одноконтурной системы: g(t) - задающее воздействие; f(t) - возмущающее воздействие: x(t) - регулируе- мая (выходная) переменная: ε (t)- ошибка (рассогласование) замкнутой САУ 69 передаточную функцию замкнутой системы по управлению Φ xg S x S g S W S W S W S X S g S f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = = ∂ ∂ 1 2 1 0 ; (3.22) передаточную функцию замкнутой системы по возмущению Φ x f S x S f S W S W S W S X S f S g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + = = ∂ ∂ 2 4 1 0 (3..23) Теперь в выражение (3.19) подставим X(S) из (3.18). Решая уравнение относительно ε ( ) S , получим уравнение ошибки замкнутой системы ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S W S W S W S g S W S W S W S W S W S W S f S = + − + 1 1 1 1 2 3 2 3 4 1 2 3 (3.24) В выражении (3.24) можно выделить две передаточные функции: а) передаточную функцию ошибки замкнутой системы от задающего воздейст- вия g(t) Φ ε ∂ε ∂ ε g S g S g S f W S ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = + 0 1 1 ; (3.25) б) передаточную функцию ошибки замкнутой системы от возмущающего воз- действия Φ ε ∂ε ∂ ε f S f S f S g W S W S W S W S W S W S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = − + 0 1 2 3 4 1 2 3 (3.26) Важно отметить, что все передаточные функции замкнутой системы имеют один и тот же знаменатель и отличаются только числителем. Дифференциальное уравнение замкнутой системы можно получить из (3.20) или (3.24) умножением всего выражения на знаменатель и, переходя к оригиналам, в символической форме получим: [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 2 3 1 2 4 2 + = + W p W p W p x t W p W p g t W p W p f t (3.27) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 2 3 4 + = ± W p W p W p t g t W p W p W p f t ε (3.28) Если заменить передаточные функции звеньев конкретными выражениями, то можно записать дифференциальные уравнения системы в виде: для выходной (регулируемой) величины х [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N p KM p x t M p g t F p f t + = + 1 1 ; (3.29) для ошибки [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ), N p KM p t g t F p f t + = ± ε 2 (3.30) где KM p N p ( ) ( ) и соответствуют числителю и знаменателю передаточной функции разомкнутой системы; M p 1 ( ) соответствует числителю ПФ (3.22); F p 1 ( ) соответствует числителю ПФ (3.23); F p 2 ( ) соответствует числителю ПФ (3.26). Характеристическое уравнение замкнутой системы 70 D N KM ( ) ( ) ( ) λ λ λ = + = 0 может быть формально получено приравниванием к нулю знаменателя любой пере- даточной функции замкнутой системы. 3.6. Передаточные функции многоконтурных систем Рассматривая структурную схему CAP как один из видов графа, можно переда- точную функцию сложной многоконтурной системы определить, не приводя ее к одноконтурному виду, с помощью формулы Мезона (Мейсона): Φ ∆ ∆ yx i i i n S Y S X S H ( ) ( ) ( ) = = = ∑ 1 , (3.31) ∆ = − + − + = = = ∑ ∑ ∑ 1 1 2 3 1 1 1 3 2 1 H H H i i i i r i r i r ... , (3.32) где H i1 - передаточная функция разомкнутой цепи i -го замкнутого контура струк- турной схемы; r 1 - число замкнутых контуров в схеме; H i 2 - произведение ПФ разомкнутых цепей i -и пары несоприкасающихся замк- нутых контуров; r 2 - число пар несоприкасающихся контуров; H i 3 - произведение ПФ разомкнутых цепей i -и тройки несоприкасающихся контуров; r 3 - число троек несоприкасающихся контуров; H i - ПФ 1-й прямой цепи от переменной х к переменной у; r- число прямых цепей от х к у; ∆ i - функция ∆ для той части структурной схемы, которая не соприкасается с i -и прямой цепью от х к у. Используя формулу (3.31), нужно иметь в виду следующее: 1. Прямые цепи от х к у могут частично совпадать одна с другой. 2. При определении ПФ разомкнутой цепи каждого из контуров нужно учиты- вать знак обратной связи, образующий этот контур. 3. Контуры не соприкасаются один с другим, когда у них нет ни общей коорди- наты (стрелки на структурной схеме), ни общего звена (прямоугольника). 4. Каждая из функций ∆ i вычисляется также, как и функция ∆ , но рассматрива- ется лишь та часть структурной схемы, которая не соприкасается с i -и прямой це- пью от х к у. 5.Если со всеми прямыми путями соприкасаются все замкнутые контуры, а между собой замкнутые контуры также соприкасаются, то ПФ замкнутой системы можно определить по следующему правилу: Φ yx p ( ) есть отношение суммы произведений ПФ звеньев, образующих прямые пути от х к у, к сумме единица плюс (минус) ПФ разомкнутых цепей всех замкну- 71 тых контуров. Причем плюс при отрицательной обратной связи в контуре, минус - при положительной обратной связи. Пример. В качестве примера рассмотрим определение ПФ замкнутой системы (рис. 3.11) по управлению. 1. ПФ прямых путей от g к х H W W W W W 1 1 3 5 4 9 = , H W W W W W W 2 1 2 3 4 5 9 = . 2. ПФ разомкнутых цепей замкнутых контуров: H W W W H W W W H W W W W W 11 4 5 6 12 3 4 8 13 3 4 5 7 8 = − = = − , , , H W W W W W W H W W W W W W W 14 1 3 4 5 9 10 15 1 2 3 4 5 9 10 = − = − , Все контуры соприкасаются друг с другом и со всеми прямыми путями. 3. ∆ = − = + − + + = ∑ 1 1 1 1 5 4 5 6 3 4 8 3 4 5 7 8 H W W W W W W W W W W W i i + + = W W W W W W W W W W W W 1 3 4 5 9 10 1 2 3 4 5 9 = + + + + + 1 1 1 4 5 6 3 4 8 5 7 1 3 4 5 9 10 2 W W W W W W W W W W W W W W W ( ) ( ). 4. Поскольку все контуры соприкасаются с прямыми путями, то ∆ ∆ 1 2 1 = = 5. В соответствии с выражением (3.31) получим Φ ∆ x g S H H W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + + + − + + 1 2 1 3 4 5 9 2 4 5 6 3 4 8 5 7 1 3 4 5 9 10 2 1 1 1 1 3.7. Частотные характеристики замкнутой системы Для системы с единичной обратной связью (рис.3.15) запишем передаточную функцию замкнутой системы по управлению Φ x g S x S g S W S W S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = + 1 , (3.33) причем W S KM S N S ( ) ( ) ( ) = - ПФ разомкнутой системы. Частотные передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем ( S j = ω ) ( ) W j A e j ω ω ϕ ω = ( ) ( ) , Φ ( ) ( ) ( ) j A e j ω ω ϕ ω = 3 3 , где A A ( ), ( ), ( ), ( ) ω ω ϕ ω ϕ ω 3 3 - соответственно АЧХ и ФЧХ разомкнутой и замкнутой систем. В соответствии с (3.33) можно записать: A e A e A e j j j 3 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω = + , e A e A j j − − = + ϕ ω ϕ ω ω ω 3 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Рис. 3.15 72 Или подставив сюда e j j − = − ϕ ω ϕ ϕ ( ) cos sin и приравнивая затем отдельно дейст- вительные и мнимые части, получим cos cos , sin sin ϕ ϕ ϕ ϕ 3 3 3 3 1 A A A A = + = Сложив сначала квадраты этих выражений, а затем, поделив одно из них на другое, получим A A A A 3 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ω ω ω ω ϕ ω = + + , (3.34) ϕ ω ϕ ω ω ϕ ω 3 ( ) sin ( ) ( ) cos ( ) = + arctg A (3.35) Формулы (3.34) и (3.35) являются исходными для построения номограммы за- мыкания (рис.3.16), позволяющими по заданным ЛЧХ разомкнутой системы [20lgA( ω ) и ϕ ( ω )] находить ЛЧХ системы, замкнутой единичной отрицательной об- ратной связью [ lg ( ) ( )] 20 3 3 A ω ϕ ω и Номограммой замыкания пользуются следующим образом. По оси абсцисс от- кладывают значение фазы ϕ ω ( ) i , а по оси ординат ЛАХ − 20 lg ( ) A i ω для ряда фикси- рованных частот ω i . Величины 20 3 3 lg ( ) ( ) A i ω ϕ ω и находят по ближайшим кривым постоянных значений модуля фазы ПФ замкнутой системы. Таким образом, для ряда значений частот строится вся частотная характеристи- ка замкнутой системы. Следует отметить, что номограммами замыкания следует пользоваться лишь при значениях A 3 ( ) ω ,лежащих в пределах − ≤ ≤ 20 20 20 3 lg ( ) A ω дБ ,так как с точно- стью до 1дБ имеем 20 1 0 lg ( ) ( ) W j W j ω ω + ≈ при 20 20 lg ( ) W j ω ≥ д Б и 20 1 20 lg ( ) ( ) lg ( ) W j W j W j ω ω ω + ≈ при 20 20 lg ( ) W j ω ≤ − д Б Другими словами, в области частот, где модуль ПФ разомкнутой системы больше десяти, ЛАХ замкнутой системы совпадает с осью частот, а в области частот, где модуль ПФ разомкнутой системы меньше 0.1, ЛАХ замкнутой системы совпадает с ЛАХ разомкнутой системы. 73 Номограмма замыкания может использоваться и для построения ЛЧХ различ- ных соединений звеньев. Правила пользования номограммой для наиболее распро- страненных случаев соединения приведены в табл. 3.2, где приняты следующие обо- значения: L W j W j 1 1 1 1 20 = = lg ( ) , arg ( ) ω ϕ ω , L W j W j 2 2 2 2 20 = = lg ( ) , arg ( ) ω ϕ ω , L 3 3 , ϕ - значение ЛАЧХ и ФЧХ, полученные при отсчете в криволинейных ко- ординатах замыкания. Рис. 3.16. Номограмма для определения амплитудной и фазовой частотных ха- рактеристик замкнутой систему по амплитудно-фазовой характеристики ра- зомкнутой системы. 74 Таблица 3.2 N п/ п Схема Передаточная функция Отложить на номо- грамме Резуль- тат 1 ( ) ( ) W p W p 1 1 1 + L 1 1 ϕ L 3 3 ϕ 2 ( ) ( ) ( ) W p W p W p 1 1 2 1 + ( ) ( ) + + + + L L 1 2 1 2 ϕ ϕ L L 3 2 3 2 − − ϕ ϕ 3 ( ) ( ) W p W p 1 2 + L L 1 2 1 2 − − ϕ ϕ L L 3 1 3 1 + + ϕ ϕ 4 ( ) ( ) W p W p 1 2 − ( ) L L 1 2 1 2 180 − + − ϕ ϕ L L 1 3 1 3 − − ϕ ϕ 5 ( ) ( ) ( ) W p W p W p 1 1 2 1 − ( ) ( ) − + − + L L 1 2 1 2 180 ϕ ϕ L L 3 1 3 1 + + ϕ ϕ Номограмма замыкания может использоваться при построении ЛЧХ многокон- турных систем. При этом часто встречается задача построения ЛЧХ звена, охвачен- ного местной обратной связью. Рассмотрим подробнее решение этой задачи (табл.3.2, N 2). 75 Поскольку номограмма рассчитана для систем с единичной ООС, то рассматри- ваемая структура преобразуется к одному из нижеследующих видов (рис.3.18). т.е. исходная передаточная функция преобразуется к виду W W W W W W W W p W 1 1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 1 1 1 + = + ⋅ = Φ ( ) (3.36) ЛЧХ 20 3 3 lg ( ) ( ) Φ j ω ϕ ω и находится по номограмме замыкания, если исполь- зовать ЛАХ L L 1 2 + и ФЧХ ϕ ϕ 1 2 + При использовании обратных передаточных функций (рис.3.19) исходная ПФ преобразуется к виду W W W W W W W W W W W 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 + = + = + (3.37) ЛЧХ, соответствующие передаточной функции ( ) ( ) W W W W 1 2 1 1 2 1 1 ⋅ + ⋅ − − находятся по но- мограмме замыкания при использовании обратных ЛЧХ ( ) − + L L 1 2 и ( ) − + ψ ψ 1 2 Рис.3.17. ЛЧХ разомкнутой и замкнутой системы Рис.3.18 Рис.3.19 76 В соответствии с выражениями (3.36) и (3.37) требуемые ЛЧХ получаются, если в первом случае от ЛАХ и ФЧХ 201g ( ) Φ 3 j ω и ( ) ϕ ω 3 отнять ЛАХ 201g ( ) W j 2 ω и ФЧХ звена обратной связи. Во втором случае к ЛЧХ, полученным по номограмме замыкания, нужно при- бавить ЛАХ 201g ( ) W j 1 ω и ФЧХ ( ) ϕ ω 1 звена в прямой цепи. Контрольные вопросы и задачи к главе 3 3.1. Какая из четырех ПФ является ПФ разомкнутой САУ, изображенной на рис.3.20 ? Выбрать правильный ответ: ( ) ( ) ( ) 1 ⋅ = W S S g S ε ( ) ( ) ( ) 2 ⋅ = W S x S S oc ε ( ) ( ) ( ) 3 ⋅ = W S x S g S ( ) ( ) ( ) 4 ⋅ = W S S x S ε 3.2. Какая из 4-ех ПФ является ПФ замкнутой САУ, показанной на рис.3.20 ? Выбрать правильный ответ: ( ) ( ) ( ) 1 3 ⋅ = Φ S x S g S ( ) ( ) ( ) 2 3 ⋅ = Φ S x S S ε ( ) ( ) ( ) 3 3 ⋅ = Φ S S x S ε ( ) ( ) ( ) 4 3 ⋅ = Φ S x S x S oc 3.3. Какая из четырех ПФ является ПФ ошибки САУ, изображенной на рис.3.20 ? Выбрать правильный ответ: ( ) ( ) ( ) 1 ⋅ = Φ ε S x S g S ( ) ( ) ( ) 2 ⋅ = Φ ε ε S S x S ( ) ( ) ( ) 3 ⋅ = Φ ε ε S x S S ( ) ( ) ( ) 4 ⋅ = Φ ε ε S S g S 3.4. Используя структурную схему (рис.3.21), записать уравнение ошибки ε(р) X Рис. 3.20 77 Выбрать правильный ответ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 4 1 2 4 2 3 ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ε p g p W p W p f p W p W p W p W p W p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 4 2 3 ⋅ = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ε p g p W p f p W p W p W p W p W p ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 2 3 2 4 1 2 4 2 3 ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ε p W p W p g p W p W p f p W p W p W p W p W p ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 2 2 4 1 2 4 2 3 ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ε p W p W p g p W p W p f p W p W p W p W p W p 3.5. Используя структурную схему (рис.3.21), записать выражение для регули- руемой величины х(р). Выбрать правильный ответ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 4 1 1 2 4 2 3 ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ x p W p W p g p W p W p W p f p W p W p W p W p W p ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 2 1 1 1 2 3 2 2 1 4 3 ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ x p W p W p W p g p W p f p W p W p W p W p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 3 1 1 2 2 2 1 4 3 ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + x p W p W p g p W p f p W p W p W p W p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 1 2 4 2 3 ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ x p g p W p f p W p W p W p W p W p 3.6. Используя структурную схему (рис.3.22), определить ЛАЧХ разомкнутой системы (рис.3.23): K 1 10 = ; K 2 010 = c − 1 ; K c oc 1 T = = ⋅ 10 01 ; Выбрать правильный ответ: 1. 2. 2.1. 3. 3. Рис. 3.21 78 3.7. Согласно структурной схеме (рис.3.22) определить ЛАЧХ замкнутой систе- мы ( ) 20L g j Φ xg ω по рис.3.23. Выбрать правильный ответ: 1.5. 2.4. 3. 7. 4. 6. 3.8. Согласно структурной схеме (рис.3.22) определить ЛАЧХ передаточной функции ( ) Φ ε ω g j ошибки замкнутой системы по управлению (рис.3.24). Выбрать правильный ответ: 1.а. 2.б. 3.в. 4.г. 3.9. Согласно структурной схеме (рис.3.22) определить ЛАЧХ передаточной функции ( ) 20L g j Φ xf ω замкнутой системы по возмущению (рис.3.25). Выбрать правильный ответ: 1. а. 2. б. 3. в. 4. г. Рис. 3.22 Рис.3.23 79 Рис.3.24 Рис.3.25 |