Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 4.1. Понятие устойчивости. Устойчивость невозмущенного движе- ния по А.М. Ляпунову Устойчивость САУ является одним из важнейших условий ее работоспособно- сти, так как понятие включает в себя требование затухания переходных процессов во времени (система с расходящимися процессами неработоспособна). Впервые стро- гое определение устойчивости было дано выдающимся русским математиком А.М.Ляпуновым в 1892 г. в работе "Общая задача об устойчивости движения", кото- рое в настоящее время принято как основное. А.М.Ляпуновым была рассмотрена устойчивость невозмущенного движения по отношению к возмущениям начальных условий (ненулевые начальные условия). Уравнение динамики нелинейной САУ n-порядка может быть записано в нор- мальной форме Коши: ( ) ( ) dy dt F y y y i n i i = = 1 2 1 2 , , , , , , , n (4.1) где y i -координаты системы; F i -нелинейные функции переменных y y n 1 При отсутствии внешних возмущающих воздействий устойчивость рассматри- вается как свойство свободного движения системы после начального отклонения, вызванного любыми причинами. Обозначим y*(t) некоторый установившийся про- цесс работы системы, или так называемое невозмущенное движение. Функции y*(t) являются частным решением уравнений (4.1), удовлетворяющим начальным услови- ям при t t = 0 , ( ) y y t i i = * 0 Дадим небольшое по модулю приращение начальным значениям переменных y i : ( ) y y t y i i i = + * 0 ∆ (4.2) Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям (4.2), назы- вают возмущенным движением. Отклонение переменных y i , в возмущенном движении от переменных ( ) y t i * обозначим ( ) ( ) ( ) x t y t y t i i i = − * (4.3) Переменные X являются координатами состояния системы. Уравнения возмущенного движения в отклонениях можно записать в виде ( ) ( ) dx dt x x x i n i i = = Φ 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n (4.4) 81 В общем случае конкретное выражение уравнений (4.4) зависит от вида устано- вившегося процесса y*(t), так как они получаются из (4.1) подстановкой (4.3): ( ) ( ) Φ i i x x x F x y x y x y 1 2 1 1 2 2 , ,..., , ,..., * * * n n n = + + + (4.5) Если все отклонения X i равны нулю x x x 1 2 0 = = = = n , (4.6) то возмущенное движение ( ) y t i будет совпадать с невозмущенным движением ( ) y t i * Невозмущенное движение системы (4.1) при замене (4.3) перешло в нулевое решение системы (4.4), поэтому может быть сведено к исследованию на устойчи- вость нулевого решения ( ) x t i системы (4.4). А.М.Ляпуновым было дано следующее определение устойчивости: невозму- щенное движение называют устойчивым по отношению к переменным x i , если при всяком произвольно заданном положительном числе ε , как бы мало оно ни было, можно подобрать другое такое положительное число ( ) δ ε , что для всех начальных отклонений, удовлетворяющих условию ( ) ( ) ( ) x t i n i 0 12 〈 = δ ε , ,..., , (4.7) в дальнейшем движении ( ) t t 0 〈 〈∞ будет все время выполняться условие ( ) ( ) x t i 〈ε i = 1,2,..., n (4.8) Если хотя бы одно из неравенств (4.7, 4.8) не выполняется, невозмущенное движение неустойчиво. Если принять отклонения x x x n 1 2 , , ..., в качестве координат n-мерного пространства, то определению устойчивости А.М.Ляпунова можно дать следующую геометрическую интерпретацию: рассмотрим случай n=3 и построим в трехмерном пространстве координат две сферы: сферу ( ) ε = = ∑ i i x t 1 3 2 с радиусом ε и сферу начальных отклонений ( ) ( ) δ ε = = ∑ i i x t 1 3 2 0 с радиусом δ (Рис.4.1). Совокупности значений переменных ( ) x i i = 1 2 3 , , соответствует точка M в про- странстве, называемая изображающей. Выберем радиус сферы ε произвольно ма- лым. Если невозмущенное движение устойчиво, то для этой сферы можно подобрать сферу δ начальных отклонений таким образом, что изображающая точка М, начав движение из любой точки Mо, лежащей внутри или на поверхности сферы δ , при своем дальнейшем движении останется всегда внутри сферы (точка M 1 ). 82 Если при выполнении условия (4.7) выполняется условие ( ) lim t i x t →∞ = 0 (4.9) то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым В этом случае изображающая точка М, начав движение из начальной точки M 2 c течением времени попадает в начало координат (рис. 4.1). Если условие (4.8) выполняется при любых по модулю начальных отклонениях, т.е. ( ) x t i 0 < ∞ , то невозмущенное движение называют устойчивым в целом. 4.2. Теоремы А.М. Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению Если уравнения возмущенного движения (4.4) допускают разложение в ряд Тейлора, то в процессе линеаризации они получают вид ( ) dx dt x x x x x x i i i i n n i n = + + + + + + ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ϕ x x 1 2 0 1 0 2 0 1 K (4.10) Получаемая отсюда линейная система путем отбрасывания нелинейного члена ( ) ϕ i n x x 1 ,..., ввиду его малости, называется первым приближением Все частные производные в (4.10) соответствуют началу координат; x x x n 1 2 , ,..., − малые отклонения от начала координат. Обозначим ∂ ∂ ∂ ∂ x x i 1 i 2 Φ Φ = = a a i i 1 2 , и т.д. Уравнение первого приближения можно записать в виде dx dt a x a x a x i i i i n n = + + + 1 1 2 2 (4.11) Для системы (4.11) запишем характеристическое уравнение Рис. 4.1 83 ( ) D a a a a a a a a a n n n n nn λ λ λ λ = − − − 11 12 1 21 22 2 1 2 (4.12) А.М.Ляпунов доказал две теоремы, позволяющие сделать вывод, при каких ус- ловиях заключение об устойчивости, полученное для линеаризованной системы, со- храняет силу и для исходной системы. Теорема 1. Если все корни x i характеристического уравнения ( ) D λ = 0имеют отрицательные вещественные части ( ) R e λ i < 0 то невозмущенное движение x i = 0 асимптотически устойчиво независимо от вида отброшенных при линеаризации всех нелинейных членов. Теорема 2. Если среди корней λ i характеристического уравнения D ( λ ) = 0 имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то невозму- щенное движение неустойчиво , независимо от вида отброшенных при линеаризации нелинейных членов. Если среди корней характеристического уравнения имеется один или несколько корней с нулевой вещественной частью, а вещественные части остальных корней отрицательны, то этот случай называют критическим. В критическом случае для ис- следования устойчивости невозмущенного движения необходимо использовать пол- ные уравнения (4.4). Критический случай для линейной ТАУ не представляет инте- реса, так как в этом случае САУ находится на границе устойчивости, что делает ее неработоспособной. Теоремы Ляпунова имеют важное значение, так как позволяют судить об устой- чивости нелинейных САУ по их линеаризованным уравнениям (уравнения первого приближения). 4.3. Устойчивость линейных САУ Операторное уравнение линейной системы, записанное для выходной перемен- ной (регулируемой переменной) величины ( ) x t при наличии входной (управляющего воздействия) величины g(t), имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) a S a S a x S b S b g S n n n n m m + + + = + + − − 1 1 0 0 . (4.13) Решение этого уравнения относительно выходной величины имеет вид ( ) ( ) ( ) x t x t x t = + соб вын , (4.14) где собственное движение ( ) x t c определяется общим решением однородного дифференциального уравнения 84 ( ) ( ) ( ) a d x t dt a d x t dt a x t n n с n n n c n c об о б о б + + + = − − − 1 1 1 0 0 (4.15) при заданных начальных условиях ( ) ( ) ( ) ( ) x x 0 0 0 , , ⋅ x n-1 а вынужденное движение ( ) x t вын - частным решением уравнения (4.13), отвечающем заданной правой части, т.е. входному воздействию и его производным. Решение уравнения (4.15) находят в виде ( ) x t c e i cо б i n i t = ∑ = 1 λ (4.16) при различных корнях характеристического уравнения ( ) D a a a n n n n λ λ λ = + + + = − − 1 1 0 0 (4.17) Постоянные c i определяются после добавления частного решения ( ) x t вын т.е. в полном решении (4.13). Поэтому форма переходного процесса будет зависеть не только от корня λ i (хотя эта зависимость основная), но и от вида заданной правой части, т.е. от внешнего воздействия g(t) и от вида операторного многочлена в правой части (4.13). По А.М.Ляпунову возмущениями являются любые ненулевые начальные усло- вия. Дифуравнениями возмущенного движения первого приближения в данном слу- чае будут уравнения (4.15). В соответствии с определением устойчивости по А.М.Ляпунову система будет асимптотически устойчива при ненулевых начальных условиях и при отсутствии внешних возмущений, если с течением времени при t → ∞ собственная состав- ляющая будет стремиться к нулю, т.е. ( ) x t c о б → ∞ Условие устойчивости по начальным условиям. Асимптотическая устойчи- вость по начальным условиям имеет место, если характеристическое уравнение замкнутой системы имеет только левые корни (с отрицательной вещественной ча- стью). Действительно, в этом случае любое слагаемое в (4.16) убывает со временем, поскольку убывающий экспоненциальный множитель "подавляет" возможный рост любого многочлена от t. При воздействии на систему внешних сигналов система должна осуществлять устойчивое преобразование входных сигналов. Определение. Система называется устойчивой по входу, если при любом огра- ниченном входном воздействии ( ) g t и нулевых начальных условиях выходная реак- ция ( ) x t является ограниченной при любом t → ∞ и называется неустойчивой по входу в противном случае. В соответствии с (4.13) можно записать передаточную функцию замкнутой сис- темы 85 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ x g m m m m n n n n S x S g S B S D S b S b S b a S a S a = = = + + + + + + − − − − 1 1 0 1 1 0 (4.18) Устойчивость по входу имеет место, если выполнены два условия: а) степень n многочлена D(S) в знаменателе ПФ ( ) Φ x g S не меньше степени m от многочлена B(S) в ее числителе (условие физической реализуемости п ≥ т). б) все корни характеристического многочлена D(S) имеют отрицательную веще- ственную часть. Условие (б) устойчивости по входу совпадает с условием устойчивости по на- чальным условиям, так что при выполнении условий (а) и (б) можно употреблять более краткий термин - устойчивая система. Т.е. для определения устойчивости физически реализуемых систем необходимо вычислить корни характеристического уравнения D(S)=0, что для уравнений высо- ких порядков представляет весьма трудоемкую задачу и обычно решается с помо- щью ЭВМ. Поэтому в инженерной практике получили большое распространение специальные правила, которые позволяют оценить САУ без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. Критерии устойчивости могут быть разделены на алгебраические и частотные. Применение того или иного критерия определяется сложностью задачи, целью, ис- ходными данными и т.п. Рациональный выбор критерия позволяет достичь цели бо- лее простым путем. 4.4. Алгебраические критерии Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэф- фициентам характеристического уравнения ( ) D S a S a S a n n n n = + + + = − − 1 1 0 0 (4.19) Необходимым условием устойчивости системы любого порядка (критерий Сто- долы) является положительность всех коэффициентов характеристического уравне- ния ( ) a i n i > = 0 1 2 , , ,..., Пример: D(S) = S S S S 5 4 2 4 0 6 1 + + + + Система неустойчива, так как коэффициент a 3 при S 3 равен нулю. Для систем первого и второго порядков необходимое условие является и доста- точным. Однако в общем случае выполнение необходимого условия недостаточно для определения устойчивости САУ. Первый критерий устойчивости САУ любого порядка был предложен профес- сором математики Кембриджского университета Е.Р. Раусом в 1877 г. В 1895 г. эту же задачу по просьбе чешского ученого А. Стодола решил профессор математики Цюрихского политехнического училища А. Гурвиц. 86 Алгоритм Рауса наиболее удобен для применения в вычислительной технике. Критерий Гурвица более прост и нагляден и поэтому получил широкое применение в инженерной практике. 4.4.1. Критерий Гурвица Для определения устойчивости из коэффициентов характеристического уравне- ния (4.19) вначале строят главный определитель Гурвица в следующей последова- тельности: главную диагональ составляют коэффициенты, начиная со второго , т.е. a n − 1 и до a 0 в порядке убывания индексов; вверх по диагонали записывают коэффи- циенты с убывающими индексами, вниз по диагонали - с возрастающими индекса- ми. На места в определителе, которые должны заполняться коэффициентами с ин- дексами меньшими, чем нуль, и индексами больше, чем п, записываются нули: (4.20) Отчеркивая в главном определителе, как показано пунктиром, диагональные миноры получаем определители Гурвица низшего порядка ∆ ∆ 1 1 2 1 3 2 = = − − − − a a a a a n n n n n , и т.д. Формулировка критерия. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительны, т.е. ∆ ∆ ∆ 1 2 0 0 0 > > > , ,..., n Вычисление определителей ∆ i следует начинать с определителя (п-1) -го по- рядка, так как главный определитель ∆ ∆ n n a = − 0 1 (4.21) будет удовлетворять условию ∆ n > 0 при a 0 0 > и ∆ n − > 1 0 Для уравнений первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов a a a 0 1 2 , , Для системы третьего порядка характери- стическое уравнение системы имеет вид a S a S a S a 3 3 2 2 1 0 0 + + + = и условие устойчи- вости по Гурийцу будет ∆ n a a a a − = − > 1 2 1 3 0 0 (4.22) или a a a a 2 1 3 0 > т.е. произведение коэффициентов средних членов должно быть больше произведения крайних членов. Если все определители Гурвица низшего порядка положительны, то система на- ходится на границе устойчивости при ∆ n = 0 . В соответствии с (4.21) это возможно при a 0 0 = (апериодическая граница устойчивости - один нулевой корень) или при ∆ n − = 1 0 (колебательная граница устойчивости - два мнимых корня). Возможна ( ) D a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n λ = − − − − − − − − 1 3 5 2 4 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |