Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
6.3.3. Встречно-параллельные корректирующие устройства (местные об- ратные связи) Для изменения свойств звена или цепочки звеньев широко применяются встречно-параллельные КУ в виде местных обратных связей (рис.6.9). Обратные связи могут быть отрицательными (ООС) и положительными ( ПОС). ПФ цепи при охвате ОС имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) W S W S W S W S oc = ± 1 1 1 (6.12) В выражении (6.12) знак "-" соответ- ствует ПОС, знак " + " - ООС. По виду ПФ ( ) W S o c обратные связи делятся на жесткие (ЖОС) и гибкие (ГОС). ЖОС действует постоянно (жестко) как в переходном, так и в установившемся режимах. ГОС действуют только в переходных режимах. В качестве ЖОС обычно используют усилительные и инерционные звенья, в качестве ГОС - дифференцирующие и инерционно-дифференцирующие звенья. Рис.6.7 а б Рис.6.8 Рис.6.9 158 Наиболее распространены следующие виды корректирующих устройств (ОС): а) жесткая безынерционная ( ) W S K oc oc = ; б) жесткая инерционная ( ) W S K T S oc oc oc = + 1 ; в) гибкая ( ) W S K oc oc = S; , г) гибкая инерционная ( ) W S K S T S oc oc oc = + 1 ; Рассмотрим результаты охвата некоторых звеньев различными ОС. Это позво- лит уяснить свойства ОС и необходимость их применения. Охват инерционного звена ЖОС Рассмотрим вначале случай ООС при ( ) W S K T S 1 1 1 1 = + ; ( ) W S K oc oc = В соответствии с (6.12) запишем: ( ) ( ) ( ) ( ) W S W S W S W S K T S K K K S oc oc = + = + + = + 1 1 1 1 1 1 1 1 э э Т , (6.13) где K K K K oc э = + 1 1 1 ; T э = + T K K oc 1 1 1 Коэффициент K oc определяет "глубину" обратной связи. С увеличением K oc ОС становится более глубокой. Из (6.13) следует, что ООС не изменяет структуру апериодического звена, уменьшает инерционность и уменьшает коэффициент пере- дачи звена в (1+K 1 K OC ) раз. Уменьшение постоянной времени звена можно исполь- зовать для повышения устойчивости системы, а уменьшение коэффициента K Э мож- но скомпенсировать за счет усилительных безынерционных звеньев. Рассмотрим теперь случай ПОС. В соответствии с (6.12) запишем для аперио- дического звена с жесткой ПОС W S W S W S W S K T S K K K T S OC OC ( ) ( ) ( ) ( ) , = − = + − = + 1 1 1 1 1 1 1 1 Э Э (6.14) где K K K K T T K K OC OC Э Э = − = − 1 1 1 1 1 1 ; И в этом случае структура звена не меняется, но коэффициент и постоянная времени увеличиваются в(1-K 1 K ОС ) раз. При K ОС >(1/К 1 ) устойчивое апериодическое звено превращается в неустойчивое. Охват интегрирующего звена ЖОС Рассмотрим вначале случай при W 1 (S)= K S 1 , W OC =K OC В соответствии с (6.12) запишем для интегрирующего звена, охваченного жест- кой ООС: 159 W S W S W S W S K S K K K T S OC OC ( ) ( ) ( ) ( ) , = + = + = + 1 1 1 1 1 1 Э Э (6.15) где K K T K K OC OC Э Э = = 1 1 1 ; В этом случае изменилась структура звена: интегрирующее звено превратилось в апериодическое с коэффициентом, обратно пропорциональным K OC , частотой со- пряжения, равной K 1 K OC . Данный способ применяется для понижения порядка аста- тизма САУ, что может повысить запасы устойчивости в области низких частот. В случае охвата интегрирующего звена жесткой ПОС получим W S K S K K K K K S OC OC OC ( ) = − = − 1 1 1 1 1 1 1 (6.16) Видно, что интегрирующее звено превращается в неустойчивое апериодиче- ское, что приводит к неустойчивости системы. Рассмотренные случаи показывают, что применение жесткой ООС при K OC >1 снижает коэффициент передачи звена. В некоторых случаях снижение коэффициен- та не может быть скомпенсировано за счет других элементов, что в конечном итоге ведет к уменьшению точности. Для более активного воздействия на динамические свойства без изменения ста- тической точности системы используют гибкие обратные связи. Охват инерционного интегрирующего звена гибкой ООС W S K S T S S K S OC 1 1 ( ) ( ) , ( ) = + = W OC В соответствии с (6.12) имеем: W S K S T S KK S K S T S OC ( ) ( ) ( ) , = + + = + 1 1 1 1 (6.17) где T T KK K K KK OC OC 1 1 1 1 = + = + ; В результате сохраняется порядок астатизма, но уменьшается инерционность и коэффициент передачи. Таким образом, выбирая различные виды ОС и охватывая различные звенья, можно получить требуемые статические и динамические свойства САУ. Преимущества встречно-параллельных КУ: 1. меньше ограничений на место включения, проще выполнить согласование КУ с источником сигнала и нагрузки, так как передача информации идет от выхода системы к входу (от мощных источников энергии к маломощным входным цепям с большими внутренними сопротивлениями); 160 2. уменьшается влияние на свойства системы изменений параметров охвачен- ных звеньев (нелинейности, звенья с переменными во времени коэффициентами пе- редач и постоянными времени). Недостатки встречно-параллельных КУ: 1. более сложный расчет; 2. необходимость применения устройств, преобразующих входные сигналы раз- личной физической природы к виду, удобному для суммирования. В заключение следует отметить, что при проектировании САУ могут приме- няться одновременно все вышеперечисленные способы коррекции. 6.4. Методика построения желаемой ЛАХ Для синтеза КУ наибольшее применение получил метод логарифмических час- тотных характеристик, благодаря относительной простоте и инженерной закончен- ности. Синтез КУ заключается в выборе его вида, передаточной функции, места вклю- чения, расчета параметров, цепи с тем, чтобы проектируемая САУ имела заданные по ТТ показатели качества: • время переходного процесса T p ; • перерегулирование σ , • запас устойчивости по фазе и амплитуде γ , m; • ошибки в установившемся режиме ε ε ε ν s , , a и др. В зависимости от конкретных условий работы САУ выделяются доминирующие требования к системе. Так, для следящих систем и программного управления основ- ными являются требования по точности, а для динамических систем - к качеству ПП. После синтеза физически осуществимой САУ с рационально выбранными эле- ментами производят синтез ЛЧХ идеальной САУ, удовлетворяющей требованиям качества. Такие ЛЧХ получили название желаемых. Желаемые характеристики представляются в виде некоторых типовых (ЖЛАХ ) логарифмических характери- стик, однозначно связанных с показателями качества и точностью системы. При рассмотрении ЛАХ принято выделять четыре основные области (рис.6.10): 161 1. Область инфранизких частот I (0, ), 1 ω характеризующую установившуюся ошибку САУ по задающему воздействию. Наклон характеристики здесь определяет- ся порядком астатизма ν 2. Область низких частот II ( , ). ω ω 1 2 Наклон характеристики в этой области оп- ределяется количеством апериодических звеньев. 3. Область средних частот III ( , ), ω ω 2 3 включающую частоту среза ω c . Опреде- ляет запасы устойчивости по фазе и амплитуде и, следовательно, качество системы с единичной обратной связью. Кроме запасов устойчивости, область III определяет также "грубость" системы, т.е. низкую чувствительность показателей качества к ва- риациям параметров звеньев (коэффициентов передач, постоянных времени). Обес- печение "грубости" системы - важная задача проектирования работоспособности САУ. Для обеспечения устойчивости и "грубости" системы наклон ЛАХ в области III должен быть равен -20 дБ/дек. При этом ФЧХ имеет в области частоты среза ω c горизонтальную площадку, т.е. при вариации ω c запас по фазе существенно не меняется, что и обеспечивает "грубость" системы. 4. Область высоких частот IV ( , ). ω 3 ∞ Определяет фильтрующие свойства сис- темы (ослабление высокочастотных шумов и помех). Наклон характеристики здесь определяется количеством апериодических или колебательных звеньев. Если считать, что в систему с ЛАХ (рис.6.10) не входят колебательные и диф- ференцирующие звенья второго порядка, то для такой минимально-фазовой системы ПФ имеет вид W(S)= K S S S S T S S i i n ν ν ν ω ω ( ) ( ) ( ) , 1 1 1 2 1 1 3 + + + − − = ∏ (6.18) Рис.6.10 162 где 1 1 1 1 2 2 ω ω = = − T T , постоянные времени. Эта передаточная функция соответствует системе с типовым ЛАХ. Классифи- кация типовых ЛАХ ведется по наклонам S и ν и обозначается ЛАХ - S / . ν В соответствии с этой классификацией в табл.6.1 показан вид основных ЛАХ. Для упрощения записи ПФ опущены высокочастотные звенья с постоянными време- ни T T i ≤ 3 Важным моментом построения желаемых ЛАХ является правильное сопряже- ние всех участков. При сопряжении всегда следует принимать во внимание ЛАХ не- скорректированной системы. Чем меньше желаемая ЛАХ будет отличаться от ЛАХ нескорректированной системы, тем проще вид логарифмической характеристики корректирующей цепи. Метод Е.А.Санковского. Связь параметров типовых ЛАХ с запасом устойчи- вости по фазе γ ω ( ) c устанавливается из точного соотношения γ ω π ϕ ω π ν π ν ω ω ν ω ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) , c c c c i n c i S arctg S arctg arctg T = − = − − − + − − = ∑ 2 1 2 3 a при достаточной протяженности среднечастотного участка ω ω ω c c T << >> − 1 1 1 3 , из приближенного a S T c c i i n = − + = ∑ ( ) , 1 2 3 ω ω ω (6.19) где a c = − π γ ω 2 ( ). (6.20) При расчетах параметров типовых ЛАХ-II и ЛАХ-III можно использовать соот- ношения: ω ω ω 2 3 2 1 2 c c i i n a S T a ≈ − = = ∑ ( ) , Для ЛАХ-I первая сопрягающая частота обычно не меньше частоты среза, т.е. ω ω 1 ≥ c и ω π γ ω c i i n c T = − = ∑ 4 3 ( ) Метод В.В.Солодовникова. Исходными данными для синтеза среднечастот- ной области желаемой ЛАХ служат перерегулирование σ и время регулирования T p Частота среза желаемой ЛАХ определяется из условия выполнения неравенства ω ω ω c p c c p 1 2 ≤ ≤ Частота среза ω c p 1 , соответствующая максимально допустимому по ТТ време- ни регулирования T p max , находится из номограммы (рис.6.11) по заданному значе- 163 нию σ . При этом определяется максимальное значение ВЧХ замкнутой системы, P T p max max и в виде T c p cp max = π ω (6.21) На рис.6.11 показано, что значение σ = 33 % соответствует P max = 1.33 и T p cp max / = 4 π ω По выражению (6.21) вычисляют ω π cp p T = 4 / max Рациональное значение минимального времени T p max определяется из физических условий обес- печения заданного ускорения θ max отработки объектом управления начального рас- согласования ε 0 , min T p соответствует частота среза ω cp 2 : ω θ ε c p 2 0 = / (6.22) В случае ω ω c p c p 2 < частота ω c не должна быть больше ω cp 2 , хотя при этом тре- бования ко времени регулирования могут быть невыполненными. Для определения протяженности среднечастотного участка L cр с наклоном -20дБ/дек используется график (рис.6.12). По найденному значению P max определя- ется избыток фазы γ и граничные значения ординат L m среднечастотного участка L cр желаемой ЛАХ, при этом L L L m c p m ≥ ≥ − = − ≥ ≥ , ( ) , γ π ϕ ω ω ω ω 3 2 Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным можно произвести, исходя из следующих соображений: Рис.6.11 164 а) если из требований точности воспроизведения задающего воздействия g(t) определена частота ω 1 , то сопряжение следует начинать с низкочастотного участка. Наклон и форма НЧ участка выбираются с целью получения более простой коррек- тирующей цепи. При этом не должно нарушаться выполнение условия L L m m ( ) , ω 2 ≥ в противном случае нужно увеличить ω c ; б) если требования по точности не определены, то сопряжение нужно начинать со среднечастотного участка. Из точки с L L m ( ) ω 2 = проводят сопрягающий отрезок до пересечения с НЧ ЛАХ нескорректированной САУ. Сопряжение среднечастотного участка желаемой ЛАХ с высокочастотным ВЧ участком нескорректированной САУ производят, исходя из условий получения про- стейшего вида корректирующей цепи. Поэтому ВЧ участок желаемой ЛАХ либо совпадает, либо параллелен ВЧ участку ЛАХ нескорректированной системы. 6.5. Синтез последовательных корректирующих устройств В соответствии с рис.6.4 ПФ W c S ( ) скорректированной САУ имеет вид W с (S)=W k (S)W 0 (S), (6.23) где W k j ( ω )=A k j e k ( ) ( ) ω ϕ ω - АФХ последовательного КУ; W o j j A e ω ω ϕ ω ) ( ) ( ) = 0 0 - АФХ нескорректированной САУ. ЛАЧХ и ФЧХ последовательного КУ, согласно (6.23), находятся по выражениям: 201 201 201 0 gA gW j gA k c ( ) ( ) ( ), ω ω ω = − (6.24) ϕ ω ω ϕ ω k c W j ( ) arg ( ) ( ). = − 0 (6.25) Рис.6.12 165 Логарифмическая характеристика скорректированной САУ 20lg W j c ( ) ω пред- ставляет собой желаемую ЛАХ. Таким образом, вычитая из желаемой ЛАХ лога- рифмическую характеристику спроектированной реальной системы 20lgA 0 (w), полу- чим ЛАХ последовательного КУ. После определения ПФ последовательного КУ не- обходимо выбрать схему устройства и решить вопрос о месте включения КУ. По- следовательные КУ могут быть активного и пассивного типа. Эквивалентная обоб- щенная схема включения пассивного четырехполюсника показана на рис.6.13. Источник сигнала (ИС) представлен в виде эквивалентного E Г генератора с полным внутренним сопротивлением (импедансом) Z Г ; потребитель (нагрузка H) представлен импедансом Z Н . Пассивные четырехполюсники характеризуются входным Z BX и выходным Z ВЫХ импедансами. В табл. 6.1 приведены схемы и характеристики RC-цепей при следующих условиях : Z j Z j Z j Z j ВХ г В Ы Х Н ( ) ( ) , ( ) ( ) . ω ω ω ω >> << (6.26) Если условия согласования (6.26) не выполняются, то расчет параметров КУ необходимо вести с учетом импедансов Z Г (S) и Z Н (S) В случае Z Г =R Г и Z Н =R Н сопро- тивлениями источника тока (сигнала) и нагрузки можно пренебречь при следующих ограничениях на входное и выходное сопротивление корректирующей RC-цепи: R R R R Γ Η ≤ ≥ 0 1 10 , , вх min вых max (6.27) RC-цепь имеет максимальное сопротивление в установившемся состоянии (в области частот ω → 0 ), когда все конденсаторы можно считать отключенными. Ми- нимальное сопротивление будет при быстрых изменениях входного сигнала ( ω → ∞ ), когда конденсаторы можно считать закороченными. Таблица 6.1 N Электрическая схема Логарифмические частотные харак- Передаточная функция Рис.6.13 166 теристики 1 2 3 4 1 W T S T S П = + 1 , где T R C = 2 ( ) W K T S K T S П = + + 1 1 , где ( ) K R R R = + 2 1 2 ; T R C = 1 ; L K 1 20 = lg 3 W T S П = + 1 1 , где T R C = 4 W T S T S П = + + 2 1 1 1 , где ( ) T R R C 1 1 2 = + ; T R C 2 2 = ; ( ) [ ] L R R R 1 2 1 2 20 = + lg 5 ( )( ) ( ) W T S T S T S T S П = + + + + 1 2 1 2 1 1 1 1 α α , где T R C 1 1 1 = ; T R C 2 2 2 = ; T T 1 2 > ; α < 1; L 1 20 = lg α 167 В качестве примера согласования КУ с источником сигнала и нагрузкой рас- смотрим интегродифференцирующее звено (рис.6.14). Минимальное входное сопротивление (при ω → ∞ ) имеет вид R R R R R вх. min = + 2 2 Η Η Максимальное входное сопротивление (при ω → 0 ) имеет вид R R R вых. max = + Γ 1 При выполнении условий R Н >>R 2 и R 1 >>R Г получим: R R R R вх. min вых. max ≈ ≈ 2 1 , В соот- ветствии с (6.27) получим следующие условия согласования: R R R R Γ Η ≤ ≥ 01 10 2 1 , , В общем случае ПФ последовательного КУ реализуется путем последователь- ного соединения звеньев, приведенных в табл. 6.1. При этом может возникнуть такая ситуация, что выполнение условий согласования (6.27) потребует недопустимо больших или малых величин сопротивлений и емкостей. В этом случае целесообраз- но использование согласующих устройств (СУ) типа трансформаторов, эмиттерных повторителей, операционных усилителей (рис.6.15). Операционные усилители (ОУ) можно использовать не только для согласова- ния, но и в качестве активного КУ. При этом следует учитывать инерционность ОУ, то есть его рабочую полосу частот. Возможны инвертирующая (рис.6.16,а) и неинвертирующая (рис.6.16,б) схемы включения ОУ. ПФ инвертирующего и неинвертирующего ОУ имеют соответственно вид: Рис.6.14 Рис.6.15 а б Рис.6.16 168 W S U U Z S Z S a ( ) ( ) ( ) , = = − ВЫХ ВХ 2 1 W S U S U S Z S Z S б ВЫХ ВХ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + 1 2 1 Выбором полных сопротивлений Z 1 (S) и Z 2 (S) можно обеспечить требуемую пе- редаточную функцию КУ. Следует отметить, что неинвертирующий ОУ имеет значительно большее вход- ное сопротивление по сравнению с инвертирующим, но большую крутизну наклона ЛАХ в области высоких частот. |