Мизрах. Теория автоматического управления линейные непрерывные системы
 Скачать 2.15 Mb.
|
|
6.6. Синтез неминимально-фазовых систем Рассмотренная выше методика синтеза последовательного КУ не может быть непосредственно использована для обеспечения устойчивости неминимально- фазовых систем, так как основой данной методики служит компенсация нежелатель- ных нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой нескорректированной системы нулями и полюсами передаточной функции последовательного КУ и созда- ние при помощи последнего желаемых нулей и полюсов. Компенсация правых ну- лей и полюсов неприемлема, так как делает систему неустойчивой. Для обеспечения устойчивости замкнутой системы необходимо сохранение неминимально-фазовых звеньев в желаемой ЛАХ. Рассмотрим особенности формирования желаемой ЛАХ системы с неустойчивым апериодическим звеном: ( ) W S T S T i = − = 1 1 1 , ω В зависимости от величины частоты ω i возможны 3 случая: 1. ω i принадлежит НЧ области желаемой ЛАХ, т.е. ω i <<. ω C . В этом случае можно использовать вышеописанные методики синтеза среднечастотной об- ласти для минимально-фазовых систем, поскольку фазовые сдвиги в средне- частотной области от устойчивого и неустойчивого звена практически одина- ковы. 2. ω i принадлежит высокочастотной (ВЧ) области желаемой ЛАХ, т.е. ω i >> ω C . В этом случае нельзя обеспечить устойчивость замкнутой системы, так как в ПФ замкнутой системы сохранится неминимально-фазовое звено с частотой сопряже- ния, близкой к ω i , что и свидетельствует о неустойчивости замкнутой системы. 3. ω i принадлежит среднечастотной области желаемой ЛАХ, в этом случае для обеспечения устойчивости замкнутой системы необходимо введение КУ. Рассмотрим упрощенную среднечастотную область желаемой ЛАХ. Предста- вим ПФ разомкнутой системы в виде : 169 W Р (S)= K S TS ( ) − 1 , (6.28) Для устранения правого полюса ω i = 1 T введем в W Р (S) форсирующее звено ( ) T S ф + 1 , при этом желаемая ПФ разомкнутой системы будет иметь вид : W S K T S S T S Р Ж Ф ( ) ( ) ( ) , = + − 1 1 (6.29) а ПФ замкнутой системы: Φ ( ) ( ) ( ) ( ) S W S W S T S T S T S Р Ж Р Ж ф = + = + + + 1 1 2 1 1 2 2 1 ξ , (6.30) где T T K 1 2 = ; ξ = − KT KT Ф 1 2 1 (6.38) Выбором параметров К и T Ф можно обеспечить желаемые значения T 1 и ξ , возможны два типа ЖЛАХ (рис.6.17,а,б). В обоих случаях выполняется условие T Ф > T 1 , поэтому включение форсирующего звена в прямую цепь приводит к увели- чению колебательности из-за образования так называемого резонансного пика на ЛАХ L 3 ( ) ω замкнутой системы (рис.6.17,а,б). Рис. 6.17 а 170 Устранить это вредное явление можно путем включения (рис.6.18,а) последова- тельно с замкнутым контуром апериодического звена 1/( T Ф S+1) либо путем включе- ния форсирующего звена (1+ T Ф S)в цепь обратной связи контура (рис.6.18,б). В обоих случаях замкнутому контуру соответствует передаточная функция замкнутой системы: Φ ( ) , S T S T S = + + 1 2 1 1 2 2 1 ξ (6.32) Колебательность контура в этом случае определяется величиной коэффициента ξ . Следует отметить, что в схеме рис.6.18,а требуется точное и стабильное обеспе- чение равенства постоянной времени апериодического звена величине T Ф , поэтому схема рис.6.18,б более предпочтительна, так как этот недостаток отсутствует. Вышеизложенные рассуждения целесообразно применять при обеспечении ус- тойчивости и качества систем с одним правым полюсом путем охвата неминималь- но-фазового звена отрицательной обратной связью. Если внутренний контур будет устойчив, то синтез внешнего контура можно производить, как в случае минималь- но-фазовой разомкнутой системы. Рис. 6.17 б à á Рис. 6.18 171 6.7. Синтез корректирующих обратных связей В общем случае задана структурная схема или ПФ разомкнутой системы. Тре- буется обеспечить ЖЛАХ путем охвата одного или группы звеньев (рис.6.19) кор- ректирующей обратной связью с ПФ W ОС (S). ПФ спроектированной разомкнутой САУ : W S W S W S W S P ОХ В ( ) ( ) ( ) ( ), = 1 4 (6.33) где W S W S W S ОХ В ( ) ( ) ( ) = 2 3 - ПФ группы звеньев, охваченных местной обратной свя- зью. Необходимо, чтобы частотная ПФ W j C ( ) ω скорректированной САУ совпадала с ПФ W j Ж ( ) ω желаемой системы: W j W j W j W j W j W j W j C Ж ОХВ ОХ В ОС ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω ω ω = = + = 1 4 1 = + W W j W j P ОХ В ОС 1 ( ) ( ) ω ω (6.43) При определении W ОС (S) обычно используют интервал частот, для которого справедливо неравенство: W j W j ОХ В ОС ( ) ( ) , ω ω >> 1 (6.35) Тогда выражение (6.34) можно записать в виде : W W W j W j Ж P О Х В ОС = ( ) ( ) ω ω (6.36) Переходя к ЛАХ и решая относительно 20lg ( ) W j ОС ω , получим: 20lg W j W j W j W j ОС P ОХ В Ж ( ) lg ( ) lg ( ) lg ( ) . ω ω ω ω = − − 20 20 20 (6.37) Таким образом, с учетом принятого допущения (6.35), построение ЛАХ звена обратной связи (рис.6.20) заключается в построении ЛАХ нескорректированной сис- темы, ЛАХ звеньев, охваченных обратной связью, желаемой ЛАХ, а затем в их ал- гебраическом сложении в соответствии с (6.37). Рис. 6.19 172 Передаточная функция звена обратной связи, записанная по виду ЛАХ L ОС , имеет вид: W S K S S S ОС ОС ( ) ( )( ) ( ) = + + + 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 ω ω ω Полученная ПФ физически нереализуема, так как степень числителя выше сте- пени знаменателя. Для уравнивания степеней числителя и знаменателя необходимо ввести дополнительные апериодические звенья в области частот ω на порядок боль- шей частоты среза 1 10 T g g C = ≥ ω ω : W S K S S S T S ОС ОС g ( ) ( )( ) ( )( ) = + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 ω ω ω В.В. Солодовниковым был предложен метод выбора звена обратной связи по эквивалентному последовательному КУ. Идея метода основана на эквивалентности динамических свойств систем, имеющих одинаковые частотные характеристики. Рассмотрим две САУ (рис.6.21), имеющие одинаковые желаемые ПФ, хотя одна из них содержит последовательное КУ W K (S) (рис.6.21,а), а другая - местную обрат- ную связь W ОС (S) (рис.6.21,б). Приравнивая ПФ этих систем и учитывая, что W S W s W S P ОХ В ( ) ( ) ( ) = 1 получим: Рис. 6.20 а б Рис. 6.21 173 W j W j W j W W j W j Ж P K P ОХ В ОС ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ω ω ω ω ω = = + 1 (6.38) Если в требуемом диапазоне частот выполняется условие (6.35), то можно за- писать: W j W j W j К ОХ В ОС ( ) ( ) ( ) , ω ω ω ≈ 1 (6.39) Переходя к ЛАХ и решая выражение (6.39) относительно W j ОС ( ) ω , получим: 20lg W j ОС ( ) lg ω = − 20 W j W j ОХ В К ( ) lg ( ) . ω ω − 20 (6.40) Таким образом, методика синтеза ПФ W j ОС ( ) ω состоит в следующем (рис.6.22): построить ЛАХ L P ( ) ω не скорректированной системы (неизменяемой части) по условиям технической реализации; построить ЖЛАХ, исходя из технических требований; определить звено или звенья, подлежащие охвату обратными связями, в зави- симости от структурной схемы САУ и рекомендаций о влиянии различных ООС; построить ЛАХ L П К ( ) ω последовательного КУ, вычитая из желаемой неизме- няемую ЛАХ; построить ЛАХ L ОХ В ( ) ω звеньев, охваченных обратной связью; построить ЛАХ звена обратной связи L ОС ( ) ω согласно (6.40), то есть сложить ЛАХ охваченного звена и ЛАХ последовательного КУ, а затем взять зеркальное от- ражение полученной ЛАХ относительно оси частот. С целью проверки и уточнения вида КУ вводится построение ЛАХ скорректи- рованной системы: 20 lg ( ) lg ( ) lg ( ) ( ) , W j W j W j W j C P ОХ В ОС ω ω ω ω = + + 20 20 1 1 (6.41) Рис. 6.22 174 Второе слагаемое выражения (6.41) может быть построено с помощью номо- граммы замыкания. Если в диапазоне частот 0 10 ≤ ≤ ω ω C ЛАХ 20 lg ( ) W j С ω практи- чески совпадает с ЛАХ 20 lg ( ) W j Ж ω , то ПФ обратной связи рассчитана верно. Наи- более вероятная ошибка расчета W S ОС ( ) состоит в том, что во внутреннем контуре не выполняется условие (6.35).Устранить ошибку можно либо увеличением коэффи- циента передачи обратной связи, либо увеличением коэффициента W S ОХ В ( ) , по- следнее обычно предпочтительнее. Если система содержит ряд параллельных цепей ООС, охватывающих одну и ту же последовательность звеньев, то удобно использо- вать метод обратных ЛАХ. В этом случае расчеты проще и нагляднее. Рассмотрим систему с одной местной ООС (рис. 6.21,6). За исходную ПФ при- мем обратную ПФ разомкнутой системы: W S W S W S W S W S W S Ж C ОХ В ОС − − = = + 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (6.42) Число слагаемых выражения (6.42) равно числу замкнутых внутренних конту- ров, включая главную ООС, причем W 1 (S) может быть последовательным КУ или звеном системы. Если последовательное КУ не введено ( W 1 (S)=1),то выражение (6.42) имеет вид : W S W S W S Ж ОХ В ОС − − = + 1 1 ( ) ( ) ( ), (6.43) В диапазоне частот, для которых W j W j ОХ В ОС − << 1 ( ) ( ) ω ω , приблизительно име- ем W j W j Ж ОС − ≈ 1 ( ) ( ), ω ω в диапазоне частот, для которых W j W j ОХ В ОС − >> 1 ( ) ( ) ω ω , по- лучим W j W j Ж ОХ В − − ≈ 1 1 ( ) ( ) ω ω . Такимобразом, определяя диапазоны частот, где одно из слагаемых выражения (6.43) значительно больше другого, можно относительно про- сто найти ПФ W S о с ( ) , что является достоинством метода обратных ЛАХ. В общем случае методика синтеза W S ОС ( ) состоит в следующем: выбираем ЖЛАХ по известным методикам и строим L W j Ж − 1 ( ) ω (рис.6.23); считая W S W S C Ж ( ) ( ) = , строим ЛАХ первого слагаемого выражения (6.42), то есть L W j W j ОХ В − 1 1 ( ) ( ) , ω ω (штриховая линия на рис.6.23), так, чтобы ее НЧ и ВЧ части сов- пали с ЛАХ L W j Ж − 1 ( ) ω продолжим асимптоты ЖЛАХ, соответствующие второй НЧ асимптоте и пер- вой СЧ асимптоте с наклоном "+l" ( иногда вторая СЧ асимптота с наклоном "+2") неограниченно влево с частоты ω а и вправо с частоты ω б и примем полученную та- ким образом ЛАХ за характеристику L W j W j ОC ( ) ( ) ω ω 1 . Дело в том, что для ω < ω а и ω < ω б выполняется условие : 175 W j W j W j W j ОС ОХ В ( ) ( ) ( ) ( ) , ω ω ω ω 1 1 1 < − (6.44) поэтому в этих частотных областях W j W j W j ОХ В Ж − − ≈ 1 1 1 ( ) ( ) ( ), ω ω ω (6.45) С другой стороны, в интервале средних частот ω а < ω < ω б выполняется условие : W j W j W j W j ОС ОХ В ( ) ( ) ( ) ( ) , ω ω ω ω 1 1 1 > − (6.46) поэтому в СЧ диапазоне имеем: W j W j W j ОС Ж ( ) ( ) ( ), ω ω ω 1 1 ≈ − (6.47) Согласно ЛАХ можно записать выражение ПФ отношения W S W S ОС ( ) ( ) : 1 W S W S K S T S ОС ОС ( ) ( ) 1 2 2 1 = + (6.48) Отсюда можно найти ПФ звена ОС в виде W ОС (S)= K S W S T S ОС 2 1 2 1 ( ) + Необходимо убедиться, что внутренний контур ПФ W S W S W S В Н К ОХ В О С ( ) ( ) ( ) = устойчив. Контур находится на границе устойчивости, если при некотором ω спра- ведливо равенство : W j W j ОХ В О С ( ) ( ) , ω ω = − 1 (6.49) которое можно заменить уравнениями баланса фаз и амплитуд: Рис. 6.23 176 W j W j ОХВ ОС ( ) ( ) , ω ω = 1 (6.50) arg ( ) arg ( ) W j W j ОС ОХ В ω ω π + = − , (6.51) ЛАХ внутреннего контура (рис.6.23) можно найти согласно выражению : L W j L W j W j L W j W j ВН К ОС О Х В ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ω ω ω ω ω = − − 1 1 1 (6.52) Из ЛАХ W j ВН К ( ) ω видно, что равенство (6.50) выполняется на частотах ω а = ω и ω = ω б . Если при этом внутренний контур имеет запас устойчивости γ по фазе, то контур устойчив. Запас устойчивости по фазе γ , исходя из имеющихся уже характе- ристик, может быть найден из выражения : γ π ω ω π ω ω ω ω = − + = − − − arg ( ) arg ( ) arg ( ) ( ) ( ) ( ) , W j W j W j W j W j W j ОС ОХ В ОС ОХ В 1 1 1 (6.53) при ω а = ω , ω = ω б Следует отметить, что величину γ нужно вычислять лишь на тех частотах ω а или ω б , где наклон асимптоты ЛАХ по модулю больше "±1", то есть при наклоне "±1" запас по фазе будет обязательно. Обычно принимают требуемое значение γ ≥ 30°, если полученное значение γ < 30°, то необходимо изменить соответственно на- клон асимптот L W j ВН К ( ) ω (обычно в точке ω б ) и L W j ОС ( ) ω |