Курс лекций. Теория статистики Пособие для студентов, обучающихся по дистанционной системе Введение Статистика
 Скачать 2.79 Mb.
|
Тема 5. Средние показатели
5.1. Средняя, её сущность и определениеРасчет средних показателей призван дать обобщенную количественную характеристику изучаемого массового процесса, отражаемого вариационным рядом. Метод средних, взятый в его общей форме, является специфической особенностью статистической методологии. Метод средних не ограничивается только расчетом средней арифметической, существуют и другие виды средних. В экономической и социальной жизни множество массовых явлений объективно имеет тенденцию к осреднению, например, цены на однородные товары, результаты торгов на биржах в регионе, стране, в мире, общественное мнение и др. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам Взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Именно в объективности этой тенденции и заключена причина широкого применения средних величин на практике и в теории. Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, то есть замене различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Мы все слышали термин «акселлерация», каждое последующее поколение выше ростом предыдущего, то есть рост сыновей выше роста отцов в том же возрасте и т.д. Но как измерить это явление? Далеко не в каждой семье рост сына выше роста отца. Но если мы измерим средний рост многих тысяч людей, то по различиям в среднем росте отцов и сыновей точно установим и сам факт акселерации и типичную среднюю величину увеличения роста за одно поколение. Себестоимость производства одного и того же товара отличается у различных производителей, но рынок, определяет стоимость товара по среднему расходу ресурсов на его производство. Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности. Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это будет объясняться тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна - общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам. Так, например, для лиц с достаточно однородным уровнем доходов и социально-демографическими характеристиками (например, пенсионеров), определяют типичные доли расходов на покупку продуктов питания в их бюджете. Следует помнить, что типическая средняя не является раз и навсегда заданной характеристикой. Это понятие ограниченное как в пространстве, так и во времени. Например, средний размер пенсии, - типическая характеристика, так как размеры пенсий у нас не сильно дифференцированы. А вот средние доходы населения – на сегодняшний день нельзя назвать типической характеристикой, так как в нашем обществе сегодня очень высокая поляризация доходов. В такой ситуации средний доход получается по известному анекдоту: один человек съел курицу, второй не съел ничего – в среднем они съели по пол курицы. Однако, статистика использует средние не только для характеристики типичных значений признака в однородных по данному признаку совокупностях. Например, среднее потребление мяса на душу населения, средняя урожайность зерновых, произведенный национальный доход на душу населения – это средние значения, рассчитанные для весьма неоднородных явлений. Эти показатели – характеристики государства как единой экономической системы, это так называемые системные средние. Системные и типические средние связаны между собой. Типическая средняя может обобщать системные средние для однородной совокупности, или системная средняя может обобщать типические средние для единой, хотя и неоднородной системы. 5.2. Виды и формы средних величинОпределить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:  Так, например, для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников:  Числитель исходного соотношения средней представляет собой определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Независимо от того, какой первичной информацией мы располагаем - известен ли нам общий фонд заработной платы или заработная плата и численность работников, занятых на отдельных должностях, или какие-либо другие исходные данные - в любом случае среднюю заработную плату можно получить только через данное исходное соотношение средней. Для каждого показателя, используемого в экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней. Если, например, требуется рассчитать средний размер вклада в банке, то исходное соотношение будет следующим:  Если же необходимо определить среднюю процентную ставку по кредитам, выданным на один и тот же срок, то потребуется следующее исходное соотношение:  Однако от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение. В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения потребуется одна из следующих форм средней величины: средняя арифметическая; средняя гармоническая; средняя геометрическая; средняя квадратическая, кубическая и т.д. Перечисленные средние объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине k): Общая формула степенной средней записывается следующим образом: И  зменение показателя степени k приводит в каждом отдельном случае к определенному виду средней. При k = -1, получим среднюю гармоническую величину:  При k = 0 получим среднюю геометрическую (Вывод формулы в учебнике ОТС Ефимова М.Р. стр. 94-95)  При k = 1 получим среднюю арифметическую: При k = 2 – среднюю квадратическую  И  т.д. до любой степени. Поскольку вариационные ряды обычно сгруппированы по одинаковым значениям признака, либо в интервалах его значений, то чаще для расчетов применяют формулы средних взвешенных. В этих формулах в качестве весов выступают значения частот. Взвешенные формулы имеют вид:      Во всех формулах xi –индивидуальные значения признака; fi – частота повторения индивидуального значения признака, n – объем совокупности. Степенные средние, исчисленные для одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. Это отражено в правиле мажорантности средних. Ч ем больше показатель степени, тем больше величина соответствующей средней: В  ыбор вида степенной средней определяется экономическим содержанием задачи или наличием данных. Помимо степенных средних в экономической практике также используются средние структурные, среди которых наиболее распространены мода и медиана. При осреднении уровней динамических рядов применяются различные виды средней хронологической. 5.3. Средняя арифметическая Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. Предположим, восемь предприятий фирмы имеют следующий объем выпуска за месяц:
Для того, чтобы определить средний месячный выпуск в расчете на одно предприятие, можно воспользоваться следующим исходным соотношением:  Используя приведенные в предыдущем параграфе условные обозначения, запишем формулу данной средней:  (5.1) С учетом имеющихся данных получим: В данном случае мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной). Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными. Рассмотрим следующий условный пример: Сделки по акциям эмитента "Х" за торговую сессию
Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи 1 акции, что можно сделать, только используя следующее исходное соотношение:  Чтобы получить общую сумму сделок необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем иметь следующий результат:  Расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной: (5.2) В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Так, в приведенном выше примере количество проданных в ходе каждой сделки акций соответственно составляет 37,8% (0,378); 10,8% (0,108) и 51,4% (0,514) от их общего числа. Тогда, с учетом несложного преобразования формулы (5.4.) получим: (5.3) или = 420 · 0,378 + 440 · 0,108 + 410 · 0,514 = 417,03 руб. На практике наиболее часто встречаемая при расчете средних ошибка заключается в игнорировании весов в тех случаях, когда эти веса в действительности необходимы. Предположим, имеются следующие данные: Себестоимость продукции "Z"
Можно ли по имеющимся данным определить среднюю себестоимость данной продукции по двум предприятиям, вместе взятым? Можно, но только в том случае, когда объемы производства данной продукции на двух предприятиях совпадают. Тогда средняя себестоимость составит 38,0 руб. (доказательство этого правила будет приведено ниже.). Однако на первом предприятии за рассматриваемый период может быть произведено, к примеру, 50 единиц продукции, а на втором - 700 единиц. Тогда для расчета средней себестоимости потребуется уже средняя арифметическая взвешенная: Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство. При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример: Распределение сотрудников предприятия по возрасту
Для определения среднего возраста персонала найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими: 22,5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0 Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст работников данного предприятия:  5.4. Средняя гармоническая. Пример 1. Рассмотрим применение средней гармонической на конкретном примере. Предположим, наблюдая за работой пяти рабочих в течение одного часа мы получили следующие данные о затратах ими рабочего времени на изготовление одной детали (x) в часах: 0,2; 0,3; 0,3; 0,5; 0,5. Требуется рассчитать среднее время, затрачиваемое одним рабочим на изготовление детали. Решение Для решения необходимы данные об общих затратах времени всех пяти рабочих и о числе выработанных за это время деталей. Будем исходить из предположения, что рабочие работали один час. Тогда общие затраты времени составят 5 человеко-часов. За это время первый рабочий выработает 1/0,2=5 деталей, второй и третий по 1/0,3=3,3 детали, а четвертый и пятый по 1/0,5=2 детали. Все вместе они выработали 15,6 деталей. В среднем на одну деталь затрачивалось 5/15,6=0,32 часа. Если все расчеты представить в виде формулы, то последняя и будет представлять собой среднюю гармоническую простую:  Пример 2. Один рабочий в течение 8 час. работы затрачивал на изготовление детали 2 мин., второй 6 мин. Сколько времени в среднем двое рабочих затрачивали на производство детали? Решение 1) Вычислим среднее арифметическое время: (2+6)/2=4. Рассуждаем далее. Если в среднем на одну деталь затрачивается 4 минуты, то в час будет производиться (60/4)=15 деталей, а за 8 часов 120 деталей. Двое рабочих в течение дня произведут 2*120 = 240 деталей. Этот расчет произведен с помощью средней арифметической. 2) Рассуждаем по-другому, используя индивидуальные нормы выработки. Первый рабочий за час производит (60/2) = 30 деталей, а за 8 часов – 240 деталей. Второй – за час (60/6) = 10 деталей, за 8 часов – 80 деталей. Следовательно, за день оба рабочих произведут 240+80=320 деталей, а не 240 как мы нашли по методу средней арифметической. Значит ли это что средняя арифметическая неверна? Нет, просто выбрана не та средняя, которую надо применять в данном случае. Чтобы отыскать нужную нам среднюю будем рассуждать так. Найдем норму времени на выработку одной детали как  ,где t – время, затраченное отдельным рабочим; q – количество продукции, выработанной отдельным рабочим. Этот расчет и формула будут верны независимо от того, что принять за единицу времени. Если норму исчисляем в минутах или часах, то затраченное время так же выражается в минутах или часах. Количество изделий нам неизвестно, но его можно рассчитать, разделив затраты времени отдельных рабочих на их индивидуальные нормы. Средняя норма как отношение затрат времени ко всему количеству деталей равняется: N=120/40=3 (мин). 120 мин – это 60*2, 40 это – число деталей за час, произведенное двумя рабочими. Таким образом, средняя норма времени составит 3 минуты. Если рабочий вырабатывает изделие за 3мин., то за час он изготовит 20 изделий, за смену –160, а вдвоем – 320! Расчеты можно представить в виде средней гармонической невзвешенной:  , где  - затраты времени на одну деталь.В целом ряде случаев применение с | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Рынки | Цена за ед.продукции (руб.) Х | Количество проданной продукции, шт. f | Выручка от продажи, руб. М |
| I | 0,30 | 1000 | 300 |
| II | 0,35 | 2000 | 700 |
| III | 0,40 | 2000 | 800 |
| Итого | - | 5000 | 1800 |
Требуется рассчитать среднюю цену, по которой продавался товар.
1) Предположим, мы располагаем только данными о ценах на трех рынках и о количестве товара, проданного на каждом их них. При этом цены на отдельных рынках выступают в качестве вариантов, а количество проданного товара – в качестве весов. Тогда средняя цена определится по по средней арифметической взвешенной, то есть
2
) Теперь предположим, что количество проданного товара неизвестно, а известны лишь цены и выручка от продажи. В этом случае логические рассуждения остаются теми же, но расчет следует записать в форме средней гармонической взвешенной.
Выручка от продажи определенного вида товара – не что иное, как
. Частное от деления выручки от продажи на цену за ед. продукции по определенному виду продукции даст нам частоту: 
, тогда формула для расчета средней величины приобретает вид средней гармонической взвешенной:
Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным единицам совокупности, а представлена как произведение xf.
Р
езультат, как и следовало ожидать, получился тот же.
Пример 4. Пусть требуется определить средний размер двух видов вклада в банке в октябре и ноябре ХХ года по данным следующей таблицы:
Информация о вкладах в банке для расчета средних значений
| | Октябрь | Ноябрь | ||
| Вид вклада | Число вкладов, тыс., f | Средний размер вклада, тыс. руб. х | Сумма вкладов, млн. руб. М | Средний размер вклада, тыс. руб. х |
| До востребования | 10 | 35 | 4,07 | 37 |
| Срочный | 8 | 40 | 3,87 | 43 |
В октябре известен средний размер вкладов каждого вида х и количество вкладов f. Следовательно, для расчета среднего размера вклада по двум видам применяем формулу средней арифметической взвешенной, тыс. руб.:
В ноябре известен средний размер вкладов каждого вида, а количество вкладов не известно, но зато имеются данные об общих суммах вкладов.
Путем деления сумм вкладов М каждого вида на их средний размер вклада х можно определить веса – число вкладов по их видам f, а затем определить средний размер вклада по двум видам по формуле средней арифметической.
Однако, если в расчете использовать среднюю гармоническую, то отпадает необходимость предварительного расчета весов – размеров вкладов по каждому виду, поскольку эта операция заложена в саму формулу. Средняя гармоническая взвешенная применяется, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным единицам совокупности, а представлена как произведение xf. Чтобы исчислить среднюю, обозначим xf=М, откуда f=w/x. Преобразуем формулу средней арифметической так, чтобы по имеющимся данным x и М можно было исчислить среднюю.
В формулу средней арифметической взвешенной вместо xf подставим М, вместо f – отношение М/x и получим формулу средней гармонической взвешенной:
Итак, средний размер вклада в ноябре по двум их видам находим по формуле средней гармонической взвешенной, тыс. руб.:
Пример 5. В результате проверки двух партий муки потребителям установлено, что в первой партии муки высшего сорта было 3942 кг., что составляет 70,4% общего веса муки этой партии. Во второй партии муки высшего сорта было 6520 кг., что составляет 78,6% общего веса муки этой партии. Определите процент муки высшего сорта в среднем по первой и второй партиям вместе.
Решение
Средний процент муки высшего сорта по двум партиям определяем по формуле средней гармонической взвешенной:
5.5. Средняя геометрическая
Пример 1. Предположим, Вы внесли деньги в банк на срочный депозит, процент по которому ежегодно изменяется в зависимости от ставки рефинансирования ЦБ. После каждого года сумма, равная процентному приросту, добавляется к сумме счета. Например, первоначальная сумма вклада составила 100 денежных единиц. За первый Вы получили 5% дохода по вкладу, за второй 7%, за третий 9% и за 4-й – 10%. Каков средний уровень дохода по вкладу за 4 года?
Можно сложить вычислить среднюю арифметическую величину дохода:
. Верно ли это?Ведем следующие условные обозначения: P – первоначальная сумма вклада,
- доход по вкладу в первый, второй, третий и четвертый годы соответственно (в долях единиц), F – сумма вклада по истечении четырех лет. Если первоначальная сумма вклада - Р, то после первого года она возрастает и становится
. В конце второго года эта сумма составит 
. В конце третьего года: 
. По истечении четырех лет сумма составит 
Если необходимо определить средний процент дохода i, который даст сумму дохода F по истечении четырех лет, при прибавлении ежегодного накопленного прироста к сумме вклада, то это будет величина, которая определится из следующего уравнения:
Решение этого уравнения находится по формуле:
,где (i+1) - геометрическая средняя из (1+i1 ),(1+i2),(1+i3),(1+i4)).
Средний процент дохода по вкладу равен
, что отличается от результата, полученного по средней арифметической. Общий вид формулы средней геометрической невзвешенной:
Средней геометрической взвешенной:
(5.4)Согласно правилу мажорантности средней, расчет по средней арифметической завышает результат, чем длиннее период расчета, тем больше будет ошибка.
Пример 2. В результате инфляции за первый год цена товара возросла в два раза к предыдущему году, а за второй год еще в три раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена возросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Арифметическая средняя здесь непригодна, поскольку, если за год цена выросла бы в (2+3)/2=2,5 раза, то за два года цена выросла бы в 2,5 *2,5 = 6,25, а не в 6 раз. Геометрическая средняя даст правильный ответ:
раза.Геометрическая средняя дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака.
Пример 3. Максимальный выигрыш в лотерее составляет миллион рублей, а минимальный – сто рублей. Какую величину можно считать средней между миллионом и сотней? Арифметическая средняя явно непригодна, так как составляет 500050 рублей, а это, как и миллион, крупный, а никак не средний выигрыш. Геометрическая средняя в этом случае дает наиболее правильный с точки зрения экономики и логики ответ:
руб.Контрольные вопросы по теме «Средние показатели»
Каковы условия необходимости применения и типичности средней величины?
Какая величина должна быть использована в качестве обобщающей средней характеристики, чтобы число отклонений индивидуальных значений признака от нее было минимальным?
Какой показатель обладает свойством: алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от него равна 0?
Если все значения признака ряда уменьшить в одно и тоже число раз, то что произойдет со средней арифметической?
Чем обусловливается выбор способа вычисления средней величины?
В чем заключается правило мажорантности средних?
Средняя арифметическая, мода и медиана как меры центральной тенденции.
Контрольные задания по теме «Средние показатели»
Общий размер капитала пяти коммерческих банков составлял 18,8 млн. ден. ед., а общая сумма прибыли – 51,7 млн. ден. ед. Определить среднюю прибыльность капитала.
Просроченнаязадолженность по кредитам акционерным обществ (АО) за отчетным период характеризуется следующими данными:
| Номер акционерного общества | Задолженность по кредитам, тыс. руб. | Удельный вес просроченной задолженности, % |
| 1 | 2500 | 20 |
| 2 | 3000 | 30 |
| 3 | 1000 | 16 |
| Итого: | 6500 | - |
Определить средний процент просроченной задолженности акционерного общества.