1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
 Скачать 7.39 Mb.
|
|
Решение. На третий день запланировано выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна Ответ: 0,2. 4. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате следующих событий: батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или батарейка исправна, но по ошибке забракована. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно и События быть неисправной батарейкой или быть исправной образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно происходит), поэтому можно применить формулу полной вероятности. Получим: Ответ: 0,0673. 5. Найдите корень уравнения: Решение. Последовательно получаем: Ответ: −1,25. 6. Найдите значение выражения Решение. Выполним преобразования: = Ответ: 2. 7. На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней. Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и Осталось найти, при каких x производная принимает значение 2. Искомая точка Ответ: 5. 8. При температуре рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону где — коэффициент теплового расширения, — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. Решение. Задача сводится к решению уравнения мм при заданных значениях длины м и коэффициента теплового расширения : Ответ: 37,5. 9.Расстояние между городами A и B равно 440 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах. Решение. Пусть автомобили встретятся на расстоянии S км от города A, тогда второй автомобиль пройдет расстояние км. Второй автомобиль находился в пути на 1 час меньше первого, отсюда имеем: Ответ: 200. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите абсциссу вершины параболы. Решение. Из рисунка видно, что следовательно, Решая эту систему, находим Абсцисса вершины параболы Ответ: −4. 11. Найдите точку минимума функции Решение. Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: Искомая точка минимума Ответ: 2,25. 12. а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) Решим уравнение: б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном промежутке лежат корни: 13. Точка M — середина ребра AA1 треугольной призмы ABCA1B1C1, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B1 перпендикулярно прямой C1M. а) Докажите, что одна из диагоналей грани ACC1A1 равна одному из ребер этой грани. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1:5, считая от вершины A, AC = 20, AA1 = 32. Решение. а) Так как плоскость α перпендикулярна прямой C1M и содержит ребро BB1, то ребро BB1 перпендикулярно прямой C1M, следовательно, ребро AA1 перпендикулярно прямой C1M, то есть в треугольнике AA1C1 прямая C1M является медианой и высотой, следовательно, треугольник AA1C1 — равнобедренный, где б) Так как BB1 лежит в плоскости α и ребро CC1 параллельно ребру BB1, то ребро CC1 параллельно плоскости α и расстояние от точки C до плоскости α равно расстоянию от C1 до плоскости α. Пусть K и K1 — точки пересечения плоскости α с ребрами AC и A1C1, соответственно. Ребра AA1, BB1, CC1 параллельны, следовательно, прямая KK1 параллельна ребру AA1. Точки H и G — точки пересечения KK1 с C1M и C1A, соответственно. Треугольник C1K1G подобен треугольнику C1A1A. Высота C1M перпендикулярна плоскости α, следовательно, искомое расстояние равно C1H. Тогда и следовательно, А так как то Ответ: б) 10. 14. Решите неравенство Решение. При условии учитывая монотонное возрастание логарифмической функции с основанием, большим 1, имеем: Решая последнее неравенство методом интервалов окончательно получаем: Ответ: 15. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)? Решение. Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 3 лет, составляет откуда Заметим, что 69 690 821 кратно Действительно, Ответ: 124 809 100 рублей. Замечания: 1. В мировой практике существует и работает два способа (схемы) погашения кредитов: дифференцированная, при которой периодический платеж включает постоянную сумма для погашения основного долга по кредиту, к которой прибавляются проценты на оставшуюся часть долга, и аннуитетная при которой долг гасится равными платежами, как в условии данной задачи. 2. При аннуитетной схеме, как правило, бывает кратным либо фиксированная сумма, которую клиент обязан вносить в отчетный период, либо сумма взятого кредита. Возможен случай, когда та или другая сумма, указанная выше, кратна 3. Прежде чем приступить к решению задачи, лучше проверить ожидаемые кратности, что облегчит дальнейшие вычисления. Приведём другое решение. Заметим, что ежегодный платеж равен 69 690 821 = 31 000 000 · 1,313. Если искомая сумма составляет x рублей, то:
Решение уравнения: Ответ: 124 809 100 рублей. 16. На диаметре АВ окружности ω выбрана точка С. На отрезках АС и ВС как на диаметрах построены окружности ω1 и ω2 соответственно. Прямая l пересекает окружность ω в точках А и D, окружность ω1 — в точках А и Е, а окружность ω2 — в точках М и N. а) Докажите, что MD = NE. б) Найдите радиус круга, касающегося окружностей ω, ω1 и ω2, если известно, что АС = 10, ВС = 6. Решение. а) Заметим, что (опираются на диаметры), следовательно, четырехугольник CEDB — прямоугольная трапеция (см. левый рис.). Пусть точка O2 — центр ω2, точка P — середина MN, тогда отрезок O2P является высотой равнобедренного треугольника MO2N. Отрезки O2P и MN взаимно перпендикулярны и отрезки O2P и CE параллельны, значит, точка P — середина отрезка ED. Следовательно, что требовалось доказать. б) Пусть искомая окружность касается ω в точке O3 и имеет радиус r (см. правый рис). Используя теорему косинусов для треугольников O1O2O3 и OO2O3, найдем в каждом из них косинус их общего угла O2 и приравняем полученные выражения: Ответ: Примечание. В пункте б) можно было иначе применить теорему косинусов: косинус смежных углов O1OO3 и O2OO3 противоположны, поэтому тогда 17. Найдите все значения параметра a, при котором система уравнений имеет ровно четыре различных решения. Решение. Решим второе уравнение из системы: Следовательно, решениями системы являются пары вида и а потому система имеет четыре различных решения, если ее первое уравнение имеет два различных решения при и имеет два различных решения при Причем пара решений входит в оба случая, а потому соответствующее значение параметра необходимо исключить. Найдем его, подставив пару чисел в первое уравнение исходной системы: — неверно, значит пара чисел не являются решением системы ни при каком значении a. Подставим в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной y виду. Получим: При полученное уравнение будет линейным и не сможет иметь ровно два корня, при прочих значениях параметра найдем дискриминант: Уравнение имеет два различных корня если его дискриминант положителен, то есть при или при Подставим в первое уравнение исходной системы и преобразуем полученное уравнение к квадратному относительно переменной x виду. Получим: При полученное уравнение решений не имеет, при прочих значениях параметра найдем дискриминант: Найдем нули дискриминанта: Следовательно, уравнение имеет два различных корня при или при Таким образом, система имеет четыре решения при выполнении следующих условий: Ответ: 18. Первый член геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 368. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел. а) Может ли число 575 являться членом такой прогрессии? б) Может ли число 920 являться членом такой прогрессии? в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии? Решение. а) Поскольку а подойдет прогрессия со знаменателем 368, 460, 575. б) Заметим, что поэтому Это число должно быть равно степени знаменателя прогрессии. Тогда эта степень, очевидно, первая, поскольку корни любой натуральной степени из этого числа будут иррациональны и не могут быть знаменателями прогрессии. Значит, следующий член прогрессии равен то есть условие о трехзначности не выполняется. в) Из п. а) известно, что число 575 может быть членом прогрессии, поэтому убывающие прогрессии можно не рассматривать. Пусть знаменатель прогрессии равен несократимой дроби тогда последний член прогрессии равен Число xn должно быть целым и трехзначным, а потому 368 должно нацело делиться на Для этого иначе 368 не разделится даже на b2. Разберем случаи. 1. Если b = 1, то и третий член прогрессии превосходит 1000: 2. Если b = 2, то a нечетное число. При a = 3 прогрессию составляют числа 368, 552 и 828; при для третьего члена прогрессии получаем: 3. Если b = 4, то a нечетное число. Возможны варианты: при прогрессию составляют числа 368, 46 и 575; при получаем Ответ: а) да; б) нет; в) 828. Примечание. Другое решение пункта в) мы привели в аналогичной задаче 563922, которая была предложена на ЕГЭ по математике в 2001 году. Тренировочный вариант 17 ЕГЭ 2023 (январский). 1. В треугольнике ABC AC = BC = 20,5, Найдите AB. 2. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды. 3. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом. 4. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано три броска? Ответ округлите до сотых. 5. Найдите корень уравнения 6. Найдите значение выражения 7. На рисунке изображен график y = f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−12; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−8; 9]. 8. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 3,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых. 9. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b, c и d — целые. Найдите 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке 12. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 13. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2. а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция. б) Вычислите длину средней линии этой трапеции. 14. Решите неравенство: 15. 15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r. | |||||||||||||||||||||||