1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1

• Название: Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
• Дата: 02.01.2023
• Размер: 7.39 Mb.
• Имя файла: 1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023.docx
• Тип: Документы; #870577
• страница: 1 из 14

Тренировочный вариант 1 ЕГЭ 2023 (январский).

1.

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

2. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

3. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

5. Найдите корень уравнения 

6. Найдите значение выражения 

7.  На рисунке изображен график производной функции   Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику   параллельна прямой   или совпадает с ней.

8. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре   Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением   Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе   кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением   (с), где   − постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.

9. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

10.

На рисунке изображён график функции   Найдите значение x, при котором 

11. Найдите точку максимума функции 

12. а)  Решите уравнение 

б)  Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB  — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.

а)  Докажите, что ABCD  — квадрат.

б)  Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен 

14. Решите неравенство: 

15. При рытье колодца глубиной свыше 10 м за первый метр заплатили 1000 руб., а за каждый следующий на 500 руб. больше, чем за предыдущий. Сверх того за весь колодец дополнительно было уплачено 10 000 руб. Средняя стоимость 1 м оказалась равной 6250 руб. Определите глубину колодца.

16. Прямая, проходящая через вершину В прямоугольника ABCD, перпендикулярна диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D. 

а)  Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б)  Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если 

17. При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений

имеет решения?

18. Каждое из чисел a₁, a₂, …, a₃₅₀ равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S₁  =  a₁+a₂+...+a₃₅₀,

S₂  =  a₁²+a₂²+...+a₃₅₀²,

S₃  =  a₁³+a₂³+...+a₃₅₀³,

S₄  =  a₁⁴+a₂⁴+...+a₃₅₀⁴.

Известно, что S₁ = 513.

 

а)  Найдите S₄, если еще известно, что S₂  =  1097, S₃  =  3243.

б)  Может ли S₄  =  4547 ?

в)  Пусть S₄  =  4745. Найдите все значения, которые может принимать S₂.

Тренировочный вариант 2 ЕГЭ 2023 (январский).

1.  Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

2.  Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

3. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам  — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

4. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

5. Найдите корень уравнения 

6. Найдите значение выражения 

7. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  9 с.

8. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне   через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды   кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры   до температуры   причeм   где    — теплоeмкость воды,    — коэффициент теплообмена, а    — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

9. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в   К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в 

10.

На рисунке изображён график функции   Найдите 

11. Найдите точку минимума функции 

12. а)  Решите уравнение 

 

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку 

13. В правильном тетраэдре АВСD точка Н  — центр грани АВС, а точка М  — середина ребра СD.

а)  Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.

б)  Найдите угол между прямыми DН и ВМ.

14. Решите неравенство 

15. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн рублей?

16. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O₁ и O₂ соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.

а)  Докажите, что прямые AO₁ и CO₂ перпендикулярны.

б)  Найдите площадь четырёхугольника MO₁NO₂, если AC = 20 и BC = 15.

17. Найти все значения параметра a, при каждом из которых среди значений функции   есть ровно одно целое число.

18. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а)  Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б)  Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в)  Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Тренировочный вариант 3 ЕГЭ 2023 (январский).

1.  Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна   а острый угол равен 60°.

2.

Объем параллелепипеда   равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды 

3. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

4. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

5. Найдите корень уравнения 

6. Найдите значение выражения 

7. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени   с.

8. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой   кг и радиуса   см, и двух боковых с массами   кг и с радиусами   При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в   даeтся формулой   При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625  ? Ответ выразите в сантиметрах.

9. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

10.

На рисунке изображён график функции   Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,8.

11. Найдите точку максимума функции 

12. а)  Решите уравнение: 

б)  Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [log₃0,5; log₃2].

13. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N  — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а)  Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б)  Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

14. Решите неравенство: 

15. Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

16. Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC  — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.

а)  Доказать, что MA = MD.

б)  Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

18. Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

а)  Приведите пример числа, для которого это частное равно 

б)  Может ли это частное равняться 

в)  Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

Тренировочный вариант 4 ЕГЭ 2023 (январский).

1.

Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

2.  В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.

3. На рок-фестивале выступают группы  — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

4. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

5. Найдите корень уравнения: 

6. Найдите значение выражения   при 

7.  Функция   определена и непрерывна на интервале   На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции   В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

8. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени   моль воздуха объeмом   л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма   Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением   (Дж), где   − постоянная, а   − температура воздуха. Какой объeм   (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?

9. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

10.

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

11. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке 

12. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Длина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P  =  4.

а)  Докажите, что PBDC₁ — правильный тетраэдр.

б)  Найдите длину отрезка AP.

14. Решите неравенство: 

15. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

16. В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E  —  на отрезке AB.

а)  Докажите, что FH  =  2DH.

б)  Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB  =  4.

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно   решений.

18. В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой  — пятую, и так далее.

а)  Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б)  Докажите, что 11‐я строка совпадает с 12‐й.

в)  Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10‐я строка не совпадает с 11‐й.