1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
 Скачать 7.39 Mb.
|
|
7. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. 8. К источнику с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ выразите в омах. 9. Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 40 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 12 км/ч. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения . 11. Найдите точку максимума функции 12. а) Решите уравнение б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку 13. Основание ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси ОО1 цилиндра (О1 — центр верхнего основания цилиндра). Объем цилиндра равен объем пирамиды равен 50. а) Докажите, что б) Найдите расстояние между AS и CD, если диаметр основания цилиндра равен 14. Решите неравенство: 15. В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей
Найдите наименьшее S, при котором каждая из выплат будет больше 3 млн. руб. 16. Окружность вписана в треугольник ABC, P — точка касания окружности со стороной AB, точка M — середина AB. а) Докажите, что б) Найдите углы треугольника, если MC = MA, AC > BC, 17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на [0; 1]. 18. На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли. а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось? б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34? в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске. Тренировочный вариант 19 ЕГЭ 2023 (январский). Разбор. 1. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, Найдите большую высоту параллелограмма. Решение. Большая высота проведена к меньшей стороне. Имеем: Ответ: 18. Приведем примечание Дмитрия Д. Заметим, что точка H лежит на продолжении стороны AB параллелограмма. В самом деле, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольник ADH имеем: Заметим, что расположение точки H на рисунке не влияет на правильность решения, задачу можно решить вовсе без рисунка. 2. Высота конуса равна 15, а диаметр основания − 16. Найдите образующую конуса. Решение. Образующая конуса по теореме Пифагора равна Ответ: 17. 3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 2, но не дойдя до отметки 5. Решение. На циферблате между двумя часами и пятью часами три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: Ответ: 0,25. 4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Решение. Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. События схватить пристрелянный или непристрелянный револьвер образуют полную группу (они несовместны и одно из них непременно наступает), поэтому, по формуле полной вероятности, Джон промахнется с вероятностью 0,04 + 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. Приведем другое решение. Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. События схватить пристрелянный или непристрелянный револьвер образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получаем: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52. 5. Найдите корень уравнения Решение. Перейдём к одному основанию степени: Ответ: −0,4. 6. Найдите значение выражения Решение. Выполним преобразования: Ответ: 27. 7. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Решение. Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4. Ответ: 4. 8. К источнику с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ выразите в омах. Решение. Задача сводится к решению неравенства В при известных значениях внутреннего сопротивления Ом, ЭДС В: Ом. Ответ: 8,8. 9. Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 40 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 12 км/ч. Решение. Пусть u км/ч — скорость течения реки, тогда скорость баржи по течению равна км/ч, а скорость баржи против течения равна км/ч. Баржа вернулась в пункт A через 8 часов, но пробыла в пункте B час 40 минут, поэтому общее время движения баржи дается уравнением: Ответ: 3. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения . Решение. По рисунку определяем, что значит, Тогда дискриминант уравнения равен Ответ: 8. 11. Найдите точку максимума функции Решение. Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке в нашем случае — в точке 6. Поскольку функция возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение. Ответ: 6. 12. а) Решите уравнение б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку Решение. а) Преобразуем уравнение: Получаем, что или Из второго уравнения находим Следовательно, или б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим корни (см. рис.): Ответ: а) б) 13. Основание ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси ОО1 цилиндра (О1 — центр верхнего основания цилиндра). Объем цилиндра равен объем пирамиды равен 50. а) Докажите, что б) Найдите расстояние между AS и CD, если диаметр основания цилиндра равен Решение. а) Пусть радиус основания цилиндра равен R, тогда сторона основания призмы равна Обозначим высоту цилиндра H, а высоту пирамиды h. Запишем теперь объёмы цилиндра и пирамиды: Отсюда б) Пусть точки M и N — середины AB и CD соответственно. Прямые MN и CD взаимно перпендикулярны, прямые SO и CD также взаимно перпендикулярны, следовательно, прямая CD перпендикулярна плоскости SMN, и прямая AB перпендикулярна плоскости SMN. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Таким образом, необходимо найти расстояние от точки N до прямой SM — высоту NH треугольника SMN. Имеем: Тогда Ответ: б) 14. Решите неравенство: Решение. Запишем исходное неравенство в виде: Ответ: 15. В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей
Найдите наименьшее S, при котором каждая из выплат будет больше 3 млн. руб. Решение. В соответствии с условием задачи заполним таблицу:
Для того, чтобы каждая из выплат была больше 3 млн. руб. достаточно, чтобы наименьшая из выплат была больше 3 млн. руб. Имеем: Наименьшее целое S, удовлетворяющее неравенству, равно 8. Ответ: 8. 16. Окружность вписана в треугольник ABC, P — точка касания окружности со стороной AB, точка M — середина AB. а) Докажите, что б) Найдите углы треугольника, если MC = MA, AC > BC, Решение. а) Без ограничения общности можно считать, что Пусть N и K — точки касания окружности со сторонами AC и BC. Тогда CN = CK, BK = BP, AN = AP. Заметим, что откуда В случае AC < BC решение аналогично. Что и требовалось доказать. б) Если AM = MC, то по признаку прямоугольного треугольника угол C равен 90°. Пусть O — центр окружности. Тогда CNOK — квадрат, поскольку все его углы прямые и соседние стороны равны. Пусть CK = r, BK = x. Тогда Отсюда Запишем теорему Пифагора для треугольника ABC: Тогда откуда Ответ: б) 17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на [0; 1]. Решение. Выполним преобразования: Тем самым если то исходное уравнение не имеет решений. Действительно, корень первого уравнения совокупности не удовлетворяет ОДЗ второго уравнения совокупности, а само второе уравнение не имеет решений, поскольку при условии его левая часть положительна, а правая — отрицательна. Пусть далее рассмотрим второе уравнение совокупности. Изобразим на координатной плоскости построим графики функций и Первый график — прямая с угловым коэффициентом 1, проходящая через начало координат. Второй график является графиком функции сдвинутым вдоль оси абсцисс на a единиц. Из графика видим, что на отрезке [0; 1] уравнение имеет решение 0 при и не имеет решений ни при каких иных значениях параметра. Таким образом, при исходное уравнение имеет два решения — числа 0 и 1. При уравнение имеет единственное решение. Ответ: 18. На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли. а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось? б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34? в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске. Решение. а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10. б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна и их штук. После описанных действий будет чисел с общей суммой Значит, Отсюда следует, что Но тогда что невозможно. в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения Очевидно, следует взять и максимизировать то есть следует максимизировать x. Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит откуда Тогда требуемое выражение будет равно Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая Ответ:а) да б) нет в) Тренировочный вариант 20 ЕГЭ 2023 (январский). 1. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции. |