1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
 Скачать 7.39 Mb.
|
|
16. Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К соответственно, причем ВР : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3 : 13. а) Докажите, что углы РDK и РСК равны. б) Пусть М — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM. 17. Найдите все значение a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень. 18. Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36. а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945? в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82. Тренировочный вариант 17 ЕГЭ 2023 (январский). Разбор. 1.В треугольнике ABC AC = BC = 20,5, Найдите AB. Решение. Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда Ответ: 40. 2. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды. Решение. Введём обозначения углов, как показано на рисунке. Пусть R — длина половины диагонали, a — сторона основания пирамиды, l — боковое ребро пирамиды, h — высота пирамиды. В силу связи основных углов в правильной пирамиде: поэтому Вычислим Получаем, что Ответ: 11. Примечание. Докажем формулу связи основных углов в правильной пирамиде. Диагональ основания пирамиды равна ; откуда 3. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом. Решение. Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна Ответ: 0,25. Приведём другое решение (перестановки). Число способов рассадить 9 человек по девяти стульям равно Благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит «первая» девочка, на соседнем справа сидит «вторая» девочка, а на остальных семи стульях произвольным образом рассажены мальчики. Поскольку выбрать «первую» девочку можно двумя способами, количество таких исходов равно А так как «первым» стулом может быть любой из девяти стульев (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 9. Таким образом, вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом, равна Приведём другое решение (круговые перестановки). Напомним, что число способов, которыми можно расположить n различных объектов по n расположенным по кругу местам равно (n − 1)! Поэтому посадить за круглым столом 9 детей можно 8! способами. Объединим двух девочек в пару, это можно сделать двумя способами; рассадить по кругу 7 мальчиков и эту неделимую пару можно 7! способами. Тем самым, посадить детей требуемым образом можно 2 · 7! способами, поэтому искомая вероятность равна Примечание. Рассуждая аналогично, получим, что в общем случае для n девочек и m мальчиков, сидящих девочки с девочками, а мальчики с мальчиками, количество способов занять места за круговым столом равно n!m!, а вероятность случайной рассадки требуемым образом равна 4. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано три броска? Ответ округлите до сотых. Решение. Изобразим с помощью дерева возможные исходы. Зелёным цветом отмечены исходы, удовлетворяющие условию «сумма выпавших очков равна 3». Оранжевым цветом отмечен исход, удовлетворяющий условию «сумма очков, выпавших ровно за три броска равна 3». Тогда вероятность события «сделано три броска» при условии «в сумме выпало 3 очка» равна: Ответ просят округлить до сотых. Ответ: 0,02. 5. Найдите корень уравнения Решение. Ответ: 84,5. 6. Найдите значение выражения Решение. Поскольку имеем: Ответ: −9. 7. На рисунке изображен график y = f '(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−12; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−8; 9]. Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−8; 9] функция имеет одну точку максимума x = −1. Ответ: 1. 8. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 3,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых. Решение. Задача сводится к решению неравенства cм/с при заданном законе изменения скорости и условии : Таким образом, в течение первых двух секунд после начала движения скорость груза превышала 3,5 см/с. Это составляет Ответ: 0,67. 9. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Решение. Пусть u км/ч — скорость моторной лодки, тогда скорость лодки по течению равна км/ч, а скорость лодки против течения равна км/ч. На путь по течению лодка затратила на 2 часа меньше, отсюда имеем: Ответ: 16. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b, c и d — целые. Найдите Решение. По графику тогда и По графику тогда, если то — не имеет целочисленных решений, если то Значит, и Найдём наименьший положительный период функции Наименьший положительный период функции равен а по графику наименьший положительный период равен 4, тогда Таким образом, Найдём Ответ: −3. 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке Решение. Найдем производную заданной функции: Уравнение не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наибольшим значением функции на заданном отрезке является Ответ: 15. 12. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) Левая часть уравнения определена при то есть при Числитель дроби должен быть равен нулю: Серию нужно отбросить. Получаем ответ: б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, лежащие на отрезке Получим числа: Ответ: а) б) 13. Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 18. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2. а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобокая трапеция. б) Вычислите длину средней линии этой трапеции. Решение. Проведём медиану S1M треугольника SS1B, которая пересекает медиану BB1 основания BCD в точке T. Тогда ВТ : ТВ1 = 4 : 5, поскольку BB1 также является медианой треугольника SS1B. Точка L, в свою очередь, делит отрезок B1D в отношении DL : LВ1 = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7 и отрезок BB1 — медиана треугольника BCD. Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P. Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобокая трапеция. б) Большее основание PL трапеции равно 14, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 9, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна Ответ: 11,5. 14. Решите неравенство: Решение. Приведём выражение к общему знаменателю: Предпоследнее преобразование верно, так как модуль не может принимать отрицательных значений. Получаем или Ответ: Приведём другое решение: Заметим, что если число x0 является решением неравенства, то число тоже является решением неравенства. Рассмотрим случай Тогда при решением неравенства будет Таким образом, получаем ответ. Приведем еще одно решение. Заметим, что и преобразуем неравенство: Учитывая, что при всех значениях x, получаем: при условии Тогда или Ответ: 15. 15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r. Решение. Пусть начальная сумма кредита равна S0, тогда переплата за первый месяц равна По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной S0/14, и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту: По условию общая сумма выплат на 15% больше суммы, взятой в кредит, тогда: Ответ: 2. Примечание Дмитрия Гущина. Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами В условиях нашей задачи получаем: откуда для n = 14 находим r = 2. Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 14 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. 16. Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К соответственно, причем ВР : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3 : 13. а) Докажите, что углы РDK и РСК равны. б) Пусть М — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM. Решение. Пусть сторона квадрата имеет длину 16. Введем систему координат с началом в точке B и осями, направленными по BC и Тогда получим: Уравнения прямых можно выяснить по общей формуле: Аналогично, Вычислим теперь косинусы углов между этими прямыми: Значит, углы равны. б) Решим систему уравнений Из первого уравнения найдем и подставим во второе. Получим: откуда Тогда Кроме того, поэтому Значит, Ответ: 17. Найдите все значение a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень. Решение. Преобразуем исходное уравнение: Корнями этого уравнения являются корни уравнения не совпадающие с числами a и −2. Если является корнем уравнения то откуда или Если является корнем уравнения то откуда или Имеем: — при исходное уравнение имеет единственный корень — при исходное уравнение имеет единственный корень — при исходное уравнение имеет единственный корень Кроме этого, уравнение имеет единственный корень, не равный a и –2, если его дискриминант равен 0. Значит, уравнение — имеет ровно два различных корня при — имеет ровно один корень при или — не имеет корней при или Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень при: Ответ: 18. Задумано несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют одно такое число n, а остальные числа, равные n, стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36. а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945? в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82. Решение. а) Для чисел 2, 3, 3, 5 на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. б) Среди задуманных чисел есть число 7, так как иначе оно бы не было записано на доску. Поскольку задуманные числа натуральные, наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Значит, среди чисел записанного набора должно быть произведение всех чисел, кроме 7, то есть 945 : 7 = 135. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого будет выписан набор из условия. в) Наибольшее число в наборе — это произведение всех задуманных чисел. Число 82 раскладывается на простые множители как 2 · 41. Значит, было задумано либо число 82 и пять единиц, либо пара чисел 2 и 41 и четыре единицы. Ответ: а) 2, 3, 3, 5; б) нет; в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41. Тренировочный вариант 18 ЕГЭ 2023 (январский). 1.Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50°? Ответ дайте в градусах. 2.Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 36. Через среднюю линию основания этой призмы проведена плоскость, параллельная боковой грани. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. 3. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Какова вероятность того, что турист Б., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? 4. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше. 5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней 6. Найдите если и 7. На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? |