1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1

• Название: Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
• Дата: 02.01.2023
• Размер: 7.39 Mb.
• Имя файла: 1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023.docx
• Тип: Документы; #870577
• страница: 9 из 14

2.  Диагональ куба равна   Найдите его объем.

3. В сборнике билетов по философии всего 25 билетов, в 8 из них встречается вопрос по теме "Пифагор". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Пифагор".

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

5. Найдите корень уравнения 

6.

Найдите значение выражения 

7. На рисунке изображён график    — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

8.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью   м/с под острым углом   к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью   (м/с), где   кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а   кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом   (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?

9. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 209 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

10.

На рисунке изображены графики функций   и   которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

11.

Найдите точку максимума функции 

12. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка K является серединой ребра SD, а точка L  — серединой стороны BC основания ABCD. Плоскость AKL пересекает ребро SC в точке N.

а)  Докажите, что SN : NС  =  2 : 1.

б)  Найдите угол между плоскостями AKL и ABC, если AB  =  10, а высота пирамиды равна 20.

14. Решите неравенство: 

15. По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

16. В параллелограмме ABCD расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон AD, AB и BC, вторая  — сторон AD, CD и BC.

а)  Докажите, что общая внутренняя касательная l окружностей проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

б)  Пусть ABCD  — прямоугольник, а прямая l касается окружностей в точках M и N. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках M, N и в центрах окружностей, если AD  =  36 , а расстояние между центрами окружностей равно 20.

17. Найти все значения a, при каждом из которых система

не имеет решений.

18. а)  Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр.

б)  Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр?

в)  Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр.

Тренировочный вариант 20 ЕГЭ 2023 (январский). Разбор.

1. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Решение. Пусть большее основание равно x. Средняя линия равна полусумме оснований, поэтому 18 + x  =  2 · 28, откуда x  =  38

 

Ответ: 38.

2. Диагональ куба равна   Найдите его объем.

Решение. Диагональ куба в   раз больше его ребра. Поэтому ребро равно

Тогда объем куба 

 

Ответ: 1000.

3. В сборнике билетов по философии всего 25 билетов, в 8 из них встречается вопрос по теме "Пифагор". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Пифагор".

Решение. Из 25 билетов 17 не содержат вопроса по теме "Пифагор", поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Пифагор", равна

Ответ: 0,68.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A)  =  P(B)  =  0,25; P(A·B)  =  0,15.

 

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B)  =  0,25 + 0,25 − 0,15  =  0,35.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35  =  0,65.

 

Ответ: 0,65.

 Приведем другое решение.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,25  =  0,75. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,25  =  0,75. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,15  =  0,85. Поскольку P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,85  =  0,75 + 0,75 − х, откуда искомая вероятость х  =  0,65.

5. Найдите корень уравнения 

Решение. Если две дроби с равным числителем равны, то равны их знаменатели. Имеем:
 

Ответ:−6.

6.

Найдите значение выражения 

Решение. Выполним преобразования:

Ответ: 4.

7. На рисунке изображён график    — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

Решение. Возрастанию дифференцируемой функции f(x) соответствуют неотрицательные значения её производной. Производная неотрицательна в точках x₂, x₃, x₄, x₇ x₈. Таких точек 5.

 

Ответ: 5.

8.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью   м/с под острым углом   к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью   (м/с), где   кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а   кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом   (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?

Решение. Задача сводится к решению неравенства   на интервале   при заданных значениях массы скейтбордиста   кг и массы платформы   кг:


Ответ: 60.

9. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 209 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть u км/ч  — скорость первого теплохода, тогда скорость второго теплохода по течению равна   км/ч. Первый теплоход находился в пути на 8 часов больше, чем второй, отсюда имеем:

Таким образом, скорость первого теплохода равна 11 км/ч.

Ответ: 11.

10. На рисунке изображены графики функций   и   которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Решение. По графику, f(2)  =  −1, тогда   Значит, гипербола имеет вид 

Заметим, что a  — тангенс угла наклона прямой по отношению к оси абсцисс, тогда   По графику, g(2)  =  −1, тогда   Значит, функция прямой имеет вид 

Теперь найдём абсциссу точки B:

Таким образом, абсцисса точки B равна −0,25.

 Ответ: −0,25.

11.

Найдите точку максимума функции 

Решение. Заметим, что   Область определения функции  — открытый луч   Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Найденная точка лежит на луче   Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума 

 

Ответ: −8.

12. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение.  Упростим левую часть уравнения:

Сокращая на   и используя формулу синуса двойного угла, получаем:

б)  Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Подходят:     0, 

Ответ: а)   б)     0, 

13. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка K является серединой ребра SD, а точка L  — серединой стороны BC основания ABCD. Плоскость AKL пересекает ребро SC в точке N.

а)  Докажите, что SN : NС  =  2 : 1.

б)  Найдите угол между плоскостями AKL и ABC, если AB  =  10, а высота пирамиды равна 20.

Решение. а)  Пусть прямые AL и DC пересекаются в точке M, тогда точка M лежит также и на прямой KN. Заметим, что треугольники ABL и MCL равны, следовательно, CM  =  AB  =  CD. Запишем теорему Менелая для треугольника SCD и прямой KM:

б)  Заметим, что AM  — прямая пересечения плоскостей AKL и ABC. Пусть K'  — проекция точки K на плоскость ABC. Опустим из точек K и K' на прямую AM перпендикуляры KH и K'H, тогда угол KHK'  — линейный угол искомого угла, найдём его. Пусть P  — точка пересечения BD и AM. Имеем:

По теореме косинусов для треугольника ADP имеем:
Ответ: б) 

14. Решите неравенство: 

Решение. Заметим, что левая часть неравенства не имеет смысла при   Тогда
 

Ответ: 

15. По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

Решение. К началу 2-го года получится   млн вложений, а к началу 3-го года  —

По условию   Наименьшее целое решение n  =  7 так как при n  =  6 неравенство уже не выполняется.

К началу 4-года имеем   млн, а в конце проекта
По условию   Наименьшее целое решение m  =  4.

 

Ответ: 7 и 4 млн руб.

16. В параллелограмме ABCD расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон AD, AB и BC, вторая  — сторон AD, CD и BC.

а)  Докажите, что общая внутренняя касательная l окружностей проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

б)  Пусть ABCD  — прямоугольник, а прямая l касается окружностей в точках M и N. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках M, N и в центрах окружностей, если AD  =  36 , а расстояние между центрами окружностей равно 20.

Решение. а)  Пусть O  — точка пересечения диагонали AC параллелограмма с общей внутренней касательной l к данным окружностям, P и Q  — точки пересечения прямой l со сторонами AD и BC соответственно. Достаточно доказать, что O  — середина диагонали AC.

Пусть O₁ и O₂  — центры первой и второй окружностей соответственно. Первая окружность касается стороны AD в точке K, вторая окружность касается стороны BC в точке L.

Лучи AO₁ и CO₂  — биссектрисы равных углов BAD и BCD, значит, прямоугольные треугольники AKO₁ и CLO₂ равны по катету (радиусы равных окружностей) и противолежащему острому углу. Тогда AK  =  CL. Аналогично KP  =  LQ. Следовательно,

Значит, треугольники AOP и COQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AO  =  OC, а точка O  — середина диагонали AC, то есть центр параллелограмма ABCD.

б)  Поскольку ABCD  — прямоугольник, его сторона AD равна сумме диаметра окружности и отрезка O₁O₂, то есть 2r + O₁O₂  =  AD, 2r + 20  =  36, следовательно, r  =  8.

Четырёхугольник O₁MO₂N  — параллелограмм, так как его противоположные стороны O₁M и O₂N равны и параллельны. Диагонали O₁O₂ и MN параллелограмма O₁MO₂N пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.

Площадь параллелограмма O₁MO₂N в четыре раза больше площади треугольника OO₁M, в котором     По теореме Пифагора

Следовательно,

Ответ: б) 96.

17. Найти все значения a, при каждом из которых система

не имеет решений.

Решение. Рассмотрим второе неравенство системы:   Если   то неравенство, а значит и система не имеет решений. Если   то решение неравенства  — луч   Если   то решение неравенства  — луч 

При   первое неравенство системы принимает вид: 

Если   то решение этой системы  — два луча с концами в точках   Если   то решение этой системы  — полуинтервал с концами в точках   Отметим, что точки   нет в множестве решений первого неравенства.

Очевидно, что при   решение системы будет содержать луч, вида   где b большее из чисел   и   а значит система будет иметь решение.

Для того, чтобы система не имела решений, при   необходимо и достаточно:

Таким образом, при   исходная система неравенств не имеет решений.

 

Ответ: 

18. а)  Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр.

б)  Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр?

в)  Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр.

Решение. а)  Заметим, что   поэтому годится, например, число 135.

 

б)  Заметим, что   поэтому годится, например, число 378.

 

в)  Обозначим сумму цифр числа n за   Получим уравнение:   или   Заметим, что n делится на 3, значит, и   делится на 3 по признаку делимости. Таким образом, n делится на 9, значит, по признаку делимости,   При   и   получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если   то   и   При   получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если   то    — семизначное число, однако сумма цифр семизначного числа не может быть равна   то есть верно неравенство   Посмотрим, что происходит при увеличении x на единицу. Сумма цифр увеличивается на 9, то есть количество разрядов числа n увеличивается хотя бы на 1. А   увеличивается на 142857, то есть не может увеличиться больше чем на разряд. Таким образом, если при каком-то x выполняется неравенство   то и при увеличении x это неравенство останется справедливым.

Значит, единственным решением будет число 428571.

 

Ответ: а) 135; б) да; 378; в) 428571.