1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
 Скачать 7.39 Mb.
|
|
Тренировочный вариант 23 ЕГЭ 2023 (январский). 1.В треугольнике ABC угол ACB равен °, угол B равен °, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 4. Объем параллелепипеда равен 140. Найдите площадь его поверхности. 3. В сборнике билетов по истории всего 20 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме "Петр Первый". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Петр Первый". 4. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. 5. Найдите решение уравнения: 6. Найдите значение выражения при 7. На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите длину наибольшего из них. 8. При температуре рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону где — коэффициент теплового расширения, — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. 9. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 11 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 81 километр. 10. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке 12. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 13. В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DA и BC, перпендикулярны. а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DA и BC. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником. б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DA = 20, BC = 10. 14. Решите неравенство 15. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 5% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов. 16. Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 8, а 17. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором уравнение имеет хотя бы один корень. 18. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию? Тренировочный вариант 23 ЕГЭ 2023 (январский). Разбор. 1.В треугольнике ABC угол ACB равен °, угол B равен °, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. Решение. − медиана в прямоугольном треугольнике, значит, Тогда треугольник ACD − равнобедренный, углы при его основании равны. Ответ: 23. 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 4. Объем параллелепипеда равен 140. Найдите площадь его поверхности. Решение. Найдем третье ребро x из выражения для объема: 7 · 4 · x = 140, тогда x = 5. Далее найдем площадь поверхности параллелепипеда: Ответ: 166. 3. В сборнике билетов по истории всего 20 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме "Петр Первый". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Петр Первый". Решение. Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Петр Первый", равна Ответ: 0,6. 4. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение. Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года». События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час, наносекунду и т. д. — равна нулю. Тогда: P(A + B + С) = P(A) + P(B) + P(С)= P(A) + P(B), откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89. Тем самым для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08. Ответ: 0,08. 5. Найдите решение уравнения: Решение. Перейдем к одному основанию степени: Ответ: 4. 6. Найдите значение выражения при Решение. Выполним преобразования: при Ответ: 150. 7. На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Функция, дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b]. Поэтому промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам (−1; 0], [2; 7] и [12; 15]. Наибольший из них — отрезок [2; 7], длина которого равна 5. Ответ: 5. 8. При температуре рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону где — коэффициент теплового расширения, — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. Решение. Задача сводится к нахождению наименьшего решения уравнения мм при заданных значениях длины м и коэффициента теплового расширения : Поэтому рельс удлинится на 7,5 мм при температуре Ответ: 62,5. 9. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 11 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 81 километр. Решение. В первый день турист прошел км, во второй — …, в последний — км. Всего он прошел км. Если каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий день, на d км, то где дней. Таким образом, Тогда за третий день турист прошел Ответ: 13. 10. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Решение. По графику, f(2) = −1, тогда Значит, гипербола имеет вид Заметим, что a — тангенс угла наклона прямой по отношению к оси абсцисс, тогда По графику, g(2) = −1, тогда Значит, функция прямой имеет вид Теперь найдём абсциссу точки B: Таким образом, абсцисса точки B равна −0,25. Ответ: −0,25. 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке Решение. Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: Ответ: 1035. 12. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) Пусть тогда уравнение принимает вид Решим это уравнение, как квадратное относительно Вернёмся к исходной переменной: 1) Уравнение корней не имеет 2) б) Из чисел и отрезку принадлежит только число Ответ: а) −4; 0; б) 0. 13. В пирамиде DABC прямые, содержащие ребра DA и BC, перпендикулярны. а) Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку E — середину ребра DB, и параллельно DA и BC. Докажите, что получившееся сечение является прямоугольником. б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если DA = 20, BC = 10. Решение. а) Построим прямые такие что: — параллелограмм, искомое сечение. следовательно, значит, Таким образом, EKMF — прямоугольник. б) EK || DА и E — середина DB, тогда EK — средняя линия значит, аналогично так как EKMF прямоугольник. Пусть прямая MK пересекает прямую EF в точке О: Следовательно, ME < EK. Применим теорему косинусов в треугольнике EOM: Ответ: 14. Решите неравенство Решение. Покажем, что наибольшее значение левой части неравенства равно 1. Действительно, В силу тождества имеем: Поскольку левая часть не больше 1, а правая равна 1, неравенство выполнено тогда и только тогда, когда оба множителя равны 1, откуда Ответ: 3. 15. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 5% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов. Решение. Пусть на каждый тип вклада была внесена одинаковая сумма S. На вкладе «А» каждый год сумма увеличивается на 10%, то есть умножается на коэффициент 1,1. Поэтому через три года сумма на вкладе «А» будет равна Аналогично сумма на вкладе «Б» будет равна где n — некоторое натуральное число. По условию требуется найти наименьшее натуральное решение неравенства При n = 13 неравенство верно, а при n = 12 неравенство неверно, как и при всех меньших n. Ответ: 13. 16. Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 8, а Решение. а) Пусть тогда где H — проекция О на BC. Поэтому Из условия следует, что Тогда (опираются на хорду ОС). Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки О, В, К, С лежат на одной окружности. б) тогда Рассмотрим треугольник ABC. В нем: и Из пункта а) тогда Так как четырехугольник OBKC вписанный, получаем: тогда Рассмотрим треугольник KBC, в нем откуда Ответ:5. 17. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором уравнение имеет хотя бы один корень. Решение. При уравнение не имеет смысла. При правую часть уравнения можно записать в виде Полученное выражение можно интерпретировать как скалярное произведение векторов и Напомним свойство скалярного произведения. Пусть даны векторы и тогда: Иными словами, скалярное произведение векторов не больше произведения их длин. Запишем это свойство в координатах: Оценим правую часть уравнения, используя неравенство (⁎): Тогда для исходного уравнения получаем, Таким образом, значения параметра a, при котором исходное уравнение имеет корни, не может превышать 0,5. Проверим, достигается ли это значение. Подставим в исходное уравнение Значит, наибольшее значение параметра a, при котором исходное уравнение имеет хотя бы один корень, равно 0,5. Ответ: 0,5. 18. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию? Решение. Заметим, что а) Пусть это Тогда их произведение равно и б) Пусть это q не обязано быть целым, но должно быть рациональным. Пусть — несократимая дробь, тогда имеем Значит, 792 кратно (оно не может сокращаться со знаменателем), откуда Значит, a кратно (иначе — нецелое), кратно 792 кратно (оно не сократилось), откуда и прогрессия постоянна. в) Да, например 1,2,4,9,11. Ответ: а) Нет; б) нет; в) да. Тренировочный вариант 24 ЕГЭ 2023 (январский). 1. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 9,6, Найдите AC. 2. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 10 и 24, и боковым ребром, равным 19. 3. В сборнике билетов по физике всего 50 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме "Конденсаторы". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Конденсаторы". 4. При изготовлении подшипников диаметром 72 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,97. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 71,99 мм или больше чем 72,01 мм. 5. Найдите корень уравнения 6. Найдите значение выражения 7. На рисунке изображён график некоторой функции Функция — одна из первообразных функции Найдите площадь закрашенной фигуры. 8. На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 60 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах. 9. Иван и Алексей договорились встретиться в Н-ске. Они едут к Н-ску разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 168 км от Н-ска и едет с постоянной скоростью 72 км/ч. Иван в момент звонка находится в 165 км от Н-ска и ещё должен по дороге сделать 30-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в Н-ск одновременно с Алексеем? 10. На рисунке изображён график функции Найдите значение x, при котором 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке 12. а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 13. SMNK — правильный тетраэдр. На ребре SK отмечена точка Р такая, что КР : PS = 1 : 3, точка L — середина ребра MN. а) Докажите, что плоскости SLK и MPN перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка PL, если длина ребра MN равна 4. 14. Решите неравенство: 15. В июле 2022 года планируется взять кредит на сумму 177 120 рублей. Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению с предыдущим годом; — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? |