1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
 Скачать 7.39 Mb.
|
|
Тренировочный вариант 21 ЕГЭ 2023 (январский). 1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, CH — высота, Найдите АН. 2. В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,9 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах. 3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 2, но не дойдя до отметки 8 часов. 4. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик? 5. Найдите корень уравнения 6. Найдите значение выражения 7. На рисунке изображён график функции — одной из первообразных некоторой функции определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке 8. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями и их общее сопротивление даeтся формулой а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах. 9. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды? 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите абсциссу вершины параболы. 11. Найдите точку максимума функции 12. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 13. В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N — середина ребра SC, точка L — середина ребра SA. а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S. б) Найдите угол между плоскостями BNL и АВС, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 14. Решите неравенство 15. В растворе Х содержится 30% вещества А и 50% вещества В, в растворе Y содержится 50% вещества А и 40% вещества В, в растворе Z содержится 80% вещества А и 10% вещества В. В результате смешивания получился раствор, содержащий 60% вещества А. Найдите наименьшее возможное содержание вещества В в получившемся растворе. 16. В треугольнике MPK биссектриса угла K пересекает сторону MP в точке A. Окружность, описанная около треугольника AMK пересекает сторону PK в точке B. а) Докажите, что треугольник ABM равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника ABM, если MK = 9, PK = 6, MP = 5. 17. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение не имеет корней. 18. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа. б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа? в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа. Тренировочный вариант 21 ЕГЭ 2023 (январский). Разбор. 1. В треугольнике АВС угол С равен 90°, CH — высота, Найдите АН. Решение. Имеем: Ответ: 17,5. 2. В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,9 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах. Решение. Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 9/10 исходного объема, поэтому объем детали равен 9 л. Ответ: 9. 3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 2, но не дойдя до отметки 8 часов. Решение. Задание. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 2, но не дойдя до отметки 8. Решение. На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна: Ответ: 0,5. 4. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел, а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик? Решение. Предположим, что бросали первый кубик. Тогда вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна Теперь предположим, что бросали второй кубик. Поскольку на втором кубике числа 3 и 5 встречаются по два раза, вероятность того, что в каком-то порядке выпали 3 и 5 очков, равна Таким образом, искомая вероятность равна Ответ: 0,8. 5. Найдите корень уравнения Решение. Перейдем к одному основанию степени: Ответ: −1. 6. Найдите значение выражения Решение. Выполним преобразования: Ответ: 6. 7. На рисунке изображён график функции — одной из первообразных некоторой функции определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке Решение. По определению первообразной на интервале (−2; 4) справедливо равенство Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x). Это точки −1,8; −1,2; −0,8; −0,4; 0,2; 0,8; 1,2; 1,6; 2; 2,4; 3,2; 3,8. Из них на отрезке [−1; 3] лежат 8 точек. Таким образом, на отрезке [−1; 3] уравнение имеет 8 решений. Ответ: 8. 8. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями и их общее сопротивление даeтся формулой а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах. Решение. Задача сводится к решению неравенства при известном значении сопротивления приборов Ответ: 10. 9. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды? Решение. Виноград содержит 10% питательного вещества, а изюм — 95%. Поэтому 20 кг изюма содержат кг питательного вещества. Таким образом, для получения 20 килограммов изюма требуется кг винограда. Ответ: 190. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите абсциссу вершины параболы. Решение. Из рисунка видно, что следовательно, Решая эту систему, находим Абсцисса вершины параболы Ответ: −4. 11. Найдите точку максимума функции Решение. Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке в нашем случае — в точке −7. Поскольку функция возрастает, и функция определена в точке −7, она также достигает в ней максимума. Ответ: −7. 12. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) Решим уравнение: б) Среди представленных корней отберем те, которые принадлежат отрезку Это числа Ответ: а) б) 13. В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N — середина ребра SC, точка L — середина ребра SA. а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S. б) Найдите угол между плоскостями BNL и АВС, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен Решение. а) Проведем LN — среднюю линию треугольника SAC. Она является линией пересечения плоскости SAC и сечения BLN. Пусть O — точка пересечения диагоналей основания, пусть LN пересекает SO в точке M (оба отрезка лежат в плоскости SAC), и пусть BM пересекает SD в точке K (оба отрезка лежат в плоскости SBD). Тогда отрезок BM лежит в плоскости BLN и, следовательно, K — точка пересечения плоскости BLN с ребром SD. Заметим, что O — середина диагонали BD, а M — середина отрезка SO. Запишем теорему Менелая для треугольника SOD и прямой BK: б) Так как пирамида правильная, SO — ее высота. Угол между боковым ребром и основанием равен углу SBO, Пусть OB = 5x, тогда Запишем теорему Пифагора для треугольника SBO: Тогда Прямая OB — проекция прямой MB на плоскость ABCD. Прямые OB и AC перпендикулярны, прямые LN и AC параллельны, поэтому прямые MB и LN перпендикулярны. Обе прямые OB и MB перпендикулярны линии пересечения плоскостей BLN и ABC. Следовательно, угол MBO — линейный угол двугранного угла между плоскостями BLN и ABC и равен искомому. Найдем откуда искомый угол равен Ответ: б) 14. Решите неравенство Решение. Cгруппируем и разложим на множители: Здесь мы воспользовались тем, что Применим метод рационализации: заменим каждый множитель на рациональный, имеющий с ним тот же знак. Получаем: Ответ: 15. В растворе Х содержится 30% вещества А и 50% вещества В, в растворе Y содержится 50% вещества А и 40% вещества В, в растворе Z содержится 80% вещества А и 10% вещества В. В результате смешивания получился раствор, содержащий 60% вещества А. Найдите наименьшее возможное содержание вещества В в получившемся растворе. Решение. Пусть для смешивания использовали a кг раствора X, b кг раствора Y и c кг раствора Z, тогда для вещества A имеем Пусть тогда где, с учетом неотрицательности масс, Для вещества B получаем Подставив и получим функцию Функция — убывающая, значит, принимает своё наименьшее значение при наибольшем значении аргумента. Значит, наименьшее возможное содержание вещества B в полученном растворе равно 26%. Это достигается если смешать 2 порции раствора X и 3 порции раствора Z, а раствор Y не использовать. Ответ: 26%. 16. В треугольнике MPK биссектриса угла K пересекает сторону MP в точке A. Окружность, описанная около треугольника AMK пересекает сторону PK в точке B. а) Докажите, что треугольник ABM равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника ABM, если MK = 9, PK = 6, MP = 5. Решение. а) Дуги AB и AM равны, так как на них опираются равные вписанные углы AKB и AKM, значит, равны и стягивающие их хорды AB и AM, треугольник ABM равнобедренный по определению. б) Из треугольника MPK по теореме косинусов найдем Четырехугольник ABKM вписан в окружность, значит, его противолежащие углы в сумме дают 180°. Имеем: По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника откуда находим, что AM = AB = 3. Теперь найдём площадь треугольника ABM: Ответ: б) 17. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение не имеет корней. Решение. Заметим, что исходное уравнение можно записать в виде Рассмотрим функцию Её производная значит, функция является возрастающей и каждое свое значение принимает ровно один раз. Тогда исходное уравнение равносильно квадратному уравнению или которое не имеет корней при то есть при Ответ: 18. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа. б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа? в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа. Решение. а) Произведение цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, то есть в 10 раз меньше. б) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 175(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 175(a + b + c + d) остаётся верным, без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5. Но тогда Получаем противоречие. в) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 50(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Без ограничения общности будем считать, что c = d = 5. Тогда ab = 2(a + b + 10). Так как правая часть последнего равенства делится на 2, то либо a, либо b делится на 2. Будем считать, что на 2 делится b. Если b = 2, то a = a + 12, что невозможно. Если b = 4, то 2a = a + 14; a = 14, что невозможно. Если b = 6, то 3a = a + 16; 2a = 16; a = 8. Число n = 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 8, то 4a = a + 18; 3a = 18; a = 6. Этот вариант также получается из предыдущего перестановкой цифр. Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) Число 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел). Тренировочный вариант 22 ЕГЭ 2023 (январский). 1. Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Найдите число вершин многоугольника. 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 3. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. 4. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. 5. Найдите решение уравнения: 6. Найдите значение выражения при 7. Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания. 8. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. |