1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
 Скачать 7.39 Mb.
|
|
16. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны. а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a. 17. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений. 18. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800? в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111. Тренировочный вариант 24 ЕГЭ 2023 (январский). Разбор. 1.В треугольнике ABC AC = BC, AB = 9,6, Найдите AC. Решение. Треугольник АВС равнобедренный, значит, высота СН делит основание АВ пополам. Тогда Ответ: 5. 2.Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 10 и 24, и боковым ребром, равным 19. Решение. Сторона ромба a выражается через его диагонали d1 и d2 формулой Найдем площадь ромба Тогда площадь поверхности призмы равна Ответ: 1228. 3. В сборнике билетов по физике всего 50 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме "Конденсаторы". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Конденсаторы". Решение. Из 50 билетов 38 не содержат вопроса по теме "Конденсаторы", поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Конденсаторы", равна Ответ: 0,76. 4. При изготовлении подшипников диаметром 72 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,97. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 71,99 мм или больше чем 72,01 мм. Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 71,99 до 72,01 мм с вероятностью 0,97. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,97 = 0,03. Ответ: 0,03. 5. Найдите корень уравнения Решение. Последовательно получаем: Ответ: 93. 6. Найдите значение выражения Решение. Сходственные функции дополнительных углов равны, поэтому Ответ: 5. 7. На рисунке изображён график некоторой функции Функция — одна из первообразных функции Найдите площадь закрашенной фигуры. Решение. Найдем формулу, задающую функцию график которой изображён на рисунке. Следовательно, график функции получен сдвигом графика функции на единиц вправо вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем: Ответ: 6,75. 8. На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 60 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах. Решение. Задача сводится к вычислению значения найдём его: Ответ: 10,44. Примечание 1. Заметим, что мы вычислили длину ванты, находящейся на расстоянии 60 м от левого пилона (см. рис.), в силу симметрии она равна длине ванты, находящейся на расстоянии 60 м от правого пилона. Примечание 2. На самом деле линия, по которой провисает цепь в поле силы тяжести, является «цепной линией», которая похожа на параболу, но отличается от неё. Уравнение цепной линии: где a — параметр, зависящий от материала. 9. Иван и Алексей договорились встретиться в Н-ске. Они едут к Н-ску разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 168 км от Н-ска и едет с постоянной скоростью 72 км/ч. Иван в момент звонка находится в 165 км от Н-ска и ещё должен по дороге сделать 30-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в Н-ск одновременно с Алексеем? Решение. Алексей приедет в Н-ск через Обозначим скорость Ивана за Поскольку время его движения с учётом получасовой остановки равно времени движения Алексея, получаем уравнение: Ответ: 90. 10. На рисунке изображён график функции Найдите значение x, при котором Решение. По рисунку определяем, что Тогда Значит, Решим уравнение Ответ: 5. 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке Решение. Найдем производную заданной функции: Найденная производная неположительна на заданном отрезке, заданная функция убывает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является Ответ: 26. 12. а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) Преобразуем уравнение: б) Отберём корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном промежутке лежат корни: Ответ: а) б) 13. SMNK — правильный тетраэдр. На ребре SK отмечена точка Р такая, что КР : PS = 1 : 3, точка L — середина ребра MN. а) Докажите, что плоскости SLK и MPN перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка PL, если длина ребра MN равна 4. Решение. а) Заметим, что плоскость SKL перпендикулярна прямой MN, в этой плоскости из точки S опустим перпендикуляр SH на прямую PL. Таким образом, прямые SH и PL, а также SH и MN перпендикулярны между собой. Следовательно, прямая SH перпендикулярна плоскости MPN, и по признаку перпендикулярности плоскостей плоскость SLK перпендикулярна плоскости MPN. б) Пусть точка O — центр основания. Тогда: Следовательно, Ответ: б) PL = 3. 14. Решите неравенство: Решение. Разделим обе части неравенства на : Сделаем замену Получаем: Возвращаясь к исходной переменной, получаем: Ответ: 15. В июле 2022 года планируется взять кредит на сумму 177 120 рублей. Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению с предыдущим годом; — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Решение. Пусть руб. — сумма кредита, x руб. — ежегодный платеж, Тогда схема выплаты кредита выглядит так: Тогда Таким образом, общая сумма выплат банку будет равна Ответ: 300 000. 16. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны. а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a. Решение. Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке D. Введем следующие обозначения: ∠BCO = ∠DCO = α, ∠COP = x. Прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, следовательно, ∠OPQ = x. Далее, из прямоугольного треугольника OPC находим а из равнобедренного треугольника OPQ находим ∠POQ = π − 2x = 2α. Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны, и, значит, биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать. б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно: откуда BC = 3DC = 3a. Далее CP = DC = a, значит, BP = 2a и, следовательно, Откуда следовательно По формуле Герона находим: Значит, Ответ: Приведем решение пункта б) Данила Касьяненко. По условию тогда так как Проведем через точку Q прямую, параллельную прямой АС, пусть она пересечет сторону ВС в точке N. Тогда QN — средняя линия треугольника BDC, поэтому а По свойству касательных и тогда Из прямоугольного треугольника BQN найдем BQ: Проведем QT перпендикулярно CB. Из прямоугольного треугольника BQN найдем QT: Найдем площадь треугольника BQP: 17. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений. Решение. Преобразуем первое уравнение системы: Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг и окружностей радиуса с центрами в точках и лежащих ниже и выше прямой соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках и Заметим, что точка касания лежит на дуге и прямая перпендикулярна прямой поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1. Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой или совпадающую с ней. При прямая m пересекает каждую из дуг и в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения. Аналогично, при прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения. При прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг и то есть исходная система имеет два решения. Аналогично, при прямая m касается дуг и то есть исходная система имеет два решения. При или прямая m пересекает каждую из дуг и в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения. При прямая m пересекает каждую из дуг и в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения. При или прямая m не пересекает дуги и то есть исходная система не имеет решений. Значит, исходная система имеет более двух решений при или Ответ: 18. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800? в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111. Решение. а) Да, может. Числа 3, 4, 5, 6 (или 5, 6, 7) составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 18. б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 39. в) Для суммы членов арифметической прогрессии верно: Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 222. Если то левая часть больше 222: следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 111 существуют: например, 36, 37, 38 и 16, 17, 18, 19, 20, 21. Ответ: а) да; б) 39; в) 3; 6. Тренировочный вариант 25 ЕГЭ 2023 (январский). 1. Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна а острый угол равен 60°. 2. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла C2C3B2. 3. В сборнике билетов по истории всего 60 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме "Смутное время". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Смутное время". 4. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,56. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. 5. Найдите корень уравнения 6. Найдите значение выражения при 7. На рисунке изображён график y = f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. 8. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 12 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 44 километров? 9. Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите 11. Найдите точку максимума функции 12. Решите уравнение: 13. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2. а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD. б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR. 14. Решите неравенство: 15. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 480 тысяч рублей на 27 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2‐го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15‐го числа первые два месяца и последний долг должен уменьшиться на m тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на n тысяч рублей. Найдите отношение если всего банку будет выплачено 656,4 тысяч рублей? 16. На стороне BC треугольника ABC, в котором взята точка D так, что Биссектриса BL пересекает отрезок AD в точке P, отрезок CK — перпендикуляр к прямой AD. а) Докажите, что б) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырехугольника CDPL, если 17. Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно четыре корня. 18. В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5? в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни? Тренировочный вариант 25 ЕГЭ 2023 (январский). Разбор. 1. Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна а острый угол равен 60°. Решение. Тупой угол ромба равен 180° − 60° = 120°. Воспользуемся теоремой косинусов: Ответ: 3. 2. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла C2C3B2. |