1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
 Скачать 7.39 Mb.
|
|
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник C2C3B2. В нем Ответ: 3. 3. В сборнике билетов по истории всего 60 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме "Смутное время". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Смутное время". Решение. Из 60 билетов 48 не содержат вопроса по теме "Смутное время", поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Смутное время", равна Ответ: 0,8. 4. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,56. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,56 · 0,3 = 0,168. Ответ: 0,168. 5. Найдите корень уравнения Решение. Последовательно получаем: Ответ: 21. 6. Найдите значение выражения при Решение. Выполним преобразования: Ответ: −0,5. 7. На рисунке изображён график y = f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Функция, дифференцируемая на отрезке [a; b], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b]. Поэтому промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−3; −2], [2; 7] и [10; 11). Наибольший из них — отрезок [2; 7], длина которого равна 5. Ответ: 5. 8. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле где км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 12 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 44 километров? Решение. Задача сводится к решению уравнений и при заданном значении R: Следовательно, чтобы видеть горизонт на более далеком расстоянии, наблюдателю нужно подняться на 151,25 − 11,25 = 140 метров. Для этого ему необходимо подняться на 140 : 0,2 = 700 ступенек. Ответ: 700. 9. Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч. Решение. Пусть u км/ч — скорость течения реки, тогда скорость катера по течению равна км/ч, а скорость катера против течения равна км/ч. Катер вернулся в пункт A через 8 часов, но пробыл в пункте B 2 часа 30 минут, поэтому общее время движения катера дается уравнением: Поэтому скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ: 1. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите Решение. График функции имеет горизонтальную асимптоту значит, График функции имеет вертикальную асимптоту значит, По графику тогда Таким образом, Найдём Ответ: −3,4. 11. Найдите точку максимума функции Решение. Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке в нашем случае — в точке 6. Поскольку функция возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение. Ответ: 6. 12. Решите уравнение: Решение. Левая часть уравнения имеет смысл при Преобразуем уравнение: Поскольку получаем: Учитывая, что получаем, Ответ: 13. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2. а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD. б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR. Решение. а) Стороны треугольника SBD равны 5, 5 и поэтому он прямоугольный, то есть прямая SD перпендикулярна прямой SB. Очевидно, что прямые SB и PQ параллельны как стороны равносторонних треугольников с общим углом, тогда прямая SD перпендикулярна прямой PQ. Прямая AC перпендикулярна прямой BD, и по теореме о трёх перпендикулярах прямая AC перпендикулярна прямой SD, а значит, и прямая QR перпендикулярна прямой SD. Таким образом, плоскость PQR перпендикулярна ребру SD. б) Пусть плоскость PQR пересекает ребро SD в точке E. Из доказанного следует, что прямая PE перпендикулярна прямой SD, откуда Значит, Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE. Ответ: б) 14. Решите неравенство: Решение. Последовательно получаем: Ответ: 15. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 480 тысяч рублей на 27 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2‐го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15‐го числа первые два месяца и последний долг должен уменьшиться на m тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на n тысяч рублей. Найдите отношение если всего банку будет выплачено 656,4 тысяч рублей? Решение. Внесем в таблицу величину начисленных процентов и величину долга на 15 число каждого из месяцев.
Общая сумма выплат складывается из суммы взятой в кредит и суммы начисленных процентов. Всего банку будет выплачено: тыс. руб. Решим систему уравнений: Найдём отношение Ответ: 8. 16. На стороне BC треугольника ABC, в котором взята точка D так, что Биссектриса BL пересекает отрезок AD в точке P, отрезок CK — перпендикуляр к прямой AD. а) Докажите, что б) Найдите отношение площади треугольника ABP к площади четырехугольника CDPL, если Решение. а) Треугольник ABD равнобедренный, значит, его биссектриса BP также является высотой и медианой. Используя параллельность прямых PL и KC и свойство биссектрисы треугольника ABС, получаем: б) Запишем теорему Менелая для треугольника BLC и прямой PD: откуда то есть Следовательно, то есть И поскольку находим: Ответ: б) 17. Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно четыре корня. Решение. Построим график функции преобразованиями графиков функций и Заметим, что Значит, график функции — гипербола, асимптотами которой являются прямые и Гипербола пересекает координатные оси в точках и Она изображена на рисунке справа. График функции симметричен относительно оси Oy и при совпадает с графиком функции на рисунке ниже изображён зеленым. График функции получается из графика функции отражением нижней части графика относительно оси Ox, на рисунке ниже изображён красным. Из построенного графика видно, что уравнение имеет ровно четыре корня при или Таким образом, наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно четыре корня, равно 4. Ответ: 4. 18. В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5? в) Известно, что n = 6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни? Решение. а) Сумма натуральных чисел, записанных в первый день, равна 7. Следовательно, чисел, записанных в первый день, не более 7. Тогда в день n ( ) записанных чисел не более 1. И это число заведомо больше 7 (т. к. сумма чисел с каждым днем увеличивается). Противоречие с условием (все записанные числа должны быть меньше 6). б) Пусть в первый день на доску записали число 1 и шесть чисел 2, во второй день — шесть чисел 3, а в третий день — пять чисел 4. Тогда сумма чисел в первый день равна 13, во второй —18, а в третий — 20. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно а среднее арифметическое всех записанных чисел равно в) Заметим, что в шестой день на доску было записано хотя бы одно число. Предположим, что в шестой день на доску было записано не больше двух чисел. Значит, в первый день на доску было записано не менее 6 чисел, и их сумма была не меньше 6. Но это невозможно, поскольку в шестой день сумма записанных на доску чисел должна быть не меньше 11, а сумма двух чисел, каждое из которых меньше 6, не может быть больше 10. Таким образом, в шестой день на доску было записано хотя бы три числа. Следовательно, в пятый день было записано не менее четырёх чисел, в четвёртый день — не менее пяти, в третий — не менее шести, во второй — не менее семи, а в первый — не менее восьми. Значит, суммарно чисел было не меньше 33. Покажем, что могло быть записано 33 числа, удовлетворяющих условию задачи. Пусть в первый день были записаны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; во второй — 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3; в третий — 1, 1, 1, 1, 3, 3; в четвёртый — 1, 1, 3, 3, 3; в пятый — 1, 1, 5, 5; в шестой — 4, 4, 5. Тогда суммы записанных за эти дни чисел соответственно равны 8, 9, 10, 11, 12 и 13, то есть числа удовлетворяют условиям задачи. Ответ: а) нет; б) да; в) 33. |