1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
 Скачать 7.39 Mb.
|
|
9. Расстояние между городами A и B равно 450 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A. Ответ дайте в км/ч. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке 12. а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 13. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 5 : 1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна SA. а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α — прямоугольник. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α. 14. Решите неравенство 15. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? 16. Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM. а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM. б) Известно, что CM = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD. 17. Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение. 18. Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, так как а) Существует ли такое натуральное число n, что ? б) Существует ли такое натуральное число n, что ? в) Сколько существует различных натуральных n, для которых ? Тренировочный вариант 22 ЕГЭ 2023 (январский). Разбор. 1. Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Найдите число вершин многоугольника. Решение. Сумма углов n-угольника равна 180°(n − 2). Каждый из них равен 140°, поэтому, с другой стороны, эта сумма равна 140°n. Решим уравнение 180°(n − 2) = 140°n. Получим 40°n = 360°, откуда n = 9. Таким образом, многоугольник имеет 9 вершин. Ответ: 9. 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Решение. Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5: Ответ: 110. 3. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. Решение. В чемпионате принимает участие 50 − (24 + 13) = 13 спортсменок из Канады. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады, равна Ответ: 0,26. 4. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Решение. Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128. Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392. Ответ: 0,392. 5. Найдите решение уравнения: Решение. Перейдем к одному основанию степени: Ответ: 4. 6. Найдите значение выражения при Решение. Выполним преобразования: Ответ: 8. 7. Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания. Решение. Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований: В нашем случае имеем: Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1. Ответ: −1. 8. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. Решение. Задача сводится к решению неравенства : Ответ: 10. 9. Расстояние между городами A и B равно 450 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 240 км от города A. Ответ дайте в км/ч. Решение. Пусть км/ч — скорость первого автомобиля. Автомобиль, выехавший из города B, преодолел расстояние (450−240) км = 210 км. Первый автомобиль находился в пути на 1 час больше, чем второй. Тогда, Таким образом, скорость первого автомобиля равна 60 км/ч. Ответ: 60. 10. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c — целые. Найдите значение дискриминанта уравнения Решение. По рисунку определяем, что значит, Тогда дискриминант уравнения равен Ответ: 20. 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке Решение. Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: Ответ: 11. 12. а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение. а) Решим уравнение: б) Отберём корни при помощи тригонометрической окружности. Заданному условию удовлетворяют корни и Ответ: а) б) 13. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 5 : 1. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна SA. а) Докажите, что сечение пирамиды SABC плоскостью α — прямоугольник. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α. Решение. а) Пусть точка H — середина ребра BC, а плоскость α пересекает ребра SB и АС в точках L и N соответственно. Тогда медианы АН и SH треугольников ABC и SBC соответственно являются их высотами, а значит, плоскость ASH перпендикулярна прямой BC. Следовательно, прямая SA перпендикулярна прямой BC. Поскольку прямая SA параллельна плоскости α, прямые KL и MN параллельны прямой SA, а значит, SL : LB = AK : KB = SM : MC = AN : NC. Следовательно, прямые LM и KN параллельны прямой BC. Таким образом, KLMN является параллелограммом, пары противоположных сторон которого параллельны перпендикулярным прямым SA и BC соответственно, то есть KLMN — прямоугольник. б) Прямая BC, параллельная прямой KN, перпендикулярна плоскости ASH, значит, плоскости ASH и α перпендикулярны. Пусть плоскость ASH пересекает прямые KN и LM в точках E и F соответственно. Тогда высота пирамиды AKLMN равна расстоянию h между прямыми SA и EF. Высота SO пирамиды SABC лежит в плоскости ASH, AO : OH = 2 : 1, откуда Объём пирамиды AKLMN равен Ответ: б) 14. Решите неравенство Решение. Пользуясь свойствами логарифма преобразуем неравенство: Ответ: Приведём другое решение: Пользуясь свойствами логарифма преобразуем неравенство: 15. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Решение. Пусть в первой области х рабочих заняты на добыче алюминия, а 20 − х рабочих заняты на добыче никеля. Работая 10 часов в сутки, один рабочий добывает 1 кг алюминия или 1 кг никеля, поэтому за сутки рабочие добудут х кг алюминия и (20 − х) кг никеля. Пусть во второй области у рабочих заняты на добыче алюминия, а 20 − у рабочих заняты на добыче никеля. Работая 10 часов в сутки, n рабочих добывают кг любого из металлов, поэтому вместе бригады добудут кг алюминия и кг никеля. Всего будет произведено кг алюминия (1) и кг никеля (2). Поскольку алюминия необходимо добывать втрое больше никеля, имеем: Количеству никеля соответствует количество сплава Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*): Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение функции при натуральных y не больших 20. Имеем: Найдем нули производной: В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области. Далее имеем: из (*) Это означает, что все рабочие первой области должны быть заняты на производстве алюминия, за сутки они произведут его 20 кг, а рабочие второй области бригадами по 10 и 10 человек должны быть заняты на добыче алюминия и никеля, они добудут их по 10 кг. Всего будет добыто 30 кг алюминия и 10 кг никеля, из них будет произведено 40 кг сплава. Ответ: 40 кг. Приведем решение Ольги Тыньяновой. Найдем максимальное количество металла, которое может быть добыто в двух областях. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг металла (алюминия или никеля), поэтому общее количество добытого металла равно 0,1 · 20 · 10 = 20 кг. Пусть во второй области добыто х кг алюминия, тогда на его добычу будет затрачено x2 часов, и на добычу никеля можно будет затратить 200 − x2 часов, при этом будет добыто кг никеля. Общее количество добытого во второй области металла составит Имеем: Найдем нули производной: При x = 10 функция f(x) достигает максимального значения, равного 20. Таким образом, во второй области максимальное количество добытого металла составляет 20 кг при условии, что добывается 10 кг алюминия и 10 кг никеля. Следовательно, общее количество металла, добытого в двух областях, не может быть больше 40 кг, а следовательно, количество произведенного заводом сплава также не может быть больше 40 кг. Покажем, что количество сплава может быть равно 40 кг. При максимальном производстве металла во второй области там будет добыто 10 кг алюминия и 10 кг никеля. Если в первой области все рабочие будут заняты на добыче алюминия, то его будет добыто 20 кг. Следовательно, всего будет добыто 30 кг алюминия, и на 1 кг никеля будет приходится 3 кг алюминия, как и требуется для производства сплава. Таким образом, максимальное количество сплава, которое может произвести завод, равно 40 кг. 16. Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM. а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM. б) Известно, что CM = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD. Решение. а) Заметим, что поскольку прямые BC и AQ параллельны. Углы и равны, поскольку оба равны половине дуги MP (первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный угол), откуда и следует утверждение задачи. б) Обозначим центр окружности за O, а основание перпендикуляра из точки O на прямую AD за K, на прямую BC — за L. Тогда CMOL — квадрат и, значит, радиус окружности равен 17. Тогда в треугольнике OPK имеем Значит, PQ = 2PK = 16, DK = CL = 17. Тогда PD = DK – PK = 9. Тогда DQ = 25 и откуда Ответ: 17. Найдите все значения a, при каждом из которых система имеет единственное решение. Решение. Решение системы может быть единственным в двух случаях. 1 случай. Единственное решение является граничной точкой для множества решений каждого из двух неравенств. В этом случае это единственное решение должно удовлетворять системе уравнений Вычитая из второго уравнения первое, получаем: Если то а значит, При этом значении a система принимает вид: Единственное решение Если то и Система принимает вид: При этом значении a система имеет бесконечно много решений. 2 случай. Одно из неравенств имеет единственное решение, удовлетворяющее другому неравенству. Первое неравенство имеет единственное решение при При этом первое неравенство имеет единственное решение которое удовлетворяет второму неравенству. Второе неравенство имеет единственное решение при При этом второе неравенство имеет единственное решение которое не удовлетворяет первому неравенству. Ответ: 18. Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, так как а) Существует ли такое натуральное число n, что ? б) Существует ли такое натуральное число n, что ? в) Сколько существует различных натуральных n, для которых ? Решение. а) Заметим, что поэтому Значит, равенство невозможно. б) Пусть n = 24. Тогда в) Отметим, что при целом a и любом x выполнено равенство Запишем n в виде где Тогда По условию, откуда То есть при любом t найдется ровно одно подходящее k, поскольку Значит, всего подходящих n ровно 306 — по одному с каждым остатком от деления на 306. Ответ: а) нет; б) да; в) 306. |