1 Тренировочный вариант 1-... ЕГЭ 2023. Тренировочный вариант 1 егэ 2023 (январский). 1
 Скачать 7.39 Mb.
|
|
8. Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют υ = 300 руб., постоянные расходы предприятия f = 700 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле g(q) = q(p − υ) − f. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 500 000 руб. 9. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах. 10. На рисунке изображён график функции Найдите 11. Найдите точку максимума функции 12. а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 13. В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите объем пирамиды PABC. 14. Решите неравенство 15. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк. 16. На окружности с центром O и диаметром MN, равным 26, взята точка K на расстоянии 12 от этого диаметра. Хорда KE пересекает радиус OM в точке F под углом, равным а) Докажите, что KF : FE = 25 : 17. б) Найдите площадь треугольника KEN. 17. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения. 18. Аня играет в игру: на доске написаны два различных натуральных числа a и b, оба меньше 1000. Если и оба натуральные, то Аня делает ход — заменяет этими двумя числами предыдущие. Если хотя бы одно из этих чисел не является натуральным, то игра прекращается. а) Может ли игра продолжаться ровно три хода? б) Существует ли два начальных числа таких, что игра будет продолжаться не менее 9 ходов? в) Аня сделала первый ход в игре. Найдите наибольшее возможное отношение произведения полученных двух чисел к произведению предыдущих двух чисел. Тренировочный вариант 18 ЕГЭ 2023 (январский). Разбор. 1.Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50°? Ответ дайте в градусах. Решение. Разность противолежащих углов равна 50°, а их сумма равна 180°, имеем: Ответ: 115. 2.Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 36. Через среднюю линию основания этой призмы проведена плоскость, параллельная боковой грани. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. Решение. Площадь каждой из боковых граней отсечённой треугольной призмы вдвое меньше площади соответствующей боковой грани исходной призмы, значит, площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 18. Ответ: 18. 3. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Какова вероятность того, что турист Б., входящий в состав группы, пойдёт в магазин? Решение. Всего туристов 8, случайным образом из них выбирают 2. Вероятность быть выбранным равна 2 : 8 = 0,25. 4. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше. Решение. Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19. Ответ: 0,19. 5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней Решение. Решим уравнение: Ответ: −4. 6.Найдите если и Решение. Используем формулу приведения: Поскольку угол лежит в первой четверти, Тогда Следовательно, Ответ: 1,12. 7. На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? Решение. Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 5. Ответ:5. 8. Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют υ = 300 руб., постоянные расходы предприятия f = 700 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле g(q) = q(p − υ) − f. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 500 000 руб. Решение. Задача сводится к нахождению наименьшего решения неравенства руб. при заданных значениях цены за единицу руб., переменных затрат на производство одной единицы продукции руб. и постоянных расходов предприятия руб. в месяц: Ответ: 4000. 9. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах. Решение. Скорость сближения поездов равна 60 км/ч или 1 км/мин. Следовательно, за 1 минуту пассажирский поезд сместится относительно товарного на 1 км. При этом он преодолеет расстояние, равное сумме длин поездов. Поэтому длина пассажирского поезда равна 1000 − 600 = 400 м. Приведём другое решение. Скорость сближения поездов равна Пусть длина пассажирского поезда равна х метров. За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние х + 600. Тогда: Поэтому длина пассажирского поезда 400 м. Ответ: 400. 10. На рисунке изображён график функции Найдите Решение. Из рисунка видно, что следовательно, Решая полученную систему, находим: a = 1, b = 6, c = 4. Тогда Ответ: 31. 11. Найдите точку максимума функции Решение. Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: Искомая точка максимума Ответ: 0. 12. а) Решите уравнение б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение. а) Преобразуем уравнение с помощью формул приведения и основного тригонометрического тождества: б) Отберём корни. принадлежащие отрезку. Для первой серии получаем: откуда корень Для второй серии имеем: откуда корень Ответ: а) б) 13. В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите объем пирамиды PABC. Решение. а) Прямая BC перпендикулярна плоскости APC, поскольку она перпендикулярна прямым PA и PC. Значит, прямые AC и BC перпендикулярны. б) По теореме косинусов По теореме Пифагора: Значит, объем пирамиды равен Ответ: б) 90. 14. Решите неравенство Решение. Заметим, что 1. и обращается в ноль только при то есть и при 2. при и 3. 4. и при то есть при Следовательно, при имеем: Откуда с учетом выколотых точек, получаем или Ответ: 15. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк. Решение. Пусть сумма находящихся в банке средств клиентов составляет S денежных единиц. Банк получит наименьшую прибыль, если его доходы по обоим вложениям окажутся минимальными, а выплаты клиентам максимальными. Величина минимальных доходов составляет Выплата клиентам по высшей ставке (20%) составляет 0,2 . Следовательно, наименьшая возможная чистая прибыль равна Банк получит наибольшую прибыль, если его доходы по обоим вложениям окажутся максимальными, а выплаты клиентам минимальными. Величина максимальных доходов составляет Выплата клиентам по низшей ставке (10%) составляет 0,1 . Поэтому наибольшая возможная чистая прибыль равна Ответ: 5%; 20%. Примечание. Эта задача, взятая нами из вариантов А. Ларина № 93 и № 239, впервые, по-видимому, была предложена на вступительном экзамене по математике для поступающих на отделение менеджмента экономического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в июле 1997 года. Составляя парную задачу к этой, авторы, по всей вероятности, допустили ошибку, распространенную потом при цитировании в методических публикациях. Интересующемуся читателю рекомендуем самостоятельно решить эту (несложную) задачу, а затем проверить себя. Банк планирует вложить на 1 год 40% имеющихся у него средств клиентов в проект Х, а остальные 60% — проект Y. Проект Х может принести прибыль в размере от 19% до 24% годовых, а проект Y — от 29% до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определить наименьший и наибольший возможные уровни процентной ставки, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты Х и Y. . 16. На окружности с центром O и диаметром MN, равным 26, взята точка K на расстоянии 12 от этого диаметра. Хорда KE пересекает радиус OM в точке F под углом, равным а) Докажите, что KF : FE = 25 : 17. б) Найдите площадь треугольника KEN. Решение. а) Пусть KP — высота треугольника MKN. Из прямоугольных треугольников KOP и KPF находим, что Сумма длин отрезков OP и PF больше, чем радиус окружности. Значит, точки F и P лежат по разные стороны от точки O. Тогда По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд получаем, что откуда находим, что б) Для нахождения площади треугольника KEN воспользуемся формулой Имеем Из треугольника KOP находим, что Так как получаем, что Из треугольника EFN получаем, что Тогда Ответ: б) 171,36. 17. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре различных решения. Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим три случая. 1) Если то получаем уравнение Полученное уравнение задаёт параболу 2) Если то координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению. 3) Если то получаем уравнение Полученное уравнение задаёт параболу Таким образом, в первом случае мы получаем дугу параболы c концом в точке во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 3, в третьем — дугу параболы с концом в точке А (см. рис.). Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении а оно задаёт прямую m, параллельную прямой или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a = −3. Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку. Запишем уравнения и как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при и прямые m касаются дуг и соответственно. Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении а, имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при имеет одну общую точку с дугой при и имеет две общие точки с дугой при Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой l и дуг и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно четыре решения при Ответ: 18. Аня играет в игру: на доске написаны два различных натуральных числа a и b, оба меньше 1000. Если и оба натуральные, то Аня делает ход — заменяет этими двумя числами предыдущие. Если хотя бы одно из этих чисел не является натуральным, то игра прекращается. а) Может ли игра продолжаться ровно три хода? б) Существует ли два начальных числа таких, что игра будет продолжаться не менее 9 ходов? в) Аня сделала первый ход в игре. Найдите наибольшее возможное отношение произведения полученных двух чисел к произведению предыдущих двух чисел. Решение. Заметим сразу, что сумма чисел не меняется, а разность уменьшается вдвое. а) Из чисел 1 и 17 получатся последовательно 5 и 13, 7 и 11, 8 и 10. На этом игра остановится. б) Если бы это было возможно, то разность между начальными числами за эти несколько ходов уменьшилась бы минимум в 512 раз. Значит, она стала бы равна 1, а изначально была 512. Тогда на предпоследнем ходе разность была равна 2. Однако из чисел x и x + 2 получаются числа x + 0,5 и x + 1,5, то есть нецелые. в) Пусть a < b. Следует найти максимум выражения Если уменьшить a и b на одно и то же число, то числитель дроби не изменится, а знаменатель уменьшиться, следовательно, дробь увеличится. Значит, в оптимальном случае a = 1, поскольку иначе уменьшим a и b на a − 1. Тогда При увеличении b выражение 3b растет минимум на 3, а выражение уменьшится менее, чем на 3, поскольку оно само не больше трех. Значит, самое большое значение будет при самом большом возможном b, то есть при b = 997: при первого хода сделать нельзя. Итак, нужно взять числа 1 и 997, получить из них 250 и 748, и получить ответ: Ответ: а) да, б) нет, в) Тренировочный вариант 19 ЕГЭ 2023 (январский). 1. В параллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, Найдите большую высоту параллелограмма. 2. Высота конуса равна 15, а диаметр основания − 16. Найдите образующую конуса. 3. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 2, но не дойдя до отметки 5. 4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. 5. Найдите корень уравнения 6. Найдите значение выражения |