Учебник логики со сборником задаче издание, переработанное

• Название: Учебник логики со сборником задаче издание, переработанное
• Анкор: ext,ybr
• Дата: 18.01.2021
• Размер: 1.73 Mb.
• Имя файла: Uchebnik-logiki-So-sbornikom-zadach_RuLit_Me_609228.pdf
• Тип: Учебник; #169133
• страница: 5 из 28

§ 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СУЖДЕНИЯ
Суждение — форма мышления, в которой чтолибо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.
Примеры суждений Ледоколы существуют, Российские альпинисты совершили восхождение на Эверест, Киев больше Тулы»,
«Все феодалы — эксплуататоры, Некоторые деревья не являются лиственными. Если в суждении утверждается (или отрицается) наличие у предмета какогото признака, или констатируется существование какогото предмета, или устанавливается отношение между предметами и это соответствует действительности, то суждение истинно.
Суждения Все ужи — пресмыкающиеся, «10 больше 3», Не существуют русалки, Некоторые птицы не являются водоплавающими»
являются истинными, так как в них адекватно (верно) отражено то, что имеет место в действительности. В противном случае суждение ложно.
Традиционная логика является двузначной, так как в этой логике суждение имеет одно из двух значений истинности оно либо истинно, либо ложно. В трехзначных логиках суждение имеет одно из трех значений истинности, так как оно может быть либо истинным, либо ложным, либо неопределенным. Например, суждение На Марсе есть жизнь в настоящее время не является ни истинным, ни ложным оно неопределенно. Многие суждения о будущих единичных событиях являются неопределенными. Об этом писал еще Аристотель (IV в. до н.э.),
когда приводил пример суждения Завтра необходимо будет морское сражение»
1
В простом атрибутивном суждении имеются субъект, предикат,
связка и кванторное слово. В суждениях Некоторые электростанции являются атомными электростанциями и Все студенты являются учащимися высшего учебного заведения субъектами являются соответственно понятия электростанция и студент, предикатами понятия атомная электростанция и учащийся высшего учебного заведения, кванторными словами — некоторые и все, связки выражены словом являются. В суждении Ледоколы существуют

субъектом является понятие ледокола предикатом — понятие осу ществовании предмета, ион выражен словами то, что существует».
Субъект атрибутивного суждения — это понятие о предмете суждения. Предикатом атрибутивного суждения называется понятие о признаке предмета, рассматриваемом в суждении. Субъект обозначается буквой S (от лат. subjectum), а предикат — буквой Рот лат. Связка может быть выражена одним словом (есть, суть, является) или группой словили тире, или простым согласованием слов (Собака лает, Идет дождь. Перед субъектом суждения иногда стоит кван
торное слово все, или ни один, или некоторые и др. Кванторное слово указывает, относится ли суждение ко всему объему понятия, выражающего субъект, или к его части. Простые суждения, о которых шла речь, называются ассерторическими.
Суждение и предложение
Понятия в языке выражаются одним словом или группой слов.
Суждения выражаются повествовательными предложениями, которые содержат какоето сообщение, информацию. Например Буря мглою небо кроет, Многие лекарственные растения собирают летом, Ни один дельфин не является рыбой. По цели высказывания предложения делятся на повествовательные, побудительные и вопросительные.
Вопросительные предложения не содержат в своем составе суждения, так как в них ничего не утверждается и не отрицается и они не истинны и не ложны. Например Как распределяем мы свое свободное время или Когда состоятся соревнования по настольному теннису. Если в предложении выражен риторический вопрос, например:
«Какой русский не любит быстрой езды (Н.В. Гоголь, или Есть ли чтонибудь чудовищнее неблагодарного человека (У. Шекспир), или
«Кто из вас не любит стихов АС. Пушкина, или Кто не хочет счастья, или Какой ребенок не хочет материнской ласки, или Какой студент не хочет получить стипендию, в таком предложении содержится суждение, так как налицо утверждение, уверенность, что Все любят стихи АС. Пушкина или Все хотят счастья и т.п.*
Побудительные предложения выражают побуждение собеседника (читателя и других людей) к совершению действия (предложение может выражать совет, просьбу, обычное побуждение, приказ и т.д.).
Некоторые авторы считают, что все побудительные предложения не выражают суждений. По нашему мнению, отдельные побудительные О вопросительных предложениях и роли вопроса в познании будет подробно сказано в главе VIII.

предложения не содержат суждения (Подожди меня, Вылей воду, хотя в них чтото утверждается (Берегите лес) или отрицается (Не выливай воду, Иди не на каток, а в школу. Но предложения, в которых сформулированы воинские команды, приказы, призывы,
или лозунги, или советы, выражают суждения, ноне ассерторические,
а модальные. Например Ни шагу назад, В атаку, Мой друг!
Отчизне посвятим души прекрасные порывы (АС. Пушкин).
Дейл Карнеги в книге Как перестать беспокоиться и начать жить дает много интересных советов. Приведем три из них.
«Никогда не пытайтесь свести счеты с вашими врагами, потому что этим вы принесете себе гораздо больше вреда, чем им. Давайте поступать, как генерал Эйзенхауэр: никогда не думайте ни минуты о тех людях, которые вам неприятны».
«Если мы хотим обрести счастье, давайте прекратим думать о благодарности или неблагодарности, а будем совершать благодеяния ради внутренней радости, которую при этом испытываем».
«Помните, что благодарность — это такая черта характера, которую надо воспитывать поэтому, если мы хотим, чтобы наши дети были благодарны, мы должны научить их этому».
Эти предложения выражают суждения, но суждения модальные,
включающие в себя модальные слова. Выражают суждения и такие побудительные предложения Не кури, Выполняй взятые на себя обязательства и др Перед любым приемом пищи ешьте салат из сырых овощей или сырые фрукты, Не вредите себе перееданием — эти советы (призывы) знаменитого диетолога Поля Брэгга являются сужде
ниями.
Односоставные безличные предложения (например «Знобит»,
«Подморозило»), назывные предложения (например Утро, «Осень»)
и некоторые виды повествовательных предложений (например Он отличный вратарь, Дальний Восток находится от нас далеко) являются суждениями лишь при рассмотрении их в контексте и при уточнении Кто — он, От кого — от нас Если этого уточнения не сделано, то неизвестно, выражает ли данное предложение истину или ложь.
В некоторых случаях не совпадают субъект суждения (S) с грамматическим подлежащими предикат суждения (Р) с грамматическим сказуемым. В примере Студенты — учащиеся совпадение полное Модальные суждения подробно рассматриваются в § 6 настоящей главы. Они включают в свой состав модальные операторы, выраженные словами возможно, необходимо, запрещается, доказано и др. В современной логике императивы и команды рассматриваются в разделе неклассической (модальной) логики. В этом смысле они относятся к одному из видов модальных суждений

В примере Пресса Индии уделяет большое внимание проблемам нефти»
(здесь подчеркнуты подлежащее и сказуемое, а курсивом выделены логические термины субъект и предикат как видим, совпадения нет. В суждении Злая собака выбежала мне навстречу также нет совпадения 2. ПРОСТОЕ СУЖДЕНИЕ
Суждения бывают простые и сложные последние состоят из нескольких простых. Суждение Некоторые вулканы действующие простое, а суждение Прозрачный лес один чернеет, и ель сквозь иней зеленеет, и речка подо льдом блестит — сложное.
Виды простых суждений. Суждения свойства (атрибутивные В суждениях этого вида утверждается или отрицается принадлежность предмету известных свойств, состояний, видов деятельности. Примеры У розы приятный запах, Певец исполняет арию из оперы Евгений Онегин“», Всякий терьер — собака, «7 не есть четное число. Схемы этого вида суждения S есть Р или S не есть Р. Суждения с отношениями В этих суждениях говорится об отношениях между предметами. Например Всякий протон тяжелее электрона, Эльбрус выше Монблана, «Н.В. Гоголь родился позднее
А.С. Грибоедова, «В.Г. Белинский — современник Н.В. Гоголя, Отцы старше своих детей и т.д.
Формула, выражающая суждение с двухместным отношением,
записывается как aRb или R(a, b), где аи имена предметов, a R имя отношения. В суждении с отношением может чтолибо утверждаться или отрицаться не о двух, а о трех, четырех или большем числе предметов. Например, Бологое находится между СанктПетербургом и Москвой. Такие суждения выражаются формулой R(a
1
, a
2
, a
3
…, a
n
).
3. Суждения существования (экзистенциальные В них утверждается или отрицается существование предметов (материальных или идеальных) в действительности. Примеры этих суждений Существует атомный реактор в Чернобыле, Не существует беспричинных яв
лений».
Категорические суждения и их виды
(деление по количеству и качеству)
В традиционной логике все три указанных вида представляют простые категорические суждения. По качеству связки (есть или не есть) категорические суждения делятся на утвердительные и отрицательные. Суждения Многие промышленные предприятия рентабельны, Все страусы — птицы утвердительные. Суждения Некоторые дома не являются благоустроенными, Ни один карась не является хищной рыбой отрицательные. Связка есть в утвердительном суждении отражает наличие у предмета (предметов) некоторых свойств. Связка не есть отражает то, что предмету (предметам) не присуще некоторое свойство.
Некоторые логики считали, что в отрицательных суждениях нет отражения действительности. На самом деле отсутствие определенных признаков также представляет собой действительный признак, имеющий объективную значимость. В отрицательном истинном суждении наша мысль разъединяет (разделяет) то, что находится разделенным в объективном мире.
В зависимости оттого, обо всем классе предметов, о части этого класса или об одном предмете идет речь в субъекте, суждения делятся на общие, частные и единичные. Например, Все соболя — ценные пушные звери и Все здравомыслящие люди хотят долгой, счастливой и полезной жизни (Поль С. Брэгг) — общие суждения Некоторые цветы — розы — частное Везувий — действующий вулкан — единичное.
Структура общего суждения Все S есть (не есть) Р. Единичные суждения будут трактоваться как общие, так каких субъектом является одноэлементный класс.
Среди общих суждений встречаются выделяющие суждения, в состав которых входит кванторное слово только, — Только добрый человек может быть врачом (П. Дюбуа). Примерами выделяющих суждений являются и следующие Поль С. Брэгг пил только дистиллированную воду, Человеческий организм может усваивать только органические вещества, Смелый человек не боится правды. Ее боится только трус (А. Конан Дойл).
Среди общих суждений имеются исключающие суждения, например Все студенты нашей группы, за исключением больных, пришли на семинар. К числу исключающих суждений относятся и те, в которых выражены исключения из правил русского или иных языков, правил логики, математики и других наук.
Частные суждения имеют структуру Некоторые S есть (не есть) Р. Они делятся на неопределенные и определенные. Например,
«Некоторые грибы — съедобны — неопределенное частное суждение.
Мы не установили, обладают ли признаком съедобности все грибы, ноне установили итого, что признаком съедобности не обладают некоторые грибы. Если мы установили, что Только некоторые S обладают признаком Р, то это будет определенное частное суждение, структура

которого Только некоторые S есть (не есть) Р. Примеры Только некоторые грибы съедобны Только некоторые остроугольные треугольники являются равносторонними Только некоторые тела легче воды. В определенных частных суждениях часто применяются кван
торные слова большинство, меньшинство, немало, не все, многие, почти все, несколько и др.
Единичные суждения имеют структуру Это S есть (не есть) Р».
Примеры единичных суждений Эверест — высочайшая вершина мира, «Третьяковская галерея в Москве — крупнейший в России музей, где собраны лучшие произведения отечественного искусства».
Объединенная классификация
простых категорических суждений
по количеству и качеству
В каждом суждении имеется количественная и качественная характеристика. Поэтому в логике применяется объединенная классификация суждений по количеству и качеству, на основе которой выделяются следующие четыре типа суждений — общеутвердительное суждение. Структура его Все S есть Например Все люди — позвоночные — частноутвердительное суждение. Структура его Некоторые есть Р. Например Некоторые элементарные частицы имеют положительный заряд. Условные обозначения для утвердительных суждений взяты от слова affirmo — утверждаю (при этом берутся две первые гласные буквы А — для обозначения общеутвердительного и I — для обозначения частноутвердительного суждения).
Е — общеотрицательное суждение. Его структура Ни одно S не есть Р. Пример Ни один дельфин не является рыбой».
О — частноотрицательное суждение. Структура его Некоторые не есть P». Например Некоторые люди не являются долгожителями».
Условные обозначения для отрицательных суждений взяты от слова — отрицаю.
Распределенность терминов
в категорических суждениях
В суждениях термины S и P могут быть либо распределены, либо не распределены. Термин считается распределенным, если его объем полностью включается в объем другого термина или полностью исключается из него. Термин будет нераспределенным, если его объем частично включается в объем другого термина или частично исключается из

него. Проанализируем четыре вида суждений АО (мы рассматриваем типичные случаи).
Суждение А общеутвердительное. Его структура Все S есть Р».
Рассмотрим два случая.
1
й случай В суждении Все караси — рыбы субъектом является понятие карась, а предикатом — понятие рыба. Квантор общности — все. Субъект распределен, так как речь идет о всех карасях, т.е.
его объем полностью включен в объем предиката. Предикат не распределен, так как в суждении речь идет лишь о той части объема предиката, которая совпадает с объемом субъекта.
Распределенность терминов в суждениях можно иллюстрировать с помощью круговых схем Эйлера. На рисунке 31 изображено соотношение S ив суждении А. Заштрихованная часть круга на рис. характеризует распределенность (или нераспределенность) терминов.
Если объем Р больше (шире) объема S, то Р не распределен.
2
й случай В суждении Все квадраты — равносторонние прямоугольники термины такие S — квадрат, Р — равносторонний прямоугольник, квантор общности — все. В этом суждении S распределен и Р распределен, так каких объемы полностью совпадают (см. рис. Рис. Рис. Если объем Р больше (шире) объема S, то Р не распределен.
2
й случай В суждении Все квадраты — равносторонние прямоугольники термины такие S — квадрат, Р — равносторонний прямоугольник, квантор общности — все. В этом суждении S распределен и Р распределен, так каких объемы полностью совпадают (см. рис. Если S равен по объему Р, то Р распределен. Это бывает в определениях ив выделяющих общих суждениях
3
Суждение I частноутвердительное. Его структура Некоторые есть Р. Рассмотрим два случая.
1
й случай В суждении Некоторые инженеры — филателисты»
термины такие S — инженер, Р — филателист, квантор существования некоторые. Соотношение S и Р изображено на рис. Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть инженеров, те. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката.
Предикат тоже не распределен, так как он также лишь частично включен в объем субъекта (только некоторые филателисты являются инже
нерами).
Если понятия S и Р перекрещиваются, то Р не распределен.
2
й случай В суждении Некоторые писатели — драматурги термины такие S — писатель, Р — драматург, квантор существования некоторые. Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть писателей, те. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат распределен, так как объем предиката полностью входит в объем субъекта (см. рис. 34). Таким образом, Р распределен, если объем Р меньше объема S, что бывает в частных выделяющих суждениях.
Рис. Рис. Суждение Е общеотрицательное. Его структура Ни одно S не есть Р. Например Ни один лев не есть травоядное животное. В нем термины такие S — лев, Р — травоядное животное, квантор общности — ни один. Здесь объем субъекта полностью исключается из объема предиката, и наоборот. Поэтому и S, и Р распределены (см. рис. Рис 35

Суждение О частноотрицательное. Его структура Некоторые не есть Р. Например Некоторые учащиеся не являются спортсменами. В нем такие термины S — учащийся, Р — спортсмен, квантор существования — некоторые. Субъект не распределен, так как мыслится лишь часть учащихся, а предикат распределен, ибо в нем мыслятся все спортсмены, ни один из которых не включен в ту часть учащихся, которая мыслится в субъекте (см. рис. Рис. Итак, S распределен в общих суждениях и не распределен в частных Р всегда распределен в отрицательных суждениях, в утвердительных же он распределен тогда, когда по объему Р d S.
Распределенность терминов в категорических суждениях можно выразить в виде следующей таблицы (табл. 2), где знаком (+) выражена распределенность термина, а знаком (–) его нераспределенность. В ней же дана объединенная информация о простых суждениях 3. СЛОЖНОЕ СУЖДЕНИЕ И ЕГО ВИДЫ
Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логических связок конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивален
ции и отрицания. Таблицы истинности этих логических связок следующие (табл. 3, Буквы ас переменные, обозначающие суждения буква И
обозначает истину, а Л — ложь.
Таблицу истинности для конъюнкции (а š b) можно разъяснить наследующем примере. Учителю дали короткую характеристику, состоящую из двух простых суждений Он является хорошим педагогом (аи учится заочно (b)». Она будет истинна в томи только в том случае,
если суждения аи оба истинны. Это и отражено впервой строке. Если же а ложно или b ложно, либо и аи ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь, те. учителю была дана ложная характеристика

Таблица 2
Суждение
Вид суждения
Обозна
Формула суждения
Распределенность
Отношение
S
и
P
чение в традиционной логике в математической логике терминов суждения
(исчислении предикатов)
SP
Общеутвердительное
A
Все
S
суть
P
(
SaP
)

x
(S
(x
) o
P
(x
))
+
+
¯
Частноутвердительное
I
Некоторые
S
суть
P
(
SiP
)

x
(S
(x
)
š
P
(x
))
–
+
¯
Общеотрицательное
E
Ни одно
S
не суть
P
(
SeP
)

x
(S
(x
) o
P
¯
(x
¯
))
+
+
Частноотрицательное
O
Некоторые
S
не суть
P

x
(S
(x
)
š
P
¯
(x
¯
))
–
+
(SoP
)

Таблица 3
a
b
a š b
a › b
a ›
b
a o b
a { b
И
И
И
И
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
И
И
Л
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
Таблица 4
а
a
¯
И
Л
Л
И
Суждение Увеличение рентабельности достигается путем повышения производительности труда (а) или путем снижения себестоимости продукции (b)» — пример нестрогой дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если ее члены не исключают друг друга.
Такое высказывание истинно в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух суждений (первые три строки табл. 3), и ложно, когда оба суждения ложны.
Члены строгой дизъюнкции (а ›
b) исключают друг друга. Это можно разъяснить на примере Я поеду на юг на поезде (а) или полечу на самолете (b)». Яне могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно лишь одно из двух простых суждений.
Таблицу для импликации (a o b) можно разъяснить на таком примере Если через проводник пропустить электрический тока, то проводник нагреется (b)»*. Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое суждение истинно, а второе ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропустили электрический ток, те. чтобы суждение (а) было истинным, а проводник не нагрелся,
т.е. суждение (b) было ложным.
Эквиваленция в таблице (а { b) характеризуется так а { b истинно в тех и только в тех случаях, когда и аи либо оба истинны,
либо оба ложны Мы отвлекаемся здесь от различия между импликацией логики высказываний и содержательным союзом если то. Следует также отличать условные высказывания, выраженные изъявительными сослагательным наклонениями. Последние называются контрфактическими высказываниями. Например Если бы на Земле не было кислорода, то жизнь на ней была бы невозможна

Отрицание суждения а (те. a
¯
) характеризуется так если а истинно, то его отрицание ложно, и если а ложно, то a
¯
истинно.
Если в формулу входят три переменные, то таблица истинности для этой формулы, включающая всевозможные комбинации истинности или ложности ее переменных в таблице, будет состоять из 2 3
= строк при четырех переменных в таблице будет 2 4
= 16 строк при пяти переменных в таблице имеем 2 5
= 32 строки при n переменных — строк (табл. 5, Алгоритм распределения значений И и Л для переменных (например, для четырех переменных ас) таков (см. табл. Таблица 5
a
b
c
d
И
И
И
И
И
И
И
Л
И
И
Л
И
И
И
Л
Л
И
Л
И
И
И
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
И
Л
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Имеем 2 4
= 16 строк.
В столбце для а сначала пишем восемь раз И и восемь раз Л.
В столбце для b сначала пишем четыре раза И и четыре раза Л,
затем повторяем и т.д.
Выполнимая формула та, которая может принимать по крайней мере одно значение истина. Тождественноистинной формулой называется формула, которая при любых комбинациях значений для входящих в нее переменных принимает значение истина (иначе она называется законом логики, или тавтологией. Тождественноложная формула та, которая соответственно принимает только значение «ложь»
(она иначе называется противоречием

Приведем доказательство тождественной истинности формулы o (b š c)) š (b
¯
› c
¯
)) o a
¯
(см. табл. Таблица 6
a
b
c
a
¯
b
¯
c
¯
b š c a o(b š c) (b
¯
› c
¯
) (a o (b š c)) š ((a o (b š c)) š
š (b
¯
› c
¯
)
š (b
¯
› c
¯
)) o a
¯
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
И
И
Л
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
И
И
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
И
И
И
И
Так как в последней колонке мы имеем только значение истина, формула является тождественноистинной, или законом логики
(такие выражения называют тавтологиями).
Итак, конъюнкция (a š b) истинна тогда, когда оба простых суждения истинны. Строгая дизъюнкция (а ›
b ) истинна тогда, когда только одно простое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция (а › b) истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация
(а o b) истинна во всех случаях, кроме одного когда а истинно, a ложно. Эквиваленция (а { b) истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание (a
¯
) истины дает ложь, и наоборот.
Способы отрицания суждений
Два суждения называются отрицающими или противоречащими друг другу, если одно из них истинно, а другое ложно (те. они не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными)
(табл. Таблица 7
а
a
¯
И
Л
Л
И
Отрицающими являются следующие пары суждений. АО. Все S есть P» и Некоторые S не есть РЕ. Ни одно S не есть Р и Некоторые S есть Р. Это S есть Р и Это S не есть Р

Операцию отрицания в виде образования нового суждения изданного следует отличать от отрицания, входящего в состав отрицательных суждений. Существует два вида отрицания внутреннее и внешнее. Внутреннее указывает на несоответствие предиката субъекту (связка выражена словами не есть, не суть, не является. Например:
«Некоторые люди не имеют высшего образования. Внешнее отрицание означает отрицание всего суждения. Например Неверно, что в Москве протекает река Нева».
Отрицание сложных суждений
Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих в своем составе лишь операции конъюнкции и дизъюнкции, необходимо поменять знаки операций на противоположные (те. конъюнкцию на дизъюнкцию, и наоборот) и над буквами, выражающими элементарные суждения, поставить знак отрицания, а если он уже есть, то отбросить его. Имеем 1)
;
› {
š
a b a b
2)
;
› { š
a b a b
3)
;
š { ›
a b a b
4)
š { ›
a b
a Эти формулы называются законами де Моргана. Применив их,
получим:
(
)
)
(
) (
(
).
›
š
›
{
š
›
š
a b
c e
a b
c Если в сложном суждении имеется импликация, то ее необходимо заменить на тождественную формулу без импликации (с дизъюнкцией, а именно (a o b) { (a
¯
› b); затем по общему методу найти противоречащее суждение. Например Если у меня будет свободное время (а),
то я почитаю книгу (b) или посмотрю телевизор (с. Формула этого сложного суждения ас. Противоречащее суждение будет ›
›
{ š
š
a
b c
a
b c
a
b Оно читается так У меня будет свободное время, ноя не буду читать книгу и не буду смотреть телевизор 4. ВЫРАЖЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗОК
(ЛОГИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ) В ЕСТЕСТВЕННОМ ЯЗЫКЕ
В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложными суждениями, образуемыми из простых посредством логических связок
(или операций) — конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивален
ции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке

Конъюнкция (знак «š») выражается союзами и, а, но, «да»,
«хотя», который, зато, однако, не только, но и и др. В логике высказываний знак «š» соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз и и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы,
наречия, прилагательные и другие части речи. Например В корзине у деда лежали подберезовики и маслята (a š b), Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе. Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией Интересная книга лежит на столе и Красиво оформленная книга лежит на столе, так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.
В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (a š b) = (b š b). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза и некоммутативно.
Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания 1) Прицепили паровоз, и поезд тронулся и 2) Поезд тронулся,
и прицепили паровоз».
В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания запятой, точкой с запятой, тире.
Например: Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь».
О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в своей книге Математическая логика. В разделе Анализ рассуждений он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены символами или «&». Формула A š B в естественном языке может выражаться так:
«Не только А, но и В.
Как Атаки В.
В, хотя и А.
А вместе с В.
В, несмотря на Авто время как В»
4
Придумать примеры всех этих структур предоставляем читателю.
В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная аи а ›
b) выражается союзами или, либо, то ли то ли и др. Например Вечером я пойду в кино или в библиотеку Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным Доклад будет то ли по произведениям Л. Толстого, то ли по произведениям
Ф.М. Достоевского».
Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативности:
(а › b) { (b › a) и (а ›
b) { (b ›
a). В естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, суждение Я куплю масло или хлеб»
эквивалентно суждению Я куплю хлеб или масло

С. Клини показывает, какими разнообразными способами могут быть выражены в естественном языке импликация (A ‹ В) и эквивален
ция (А

B)
5
. (Буквами A и В обозначены переменные высказывания.)
Приведем логические схемы и соответствующие им примеры,
иллюстрирующие разнообразные способы выражения импликации А o В
(где A — антецедент, B — консеквент).
1. Если А, то В.
Если поставщики вовремя доставят детали, то завод выполнит свой производственный план. Коль скоро А, то В.
Коль скоро приложенные силы снимаются, то сжатая пружина возвращается к своей первоначальной форме. Когда А, имеет место В.
Когда наступает плохая погода, имеет место повышение числа сердечно%сосудистых заболеваний у людей. Для В достаточно А.
Для того чтобы газы расширились, достаточно их нагреть. Для А необходимо В.
Для сохранения мира на Земле необходимо объединить усилия всех государств в борьбе за мир. А, только если В.
Студенты этого курса не приходили на субботник, только если
они были больны. В, если А.
Я разрешу тебе пойти погулять, если ты выполнишь все домашние задания.
Приведем логические схемы и соответствующие им примеры разнообразных способов выражения эквиваленции.
1. А, если и только если В.
Иванов не закончит свои эксперименты к сроку, если и только
если ему не помогут сотрудники. Если А, то В, и наоборот.
Если студент сдал все экзамены и практику на отлично, то он получает диплом с отличием, и наоборот. А, если В, и В, если А.
Многоугольник является вписанным вкруг, если его вершины лежат на окружности, и вершины многоугольника лежат на окружности, если этот многоугольник является вписанным вкруг. Для А необходимо и достаточно В.
Для того чтобы число без остатка делилось на 3, необходимо
и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась без остатка на 3.
5. А равносильно В (иногда).
То, что площадь правильного многоугольника равна произведению полупериметра на апофему, равносильно тому, что площадь правильного многоугольника равна произведению периметра наполовину апофемы.
6. А тогда и только тогда, когда В.
Фирма будет согласна принять предложение о покупке товара
тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на Из приведенных выше схем и соответствующих им высказываний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, в русском)
средства выражения импликации, эквиваленции и других логических связок (логических терминов. Это можно сказать и о других естественных языках*.
Импликация (a o b) не совсем соответствует по смыслу союзу
«если… то естественного языка, так как в ней может отсутствовать содержательная связь между суждениями a и b. В логике высказываний законом является формула (а o b) { (a
¯
› b). Нов естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз если, то выражает не импликацию,
а конъюнкцию. Например, Если вчера было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце. Это сложное суждение выражается формулой a š Кроме логических связок для выражения общих и частных суждений в логике используются квантор общности и квантор существования. Запись с квантором общности xP(x) обычно читается так Все из некоторой области объектов) обладают свойством P», а запись с квантором существования xP(x) читается так Существуют такие х
(в данной области, которые обладают свойством P». Например > 100) читается как Существуют такие x, которые больше где под х подразумеваются числа. Квантор общности выражается словами все, всякий, каждый, ни один и др. Квантор существова
* В качестве самостоятельного задания рекомендуем рассмотреть выражение логических связок в какомлибо иностранном языке. Можно показать это также на произведениях отдельного писателя, например А.П. Чехова, а также АИ. Герцена и др. Выражение отрицания в языке см Гетманова АД Отрицания в системах формальной логики. М, 1972; Озерова Н.Г. Средства выражения отрицания в русском и украинском языках. Киев, 1978; Бондаренко В.Н. Отрицание как логикограмматическая категория.
М., 1983.

83
ния выражается словами некоторые, существуют, «большинство»,
«меньшинство», только некоторые, иногда, тот, который, не все»,
«многие», немало, немногие, много, почти все и др.
С. Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного языка с помощью табличных пропозициональных связок, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в точности
6
В практике математических и иных рассуждений имеются понятия необходимое условие и достаточное условие. Условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения (следствия).
Условие называется достаточным, если из него вытекает заключение
(следствие). В импликации a o b переменная а является основанием.
Она называется антецедентом. Переменная b — следствием (заключением. Она называется консеквентом.
Учащимся на уроках математики предлагаются задачи типа требующие в каждом из следующих предложений вместо многоточия поставить слова необходимо или достаточно, либо необходимо и достаточно. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом…
чтобы каждое слагаемое было четным. Для того чтобы число делилось на 15… чтобы оно делилось на 5.
3. Для того чтобы произведение (x – 3)(x + 2)(x – 5) было равно 0, … чтобы х = 3.
4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником чтобы все его углы были равны 5. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СУЖДЕНИЯМИ
ПО ЗНАЧЕНИЯМ ИСТИННОСТИ
Суждения, как и понятия, делятся на сравнимые (имеют общий субъект или предикат) и несравнимые. Сравнимые суждения делятся на совместимые и несовместимые.
В математической логике два высказывания р и q называются
несовместимыми, если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого (тер и q никогда не могут оказаться одновременно истинными. Это понятие легко распространить на любое число высказываний высказывания p
1
,p
2
, …, р называются несовместимыми, если не может оказаться, что все они являются одновременно истинными»
8
Совместимые выражают одну и туже мысль полностью или лишь в некоторой части. Отношения совместимости эквивалентность, логическое подчинение, частичное совпадение (субконтрарность). Совместимые эквивалентные суждения выражают одну и туже мысль в различной форме (Юрий Гагарин — первый космонавт и Юрий Гагарин первым полетел в космос. Субъект здесь один и тот же, а предикаты,
различные по форме, но одинаковые по смыслу. В двух эквивалентных суждениях Михаил Шолохов — лауреат Нобелевской премии и Автор романа Тихий Дон — лауреат Нобелевской премии — одинаковыми являются предикаты, а различными по форме выражения, но тождественными понятиями — субъекты. Если два высказывания эквивалентны, то невозможно, чтобы одно из них было истинным, а другое ложным.
В сочинении, при заучивании материала, в устном изложении текста, при переводе с одного языка на другой — всюду учащиеся должны уметь кратко и корректно излагать свои мысли. А.П. Чехов дал такое сравнение Краткость — сестра таланта».
Совместимые суждения, находящиеся в отношении логического
подчинения, имеют общий предикат понятия, выражающие субъекты двух таких суждений, также находятся в отношении логического подчинения. Отношения между суждениями по истинности принято схематически изображать в виде Логического квадрата (рис. Возьмем суждение Все учащиеся нашей группы — спортсмены».
Это суждение А общеутвердительное (подчиняющее, суждение I Некоторые учащиеся нашей группы — спортсмены — подчиненное.
Для суждений Аи, а также Е и О, находящихся в отношении логического подчинения, истинность общего суждения определяет истинность частного, подчиненного суждения. Но ложность общего суждения оставляет частное суждение неопределенным. Истинность част
Рис. 37

85
ного суждения оставляет общее суждение неопределенным (при нарушении этого правила может возникнуть логическая ошибка — поспешное обобщение. Ложность частного суждения обусловливает ложность общего суждения. Если истинно суждение Ни одна трапеция не является сферическим телом, то будет истинными суждение Некоторые трапеции являются сферическими телами. Умозаключение от общего суждения к логически подчиненному ему частному суждению всегда будет давать истинное заключение.
В отношении частичного совпадения (субконтрарности) находятся два таких совместных суждения I и О, которые имеют одинаковые субъекты и одинаковые предикаты, но различаются по качеству.
Например: I — Некоторые свидетели дают истинные показания и О Некоторые свидетели не дают истинных показаний. Оба они одновременно могут быть истинными, ноне могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое обязательно истинно. Но если одно из них истинно, то другое неопределенно (оно может быть либо истинным, либо ложным. Например, если истинно суждение I — Некоторые книги в этой библиотеке — букинистические, то суждение О Некоторые книги в этой библиотеке не являются букинистическими — будет неопределенным, те. оно может быть как истинным, таки ложным.
Отношения несовместимости противоположность, противоречие По логическому квадрату в отношении противоположности (контрар

ности) находятся суждения Аи Е. Два суждения А — Все люди трудятся добросовестно и Е — Ни один человек не трудится добросовестно оба ложны. Но Аи Е не могут быть оба истинными. Если одно из противоположных суждений истинно, то другое будет ложным.
Итак, из истинности одного из противоположных суждений вытекает ложность другого, но ложность одного из них оставляет другое суждение неопределенным.
В отношении противоречия (контрадикторности) находятся суждения Аи О, а также Е и I. Два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными. Если в настоящее время истинно суждение I — Некоторые летчики — космонавты, то ложным будет суждение Ни один летчик не является космо
навтом».
Закономерности, выражающие отношения между суждениями по истинности, имеют большое познавательное значение, так как они помогают избежать ошибок при непосредственных умозаключениях, производимых из одной посылки (одного суждения

86