Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
∂u )dudv = = Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 176 из 275 Назад На весь экран Закрыть = D ( ∂P ∂z B − ∂P ∂y C)dudv = Φ ∂P ∂z dzdx − ∂P ∂y dxdy, что доказывает равенство 4.34 Аналогично можно доказать, что L Qdy = Φ ∂Q ∂x dxdy − ∂Q ∂z dydz, (4.35) L Rdz = Φ ∂R ∂y dydz − ∂R ∂x dxdz. (4.36) Складывая 4.34 - 4.36 , получаем формулу Стокса 4.33 . Она выражает криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру L через общий поверхностный интеграл второго рода по поверхности Φ, огра- ниченной этим контуром (иногда говорят "опирающийся на контур L"). Отметим, что если поверхность Φ является плоской областью и лежит в плоскости xOy, то формула Стокса переходит в формулу Грина. Как и формула Грина, формула Стокса обобщается на случай, когда поверх- ность ограничена несколькими кусочно гладкими контурами. При этом в левой части равенства 4.32 появляется сумма криволинейных инте- гралов по граничным контурам, проходимым в положительном направ- лении, т. е. так, что при обходе каждого контура поверхность остается слева, если смотреть с конца выбранного вектора нормали к поверх- ности. Доказательство формулы Стокса для поверхностей, ограничен- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 177 из 275 Назад На весь экран Закрыть ных несколькими контурами, аналогично доказательству формула Гри- на для многосвязных областей. Пример 4.7. Вычислим двумя способами (непосредственным под- счетом криволинейного интеграла второго рода и по формуле Стокса) криволинейный интеграл I = L ydx + z 2 dy + x 2 dz, где L - окружность, по которой плоскость z = √ 3 пересекает сферу, заданную уравнением x 2 + y 2 + z 2 = 4. Подставляя в уравнение сферы значение z = √ 3, получаем x 2 + y 2 = 1, т. е. радиус окружности L равен единице. Чтобы вычислить криво- линейный интеграл непосредственно, составим параметрические урав- нения окружности L: x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π]. z = √ 3, Из параметрических уравнений находим dx = − sin tdt, dy = cos tdt и dz = 0 Используя формулу вычисления криволинейного интеграла, по- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 178 из 275 Назад На весь экран Закрыть лучим I = 2π 0 (− sin 2 t + 3 cos t)dt = − 1 2 2π 0 (1 − cos 2t)dt = −π. Чтобы вычислить криволинейный интеграл с помощью формулы Сток- са, положим P = y, Q = z 2 , R = x 2 . Тогда ∂Q ∂x − ∂P ∂x = −1, ∂P ∂z − ∂R ∂x = −2x, ∂R ∂y − ∂Q ∂z = −2z. Согласно 4.33 , рассматриваемый криволинейный интеграл сводится к поверхностному интегралу I = − Φ dxdy + 2xdzdx + 2zdydz, (4.37) где Φ - произвольная гладкая поверхность, ограниченная контуром L. Рассмотрим два варианта такой поверхности: верхний сегмент сферы x 2 + y 2 + z 2 = 4, на которой расположен контур L, и круг в плоскости z = √ 3, ограниченный контуром L. Сначала вычислим поверхностный интеграл по верхнему сегменту сферы. Чтобы направление обхода контура L было положительным, на сегменте сферы следует выбрать верхнюю сторону. Проекциями сегмен- та сферы Φ на координатные плоскости будут области D xy = {(x; y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}.. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 179 из 275 Назад На весь экран Закрыть D xz = {(x; z) ∈ R 2 ; − 4 − z 2 ≤ x ≤ 4 − z 2 , z ∈ [ √ 3, 2]}, D yz = {(y; z) ∈ R 2 : − 4 − z 2 ≤ y ≤ 4 − z 2 , z ∈ [ √ 3, 2]}. На область D yz проектируются две части поверхности, на которые она разделяется плоскостью yOz . Одна из этих частей описывается уравне- нием x = 4 − x 2 − z 2 , и для нее cos α ≥ 0, а другая - уравнением x = 4 − x 2 − z 2 , и для нее cos α ≤ 0. Поэтому для входящего в 4.37 поверхностного интеграла второго рода от функции 2z получаем Φ 2zdydz = 2 D yz zdydz − 2 D yz zdydz = 0. Аналогично для области D xz имеем P hi 2xdzdx = 2 D xz xdzdx − 2 D xz xdzdx = 0. Учитывая, что cos γ > 0 для выбранной стороны сегмента сферы, нахо- дим Φ dxdy = D xy dxdy = π, поскольку область D xy есть круг радиуса 1 с площадью π. Подставляя полученные результаты в 4.37 , происходит к полученному ранее резуль- тату I = −π. Теперь вычислим поверхностный интеграл 4.37 по верхней Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 180 из 275 Назад На весь экран Закрыть стороне круга x 2 + y 2 ≤ 1 в плоскости z = √ 3. В этом случае dz = 0, и поэтому получаем I = − Φ dxdy + 2xdzdx + 2zdydz = = − Φ dxdy = − D xy dxdy = −π. . Итак, все три способа вычисления рассматриваемого криволинейного интеграла дали одинаковый результат. 4...8 Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве Для криволинейных интегралов второго рода общего вида вдоль про- странственной кривой AB можно сформулировать условия независимо- сти их от пути интегрирования, аналогичные тем, которые были установ- лены для криволинейного интеграла второго рода от пути на плоскости. Пространственную область G назовем поверхностно односвязной, ес- ли любой контур L, целиком лежащий в G, является границей некоторой поверхности, лежащей в G. Примером поверхностно односвязной обла- сти является шар. Поверхностно односвязной областью является также Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 181 из 275 Назад На весь экран Закрыть полный шар, т.е. область, заключенная между двумя концентрически- ми сферами. К поверхностно односвязным не относится область внутри тора - поверхности, образованной вращением окружности вокруг оси, которая расположена в плоскости окружности и с окружностью не пе- ресекается. Теорема 4.3. Пусть G - поверхностно односвязная область в про- странстве и функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывно диффе- ренцируемы в G. Тогда следующие четыре условия эквивалентны. 1. Выражение P dx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом dF некоторой функции F (x, y, z), дифференцируемой в G. 2. В области G верны равенства ∂P ∂y = ∂Q ∂x , ∂P ∂z = ∂R ∂x , ∂Q ∂z = ∂R ∂y , (4.38) 3. Для любого кусочно гладкого контура L, целиком лежащего в об- ласти G, справедливо равенство L P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = 0. (4.39) 4. Для любых двух точек A и B в области G криволинейный инте- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 182 из 275 Назад На весь экран Закрыть грал второго рода AB P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz не зависит в этой области от пути интегрирования. Доказательство этой теоремы можно провести "в круговую аналогич- но доказательству теоремы на плоскости для криволинейного интеграла второго рода, с той лишь разницей, что нужно опереться на формулу Стокса, а не на формулу Грина, которая по сути является частным слу- чаем формулы Стокса. Отметим, что если криволинейный интеграл в пространстве не зависит от пути интегрирования, то, как и в плоском случае, в его обозначении указывают лишь начальную и конечную точки кривой. При этом для любой кусочно гладкой кривой AB с начальной точкой A(x A , y A , z A ) и конечной точкой B(x B , y B , z B ), целиком лежащей в G, имеет место формула Ньютона-Лейбница для криволинейного ин- теграла вдоль пространственной кривой (x B ,y B ,z B ) (x A ,y A ,z A ) P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = = F (x B , y B , z B ) − F (x A , y A , z A ) = F (x, y, z)| (x B ,y B ,z B ) (x A ,y A ,z A ) , (4.40) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 183 из 275 Назад На весь экран Закрыть где F (x, y, z) - произвольная функция, имеющая дифференциал dF = P dx + Qdy + Rdz. Такую функцию можно найти, как и в случае плоской области, интегрированием по отрезкам прямых, параллельных коорди- натным осям. Можно использовать формулу F (x, y, z) = (x,y,z) (x 0 ,y 0 ,z 0 ) P dx + Qdy + Rdz = C + x x 0 P (x, y 0 , z 0 )dx+ + y y 0 Q(x, y, z 0 )dy + z z 0 R(x, y, z)dz, (4.41) где C = const, а (x 0 , y 0 , z 0 ) - какая-нибудь фиксированная точка об- ласти G. Приведенная формула соответствует интегрированию вдоль трехзвенной ломаной, первое звено которой параллельно оси Ox, вто- рое - оси Oy, а третье - оси Oz. Применение формулы возможно в том случае, когда эта ломаная целиком попадает в область G. 4.9 Формула Остроградского-Гаусса Формула Стокса устанавливает связь между криволинейным и по- верхностным интегралами. Аналогичная связь существует между по- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 184 из 275 Назад На весь экран Закрыть верхностным интегралом и тройным интегралом. Прежде чем формулировать соответствующее утверждение, введем одно понятие. Пространственную область G назовем объемно односвязной, если для любой замкнутой поверхности, лежащей в G, ограничиваемая этой поверхностью область также целиком лежит в G. Объемно односвязными областями являются шар и внутренность тора (часто также называемая тором), в то время как полый шар (область между двумя концетриче- скими сферами) к объемно односвязным областям не относится. Предположим, что замкнутая пространственная область G может быть разделена на конечное число областей, правильных в направлении оси Ox. Пусть аналогичное свойство выполняется и в отношении двух других осей Oy и Oz. Такую область мы будем называть простой. Теорема 4.4. Если функция P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывно дифференцируемы в объемно односвязной области G, то для любой простой замкнутой области V ⊂ G, ограниченно кусочно гладкой замкнутой поверхностьюΦ, верна формула Остроградского-Гаусса Φ P dydz + Qdzdx + Rdxdy = V ( ∂P ∂x + ∂Q ∂∂y + ∂R ∂z )dxdydz, (4.42) где поверхностный интеграл второго рода вычисляется по внешней стороне поверхности Φ. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 185 из 275 Назад На весь экран Закрыть Формула Остроградского-Гаусса распадается на три самостоятель- ных равенства, соответствующие трем подынтегральным функциям P, Q и R. Эти три равенства доказываются схожим образом, и мы остановим- ся на одном из них, например на равенстве Φ R(x, y, z)dxdy = V ∂R(x, y, z) ∂z dxdydz. (4.43) Рассмат ваемое равенство обладает свойством аддитивности. Это означает, что если замкнутая область V разбита на частичные области V k , k = 1, m,, ограниченные кусочно гладкими поверхностями Φ k , и для этих замкнутых областей доказываемое равенство будет выполняться и для самой области V . Действительно, пусть Φ k R(x, y, z)dxdy = V k ∂R(x, y, z) ∂z dxdydz, k = 1, m. Просуммировав эти равенства, получим m k=1 Φ k R(x, y, z)dxdy = m k=1 V k ∂R(x, y, z) ∂z dxdydz = = V ∂R(x, y, z) ∂z dxdydz. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 186 из 275 Назад На весь экран Закрыть Сумма в левой части равенства равна интегралу по поверхности Φ, так как по частям границ Φ k частичных областей V k , не входящим в поверх- ность Φ, интегрирование проводится дважды с выбором противополож- ных сторон поверхности, а такие интегралы взаимно уничтожаются. Так как замкнутая область V является простой, ее можно разбить на частные области V k , k = 1, m, являющиеся правильными в направлении оси Oz. Таким образом, равенство 4.43 достаточно доказать для случая замкнутой области, правильной в направлении оси Oz. Итак, пусть замкнутая область V ⊂ G является правильной в направ- лении оси Oz. Это значит, что она ограничена двумя поверхностями Φ 1 и Φ 2 вида z = ϕ 1 (x, y) и z = ϕ 2 (x, y), где функции ϕ 1 (x, y) и ϕ 2 (x, y) определены в замкнутой области D xy на плоскости и удовлетворяют неравенству ϕ 1 (x, y) ϕ 2 (x, y), (x; y) ∈ D xy , а также цилиндрической поверхностью Φ 3 с образующими, параллельными оси Oz. По правилу вычисления тройного интеграла по правильной области V имеем V ∂R ∂z dxdydz = D xy dxdy z 2 (x,t) z 1 (x,y) ∂R ∂z dz = D xy R(x, y, z)| z 2 (x,t) z 1 (x,y) dxdy = = D xy R(x, y, z 2 (x, y))dxdy − D xy R(x, y, z1(x, y))dxdy. Полученные двойные интегралы по области D xy можно заменить рав- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 187 из 275 Назад На весь экран Закрыть ными им поверхностными интегралами второго рода по поверхностям Φ 2 и Φ 1 , причем для учета знаков двойных интегралов для поверхности Φ 2 нужно выбрать верхнюю сторону, а для поверхности Φ 1 - нижнюю. К этим интегралам добавим равный нулю поверхностный интеграл по внешней стороне боковой поверхности Φ 3 (цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz). В итоге получим V ∂R ∂z dxdydz = Φ 2 Rdxdy + Φ 3 Rdxdy = Φ R(x, y, z)dxdy, что равносильно 4.43 Формулу Остроградского-Гаусса можно также записать в виде Φ (P cos α + Q cos β + R cos γ)dS = = V ( ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z )dxdydz, (4.44) где cos α, cos β, cos γ - направляющие косинусы единичного вектора внеш- ней нормали к поверхности Φ. Формула Остроградского-Гаусса используется во многих приложени- ях. Одно из ее возможных применений - вычисление интегралов по за- мкнутым поверхностям сведением их к тройному интегралу или, наобо- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 188 из 275 Назад На весь экран Закрыть рот, вычисление тройных интегралов с помощью поверхностных (ана- логично тому, как площадь плоской области может быть вычислена с помощью криволинейного интеграла). Правая часть формулы 4.42 Остроградского-Гаусса равна объему замкнутой области V , если функ- ции P, Q, R удовлетворяют условию ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z = 1. (4.45) Например, объем области V , который обозначим также через V , можно найти при помощи поверхностного интеграла V = 1 3 Φ xdydz + ydzdx + zdxdy, (4.46) вычисляемого по внешней стороне замкнутой поверхности Φ, ограничи- вающей эту область. Нетрудно выписать целый ряд аналогичных фор- мул, используя различные подходящие комбинации функций P, Q, R. Пример 4.8. С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислим поверхностный интеграл второго рода I = Φ x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy по внешней стороне Φ сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 189 из 275 Назад На весь экран Закрыть В соответствии c 4.44 имеем I = V (2x + 2y + 2z)dxdydz, где V –замкнутый шар x 2 + y 2 + z 2 R 2 . Для вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π]. z = r cos θ, С учетом равенства dxdydz = r 2 sin θdrdθdϕ получим I = 2 2π 0 dϕ π 0 dθ R 0 (sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ)r 3 sin θdr = = R 4 4 2π 0 dϕ π 0 ((cos ϕ + sinϕ) sin 2 θ + sin θ cos θ)dθ. Так как π 0 sin θ cos θdθ = 1 2 π 0 sin 2θdθ = 0, Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 190 из 275 Назад На весь экран Закрыть то второе слагаемое в подынтегральной функции двойного интеграла можно опустить. В результате находим I = R 4 4 2π 0 dϕ π 0 (cos ϕ + sin ϕ) sin 2 θdθ = = R 4 4 2π 0 (cos ϕ + sin ϕ)dϕ π 0 sin 2 θdθ = 0. 4.10 Векторный анализ. Элементы теории поля Пусть в области V ⊂ R 3 задано векторное поле − → a = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) Определение 4.3. Если координаты векторного поля − → a является непрерывно дифференцируемыми функциями в V, то 1 ◦ . скалярная величина ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z называется дивергенцией поля − → a и обозначается div− → a ; 2 ◦ . Вектор Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 191 из 275 Назад На весь экран Закрыть i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q R = ( ∂R ∂y + ∂Q ∂z ) − → i +( ∂P ∂z − ∂R ∂x ) − → j +( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) − → k называется ротором (вихрем) поля − → a и обозначается rot− → a ; 3 ◦ . Если γ – замкнутая кусочно-гладкая кривая в области V, то интеграл |