Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
2 ), z = 32; (g) V : y 2 + z 2 = 3x, x = 9; (h) V : z = x 2 + y 2 , z = 4; Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 211 из 275 Назад На весь экран Закрыть (i) V : z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4, z = 0; (j) V : x = y 2 + z 2 , y 2 + z 2 = 9, x = 0. 4. Найти массу, распределенную с линейной плотностью ρ(x, y) по ду- ге AB плоской кривой Γ, если: (a) Γ - отрезок AB, A(1; 1), B(2; 3), ρ(x; y) = 2x + y; (b) Γ : y = x 2 2 , A(1; 1, 5), B(2; 2), ρ(x; y) = y x ; (c) Γ : y 2 = x, A(1; 1), B(4; 2), ρ(x; y) = y; (d) Γ : y = 2 3 x 3 2 , A(0; 0), B(4; 16 3 ), ρ = ks, где s - длина дуги от точки (0; 0); (e) Γ : r = a √ cos 2φ, ρ = kr; (f) Γ : x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, ρ = y 3 2 ; (g) Γ : 2y = x 2 , A(0; 0), B(1; 1 2 ), ρ(x; y) пропорциональна в точке M (x; y) абсциссе этой точки; (h) Γ : r = 3 sin φ, φ ∈ 0; π 4 , а плотность в каждой ее точке про- порциональна расстоянию до полюса и при φ = π 4 равна 3; (i) Вычислить массу отрезка прямой y = 2−x, заключенного меж- ду координатными осями, если линейная плотность в каждой его точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в точке (2; 0) равна 4; Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 212 из 275 Назад На весь экран Закрыть (j) Найти массу контура треугольника с вершинами A(0; 0), B(3; 0), C(0; 4), если его плотность в точке M (x; y) равна x 3 + y 4 5. Найти работу поля − → F вдоль дуги AB кривой Γ: (a) − → F = (xy; x + y), A(0; 0), B(1; 1), Γ : y = x 2 ; (b) − → F = (y; −2x), Γ : x = a cos t, y = b sin t, y ≥ 0, A(a; 0), B(−a; 0); (c) − → F = (−y; x), A(1; 0), B(−1; 0), AB - дуга верхней полуокруж- ности x 2 + y 2 = 1; (d) − → F = (3xy 2 ; −x − y), A(0; 1), B(3; 2), Γ : y 2 = x + 1; (e) − → F = (x − y; 2y), A(1; −3), B(0; 0), Γ : y = −3x 2 ; (f) − → F = (y; x + y), A(0; 0), B(1; 1), Γ : y = x 2 ; (g) − → F = (x + y; −x), Γ : x = 2 cos t, y = 2 sin t, 0 ≤ t ≤ 2π (по ходу часовой стрелки); (h) Вычислить работу силы − → F = (x − y; x) при перемещении ма- териальной точки вдоль контура квадрата, образованного пря- мыми x = ±1, y = ±1; (i) − → F = (sin 2 x; y 2 ), A(0; 1), B(π; −1), Γ : y = cos x; (j) − → F = (x; 1 y 2 ), A(1; 1), B(4; 1 4 ), Γ : xy = 1. 6. Механические приложения поверхностного интеграла первого рода Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 213 из 275 Назад На весь экран Закрыть (a) Найти массу части однородного параболоида z = 1 2 (x 2 +y 2 ), 0 ≤ z ≤ 1, плотности ρ; (b) Найти массу части конуса x 2 = y 2 + z 2 , лежащей внутри цилин- дра x 2 + y 2 = 2ax, если плотность ρ = x; 0 (c) Найти массу части конуса x 2 = y 2 + z 2 , 0 ≤ z ≤ 4, если плот- ность в каждой точке равна квадрату расстояния до вершины; (d) Найти координаты центра масс верхней полусферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z ≥ 0, если поверхностная плотность в каждой ее точке равна расстоянию от этой точки до оси Oz; (e) Найти координаты центра масс части однородной поверхности x 2 + y 2 = 2cz, 0 ≤ z ≤ c; (f) Определить массу, распределенную по сфере x 2 + y 2 + z 2 = R 2 с плотностью ρ = k x 2 + y 2 ; (g) Определить массу, распределенную по части эллиптического параболоида x 2 + y 2 = 2z, z ≤ 1, ρ = kz; (h) Определить координаты центра масс однородной поверхности z = 2 − x 2 +y 2 2 , z ≥ 0; (i) Определить массу, распределенную по сфере x 2 + y 2 + z 2 = 9 с плотностью ρ = k(x 2 + y 2 ); (j) Найти массу поверхности куба 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 214 из 275 Назад На весь экран Закрыть если поверхностная плотность в каждой точке пропорциональ- на произведению ее координат. 7. Вычислить поток векторного поля а(М ) через внешнюю поверх- ность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плос- костями, двумя способами: 1) использовав определение потока; 2) с помощью формулы Остроградского-Гаусса. (a) а(М )=3xi+(y + z)j+(x − z)k; (p) : x + 3y + z = 3; (b) а(М )=(y + 2z)i+(x + 2z)j+(x − 2y)k; (p) : 2x + y + 2z = 2; (c) а(М )=(x + y)i+3yj+(y − z)k; (p) : 2x − y − 2z = −2; (d) а(М )=(3x − y)i+(2y + z)j+(2z − x)k; (p) : 2x − 3y + z = 6; (e) а(М )=4xi+(x − y − z)j+(3y + 2z)k; (p) : 2x + y + z = 4; (f) а(М )=(2x − z)i+(y − x)j+(x + 2z)k; (p) : x − y + z = 2; (g) а(М )=(x + z)i+zj+(2x − y)k; (p) : 2x + 2y + z = 4; (h) а(М )=(3x + y)i+(x + z)j+yk; (p) : x + 2y + z = 2; (i) а(М )=(y + z)i+(2x − z)j+(y + 3z)k; (p) : 2x + y + 3z = 6; (j) а(М )=(2y − z)i+(x + 2y)j+yk; (p) : x + 3y + 2z = 6. 8. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М ) по контуру треуголь- ника, полученного в результате пересечения плоскости Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 215 из 275 Назад На весь экран Закрыть (p) : Ax + By + Cz = D с координатными плоскостями, при поло- жительном направлении обхода относительно нормального вектора n=(A, B, C) этой плоскости двумя способами: 1) использовав опре- деление циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса ( 4.32 ). (a) а(М )=zi+(x + y)j+yk; (p) : 2x + y + 2z = 2; (b) а(М )=(y + z)i+(x + 6y)j+yk; (p) : x + 2y + 2z = 2; (c) а(М )=(2y − z)i+(x + y)j+xk; (p) : x + 2y + 2z = 4; (d) а(М )=(2z − x)i+(x − y)j+(3x + z)k; (p) : x + y + 2z = 2; (e) а(М )=(2x − z)i+(y − x)j+(x + 2z)k; (p) : x − y + z = 2; (f) а(М )=(x + y)i+(y + z)j+(x + z)k; (p) : 3x − 2y + 2z = 6; (g) а(М )=(2y + z)i+(x − y)j-2zk; (p) : x − y + z = 2; (h) а(М )=(3x − 1)i+(x − y + z)j+4zk; (p) : 2x − y − 2z = −2; (i) а(М )=4zi+(x − y − z)j+(3y + z)k; (p) : x − 2y + 2z = 2; (j) а(М )=3xi+(y + z)j+(x − z)k; (p) : x + 3y + z = 3. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 216 из 275 Назад На весь экран Закрыть 5...3 Контрольная работа №2. Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих переменных (для специальности «Математика» (ОЗО)) 1. Найти область определения функции: (a) z = log x−1 y − 1. (b) z = π 2 − 16arctg 2 (2 − xy). (c) z = ln cos x − ln y + 1 − 0.04x 2 − 0.25y 2 (d) z = ln(xy−y 2 ) √ x−4y 2 +2+ 3 √ x 2 +1 (e) z = 1−x 2 +y 2 x 2 +4x+y 2 (f) z = arcsin 2y−1 x (g) z = arccos 1 2x+y 2 (h) z = √ 4x−y 2 ln(1−x 2 −y 2 ) (i) z = √ y sin x. (j) z = xy + ln 9 x 2 +y 2 + x 2 + y 2 − 9. 2. Найти пределы : (a) lim x→∞ y→1 (1 + 2 x ) x2 2x+3y ; Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 217 из 275 Назад На весь экран Закрыть (b) lim x→∞ y→2 (1 + 1 2x ) 3x2 2x+y (c) lim x→∞ y→4 (1 + 3 x ) 2x2 x+4y ; (d) lim x→2 y→∞ (1 2 y ) 3y2 y−5x ; (e) lim x→3 y→∞ (1 + 1 2y ) 4y2 y−2x ; (f) lim x→1 y→1 (2y − x) 2 2xy+4y−x2−3x−2 ; (g) lim x→1 y→ 1 2 (2y + 1 − x) 3 2xy−x2+2y−x ; (h) lim x→1 y→3 (2x + 2 − y) x+y 2xy−y2−4x+3y−2 ; (i) lim x→1 y→−1 ln(2x+y) √ 2x+y−1 ; (j) lim x→0 y→2 sin 5xy √ 1+xy − 1. 3. Доказать, что следующие функции непрерывны в точке(0; 0), имеют в этой точке обе частные производные f , x (0; 0), f , y (0; 0) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 218 из 275 Назад На весь экран Закрыть , однако не являются дифференцируемыми в точке (0; 0): (a) f (x, y) = x + y + |xy|; (b) f (x, y) = 3 x 3 + y 3 ; (c) f (x, y) = 2xy √ x 2 +y 2 , если x 2 + y 2 = 0 0, еслиx = y = 0; (d) f (x, y) = x|y| √ x 2 +y 2 , если x 2 + y 2 = 0; 0, если x = y = 0; (e) f (x, y) = e − 1 x2+y2 , если x 2 + y 2 = 0; 0, если x = y = 0; (f) f (x, y) = x 3 +y 3 x 2 +y 2 , если x 2 + y 2 = 0 0, если x 2 + y 2 = 0; (g) f (x, y) = 4 x 4 + y 4 ; (h) Показать, что функция f (x, y) = (x + y) 2 sin 1 √ x 2 +y 2 0, если x = y = 0 дифференцируема в точке (0; 0) , хотя частные производные разрывны в этой точке. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 219 из 275 Назад На весь экран Закрыть (i) Показать, что функция f (x, y) = (x + y) 2 sin 1 √ x 2 +y 2 , x 2 + y 2 = 0 0, если x = y = 0. если x = y = 0 дифференцируема в точке (0; 0) , хотя частные производные разрывны в этой точке. (j) Доказать, что функция ,f (x, y) x 2 +y x 2 +y 2 , если x 2 + y 2 = 0; 0, если x 2 + y 2 = 0; обладает в окрестности (0; 0) частными производными , раз- рывными в точке (0; 0) , и что функция f (x, y) дифференциру- ема в этой точке. 4. Найти частные производные и полный дифференциал пер- вого порядка функции. (a) z = arcsin 2 5 √ 2−3y 2 x ln 1 xy (b) z = arccos 3 3 √ 1−x 2 y log 3 2x (c) z = 1 − ( x+y xy ) 2 + arctg y x (d) z = 7 −2 cos 4 x √ 2x3−xy (e) z = − 1 3 tg 3 ( 1 − 2y 2 3 x y ). (f) z = 1 2 ctg 2 (cos 2x 2 3y+1 3 xy 2 ). Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 220 из 275 Назад На весь экран Закрыть (g) z = sin 2 ( 2x 2 +1 y log 2 xy ). (h) z = 1 3 tg 3 ( √ 1 − 2x 2 2 3 x y ). (i) z = 3 log 2 1 x 3 (y+1) − 2 1 x (j) z = ctg 4 (3 1 xy 2 − y 2 ). 5. Исследовать на локальный экстремум функцию. (a) z = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 (b) z = x − 2y + ln x 2 + y 2 + 3 arctg y x (c) f (x, y) = −x 2 − xy − y 2 + x + y. (d) f (x, y) = x 2 + y 2 + xy + 1 x + 1 y (e) f (x, y) = e −x 2 −y 2 (x 2 −3y 2 ) (f) z = 3 ln x 6 + 2 ln y + ln(12 − x − y). (g) z = x 4 + y 4 − 2x 2 + 4xy − 2y 2 (h) z = x 3 y 3 (12 − x − y), если x > 0, y > 0. (i) f (x, y) = x 3 − 2y 3 − 3x + 6y. (j) z = x 3 + y 3 − x 2 − 2xy − y 2 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в за- данной области: Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 221 из 275 Назад На весь экран Закрыть (a) f = x 2 + 3y 2 − x + 18y − 4, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. (b) f = xy 2 − x 2 y 6 − xy 2 8 , x ≥ 0, y ≥ 0, x 3 + y 4 ≤ 1. (c) f = x 3 + 3y 2 − 3xy, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. (d) f = e −x 2 −y 2 2x 2 + 3y 2 , x 2 + y 2 ≤ 4. (e) f = 1 − x 2 − y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1. (f) f = x 2 + y 2 , x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (0 < b < a) . (g) f = x 2 + y 2 − xy − x − y, x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3. (h) f = 3xy, x 2 + y 2 ≤ 2. (i) f = x 2 y(4−x−y) в треугольнике ограниченном прямыми x = 0 y = 0, x + y = 6. 7. Изменить порядок интегрирования в повторных интегра- лах. (a) 2 −1 dx 7x+10 6 2x f (x, y)dy. (b) 2 −6 dx 2−x x2 4 −1 f (x, y)dy. (c) 4 2 dx log 2 x 2 3 (x−1) f (x, y)dy. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 222 из 275 Назад На весь экран Закрыть (d) √ 3 − √ 3 dy 2+ √ 4−y 2 √ 12−y 2 f (x, y)dx. (e) 0 −1 dy 2 √ y+1 √ 1−y 2 f (x, y)dx. (f) π π 4 dx sin x cos x f (x, y)dy. (g) 2 −1 dx 3+2x−x 2 x−1 f (x, y)dy. (h) 1 0 2dy y 2 +y 0 f (x, y)dx. (i) 1 −2 dx x −2 f (x, y)dy + 4 1 dx x 2x−4 f (x, y)dy. (j) 1 0 dy y √ 2y−y 2 f (x, y)dx + 2 1 dy √ 2y−y 2 − √ 2y−y 2 f (x, y)dx. 8. Решить задачу на геометрические приложения двойных и тройных интегралов: Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 223 из 275 Назад На весь экран Закрыть (a) Найти объем тела, ограниченного поверхностями: 2z = x 2 , z = 0, y = 0, 3x + 2y = 12. (b) Найти площадь части сферы x 2 + y 2 + z 2 = 2a 2 , заключенный внутри конуса x 2 + y 2 = z 2 (c) Найти объем тела,ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 + z 2 = 4, z = x 2 + y 2 z < x 2 + y 2 (d) Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 + y 2 = z 2 и x 2 + y 2 = 2z. (e) Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x 2 4 + y 2 = 1, z = 12 − 3x − 4y и z = 1. (f) Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 6 − x 2 − y 2 , z = x 2 + y 2 (g) Найти массу вещества, заполняющего общую часть двух шаров x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 и x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2Rz (h) Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 6−y 2 , y = x 2 2 , x = 0, z = 0. (i) Найти площадь части поверхности шара x 2 + y 2 + z 2 = 100, заключенный между плоскостями x = −8 и x = 6. (j) Определить массу тела, ограниченного поверхностями z = h и x 2 + y 2 = z 2 , если плотность в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 224 из 275 Назад На весь экран Закрыть 9. Решить задачу с вычислением криволинейного интеграла первого рода. Вычислить криволинейный интеграл перво- го рода по кривой Γ : (a) Γ (x+y)dS, где Γ - граница треугольника с вершинами (0; 0), (1; 0), (0; 1). (b) Γ dS y−x , где Γ - отрезок, соединяющий точки A(0; −2), B(4; 0). (c) Γ xydS, где Γ - четверть эллипса x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, лежащая во второй четверти. (d) Γ x 2 dS, где Γ - дуга окружности x 2 + y 2 = a 2 , y ≥ 0. (e) Найти массу, распределенную с линейной плотностью ρ(x, y) = √ y+2 x по дуге AB плоской кривой Γ, где Γ - отрезок AB, A(1; 0), B(4; 6). (f) Вычислить Γ (x − y)dS, где Γ - окружность x 2 + y 2 = ax. (g) Вычислить Γ (x + y)dS, где Γ - правый лепесток лемнискаты, заданной в полярных координатах уравнением r 2 = a 2 cos 2ϕ. (h) Найти массу, распределенную с линейной плотностью ρ(x, y) = y x по дуге AB плоской кривой Γ, если Γ : y = x 2 2 , A(1; 3 2 ), B(2; 2). Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 225 из 275 Назад На весь экран Закрыть (i) Найти массу, распределенную с линейной плотностью ρ(x, y) = 2x+y по дуге Γ, если Γ - отрезок AB, A(1; 1), B(2; 3). (j) Вычислить криволинейный интеграл Γ (x+y)dS, где Γ - окруж- ность x 2 + y 2 = −8x. 10. Вычислить криволинейный интеграл по кривой L, пробе- гаемый от точки A к точке B : (a) L xdy − ydx, L - дуга параболы y = 2x 2 , A(0; 0), B(1; 2). (b) L xydx − y 2 dy, L - дуга параболы y 2 = 2x, A(0; 0), B(2; 2). (c) L 3x y dx − 2y 2 x dy, L – дуга параболы x = y 2 , A(4; 2), B(1; 1). (d) L x y dx − y−x x dy, L – дуга параболы y = x 2 , A(2; 4), B(1; 1). (e) L xdy, L – полуокружность x 2 +y 2 = a 2 , x ≥ 0, A(0; −a), B(0; a). (f) L x 3 dy − xydx, L – отрезок AB, A(0; −2), B(1; 3). (g) L xy 2 dy, L – дуга окружности x 2 + y 2 = 1, A(1; 0), B(0; 1). (h) L y 2 dx + x 2 dy, L – верхняя половина эллипса x = a cos t, y = = b sin t. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 226 из 275 Назад На весь экран Закрыть (i) L 2xydx + x 2 dy, L – дуга кривой y 2 = x, A(0; 0), B(1; 1). (j) L 2(x 2 + y 2 )dx + (x + y) 2 dy, L – граница треугольника с верши- нами A(1; 1), B(1; 3), C(2; 2). 11. Найти работу поля F вдоль дуги АВ кривой Г: (a) − → F = (xy; x + y); Γ : y = x 2 ; A(0; 0), B(1; 1). (b) − → F = (4x − 5y; 2x + y); Γ : y = −x; A(1; −1), B(3; −3). (c) − → F = (2xy; −y); Γ : y = x 2 − 1; A(1; 0), B(2; 3). (d) − → F = (4x − 5y; 2x + y); Γ : x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t); A(0; 0), B(2πa; 0). (e) − → F = (y; −2x); Γ : x = a cos t, y = sin t, y ≥ 0; A(a; 0), B(−a; 0). |