Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
EA P (x, y)dx = − L P (x, y)dx, что доказывает равенство ( 3.28 ). Замечание 3.1. Полагая в формуле Грина Q = x, P = −y, получаем формулу для вычисления площади, ограниченной гладким контуром S = 1 2 ∂D xdy − ydx. (3.30) 3.8 Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования Пусть в некоторой области D в плоскости Oxy заданы непрерывные функции P (x, y) и Q(x, y). Рассмотрим криволинейный интеграл вто- рого рода общего вида Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 126 из 275 Назад На весь экран Закрыть I = AB P (x, y)dx + Q(x, y)dy, (3.31) где AB - произвольная кусочно гладкая кривая, целиком лежащая в D и соединяющая точки A и B этой области. Выясним условия, при которых значение такого интеграла зависит лишь от точек A и B и не меняется при изменении кривой, связывающей точки A и B (в таком случае обычно говорят, что интеграл не зависит от пути интегрирова- ния). Теорема 3.3. Для того чтобы значение криволинейного интеграла ( 3.31 ) в области D не зависело от пути интегрирования, необходи- мо и достаточно, чтобы для любого кусочно гладкого контура L в D выполнялось равенство L P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. (3.32) Необходимость. Предположим, что значение криволинейного ин- теграла ( 3.31 ) не зависит от пути интегрирования. Произвольный контур L, целиком лежащий в D, двумя любыми точками A и B разделим на две кривые AM 1 B и AM 2 B (рис. 3.6 ). Тогда, исходя из предположения, можно записать (аргументы у подынтегральных функций здесь и далее для краткости опущены) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 127 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 3.6 AM 1 B P dx + Qdy = AM 2 B P dx + Qdy. Отсюда, учитывая свойства криволинейного интеграла второго рода, получаем L P dx + Qdy = AM 1 B P dx + Qdy + BM 2 A P dx + Qdy = = AM 1 B P dx + Qdy − AM 2 B P dx + Qdy = 0. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 128 из 275 Назад На весь экран Закрыть Достаточность. Пусть равенство ( 3.32 ) выполнено для любого кон- тура L, целиком лежащего в области D. Выберем произвольные точки A и B в D и соединим их двумя различными кривыми AM 1 B и AM 2 B, целиком лежащими в D. Из этих кривых можно составить контур L (см. рис. 3.6 ). В силу предположения и свойства 4 криволинейного интеграла второго рода имеем L P dx + Qdy = AM 1 B P dx + Qdy + BM 2 A P dx + Qdy = 0. Так как при изменении направления обхода кривой криволинейный интеграл второго рода меняет знак, из последнего равенства следует, что AM 1 B P dx + Qdy = AM 2 B P dx + Qdy. Поскольку точки A и B, а также две связывающие их кривые бы- ли выбраны произвольно, заключаем, что криволинейный интеграл в области D не зависит от пути интегрирования. Пусть в области D криволинейный интеграл второго рода от функций P (x, y) и Q(x, y) не зависит от пути интегрирования. Тогда его значе- ние определяется лишь начальной точкой A и конечной точкой B пути интегрирования. Учитывая это, такой интеграл записывают в виде Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 129 из 275 Назад На весь экран Закрыть B A P (x, y)dx + Q(x, y)dy, рассматривая точки A и B как нижний и верхний пределы интегри- рования. Зафиксируем точку A ∈ D. Тогда криволинейный интеграл от точки A до произвольной точки M (x; y) определяет в области D функцию F (x, y) = (x,y) A P (x, y)dx + Q(x, y)dy. (3.33) С помощью этой функции значение криволинейного интеграла можно вычислить для любой пары точек M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ) в D, а именно (x 2 ;y 2 ) (x 1 ;y 1 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (x 2 , y 2 ) − F (x 1 , y 1 ). (3.34) Действительно, путь интегрирования от точки M 1 до точки M 2 мож- но выбрать так, что он будет проходить через точку A. Тогда в силу свойства аддитивности интеграл можно представить как суму двух ин- тегралов, первый - от точки M 1 до точки A, а второй - от точки A до Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 130 из 275 Назад На весь экран Закрыть точки M 2 . Значение первого интеграла с учетом направления будет рав- но - F (x 1 , y 1 ), значение второго - F (x 2 , y 2 ). Формулу ( 3.34 ) по аналогии с определенным интегралом часто назы- вают формулой Ньютона - Лейбница для криволинейного ин- теграла. Теорема 3.4. Если функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны в области D, а криволинейный интеграл второго рода от этих функций в области D не зависит от пути, то функция F (x, y), определяемая равенством ( 3.33 ), имеем в D непрерывные частные производные, причем ∂F (x, y) ∂x = P (x, y), ∂F (x, y) ∂y = Q(x, y), (x; y) ∈ D. Пусть M (x; y) - произвольная точка в области D. Выберем δ > 0 настолько малое, что δ-окрестность точки M целиком попадает в об- ласть D. Для произвольного приращения |∆x| < δ, согласно формуле Ньютона-Лейбница, имеем F (x + ∆x, y) − F (x, y) = (x+∆x;y) (x;y) P (x, y)dx + Q(x, y)dy, причем в качестве пути интегрирования в последнем интеграле мож- но взять горизонтальный отрезок, соединяющий точки M (x; y) и Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 131 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 3.7 M (x + ∆x; y) (рис. 3.7 ). В этом случае dy ≡ 0, переменное y имеет постоянное значение, и мы получаем (x+∆x;y) (x;y) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = x+∆x x P (ξ, y)dξ, где последний интеграл есть определенный интеграл по отрезку [x, x+ +∆x]. Итак, функция ϕ(∆x) = F (x + ∆x, y) − F (x, y) переменного ∆x представлена как определенный интеграл с переменным верхнем пре- делом, причем подынтегральная функция является непрерывной в точ- ке ξ = x. Поэтому функция ϕ(∆x) дифференцируема при ∆x = 0 и Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 132 из 275 Назад На весь экран Закрыть ϕ (0) = P (x, y). Но последнее равенство и означает, что в точке M (x; y) функция F (x, y) имеет частную производную по переменному x, равную P (x, y). Аналогичным образом, использую приращение ∆y по переменному y, можно показать, что в точке M функция F (x, y) имеет также и частную производную по переменному y, равную Q(x, y). Теорема 3.5. Пусть функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой односвязной области D в плоскости xOy. Тогда следующие четыре условия эквивалентны: 1. Выражение P (x, y)dx + Q(x, y)dy является в области D полным дифференциалом некоторой функции F (x, y). 2. Всюду в области D верно равенство ∂P (x, y) ∂y = ∂Q(x, y) ∂x (3.35) 3. Для любого кусочно гладкого контура L, целиком лежащего в об- ласти D, верно равенство L P (x, y) + Q(x, y)dy = 0. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 133 из 275 Назад На весь экран Закрыть 4. Криволинейный интеграл второго рода от функций P (x, y) и Q(x, y) в области D не зависит от пути интегрирования. Докажем эту теорему "вкруговую". Сначала покажем, что из пер- вого условия теоремы следует второе. Пусть P (x, y)dx + Q(x, y)dy = dF (x, y). (3.36) Тогда имеем ∂F (x, y) ∂x = P (x, y), ∂F (x, y) ∂y = Q(x, y). Следовательно, ∂P (x, y) ∂y = ∂ 2 F (x, y) ∂y∂x , ∂Q(x, y) ∂x = ∂ 2 F (x, y) ∂x∂y В силу непрерывности частных производных ∂P ∂y и ∂Q ∂x правые части последних равенств равны между собой, так как непрерывные смешан- ные производные не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому равны и левые части этих равенств, т.е. выполнено второе условие тео- ремы. Покажем теперь, что из второго условия теоремы следует третье. Пусть L - произвольный кусочно гладкий контур, целиком лежащий в области D. Согласно формуле Грина для односвязной области, Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 134 из 275 Назад На весь экран Закрыть L P (x, y) + Q(x, y)dy = D ∂Q(x, y) ∂x − ∂P (x, y) ∂y dxdy = 0, так как в силу второго условия теоремы подынтегральная функция в двойном интеграле тождественно равна нулю. Итак, доказано, что вы- полнено третье условие теоремы. Третье и четвертое условия эквивалентны в силу теоремы 3.3 . Пусть выполнено четвертое условие. Согласно теоремы 3.4 , функция F (x, y), определяемая равенством ( 3.33 ), имеет непрерывные частные производ- ные, равные P (x, y) и Q(x, y). Но тогда эта функция дифференцируема, а ее дифференциал имеет вид dF (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Это доказывает выполнение первого условия теоремы. Теорема 3.5 дает не только несколько критериев независимости кри- волинейного интеграла от пути, но и метод, позволяющий восстановить функцию F (x, y) по ее дифференциалу P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Выра- жение P (x, y)dx + Q(x, y)dy называют дифференциальной формой. В теореме 3.4 сформулированы условия, при которых дифференциальная форма является дифференциалом некоторой функции двух переменных. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 135 из 275 Назад На весь экран Закрыть 3...9 Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала В односвязной плоской области D криволинейный интеграл второго рода I = AB P (x, y)dx + Q(x, y)dy не зависит от пути интегрирования, если подынтегральное выражение является дифференциалом некоторой функции F (x, y). Если функции P (x, y) и Q(x, y) имеют в D непрерывные частные производные, то, со- гласно теореме 3.5 , для независимости криволинейного интеграла от пу- ти интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равен- ство ∂P (x, y) ∂y = ∂Q(x, y) ∂x , (x; y) ∈ D. Напомним, что для криволинейных интегралов, не зависящих от пу- ти, используют специальное обозначение I = B(x B ;y B ) A(x A ;y A ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Основная идея в вычислении таких интегралов состоит в выборе наи- более простого пути интегрирования. Как правило в этом случае в каче- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 136 из 275 Назад На весь экран Закрыть стве пути интегрирования выбирают ломаную AKB, состоящую из двух отрезков прямых, параллельным координатным осям 3.8 . Если такой Рис. 3.8 путь интегрирования целиком попадает в область D, то в соответствии Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 137 из 275 Назад На весь экран Закрыть со свойством 4 криволинейного интеграла второго рода можно написать AB P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AK Q(x A , y)dy + KB P (x, y B )dx = = y B y A Q(x A , y)dy + x B x A P (x, y B )dx поскольку при интегрировании по отрезку AK имеем x = x A = const, dx ≡ 0 и y изменяется от y A до y B , а при интегрировании по отрезку KB −y = y B = const, dy ≡ 0 и x изменяется от x A до x B . Таким образом, получаем формулу (x B ;y B ) (x A ;y a ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = = y B y A Q(x A , y)dy + x B x A P (x, y B )dx, (3.37) которую удобно использовать для вычисления криволинейного интегра- ла второго рода от полного дифференциала в плоской односвязной об- ласти D. Криволинейный интеграл, не зависящий от пути, можно вы- числять и с помощью формулы Ньютона-Лейбница для криволинейно- го интеграла. Это удобно в случае, когда легко найти функцию F (x, y), Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 138 из 275 Назад На весь экран Закрыть дифференциалом которой является подынтегральное выражение. Отме- тим, что на практике часто решают обратную задачу: с помощью кри- волинейного интеграла определяют функцию F (x, y). Пример 3.5. Вычислим криволинейный интеграл второго рода I = (3,3) (1,1) ydx + xdy. В этом случае легко сразу указать функцию F (x, y) = xy, для кото- рого подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Действительно, dF (x, y) = ∂F ∂x dx + ∂F ∂y dy = ydx + xdy. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем I = xy| (3;3) (1;1) = 9 − 1 = 8. Пример 3.6. Вычислим криволинейный интеграл второго рода I = (3;0) (−2;−1) (5x 4 + 4xy 3 )dx + (6x 2 y 2 − 5y 4 )dy. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 139 из 275 Назад На весь экран Закрыть В данном случае P (x, y) = 5x 4 +4xy 3 и Q(x, y) = 6x 2 y 2 −5y 4 . Нетруд- но убедиться, что условие ∂P ∂y = ∂Q ∂x выполнено на всей плоскости xOy, т.е. подынтегральное выражение является полным дифференциалом неко- торой функции F (x, y). Однако, в отличии от примера 3.5 , найти эту функцию "с ходу"не удается. Поэтому прибегаем к непосредственному вычислению интеграла, выбирая путь интегрирования, проходящий сна- чала вдоль прямой x = −2, а затем вдоль прямой y = 0. Используя формулу 3.37 , находим I = 0 −1 (6(−2) 2 y 2 − 5x 4 )dy + 3 −2 5x 4 dx = = (8y 3 − y 5 )| 0 −1 + x 5 | 3 −2 = 8 − 1 + 243 + 32 = 282. Рассмотрим более подробно задачу восстановления функции F (x, y) по ее полному дифференциалу dF (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Ясно, что решение такой задачи может быть найдено с точностью до постоян- ного слагаемого. Применяя формулу Ньютона-Лейбница для криволи- нейного интеграла в случае фиксированной точки (x 0 ; y 0 ) и переменной точки (x, y), заключаем, что F (x, y) = F (x 0 , y 0 ) + (x,y) (x 0 ,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 140 из 275 Назад На весь экран Закрыть Поскольку искомую функцию можно изменить добавлением произволь- ной постоянной, то F (x, y) = C + (x,y) (x 0 ,y 0 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy, C = const. (3.38) Для вычисления криволинейного интеграла в правой части 3.38 , как и выше, можно выбрать наиболее удобный путь интегрирования. Напри- мер, можно взять двузвенную ломаную из отрезков прямых, параллель- ных координатным осям. Тогда 3.38 преобразуется либо в равенство F (x, y) = C + x x 0 P (x, y 0 )dx + y y 0 Q(x, y)dy, (3.39) если движение из начальной точки идет по горизонтальному отрезку, либо в равенство F (x, y) = C + y y 0 Q(x 0 , y)dy + x x 0 P (x, y)dx, (3.40) если начальное движение идет по вертикальному отрезку. В качестве фиксированной точки (x 0 , y 0 ) можно выбрать любую точ- ку области D. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 141 из 275 Назад На весь экран Закрыть Пример 3.7. Найдем при помощи криволинейного интеграла вто- рого рода функцию F (x, y), если dF (x, y) = (3x 2 − 2xy + y 2 )dx − (x 2 − 2xy + 3y 2 )dy. Сначала необходимо убедиться в том, что функция F (x, y) существу- ет. Непосредственной проверкой условия ( 3.35 ) убеждаемся, что выра- жение (3x 2 − 2xy + y 2 )dx − (x 2 − 2xy + 3y 2 )dy на всей плоскости xOy является полным дифференциалом. Полагая, что x 0 = y 0 = 0 в равенстве ( 3.39 ), получаем F (x, y) = C + x 0 3x 2 dx − y 0 (x 2 − 2xy + 3y 2 )dy = = C + x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3 Если же использовать формулу 3.40 при том же предположении x 0 = y 0 = 0, получим тот же результат: F (x, y) = C − y 0 3y 2 dy + x 0 (3x 2 − 2xy + y 2 )dx = = C − y 3 + x 3 − x 2 y + xy 2 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 142 из 275 Назад На весь экран Закрыть ГЛАВА 4 Поверхностные интегралы 4.1 О задании поверхности в пространстве Поверхность в пространстве может быть задана различными спосо- бами. Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система коор- динат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Поверхность в пространстве может быть задана как график некото- рой непрерывной функции z = f (x, y) , (x; y) ∈ G ⊂ R 2 (4.1) Аналогичны случаи, отличающиеся другим сочетанием переменных: x = f (y, z) , (y; z) ∈ G 1 ⊂ R 2 , (4.2) или y = f (x, z) , (x; z) ∈ G 2 ⊂ R 2 (4.3) В этих трех случаях поверхность называют явно заданной поверх- ностью. Поверхность в пространстве может быть задана уравнением F (x, y, z) = 0, (4.4) |