Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 71 из 275 Назад На весь экран Закрыть по замкнутой области Q и обозначают I = Q f (x, y, z) dxdydz = Q f (x, y, z) dV. Итак, резюмируя, можно записать Q f (x, y, z) dxdydz = lim d(P )→0 n i=1 f (ξ i , η i , ς i ) ∆V i (2.4) Как и в плоском случае, замкнутую область Q будем называть областью интегрирования. Задача вычисления массы тела показывает, что при f (x, y, z) ≥ 0, (x; y; z) ∈ Q, тройной интеграл можно интерпретировать как массу неоднородного те- ла с плотностью ρ = f (x, y, z) . Конечный предел интегральных сумм вида 2.3 может существовать только для ограниченных функций. Но, как и в случае функций одного и двух действительных переменных, не всякая ограниченная в замкнутой пространственной области функция интегрируема в ней. Чтобы сфор- мулировать условия интегрируемости функций (условия существования тройного интеграла), как и в случае двойного интеграла, для функции Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 72 из 275 Назад На весь экран Закрыть f (x, y, z) при заданном разбиении P кубируемой замкнутой области Q введем нижнюю и верхнюю суммы Дарбу s (P ) = n i=1 m i ∆V i , S (P ) = n i=1 M i ∆V i , где m i и M i - точная нижняя и точная верхняя грани этой функции в ча- стичной области Q i , i = 1,n. Свойства сумм Дарбу, сформулированные для функции двух переменных, можно дословно перенести на случай трех переменных. Эти свойства приводят к следующему критерию су- ществования тройного интеграла. Теорема 2.1. Для того чтобы ограниченная в кубируемой замкну- той области Q ⊂ R 3 функция f (x, y, z) была интегрируемой в Q, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось такое разбиение P = {Q 1 , ..., Q n } замкнутой области Q, что соответству- ющие этому разбиению суммы Дарбу будут удовлетворять условию S (P ) − s (P ) < ε. С помощью этого критерия можно установить некоторые классы ин- тегрируемых функций. Теорема 2.2. Всякая непрерывная в кубируемой замкнутой обла- сти Q ⊂ R 3 функция f (x, y, z) интегрируема в ней. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 73 из 275 Назад На весь экран Закрыть Теорема 2.3. Если функция f (x, y, z) ограничена в кубируемой за- мкнутой области Q ⊂ R 3 и непрерывна в Q всюду, кроме, быть мо- жет, некоторого множества точек объема нуль, то эта функция ин- тегрируема в Q. Функции трех переменных (как и функции одного и двух перемен- ных), интегрируемые в замкнутой области Q ⊂ R 3 , обладают следую- щими свойствами. 1. Произведение интегрируемых в Q функций f (x, y, z) и g (x, y, z) являются интегрируемым в Q. 2. Если функция g (x, y, z) интегрируема в Q и удовлетворяет условию |g (x, y, z) | ≥ c > 0, (x; y; z) ∈ Q, то функция 1/g (x, y, z) также интегрируема в Q. 2.3 Свойства тройного интеграла Поскольку свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двой- ных интегралов , ограничимся лишь их перечислением. 1 ◦ . Если Q ⊂ R 3 - кубируемая замкнутая область объема V, то Q dV = V (2.5) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 74 из 275 Назад На весь экран Закрыть 2 ◦ . Если функции f (x, y, z) и g(x, y, z) интегрируемы в Q, то их линей- ная комбинация αf (x, y, z) + βg(x, y, z) с произвольными константами α и β также интегрируема в Q, причем Q (αf (x, y, z) + βg(x, y, z))dV = α Q f (x, y, z)dV + β Q g(x, y, z)dV (2.6) Это свойство называют линейностью тройного интеграла. От- метим, что равенство ( 2.6 ) можно распространить на любое конечное число интегрируемых функций. 3 ◦ . Если функция f (x, y, z) интегрируема в замкнутых областях Q 1 и Q 2 , то она интегрируема и в их объединении Q = Q 1 Q 2 , причем если замкнутые области Q 1 и Q 2 не имеют общих внутренних точек, то Q f (x, y, z)dV = Q 1 f (x, y, z)dV + Q 2 f (x, y, z)dV (2.7) Свойство 3 ◦ называют аддитивностью тройного интеграла. Это свойство, как и соответствующее свойство двойного интеграла, можно распространить на любое конечное число замкнутых областей. 4 ◦ . Если функция f (x, y, z) интегрируема в Q и f (x, y, z) 0, (x; y; z) ∈ Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 75 из 275 Назад На весь экран Закрыть Q, то Q f (x, y, z)dV 0 (2.8) 5 ◦ . Если функции f (x, y, z) и g(x, y, z) интегрируемы в Q и f (x, y, z) g(x, y, z), (x; y; z) ∈ Q, то Q f (x, y, z)dV Q g(x, y, z)dV (2.9) 6 ◦ . Если функция f (x, y, z) интегрируема в Q, то функция |f (x, y, z)| также интегрируема в Q, причем | Q f (x, y, z)dV | Q |f (x, y, z)|dV (2.10) Свойство 6 ◦ часто называют теоремой об оценке тройного инте- грала по модулю. 7 ◦ . Если функции f (x, y, z) и g(x, y, z) интегрируемы в Q и удовле- творяют в Q неравенствам m f (x, y, z) M и g(x, y, z) 0, то m Q g(x, y, z)dV Q f (x, y, z)g(x, y, z)dV M Q g(x, y, z)dV (2.11) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 76 из 275 Назад На весь экран Закрыть Отметим, что если в сформированном утверждении условие неотри- цательности функции g(x,y,z) заменить условием ее неположительности, то неравенства ( 2.11 ) модифицируются следующим образом: M Q g(x, y, z)dV Q f (x, y, z)g(x, y, z)dV m Q g(x, y, z)dV Свойство 7 ◦ в частном случае, когда g(x, y, z) ≡ 1 в Q приводит к неравенствам mV ≤ Q f (x, y, z)dV ≤ M V (2.12) где V - объем замкнутой области Q. В таком виде свойство 7 ◦ иногда называют теоремой об оценке тройного интеграла. 8 ◦ . Если функции f (x, y, z) непрерывна в кубируемой замкнутой об- ласти Q, являющейся линейно связным множеством, а функция g(x, y, z) интегрируема и знакопостоянна в Q, то существует такая точка (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ Q, что Q f (x, y, z)g(x, y, z)dV = f (x 0 ; y 0 ; z 0 ) Q g(x, y, z)dV (2.13) 9 ◦ . Если функции f (x, y, z) непрерывна в кубируемой замкнутой об- , Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 77 из 275 Назад На весь экран Закрыть ласти Q, являющейся линейно связным множеством, то Q f (x, y, z)dV = f (x 0 ; y 0 ; z 0 )V (2.14) где (x 0 ; y 0 ; z 0 ) - некоторая точка области Q. Свойство 9 ◦ называют теоремой о среднем значении для трой- ного интеграла, а значение (x 0 ; y 0 ; z 0 ) в правой части равенства ( 2.14 ) - средним значением функции f (x, y, z) в Q. 2.4 Вычисление тройного интеграла Как и в случае двойных интегралов , основной прием при вычислении тройных интегралов заключается в их сведении к повторному интегра- лу , т. е. в переходе от интегрирования по пространственной замкнутой области к последовательному интегрированию по каждому переменно- му. Рассмотрим замкнутую область Q ⊂ R 3 , которая снизу и сверху огра- ничена поверхностями z = ϕ(x, y) и z = ψ(x, y), где ϕ(x, y) ≤ ψ(x, y), (x, y) ∈ D, и боковой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Здесь D ⊂ R 2 – замкнутая область, являю- щаяся проекцией Q на плоскость xOy (рис. 2.1 ). Обобщая определение элементарной области на пространственный случай, всякую замкнутую область описанного вида назовем z-цилиндрической областью или , Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 78 из 275 Назад На весь экран Закрыть элементарной областью в направлении оси Oz. Любая вертикальная прямая, проходящая через внутреннюю точку такой области, пересекает ее границу в двух точках. Рис. 2.1 Теорема 2.4. Если существует тройной интеграл от функции f (x, y, z) по замкнутой области Q = {(x; y; z) ∈ R 3 : (x; y) ∈ D, ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)} Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 79 из 275 Назад На весь экран Закрыть а для каждой фиксированной точки (x; y) ∈ D существует определен- ный интеграл ψ(x,y) ϕ(x,y) f (x, y, z)dz (2.15) то существует повторный интеграл D dxdy ψ(x,y) ϕ(x,y) f (x, y, z)dz (2.16) причем имеет место равенство Q dxdydz = D dxdy ψ(x,y) ϕ(x,y) f (x, y, z)dz (2.17) В случае, если область интегрирования Q является элементарной в направлении оси Oy или Ox, то поменяв ( 2.17 ) местами переменные x, y, z можно свести тройной интеграл к повторному с иным порядком интегрирования. Замечание 2.1. Если пространственная область интегрирования Q не является элементарной в направлении ни одной из координатных Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 80 из 275 Назад На весь экран Закрыть осей, то эту область следует разбить на части, которые являлись бы областями, элементарными в направлении хотя бы одной из осей. Тогда к каждой из таких областей можно применить ( 2.4 ), а затем в силу аддитивности тройного интеграла просуммировать полученные результаты. Конкретизируем этот подход, ограничившись случаем, когда в по- вторных интегралах внутренний интеграл берется по переменному z. В алгоритме сведения тройного интеграла к повторному можно вы- делить следующие этапы. 1. Пространственную область интегрирования разобьем на такие части, чтобы каждая из них была элементарной в направлении оси Oz. Для каждой из частей разбиения выполняем следующий шаг, предполагая, что эта часть обозначена через Q ∗ , а ее проек- ция на плоскости xOy –через D ∗ 2. Зафиксируем точку (x; y) ∈ D ∗ и проведем через эту точку вер- тикальную прямую, параллельную оси Oz. Пусть ϕ(x, y) и ψ(x, y) – аппликаты точек пересечения этой прямой с поверхностями, ограничивающими соответственно снизу и сверху рассматривае- мую замкнутую область Q ∗ , аналогично замкнутой области Q, изображенной на 2.1 . Тогда значения ϕ(x, y) и ψ(x, y) будут со- ответственно нижним и верхним пределами интегрирования во внутреннем определенном интеграле повторного интеграла по пе- Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 81 из 275 Назад На весь экран Закрыть ременному z. 3. После интегрирования по z получаем функцию двух переменных x и y. Двойной интеграл от этой функции по плоской замкнутой области D ∗ заменяем повторным. Преобразование тройного интеграла в повторный вида Q f (x, y, z)dxdydz = b a dx f 2 (x) f 1 (x) dy ψ(x,y) ϕ(x,y) f (x, y)dz (2.18) или аналогичный ему с другим порядком переменных называют рас- становкой пределов интегрирования в тройном интеграле. Пример 2.1. Расставим пределы интегрирования в тройном инте- грале по тетраэдру (под тетраэдром часто понимают произвольную треугольную пирамиду, не обязательно правильную) Q = {(x; y; z) ∈ R 3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1} (рис. 2.2 ) Замкнутая область Q является элементарной в направлении лю- бой координатной оси. Вертикальная прямая, проходящая через точ- ку (x; y) плоскости xOy, пересекают границу замкнутой области Q в Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 82 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 2.2 точке (x; y; 0) и точке (x; y; z) пересечения с плоскостью x + y + z = 1, т. е. при z = 1−x−y. Проекция Q на плоскости xOy есть треугольник D = {(x; y) ∈ R 2 : x ∈ [0, 1], x + y ≤ 1} а прямые, параллельные оси Oy, пересекают его стороны при y = 0 и y = 1 − x. Следовательно тройной интеграл можно представить в , Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 83 из 275 Назад На весь экран Закрыть виде Q f (x, y, z)dV = 1 0 dx 1−x 0 d(y) 1−x−y 0 f (x, y, z)dz 2.5 Замена переменных в тройном интеграле 2.5.1 Криволинейные координаты в пространстве Пусть функции x = x(ξ, η, ζ), y = y(ξ, η, ζ), z = z(ξ, η, ζ) (2.19) осуществляют отображение области с на область Q∗ ⊂ R 3 . Предполо- жим, что эти функции удовлетворяют условиям: 1) отображение, заданное функциями ( 2.19 ), является биекцией (т.е. взаимно однозначно); 2)функции ( 2.19 ) непрерывно дифференцируемы и в каждой точке (ξ, η, ζ) ∈ Ω∗ якобиан отображения ( 2.19 ) I(ξ, η, ζ) = D(x, y, z) D(ξ, η, ζ) = ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ζ ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ζ ∂z ∂ξ ∂z ∂η ∂z ∂ζ отличен от нуля. Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 84 из 275 Назад На весь экран Закрыть В силу непрерывности частных производных якобиан отображения ( 2.19 ) является непрерывной функцией переменных ξ, η, ζ, а поэтому в области Ω∗ сохраняет знак. По теореме об обратной функции отображение, обратное к отобра- жению , осуществляется непрерывно дифференцируемыми функциями ξ = ξ(x, y, z), η = η(x, y, z), ζ = ζ(x, y, z) (2.20) заданными в области Ω∗. Якобиан D(ξ,η,ζ) D(x,y,z) этого отображения в точке (x, y, z) связан с якобианом D(x,y,z) D(ξ,η,ζ) отображения ( 2.19 ) в точке (ξ(x, y, z); η(x, y, z); ζ(x, y, z)) соотношением D(ξ, η, ζ) D(x, y, z) D(x, y, z) D(ξ, η, ζ) = 1, а значит, отличен от нуля и сохраняет знак всюду в Q*. Формулы замены переменных в тройном интеграле можно получить, рассуждая так же, как и в случае двойного интеграла, поэтому мы огра- ничимся лишь формулировкой теоремы. Теорема 2.5. Пусть задано взаимно однозначное непрерывно диф- ференцируемое отображение ( 2.19 ) области Ω ∗ ⊂ R 3 на область Q ∗ ⊂ R 3 или же ограничена в Q и непрерывна в Q всюду, кроме некоторого Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 85 из 275 Назад На весь экран Закрыть множества объема нуль, то Q f (x, y, z) dx dy dz = Ω f (x(ξ, η, ζ), y(ξ, η, ζ), z(ξ, η, ζ)) dξ dη dζ, (2.21) где Ω—прообраз замкнутой области Q при отображении ( 2.19 ) Наиболее употребительными криволинейными координатами в про- странстве R 3 являются цилиндрические и сферические координаты. 2.5.2 Цилиндрические координаты Цилиндрические координаты точки (рис. 2.3 ) связаны с прямоуголь- ными декартовыми соотношениями ( 2.22 ) x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z; (2.22) которые можно рассматривать как отображение замкнутой области Ω = {(r, ϕ, z) ∈ R 3 : z ∈ [0; +∞), ϕ ∈ [0; 2π], z ∈ R} на Q = R 3 Якобиан отображения ( 2.22 ) легко вычисляется: I(r, ϕ, z) = cos ϕ −r sin ϕ 0 sin ϕ r cos ϕ 0 0 0 1 = r (2.23) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 86 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 2.3 Пример 2.2. Вычислить интеграл I = Q z x 2 + y 2 dx dy dz по замкнутой области Q, ограниченной плоскостями y = 0, z = 0, z = a и поверхностью y = √ 2x − x 2 (рис. 2.4 , а) В прямоугольной системе координат тройной интеграл преобразуется Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 87 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 2.4 в повторный следующим образом: I = Q z x 2 + y 2 dx dy dz = 2 0 dx √ 2x−x 2 0 dy a 0 z x 2 + y 2 dz. Замкнутая область D, является проекцией области интегрирования Q на координатную плоскость xOy , описывается с помощью неравенств 2x - x 2 рис. 2.4 , б). Эти неравенства можно заменить двумя неравенствами y ≥ 0 и x 2 + y 2 ≤ 2x. √ 0≤x≤2, 0≤y≤ √ 0≤y≤ Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 88 из 275 Назад На весь экран Закрыть координатам в плоскости xOy, получим представление замкнутой области D: D={(r; ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ π 2 , 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ}. С помощью этого представления для тройного интеграла получаем I = π 2 0 dϕ 2 cos ϕ 0 rdr a 0 zrdz = a 2 6 π 2 0 r 3 2 cos ϕ 0 dϕ = = 4a 2 3 π 2 0 (1 − sin 2 ϕ)d(sin ϕ) = 8 9 a 2 Пример 2.3. Вычислить объем тела Q, ограниченного сферой x 2 + y 2 + z 2 = 4 и параболоидом x 2 + y 2 = 3z (рис. 2.5 ) Объем тела Q равен V = Q dx dy dz. Поскольку рассматриваемое тело Q является z-цилиндрическим, т.е. x 2 +y 2 3 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2 , D-проекция тела Q на плоскость xOy, то V = D dx dy √ 4−x 2 −y 2 x2+y2 3 dz. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 89 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 2.5 В данном случае граница замкнутой области d(D) совпадает с проекцией линии пересечения сферы и параболоида, а чтобы найти уравнение этой проекции, достаточно из уравнений двух поверхностей исключить переменную z. Из уравнения параболоида x 2 + y 2 = 3z выражаем z и |