Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
2 + z 2 − R 2 = 0 (4.5) задает в пространстве R 3 поверхность, представляющую собой сферу радиуса R с центром в начале координат. Наконец, поверхность S может быть задана параметрическими урав- нениями x = x(u, υ), y = y(u, υ), (u; υ) ∈ D ⊂ R 2 , z = z(x, υ), (4.6) где x(u, υ), y(u, υ), z(u, υ) - непрерывные функции в их области опре- деления D. В этом случае говорят о параметрически заданной по- верхности. Например, сфера радиуса R с центром в начале координат может быть описана не только как неявно заданная поверхность 4.5 , но и как поверхность, заданная параметрически: x = R sin u cos υ, y = R sin u sin υ, 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ υ < 2π. z = R cos u, Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 144 из 275 Назад На весь экран Закрыть Так как между точками пространства и их радиус-векторами установ- лено взаимно однозначное соответствие (точке M (x; y; z) соответствует ее радиус-вектор − → r = xi + yj + zk), уравнения ( 4.6 ) можно записать в виде − → r = x(u, υ)i + y(u, υ)j + z(u, υ)k. (4.7) Таким образом, мы получаем векторное уравнение поверхности S. В дальнейшем будем считать, что если поверхность S задана парамет- рическими уравнениями ( 4.6 ), то функции x(u, υ), y(u, υ), z(u, υ) удовле- творяют следующим условиям. 1. Область определения D функций x(u, υ), y(u, υ), z(u, υ) является замкнутой ограниченной областью, граница ∂D которой - простой кусочно гладкий контур. 2. Функции x(u, υ), y(u, υ), z(u, υ) непрерывно дифференцируемы в D, т.е. определены в некоторой области, целиком содержащей D, и имеют в этой области частные производные первого порядка, непре- рывные в D. 3. Отображение F : D ⊂ R 2 → S, определяемое тремя функциями x(u, υ), y(u, υ), z(u, υ), является инъекцией, т.е. различными точка- ми (u, υ) ∈ D соответствуют различные точки (x; y; z) поверхности S. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 145 из 275 Назад На весь экран Закрыть Если условие 3 распространяется и на граничные точки области D, то поверхность S будем называть простой поверхностью. Множество точек поверхности, соответствующих граничным точкам области D, об- разует в таком случае границу (или край) этой поверхности. На рис. 4.1 , а изображена ограниченная контуром ABCEA замкнутая область D = {(u, υ) : 0 < a ≤ u ≤ b, 0 ≤ υ ≤ π} ⊂ R 2 (прямоугольник). Функции x = u cos υ, y = u sin υ, z = u, определен- ные в D, задают простую поверхность, которая представляет собой часть прямого кругового конуса (рис. 4.1 , б). Границей (краем) этой поверх- ности является контур A B C E A на конусе, соответствующий контуру ABCEA на плоскости. Рис. 4.1 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 146 из 275 Назад На весь экран Закрыть Точки поверхности, не принадлежащие ее границе, называют внут- ренними точками поверхности. Поверхность может не иметь грани- цы. Такую поверхность называют замкнутой. Примером замкнутой поверхности является сфера. В каждой внутренней точке гладкой поверхности существуют каса- тельная плоскость и нормаль к этой поверхности. Касательная плоскость может быть задана общим уравнением A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0, в котором A, B, C - координаты вектора − → n = − → r u × − → r v нормали к по- верхности S в точке M 0 ∈ S, а − → r u = x u i + y u j + z u k, (4.8) − → r v = x v i + y v j + z v k, если S задана в векторной форме. Векторы r u и r v , отложенные от точки M 0 ∈ S, лежат в касательной плоскости P (рис. 4.2 ). 4.2 Площадь поверхности Пусть непрерывно дифференцируемое представление r(u, v) рассмат- риваемой гладкой поверхности S определено на замыкании D квадри- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 147 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 4.2: руемой области D. Рассмотрим разбиение P D = {D 1 , . . . , D n } плоско- сти переменных u и v на прямоугольники D r 4.3 в силу отображения r : D → S ⊂ R 3 соответствует фигура S r в которую можно назвать криволинейным параллелограммом (рис. 4.4 ). Поскольку r(u 0 + ∆u, v 0 ) − r(u 0 , v 0 ) = r , u ∆u + 0(∆u), если ∆u → 0, r(u 0 , v 0 + ∆v) − r(u 0 , v 0 ) = r , v ∆v + 0(∆v), если ∆v → 0, смещению от M 0 на вектор −−−→ M 0 M 1 = (∆u, 0) в R 3 отвечает такое сме- щение от точки r(u 0 , v 0 ) , которое при ∆u → 0 можно с точностью до 0(∆u) частным дифференциалом r , u ∆u, а смещению от M 0 на вектор −−−→ M 0 M 2 = (∆; ∆v) отвечает в R 3 также смещение от точки r(u 0 , v 0 ) , Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 148 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 4.3 которое при ∆v → 0 можно с точностью до 0(∆v) заменить частным дифференциалом r , v ∆v Таким образом , при малых значениях ∆u, ∆v, т. е. при d(P ) → 0 криволинейный параллелограмм мало отличается от параллелограмма , натянутого на вектора r , u ∆u и r , v ∆v, касательные к поверхности S в точке r(u 0 , v 0 ). Найдем площадь такого параллелограмма. Обозначив ее через ∆S ∗ v , по- лучим Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 149 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 4.4 ∆S ∗ v = |r , u ∆u × r , v ∆v| m 0 = |r , u × r , v |∆u∆v. Функции r , u и r , v непрерывны на замкнутой квадрируемой D , поэтому lim d(P )→0 n i=1 ∆S ∗ i = D |r , u × r , v |∆u∆v. Определение 4.1. Площадью заданной в параметрическом виде глад- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 150 из 275 Назад На весь экран Закрыть кой поверхности S лежащей в пространстве R 3 , называется величина S = D |r , u × r , v | m 0 ∆u∆v. (4.9) Введем функции (коэффициенты Гаусса) E = (r , u ) 2 = x ,2 u + y ,2 u + z ,2 u F = r , u r ,2 v = x , u x , v + y , u y , v + z , u z , v , (4.10) G = (r , v ) 2 = x ,2 v + y ,2 v + z ,2 v В этих обозначениях формула 4.9 принимает вид S = D EG − F 2 dudv. (4.11) Действительно для любых векторов − → a и − → b справедливы формулы |− → a × − → b | = |− → a | × | − → b | sin(− → a ; − → b) − → a − → b = |− → a | × | − → b | cos(− → a ; − → b ), где − → a ; − → b - угол между векторами − → a и − → b . Возведем в квадрат и сло- жим эти формулы: |− → a × − → b | 2 + |− → a − → b | 2 = − → a 2 − → b 2 В силу ( 4.10 ) отсюда следует, что |r , u × r , v | 2 = r ,2 u r ,2 v − |r , u r , v | 2 = EG − F 2 , Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 151 из 275 Назад На весь экран Закрыть поэтому формула 4.9 может быть заменена в виде 4.11 Иногда для краткости записи выражение √ EG − F 2 dudv обозначается символом dS: dS = EG − F 2 dudv. (4.12) и называется элементом площади поверхности. Применяя это обозначе- ние, формулу ( 4.11 ) можно переписать в виде S = D dS. (4.13) Найдем выражение для площади поверхности, имеющей явное представ- ление z = f (x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R 2 . В этом случае x = u, y = v, т.е. r = (x, y, f (x, y), r , x = (1, 0, f , x (x, y)r , y = (0, 1, f , y (x, y) и E = r ,2 u = 1 + f x , 2, G = r ,2 v = 1 + f ,2 y , F = r , u r , v = f , x f , y , EG − F 2 = (1 + f ,2 x )(1 + f ,2 y ) − f ,2 x f ,2 y = 1 + f ,2 x + f ,2 y ; S = D 1 + f ,2 x + f ,2 y dxdy.. (4.14) В случае, если поверхность задана уравнением F (x, y) = 0, то нетрудно проверить , что для нахождения площади поверхности можно восполь- зоваться формулой Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 152 из 275 Назад На весь экран Закрыть S = D √ F , +F ,2 y +F ,2 z |F , z | dxdy. (4.15) Пример 4.1. Найдем площадь части боковой поверхности конуса z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0, вырезаемой из нее цилиндром x 2 − ax + y 2 = 0 Обозначим часть боковой поверхности конуса , вырезаемую из нее цилиндром, через Σ. Если перейти к цилиндрическим координатам , то поверхность Σ можно задать параметрическими уравнениями x = r cos φ, y = rsin φ ,z = r, (r, φ) ∈ D, D = {(r, φ)0 ≤ r ≤ a cos φ, −π 2 ≤ φ ≤ π 2 }. Найдем коэффициенты Гаусса для этой поверхности: − → r = (r cos φ, r sin φ, r), r , φ = (−r sin φ, r cos φ, 0), r , r = (cos φ, sin φ, 1), → E = r ,2 φ = r 2 , F = − → r , φ − r , r = 0, G = r , r = 2, √ EG − F 2 drdφ = r √ 2drdφ. Применяя формулу 4.11 , получим S(Σ) = D √ 2rdrdφ = √ 2 π 2 − π 2 a cos φ 0 rdr = πa 2 √ 2 4 4...3 Поверхностный интеграл первого рода Поверхностный интеграл первого рода представляет собой такое же естественное обобщение двойного интеграла, каким является криволи- 2 X Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 153 из 275 Назад На весь экран Закрыть нейный интеграл первого рода по отношению к обычному определенно- му интегралу. Введем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Пусть на некоторой гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности S, ограничен- ной контуром L, определена функция f (M ) = f (x, y, z). Выберем разби- ение поверхности S на конечное число частичных областей S i , i = 1, n с площадями S i . В каждой частичной области S i возьмем производную точку M i (x i , y i , z i ) ∈ S i Пусть d – максимальный из диаметров d i частичных областей S i , i = 1, n. Сумму σ n = n i=1 f (x i , y i , z i ) S i (4.16) назовем интегральной суммой для функции f (x, y, z) по поверхности S. Определение 4.2. Если интегральная сумма 4.16 при D → 0 име- ет конечный предел I, не зависящий ни от способа разбиения поверх- ности S на частичные области S i ⊂ S, i = 1, n, ни от выбора точек M i (x i , y i , z i ) ∈ S i , то этот предел называют поверхности интегралом первого рода от функции f (x, y, z) по поверхности S и обозначают I = S f (x, y, z)dSI = S f (x, y, z)dS = lim d→0 n i=1 f (x i , y i , z i ) S i (4.17) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 154 из 275 Назад На весь экран Закрыть Теорема 4.1. (без доказательства) Пусть S — гладкая поверхность задана параметрически уравнениями x = x(u, v) y = y(u, v), (u, v) ∈ D ⊂ R 2 z = z(u, v) функция f (x, y, z) непрерывна во всех тыках поверхности S. Тогда по- верхностный интеграл первого рода 4.17 существует и может быть вычислен по формуле S f (x, y, z)dS = D f (x(u, v), y(u, v ), z(u, v )) EG − F 2 dudv, (4.18) где функции E, G и F определены соотношением 4.10 Если же поверхность S задана уравнением z = ϕ (x, y) ∈ D ⊂ R 2 , то элемент площади поверхности dS = 1 + ϕ 2 x + ϕ 2 y dxdy и фор- мула 1.3 примет вид: I = S f (x, y, z)dS = S f (x, y, ϕ(x, y)) 1 + ϕ 2 x + ϕ 2 y dxdy. (4.19) Пример 4.2. Найдем положение центра тяжести однородной полусферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , z ≥ 0. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 155 из 275 Назад На весь экран Закрыть Без ограничения общности считаем, что плотность p = 1. Параметризуем полученную сферу x = Rcosϕcosψ, y = Rsinϕcosψ, z = sinψ, 0 ϕ 2π, 0 ψ Π 2 находим EG − F 2 r ϕ = (−Rsinϕcosψ, Rcosϕcosψ, 0), r ψ = (−Rcosϕsinψ, −Rsinϕsinψ, Rcosψ), E = R 2 sin 2 ϕcos 2 ψ + R 2 cos 2 ϕcos 2 ψ = R 2 cos 2 ψ, G = R 2 cos 2 ϕsin 2 ψ + R 2 sin 2 ϕsin 2 ψ + R 2 cos 2 ψ = R 2 F = r ϕ r ψ = R 2 sinϕcosϕsinψcosψ − R 2 sinϕcosϕsinψcosψ = 0 Тогда √ EG − F 2 = R 2 cosψ Масса полусферы M = S pdS = D EG − F 2 dϕdψ = 2π 0 dϕ π 2 0 R 2 cosψdψ = 2πR 2 Координата Z c центра тяжести есть Z c = 1 M S z dS = 1 2πR 2 2π 0 dϕ π 2 0 EG − F 2 z dψ = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 156 из 275 Назад На весь экран Закрыть = 1 2πR 2 2π 0 dϕ π 2 0 R 3 cosψsinψdψ = R 2 В силу симметрии полусферы x c = y c = 0. Итак, центр тяжести находится в точке C(0; 0; R 2 ) Пример 4.3. Вычислить поверхностный интеграл I = S dS (1+x+y) 2 по кусочно-гладкой поверхности S, являющейся границей тетраэдра V = {(x, y, z) : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1} Решение. Граница V состоит из четырех треугольных граней: грань S 1 лежит в плоскости z = 0, грань S 2 лежит в плоскости y=0, грань S 3 лежит в плоскости x=0, а грань S 4 — в плоскости x + y + z = 1. Обозначим поверхностные интегралы по соответствующим граням через I 1 , I 2 , I 3 I 4 ,. Воспользовавшись формулой 4.19 , получаем I 1 = S 1 dxdy (1 + x + y) 2 = 1 0 dx 1−x 0 dy (1 + x + y) 2 = 1 0 ( 1 1 + x − 1 2 )dx = ln2− 1 2 В силу симметрии I 2 = I 3 = S 2 dxdy (1 + x + y) 2 = S 2 dydz (1 + y) 2 = 1 0 dy (1 + y) 2 1−y 0 dz = 1 − ln2 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 157 из 275 Назад На весь экран Закрыть Уравнение грани S 4 можно записать в виде z = 1 − x − y, (x, y) ∈ S 1 = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x}, z x = −1, z y = −1, dS = √ 3dxdy. Воспользовавшись формулой 4.19 , получаем I 4 = S 4 dS (1 + x + y) 2 = S 1 √ 3dS (1 + x + y) 2 = √ 3I 1 Складывая интегралы, находим значение интеграла I: I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = (1 + √ 3)I 1 + 2I 2 = (1 + √ 3)(ln2 − 1 2 ) + 2(1 − ln2) 4...4 Ориентация кусочно-гладкой поверхности Если поверхность задана явно, например, уравнением Z = Z(x, y), то можно говорить о ее верхней или нижней стороне. Замкнутая по- верхность ограничивает замкнутую область в пространстве, и можно различать внутреннюю и внешнюю стороны поверхности. Рассмотрим гладкую поверхность S, замкнутую или же ограничен- ную кусочно-гладким контуром L. В каждой внутренней точке такой поверхности существует касательная плоскость и нормальный вектор. Нормальный вектор может иметь одно из двух возможных направлений. Пусть в окрестности точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) поверхность задана параметри- чески уравнениями 4.6 . Тогда в качестве единичного вектора нормали Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 158 из 275 Назад На весь экран Закрыть можно выбрать вектор n = r x r v |r u x r v | , (4.20) где векторы r u и r v определены соотношениями 4.8 . Вектор n является непрерывной функцией в некоторой окрестности точки M 0 Выбор единичного вектора нормали позволяют задать сторону по- верхности в окрестности точки M 0 . Для выбора противоположной сто- роны достаточно взять вектор с противоположным знаком. Если в каждой точке поверхности можно выбрать единичный вектор нормали так, что получится векторная функция, непрерывная на всей поверхности, то такую поверхность называют двусторонней поверхно- стью. Пример 4.4. а) Явно заданную поверхностьz= f(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R, где функция f(x,y) непрерывно дифференцируема в D, можно записать параметрическими уравнениями x = u y = v z = f (u, v), (u, v) ∈ D При таком описании поверхности r u = i + f u (u, v)k, r v = j + f v (u, v)k, r u x r v = −f u (u, v)i − f v (u, v)j +k. |