Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
2 (4.21) Явно заданная поверхность Z = f (u, v), (u, v) ∈ D, является дву- сторонней. б) Пусть поверхность S задана неявно уравнением 4.4 , в котором функция F (x, y, z) определена и непрерывно дифференцируема в неко- торой области G ⊂ R 3 . Если в каждой точке (x, y, z) ∈ S градиент функции F (x, y, z) отличен от нуля, то поверхность S является глад- кой. При этом вектор F x (x, y, z)i + F y (x, y, z)j + F z (x, y, z)k есть нормальный вектор касательной плоскости к поверхности S в точке (x, y, z) ∈ S. Нормируя этот вектор, получим единичный век- тор нормали к поверхности S n = F x i + F y j + F z k F x 2 i + F y 2 j + F z k 2 (4.22) В двнном случае поверхность S является двусторонней (ориентируе- мой). Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 160 из 275 Назад На весь экран Закрыть Остановимся на частном случае — сфере радиуса R, заданный урав- нением x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . В этом случае F (x, y, z) = −R 2 — непрерывно дифференцируемая в R 3 функция. Непрерывная функция единичной нормали к поверхности имеет вид − → n (x, y, z) = xi + yj + zk x 2 + y 2 + z 2 = x R i + y R j + z R k Эта функция определяет внешнюю сторону сферы. Если (S, n n n) — ориентируемая поверхность и cosγ = cos(n n n ,,, O z ) > 0 в каждой точке M ∈ S, то S - верхняя сторона поверхности, если cosγ< 0, то S - называют нижней стороной поверхности. Аналогично сторону поверхности (S, n n n))) называют правой, когда cosα= cos(n n n , O x ) > 0 и левой, если cosα = cos(n n n , O x ) < 0. В частности, если поверхность S задана явной функцией x = x(y, z),т.е. S = {r(y, z) = {x(y, z), y, z}, (y, z) ∈ D, после единичных нормалей n n n = r y X r z |r y X r z | = i−x y j−x z k √ 1+x y 2 +x z 2 задает правую, а после n n n = r y X r z |r y X r z | = −i+x y j+x z k √ 1+x y 2 +x z 2 задает левую сторону поверхности S. 4...5 Поверхностный интеграл второго рода Пусть S - кусочно гладкая ограниченная двусторонняя поверхность. Выберем одну из сторон поверхности S с помощью единичного векто- ра n = n(M ) нормали к этой поверхности. Координатами вектора n Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 161 из 275 Назад На весь экран Закрыть являются его направляющие косинусы cos α, cos β, cos γ, представляю- щие собой функции точки поверхности. Зададим на поверхности S три функции P (M ), Q(M ), R(M ). Поверхностный интеграл первого рода вида S (P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ)dS (4.23) называют поверхностным интегралом второго рода от функ- ций P, Q, R. Поверхностный интеграл второго рода фактически представляет со- бой сумму трех отдельных интегралов, соответствующих трем подынте- гральным функциям P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z). Рассмотрим первый из этих интегралов. Входящее в него выражение cos αdS можно рассмат- ривать как проекцию элемента площади dS на координатную плоскость yOz. Это позволяет cos αdS заменить элементом площади dydz на коор- динатной плоскости yOz и записать интеграл в виде S P (x, y, z)dydz. Аналогичным образом можно обозначить две другие составляющие поверхностного интеграла, а весь поверхностный интеграл можно пред- ставить в виде Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 162 из 275 Назад На весь экран Закрыть S P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy. (4.24) Сформулируем свойства поверхностного интеграла второго рода на примере одного его слагаемого, соответствующего функции R(x, y, z). 1. При изменении стороны поверхности интеграл меняет знак. 2. Интеграл от линейной комбинации m функций равен линейной ком- бинации интегралов от этих функций: S m j=1 α j R j (x, y, z)dxdy = m j=1 α j S R j (x, y, z)dxdy, α j ∈ R. 3. Если поверхность S разбита на конечное число N частей S k ⊂ S, k = 1, N , не имеющих общих внутренних точек, то S R(x, y, z)dxdy = N k=1 S k R(x, y, z)dxdy. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 163 из 275 Назад На весь экран Закрыть 4. Интеграл S R(x, y, z)dxdy по любой цилиндрической поверхности S с образующими, парал- лельными оси Oz, равен нулю. Интеграл 4.23 по выбранной стороне поверхности S является поверх- ностным интегралом первого рода от функции P cos α+Q cos β +R cos γ. Поэтому для его вычисления можно использовать формулы 4.18 или 4.19 Предположим, что гладкая двусторонняя поверхность S без особых точек задана параметрическими уравнениями x = x(u, υ), y = y(u, υ), (u, υ) ∈ D ⊂ R 2 z = z(u, υ), Пусть A, B, C - координаты вектора нормали r u × r υ к поверхности, где векторы r u и r υ вычислены по формулам 4.8 . Тогда получаем cos α = A √ A 2 + B 2 + C 2 = A √ EG − F 2 , Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 164 из 275 Назад На весь экран Закрыть cos β = B √ A 2 + B 2 + C 2 = B √ EG − F 2 , cos γ = C √ A 2 + B 2 + C 2 = C √ EG − F 2 Используя 4.18 , находим S P cos αdS = D P (x(u, υ), y(u, υ), z(u, υ))A(u, υ)dudυ, (4.25) S Q cos βdS = D Q(x(u, υ), y(u, υ), z(u, υ))B(u, υ)dudυ, (4.26) S P cos γdS = D R(x(u, υ), y(u, υ), z(u, υ))C(u, υ)dudυ. (4.27) Если гладкая поверхность S задана уравнением z = f (x, y), (x; y) ∈ D xy ⊂ R 2 , и выбрана ее верхняя сторона, т.е. единичный вектор n нор- мали образует с осью Oz острый угол, то cos γ = 1 1 + (f x ) 2 + (f x ) 2 Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 165 из 275 Назад На весь экран Закрыть Поэтому для верхней стороны поверхности получаем S R cos γdS = S Rdxdy = D xy R(x, y, f (x, y))dxdy. (4.28) Для нижней стороны поверхности знак cos γ обратный, и поэтому в правой части 4.28 перед интегралом следует поставить знак минус: S R cos γdS = S Rdxdy = − D xy R(x, y, f (x, y))dxdy. (4.29) Аналогично можно вычислить два остальных интеграла 4.23 , если гладкая поверхность S задана уравнением x = x(y, z), (y; z) ∈ D yz , или y = y(x, z), (x; z) ∈ D xz Пример 4.5. Вычислим поверхностный интеграл второго рода S zdxdy по нижней стороне части S конуса, заданной уравнением z = x 2 + y 2 и заключенной между плоскостями z = 0 и z = 1. Проекцией этой части конуса на координатную плоскость xOy явля- ется замкнутый круг D xy = {(x; y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 1}. Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 166 из 275 Назад На весь экран Закрыть Используя 4.29 и переходя к полярным координатам, находим S zdxdy = − D xy x 2 + y 2 dxdy = − 2π 0 dϕ 1 0 r 2 dr = − 2π 3 Пример 4.6. Вычислим поверхностный интеграл второго рода S ydzdx по верхней стороне части S параболоида z = x 2 + y 2 , заключенной между плоскостями z = 0 и z = 2 (рис. 4.5 , а). Разобьем поверхность S координатной плоскости xOz на две части S 1 и S 2 , расположенные по разные стороны от этой плоскости. По- верхности S 1 и S 2 представляют собой графики функций y = √ z − x 2 и y = − √ z − x 2 . Эти функции имеют общую область определения D zx - проекцию поверхности S на плоскость xOz, которая описывает- ся неравенствами 0 z 2, z x 2 (рис. 4.5 , б). В соответствии со свойством 3 поверхностного интеграла второго рода запишем S ydzdx = S 1 ydzdx + S 2 ydzdx. Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 167 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 4.5 Выбор верхней стороны поверхности S означает выбор левой сторо- ны S 1 и правой стороны S 2 . Для поверхности S 1 с выбранной стороной имеем S 1 ydzdx = S Dzx ydzdx, где левая часть равенства - это поверхностный интеграл, а правая часть - двойной. Вычислим двойной интеграл: D zx ydzdx = − √ 2 − √ 2 dx 2 x 2 z − x 2 dz = Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 168 из 275 Назад На весь экран Закрыть − 2 3 √ 2 − √ 2 (z − x 2 ) 3/2 2 x 2 dx = − 2 3 √ 2 − √ 2 (2 − x 2 ) 3/2 dx. Определенный интеграл от функции (2−x 2 ) 3/2 вычислим с помощью тригонометрической замены x = √ 2 sin t (при этом dx = √ 2 cos tdt). В результате получим − 2 3 √ 2 − √ 2 (2 − x 2 ) 3/2 dx = = − 2 3 π/2 −π/2 4 cos 4 tdt = − 2 3 π/2 −π/2 (1 + cos 2t) 2 dt = = − 2 3 π/2 −π/2 (1 + cos 2t + 1 + 2 cos 4t 2 )dt = −π. Для поверхности S 2 с выбранной стороной (правой) имеем S ydzdx = D xz ydzdx = − D xz z 2 − x 2 dzdx. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 169 из 275 Назад На весь экран Закрыть Вычисления аналогичны предыдущим и дают тот же результат −π. Таким образом, S ydzdx = −2π. 4.6 Физический смысл поверхностного интеграла второго рода Рассмотри задачу о нахождении количества жидкости, протекающей за единицу времени через заданную поверхность Φ (в этом случае гово- рят о расходе жидкости через Φ). Предположим, что плотность жидко- сти постоянна, поверхность проницаема для жидкости и процесс течения жидкости установившийся, т.е. вектор v ее скорости в каждой точке M пространства не изменяется во времени. Если поверхность Φ площадью S является частью плоскости, а век- тор v перпендикулярен этой плоскости, то объемный расход жидкости через Φ, т.е. ее объем, протекающий через Φ в единицу времени, равен Q = |v|S. Если же вектор v составляет угол φ с вектором нормали к этой плоскости, то Q = |v|S cos φ. Ясно, что в зависимости от выбора направления вектора нормали к плоскости расход может быть положи- тельным, отрицательным, а в частном случае и равным нулю. Пусть теперь Φ - некоторая гладкая поверхность и в каждой точ- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 170 из 275 Назад На весь экран Закрыть ке M (x; y; z) ∈ Φ задан вектор скорости с помощью векторной функции v(M ) = v(x, y, z). Выберем разбиение поверхности Φ на n частичных об- ластей Φ i с площадями ∆S i и диаметрами d i , i = 1, n, и в каждой частич- ной области Φ i рассмотрим произвольную точку M i (x i ; y i ; z i ). Естествен- но считать, что при малых значениях диаметров d i каждую частичную область Φ i можно заменить его проекцией на касательную плоскость к поверхности Φ в точке M i . Кроме того, предполагаем, что в пределах частичной области Φ i вектор скорости жидкости можно считать посто- янным и равным v(M i ). При этих предположениях объемный расход жидкости через поверхность Φ i в выбранном направлении единичного вектора n(M i ) нормали к поверхности в точке M i равен Q i ≈ |v(M i )| cos φ i ∆S i , i = 1, n, где φ i - угол между векторами v(M i ) и n(M i ), а общий расход через всю поверхность Φ равен Q ≈ n i=1 |v(M i )| cos φ i ∆S i Ясно, что точность последнего соотношения будет тем выше, чем мельче разбиение поверхности Φ на частичные области. По определению пола- гают Q = lim d→ 0 n i=1 |v(M i )| cos φ i ∆S i , (4.30) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 171 из 275 Назад На весь экран Закрыть где d = max i=1,n d i Пусть cos α(M i ), cos β(M i ), cos γ(M i ) - направляющие косинусы век- тора n(M i ), так что n (M i ) = cos α(M i )i + cos β(M i )j + cos γ(M i )k , а P (M ), Q(M ), R(M ) - координаты вектора v (M ) скорости жидко- сти, т.е. v (M ) = P (M )i + Q(M )j + R(M )k . (4.31) Тогда |v (M i )| cos ϕ i = v (M i )n(M i ) = P (M i ) cos α(M i )+ +Q(M i ) cos β(M i ) + R(M i ) cos γ(M i ), M i ∈ Φ i Подставляя это равенство в ( 4.30 ), согласно определениям поверх- ностного интеграла первого рода и поверхностного интеграла второго рода, приходим к следующему: Q = lim d→0 n i=0 (P (M i ) cos α(M i ) + Q(M i ) cos β(M i ) + R(M i ) cos γ(M i )) ∆S i = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 172 из 275 Назад На весь экран Закрыть = Φ (P (M ) cos α(M ) + Q(M ) cos β(M ) + R(M ) cos γ(M )) dS. Поэтому для объемного расхода жидкости, протекающей через по- верхность Φ и имеющей вектор скорости v (M ) вида ( 4.31 ), можем запи- сать Q = Φ P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy. Выбор стороны поверхности Φ, определяемый выбором единичного вектора нормали этой поверхности, влияет на знак объемного расхода жидкости. 4...7 Формула Стокса гладкая двусторонняя поверхность Φ, ограниченная гладким контуром L, задана параметрическими уравнениями x = x (u, v ), y = y(u, v ), z = z (u, v ). Пусть Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 173 из 275 Назад На весь экран Закрыть (u, v ) ∈ D с помощью функций x (u, v ), y(u, v ), z (u, v ), дважды непре- рывно дифференцируемых в замкнутой области D ⊂ R 2 , ограничен- ной гладким контуром L ∗ . Контуру L ∗ при отображении, определяемом функциями x (u, v ), y(u, v ), z (u, v ), соответствует контуру L, ограничи- вающий поверхностью Φ. Обходу контура L ∗ на плоскости отвечает об- ход контура L, и наоборот. Условия считать положительными такое на- правление обхода контура L, которому соответствуют положительные направления обхода контура L ∗ . Если единичный вектор n определить формулой 4.20 , то при положительном обходе контура L поверхность бу- дет оставаться слева, если смотреть с конца вектора n. Таким образом, положительное направление обхода границ поверхности согласуется с выбором ее стороны. Как и ранее , cos α, cos β, cos γ - направляющий косинус вектора n в в произвольной точке поверхности Φ. Теорема 4.2. Пусть в некоторой пространственной области G , целиком содержащей поверхность Φ, заданы непрерывные дифферен- цируемые функции P (x , y, z ), Q (x , y, z ), R(x , y, z ). Тогда имеет место формула Стокса L P dx+Qdy+Rdz = Φ ((Q x −P y ) cos γ+(P z −R x ) cos β+(R y −Q z ) cos α)dS (4.32) где обход контура L при выбранной стороне поверхности Φ происходит в положительном направлении. , Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 174 из 275 Назад На весь экран Закрыть Эту формулу, используя поверхностный интеграл второго рода, мож- но следующим образом: L P dx+Qdy+Rdz = Φ ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dxdy+( ∂P ∂z − ∂R ∂x )dzdx+( ∂R ∂y − ∂Q ∂z )dydz. (4.33) Докажем, что L P dx = Φ ∂P ∂z dzdx − ∂p ∂y dxdy. (4.34) Сначала преобразуем криволинейный интеграл второго рода по контуру L в левой части ( 4.34 ). Пусть контур L ∗ , ограничивающий область D, за- дан параметрическими уравнениями u = u(t ), v = v (t ), t ∈ T = [t 1 , t 2 ], где u(t) и v(t) - функции, непрерывно дифференцируемые на отрезке [t 1 , t 2 ]. Тогда параметрические уравнения, задающие контур L, примут вид x = x (u(t ), v (t )), y = y(u(t ), v (t )), z = z (u(t ), v (t )), t ∈ T . В соответствии с правилами вычисления криволинейного интеграла вто- рого рода, запишем L Pdx = t 2 t 1 P ( ∂x ∂y u (t ) + ∂x ∂v v (t ))dt = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 175 из 275 Назад На весь экран Закрыть L ∗ P (x (u, v ), y(u, v ), z (u, v ))( ∂x ∂u du + ∂x ∂v dv ). К интегралу в правой части этого равенства применим формулу Грина для односвязной области: L ∗ P ∂x ∂u du + P ∂x ∂v dv = D ( ∂ ∂u (P ∂x ∂v ) − ∂ ∂v (P ∂x ∂u ))dudv = D (( ∂P ∂x ∂x ∂u + ∂P ∂y ∂y ∂u + ∂P ∂z ∂z ∂u ) ∂x ∂v + P ∂ 2 x ∂u∂v )dudv− − D (( ∂P ∂x ∂x ∂v + ∂P ∂y ∂y ∂v + ∂P ∂z ∂z ∂v ) ∂x ∂u + P ∂ 2 x ∂v∂u )dudv)). Так как смешанные производные функции x(u,v) непрерывны, верно ра- венство ∂ 2 x ∂u∂v = ∂ 2 x ∂v∂u . Поэтому после упрощения получим L P dx = D ∂P ∂z ( ∂z ∂u ∂x ∂v − ∂z ∂v ∂∂x ∂u )dudv− − D ∂P ∂y ( ∂x ∂u ∂y ∂v − ∂x ∂v ∂y |