Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
Начало Содержание Страница 108 из 275 Назад На весь экран Закрыть падать). Такую сумму называют криволинейным интегралом вто- рого рода общего вида и записывают под одним знаком интеграла: AB P (x; y)dx + AB Q(x; y)dy = AB P (x; y)dx + Q(x; y)dy. (3.21) К криволинейному интеграла второго рода приводит задача вычис- ления работы силы при перемещении материальной точки по криволи- нейному пути. Действительно, предел в правой части формулы ( 3.17 ) можно представить в виде суммы двух пределов, каждый из которых есть криволинейный интеграл второго рода по соответствующей пере- менной. Следовательно, вместо ( 3.17 ) можем записать A = AB P (x; y)dx + Q(x; y)dy, (3.22) где P (x; y) и Q(x; y) – проекции силы F =F (x, y) на координатные оси Ox и Oy. Отметим, что работу силы на криволинейном пути можно предста- вить и криволинейным интегралом первого рода в виде ( 3.16 ). Это поз- воляет записать равенство AB P (x; y)dx + Q(x; y)dy = AB Ft ds. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 109 из 275 Назад На весь экран Закрыть Для пространственной кривой АВ существует аналогичная связь меж- ду криволинейными интегралами первого и второго родов: AB P (x; y; z)dx + Q(x; y; z)dy + R(x; y; z)dz = = AB (P cos α + Q cos β + R cos γ)ds = AB Ft ds, где F=F (M ) – векторная функция, для которой P (M ) = P (x; y; z), Q(M ) = Q(x; y; z) и R(M ) = R(x; y; z) являются координатными функ- циями в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, а α, β, γ – углы, образованные единичным вектором t=(M), касательным к кривой АВ в точке М, с осями Ox, Oy и Oz соответственно. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру L ча- сто обозначают специальным символом и иногда называют контурным интегралом. Для такого интеграла направление обхода уже нельзя за- дать, указав начальную и конечную точку кривой. Чтобы определить направление обхода контура, можно использовать различные способы. Например, при параметрическом задании контура в качестве направле- ния его обхода можно выбрать то, которое соответствует возрастанию параметра кривой. В плоском случае для простейших контуров (окружность, эллипс) на- правление обхода часто сравнивают с движением часовой стрелки. При Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 110 из 275 Назад На весь экран Закрыть этом обход контура против хода часовой стрелки (или просто против часовой стрелки) называют положительным, а обход контура по ходу часовой стрелки (по часовой стрелке) называют отрицательным (рис. 3.3 , а). Рис. 3.3 В приложениях зачастую контур фигурирует как граница некоторой плоской области (в этом случае контур простой). Тогда обход контура можно соотнести с этой областью: при положительном обходе контура область все время остается слева, а при отрицательном – справа (рис. 3.3 , б). Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 111 из 275 Назад На весь экран Закрыть 3.5 Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода Пусть плоская кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], где функции x(t) и y(t) непрерывны на отрезке [α, β]. Предполагаем , что значение параметра t = α соответствует точке A , а значение T = β - точке B. Теорема 3.1. Если функции x(t) и y(t) в параметрическом пред- ставлении кривой AB непрерывно дифференцируемы, а функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны на кривой AB , то криволинейный интеграл вто- рого рода общего вида вдоль кривой AB от функций P (x, y) и Q(x, y) существует, причем для него верно равенство AB P (x, y)dx + Q(x, y)dy = b a (P (x(t), y(t))x , (t) + Q(x(t), y(t))y , (t)) dt (3.23) Доказательство Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 112 из 275 Назад На весь экран Закрыть Криволинейный интеграл второго рода общего вида состоит из двух частей , определяемых функциями P (x, y) и Q(x, y) . Можно ограничит- ся доказательством теоремы лишь для одной части , так как для другой части доказательство аналогично. Итак, докажем, что для непрерывной на гладкой кривой AB функции P (x, y) криволинейный интеграл второго рода по переменному x суще- ствует, причем AB P (x, y)dx = b a P (x(t), y(t))x , (t)dt. (3.24) Выберем произвольное разбиение кривой AB точками A 0 = A, A 1 , . . . , A n = B на элементарные дуги A i−1 A i .Пусть t i , i = o, n- значение параметра кривой, соответствующие точки A i . Для этих значений верны соотношения t 0 = α < t 1 < t 2 < · · · < t n−1 < t n = β На каждой элементарной дуге A i−1 A i произвольным образом выберем точку M i (x i ; y i ), и пусть τ i - значение параметра , отвечающее этой точ- ке. Очевидно, что t i−1 ≤ τ i ≤ t i , i = 1, n. Для интегральной суммы S , соответствующей выбранному разбиению кривой AB, можем записать S = n i=1 P (x i ; y i )∆x i = n i=1 P (x(τ i ), y(τ i ))(x(t i ) − x(t i−1 )) = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 113 из 275 Назад На весь экран Закрыть = n i=1 P (x(τ i ), y(τ i )) t i t i−1 x , (t)dt = n i=1 t i t i−1 P (x(τ i ), y(τ i ))x , (t)dt. Интеграл I в правой части формулы 3.24 в силу условий теоремы суще- ствует , так как его подынтегральная функция непрерывна на отрезке [α, β]. Используя свойство аддитивности определенного интеграла, за- пишем I = b a P (x(t), y(t))x , (t)dt = n i=1 t i t i−1 P (x(t), y(t))x , (t)dt. Из полученных представлений интегральной суммы S находим S − I = n i=1 t i t i−1 (P (x(τ i ), y(τ i )) − P (x(t), y(t))) x , (t)dt. Оценим правую часть этого равенства. Так как функция F (t) = P (x(t), y(t)) непрерывна на отрезке [α, β] . Сле- довательно, для любого > 0 существует такое δ( ) > 0, что для любых значений t , , t ,, ∈ [α, β] , удовлетворяющих условию |t , −t ,, | < δ( ), выпол- няется неравенство |F (t , ) − F (t ,, | < . Функция s(t) переменной длины дуги кривой AB , отсчитываемой от ее начальной точки A , является непрерывно дифференцируемой и возрастающей. Следовательно, суще- ствует обратная функция t(s), определенная на отрезке [0, s AB ], где s AB - длина кривой AB. Эта функция непрерывно дифференцируема, а модуль ее производной |t , (s)| достигает на отрезке [0, s AB ] некоторого максимального значения Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 114 из 275 Назад На весь экран Закрыть K 1 , т. е. |t , (s)| ≤ K 1 , 0 ≤ s ≤ s AB . Из формулы конечных приращений вытекает, что |bt i − t i−1 | = |t , (ξ i )|∆s i ≤ K 1 ∆s i ≤ K 1 λ, где s i = s(t i ), i = 0, n, ∆s i = s i − s i−1 - длины элементарных дуг раз- биения кривой, а λ = max i=1,n ∆s i . Пусть разбиение кривой удовлетворяет условию λ < δ( )/K 1 Тогда для любых t , , t ,, ∈ [t i−1 , t i ] имеем |t , − t ,, | ≤ t i − t i−1 ≤ K 1 ∆s i < δ( ). Следовательно F (τ i ) − F (t)| < при t ∈ [t i−1 , t i ]и |S − I| ≤ n i=1 t i t i−1 (P (x(τ i ), y(τ i )) − P (x(t), y(t))) x , (t)dt < K 2 n i=1 ∆t i = K(b − a), где K 2 - максимальное значение непрерывной на отрезке [α, β] функции |x , (t)|. Таким образом, S → I при λ = max i=1,n ∆s i → 0 , что доказывает теорему. Согласно доказанной теореме, для вычисления криволинейного инте- грала второго рода в подынтегральном выражении необходимо от пере- менных x и y перейти к параметру t кривой , для чего через t следует выразить подынтегральные функции P (x, y), Q(x, y) и дифференциалы Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 115 из 275 Назад На весь экран Закрыть dx, dy. В доказательстве теоремы предполагалось , что начальной точке A кривой AB соответствует левый конец отрезка [α, β], являющегося областью изменения параметра кривой. Если же параметризация кри- вой не согласована с направлением ее обхода, то в формуле 3.23 опреде- ленный интеграл справа соответствует противоположному направлению обхода, т.е. левая и правая части формулы отличаются знаками. Для восстановления равенства можно в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования. Таким образом, действует следую- щее правило: при переходе от криволинейного интеграла второго рода к определенному нижний предел интегрирования должен соответствовать начальной точке кривой , а верхний предел интегрирования - конечной. Рассмотрим два варианта задания плоской кривой AB Если кривая AB задана уравнением y = y(x), x ∈ [a, b] , то в качестве параметра кривой можно взять абсциссу x точки на кривой. В этом случае в соот- ветствии с формулой 3.23 получаем AB P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB (P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y , (x)) dx (3.25) где a и b - абсциссы точек A и B этой кривой. При задании кривой в виде x = x(y), y ∈ [c, d], в качестве параметра можем взять ординату y Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 116 из 275 Назад На весь экран Закрыть точки кривой. Тогда AB P (x, y)dx + Q(x, y)dy = β α (P (x(y), y) + Q(x(y), y)) dy (3.26) Здесь c и d - ординаты точек A и B кривой. Теорема 3.1 без каких-либо затруднений переносится на случай про- странственной кривой. Пример 3.4. Найдем криволинейный интеграл второго рода I = AB (4x − y)dx + 5x 2 ydy вдоль параболы y = 3x 2 между ее точками A(0; 0) и B(1; 3). В соответствии с ( 3.25 ) имеем I = 1 0 ((4x − 3x 2 ) + 5x 2 3x 2 6x)dx = 1 0 (4x − 3x 2 + 90x 5 )dx = = (2x 2 − x 3 + 15x 6 )| 1 0 = 16. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 117 из 275 Назад На весь экран Закрыть 3...6 Свойства криволинейного интеграла второго рода Рассмотрим основные свойства криволинейного интеграла второго рода общего вида. 1 ◦ . При изменении направления обхода кривой криволинейный ин- теграл второго рода вдоль этой кривой меняет знак: AB P (x, y)dx + Q(x, y)dy = − BA P (x, y)dx + Q(x, y)dy. 2 ◦ . Постоянный множитель k можно выносить за знак криволиней- ного интеграла: AB kP (x, y)dx + kQ(x, y)dy = k BA P (x, y)dx + Q(x, y)dy. 3 ◦ . Криволинейный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от каждого из слагаемых: AB (P 1 (x, y) + P 2 (x, y))dx = AB P 1 (x, y)dx + AB P 2 (x, y)dx. AB (Q 1 (x, y) + Q 2 (x, y))dx = AB Q 1 (x, y)dx + AB Q 2 (x, y)dx. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 118 из 275 Назад На весь экран Закрыть Свойства 2 ◦ и 3 ◦ означают линейность криволинейного интеграла: интеграл от линейной комбинации функций равен такой же линейной комбинации интегралов от каждой из этих функций. 4 ◦ . Если кривая разбита на конечное число примыкающих одна к другой дуг и вдоль каждой из них в отдельности криволинейный инте- грал существует, то существует и интеграл вдоль всей кривой , причем он равен сумме интегралов по отдельным составляющим ее дугам. Это свойство есть свойство аддитивности криволинейного интеграла второго рода. Свойства 1 ◦ – 4 ◦ несложно доказать, используя определение криво- линейного интеграла второго рода как предела интегральных сумм и известные свойства предела. Эти доказательства повторяют доказатель- ства соответствующих свойств определенного интеграла. 5 ◦ . Если кривая L является замкнутой, то значение криволинейного интеграла вдоль кривой L не зависит от выбора начальной (она же и конечная) точки на этой кривой. Действительно, пусть A и C – произвольные не совпадающие точки на кривой L. Покажем, что если в качестве начальной точки замкнутой кривой в первом случае выбрать точку , а во втором случае - точку , то в результате получим одно и то же значение криволинейного инте- грала. На двух дугах кривой L с концевыми точками A и C выберем произвольным образом точки и N (рис. 3.4 ). Эти точки удобны для маркировки дуг, на которые кривая L делит- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 119 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 3.4 ся точками и . Из свойства аддитивности криволинейного интеграла получаем AM CN A P (x, y)dx + Q(x, y)dy = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 120 из 275 Назад На весь экран Закрыть = AM C P (x, y)dx + Q(x, y)dy + CN A P (x, y)dx + Q(x, y)dy = = CN A P (x, y)dx + Q(x, y)dy + AM C P (x, y)dx + Q(x, y)dy = = CN AM C P (x, y)dx + Q(x, y)dy. 6 ◦ . Если кривая представляет собой отрезок прямой, параллельной оси Oy, то AB P (x, y)dx = 0 Если кривая - это отрезок прямой, параллельной оси Ox, то AB Q(x, y)dy = 0 Это свойство объясняется тем, что для таких интегралов соответству- ющие интегральные суммы равны нулю независимо от выбора разбиения кривой и выбора точек на элементарных дугах разбиения. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 121 из 275 Назад На весь экран Закрыть 3.7 Формула Грина Рассмотрим случай криволинейного интеграла второго рода вдоль простого замкнутого L в плоскости xOy. В этом случае контур L является границей некоторой плоской за- мкнутой области D. Оказывается, что криволинейный интеграл второго рода вдоль L может быть преобразован в двойной интеграл по замкну- той области D. Установим, как и при каких условиях выполняется такое преобразование. Теорема 3.2. Пусть замкнутая область D на плоскости xOy огра- ничена простым кусочно гладким контуром L, а функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны в D вместе со своими частными производными. Тогда имеет место следующая формула Грина для односвязной области: L P dx + Qdx = D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dxdy, (3.27) где контур L обходится в положительном направлении. Формула Грина фактически распадается на две независимые фор- мулы L P dx = − D ∂P ∂y dxdy и L Qdy = D ∂Q ∂x dxdy. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 122 из 275 Назад На весь экран Закрыть Эти две формулы являются частными случаями общей формулы ( 3.27 ), первая - при Q ≡ 0 , вторая - при P ≡ 0. Доказав эти две формулы, мы получим общую формулу ( 3.27 ) их суммирование. Поэтому можно ограничиться доказательством одной из них, например первой. Сперва рассмотрим простейший случай, когда замкнутая область D является правильной элементарной областью интегрирования относи- тельно координатной оси Oy. Это значит, что она ограничена снизу и сверху кривыми y = y 1 (x) и y = y 2 (x) , где функции y 1 (x) и y 2 (x) непре- рывны на отрезке [a, b] и удовлетворяют неравенству y 1 (x) ≤ y 2 (x), x ∈ [a, b], а слева и справа - вертикальными отрезками прямых x = a и x = b (рис. 3.5 ). В этом случае граница L замкнутой области D является ку- сочно гладким простым контуром, а положительное направление обхода соответствует последовательности ABF EA точек этого контура. Отме- тим, что в частном случае каждый из вертикальных отрезков AE и BF может выродиться в точку . Докажем, что в случае, когда замкнутая область, является правиль- ной относительно оси Oy , верно равенство D δP δy dxdy = − L P dx. (3.28) Согласно условиям теоремы, двойной интеграл в левой части этого равенства существует, причем форма области интегрирования позволяет Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 123 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 3.5 свести его к повторному интегралу. Учитывая это, получаем D ∂P ∂y dxdy = b a dx y 2 (x) y 1 (x) ∂P ∂y dy = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 124 из 275 Назад На весь экран Закрыть = b a P (x, y 2 (x))dx − b a P (x, y 1 (x))dx. (3.29) Используя правило вычисления криволинейного интеграла второго рода и его свойство 1 ◦ , заключаем, что b a P (x, y 2 (x))dx = EF P (x, y)dx = − EF P (x, y)dx, b a P (x, y 1 (x))dx = AB P (x, y)dx. Подставляя эти соотношения в ( 3.29 ), находим D ∂P ∂y dxdy = − F E P (x, y)dx − AB P (x, y)dx. Последнее равенство не будет нарушено, если в его правую часть допи- сать со знаком минус интегралы BF P (x, y)dx EA P (x, y)dx, Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 125 из 275 Назад На весь экран Закрыть равные нулю, так как они берутся вдоль отрезков прямых, параллель- ных координатной оси Oy. В итоге будем иметь D ∂P ∂y dxdy = − AB P (x, y)dx − BF P (x, y)dx− − F E P (x, y)dx − |