Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
2 + y 2 = 4 и x 2 − 2x + y 2 = 0 ( 1.5 б)). Свести интеграл G f (x, y)dxdy к повторному. Область G осью y разбивается на три элементарных относительно оси y области. Поэтому G f (x, y)dxdy = 0 −1 dx √ 4−x 2 − √ 4−x 2 f (x, y)dy+ + 1 0 dx √ 4−x 2 √ 2x−x 2 f (x, y)dy + 1 0 dx − √ 2x−x 2 − √ 4−x 2 f (x, y)dy. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 38 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 1.5 Можно, по аналогии с областью, элементарной относительно оси определить область, элементарную относительно оси y . Пусть функции α(y) и β (y) непрерывны на [c, d] и α (y) < β (y) при c < y < d. Область Ω = {(x, y) : α(y) < x < β (y), c < y < d} будем называть элементарной относительно оси x ( 1.6 a)). Если функция f (x, y) непрерывна в замыкании области Ω, элементарной относительно оси x, то аналогично ( 1.23 ) получаем x Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 39 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 1.6 формулу: Ω f (x, y)dxdy = d c dy β(y) α(y) f (x, y)dx Если область Ω элементарна и относительно оси x, и относительно оси y, то двойной интеграл по этой области от непрерывной на Ω функции f (x, y) может быть выражен двумя способами через повторные интегра- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 40 из 275 Назад На весь экран Закрыть лы: Ω f (x, y)dxdy = b a dx ψ(x) φ(x) f (x, y)dy = d c dy β(y) α(y) f (x, y)dx (1.25) Пример 1.6. Вычислить повторный интеграл I = π 2 0 dy π 2 y sin x x dx. Интеграл I равен двойному интегралу от функции f (x, y) = sin x x по области Ω, изображенной на рис. ( 1.6 б)). Эта область элементарна и относительно оси x, и относительно оси y. Пользуясь формулой ( 1.25 ), получаем I = π 2 0 dy π 2 y sin x x dx = π 2 0 dx x 0 sin x x dy = = π 2 0 sin x x x 0 dy dx = π 2 0 sin x x xdx = π 2 0 sin xdx = 1. Пример 1.7. Изменить порядок интегрирования в повторном ин- теграле 4 0 dx 12x 3x 2 f (x, y)dy Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 41 из 275 Назад На весь экран Закрыть Этому повторному интегралу соответствует двойной интеграл с областью интегрирования D = (x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 4, 3x 2 ≤ y ≤ 12x. Замкнутая область D ограничена прямой y = 12x и параболой, заданной уравнением y = 3x (рис. 1.7 ). Прямая и парабола пересекаются в начале координат и в точке A(4; 48). Переменная y изменяется в пределах отрезка [0; 48], а y 12 ≤ x ≤ y 3 Рис. 1.7 2 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 42 из 275 Назад На весь экран Закрыть Таким образом 4 0 dx 12x 3x 2 f (x, y)dy = 4 0 8dy √ y 3 y 12 f (x, y)dx 1.8 Криволинейные координаты на плоскости Пусть в области G ∗ ⊂ R 2 заданы функции x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ G (1.26) осуществляющие отображение области G ∗ на области D ∗ ⊂ R 2 Пред- положим, что это отображение удовлетворяет следующим условиям. 1. Отображение ( 1.26 ) является биекцией (т.е. взаимно однозначно) и имеет обратное отображение u = u(x, y), v = v(x, y), (x, y) ∈ D ∗ (1.27) 2. Функции x(u, v), y(u, v) непрерывно дифференцируемы в G ∗ , при- чем якобиан отображения ( 1.26 ) J (u, v) = D(x, y) D(u, v) = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v (1.28) отличен от нуля в каждой точке (u, v) ∈ G. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 43 из 275 Назад На весь экран Закрыть Второе условие означает, что якобиан отображения в силу непрерыв- ности частных производных функций x(u, v) и y(u, v) в области G ∗ со- храняет в G ∗ знак. По теореме об обратной функции обратное отобра- жение ( 1.27 ) также непрерывно дифференцируемо и имеет ненулевой якобиан. Рассмотрим замкнутую область G ⊂ G ∗ и ее образ D ⊂ D ∗ при отображении ( 1.26 ). В силу непрерывности прямого ( 1.26 ) и обратного ( 1.27 ) отображений множество D замкнуто. Кроме того, между внутрен- ностью intG множества G и внутренностью intD множества D отобра- жение ( 1.26 ) устанавливает взаимно однозначное соответствие. Множе- ство intD, как непрерывный образ линейного связного множества intG, линейно связно, т. е. intD - область. Каждая точка множества D явля- ется предельной точкой его внутренности intD. Действительно, пусть (x 0 ; y 0 ) ∈ D. Выберем произвольную окрестность V ⊂ D ∗ этой точки. Прообраз V при отображении ( 1.26 ) - это окрестность U ⊂ G ∗ точки (u 0 ; v 0 ) ∈ G, являющейся прообразом точки (x 0 ; y 0 ) ∈ D. Так как G - замкнутая область, в окрестности U есть внутренние точки множества G. Им соответствуют точки в V , внутренние для множества D. Все сказанное означает, что множество D - замкнутая область в D ∗ при отображении ( 1.27 ) есть замкнутая область в G ∗ . Таким образом, отображение ( 1.26 ) устанавливает взаимно однозначное соответствие меж- ду замкнутыми областями в G ∗ и замкнутыми областями в D ∗ . Оказыва- ется, что если отображение ( 1.26 ) удовлетворяет условиям 1 и 2 , то образ Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 44 из 275 Назад На весь экран Закрыть любой квадрируемой замкнутой области также является квадрируемой замкнутой областью. Непрерывно дифференцируемое отображение также устанавливает взаимно однозначное соответствие между гладкими (кусочно гладкими) кривыми в G ∗ и гладкими (кусочно гладкими) кривыми в D ∗ . Действи- тельно, пусть кривая Γ в области G ∗ задана параметрическими уравне- ниями u = u(t), v = v(t), t ∈ [α, β]. Тогда ее образ в области D ∗ при отображении ( 1.26 ) будет описываться параметрическими уравнениями x = x(u(t), v(t)), y = y(u(t), v(t)), t ∈ [α, β]. Если кривая Γ гладкая, то функции u(t) и v(t) являются непрерывно дифференцируемыми. В силу непрерывной дифференцируемости отоб- ражения ( 1.26 ) и цепного правила заключаем, что сложные функции x = x(u(t), v(t)), и y = y(u(t), v(t)) непрерывно дифференцируемы, а их производные можно записать в виде dx dt = ∂x ∂u du dt + ∂x ∂v dv dt , dy dt = ∂y ∂u du dt + ∂y ∂v dv dt (1.29) Для гладкой кривой Γ производные du dt и dv dt одновременно не обраща- ются в нуль. Из этого следует, что и производные dx dt , dy dt одновременно Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 45 из 275 Назад На весь экран Закрыть не обращаются в нуль. Действительно, равенства ( 1.29 ) можно рассмат- ривать как систему линейных уравнений относительно du dt , dv dt с правыми частями dx dt , dy dt . Определитель этой системы есть якобиан отображения ( 1.26 ) и не равен нулю. Следовательно, она имеет единственное решение при любых правых частях. Значит, нулевые значения dx dt , dy dt могут соот- ветствовать только нулевым нулевым значениям du dt , dv dt . Иначе говоря, если dx dt , dy dt в некоторой точке одновременно обращаются в нуль, то и du dt , dv dt в некоторой точке кривой Γ одновременно обращаются в нуль. Кусочно гладкую кривую можно представить как объединение конеч- ного числа гладких кривых. Ясно, что образом кусочно гладкой кривой в G ∗ при отображении ( 1.26 ) является кусочно гладкая кривая в D ∗ Поскольку отображение ( 1.27 ), обратное к отображению ( 1.26 ), также непрерывно дифференцируемо, любой гладкой (кусочно гладкой) кри- вой в D ∗ соответствует гладкая (кусочно гладкая) кривая в G ∗ Прямой u = u 0 в области G ∗ соответствует гладкая кривая L в обла- сти D ∗ (рис. 1.8 ), задаваемая параметрическими уравнениями x = x(u 0 , v), y = y(u 0 , v), (u 0 , v) ∈ G (1.30) А прямой u = u 0 отвечает в области D ∗ кривая l, определяемая урав- нениями x = x(u, v 0 ), y = y(u, v 0 ), (u, v 0 ) ∈ G (1.31) Из взаимной однозначности отображения ( 1.26 ) следует, что через каждую точку (x; y) ∈ D ∗ проходят единственная линия вида ( 1.30 ) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 46 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 1.8 и единственная линия вида ( 1.31 ), отвечающие некоторым значениям u = u 0 и v = v 0 . Следовательно, значения u и v можно рассматривать как координаты точки (x; y) области D ∗ . Так как линии ( 1.30 ), ( 1.31 ), отвечающие этим координатам, в общем случае являются кривыми, то значения u и v называют криволинейными координатами в плос- кой области D. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 47 из 275 Назад На весь экран Закрыть 1.9 Замена переменных в двойном интеграле Пусть G ∗ и D ∗ - области в R 2 и отображение ( 1.26 ), переводящее область G ∗ в область D ∗ , удовлетворяет условиям, оговоренным в Рас- смотрим квадрируемую замкнутую область D ⊂ D ∗ и двойной инте- грал от функции f (x, y) с областью интегрирования D ∗ . Задача о за- мене переменных в двойном интеграле состоит в том, чтобы преобра- зовать двойной интеграл от функции f (x, y) по области D в двойной интеграл по области G, переходя в подынтегральном выражении от пе- ременных x, y к переменным u, υ. Теорема 1.8. Пусть отображение x = x(u, υ), y = y(u, υ), (u, υ) ∈ G ∗ , (1.32) взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и отображает об- ласть G ∗ ⊂ R 2 на область D ∗ ⊂ R 2 , причем якобиан J (u, υ) этого отоб- ражения в G ∗ отличен от нулю. Тогда площадь S квадрируемой замкну- той области D ⊂ D ∗ может быть выражена двойным интегралом по ее прообразу G ⊂ G ∗ : S = D dxdy = G |J(u, υ)|dudυ. (1.33) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 48 из 275 Назад На весь экран Закрыть Дадим доказательство этой теоремы не вполне строгое, но зато прозрачное с геометрической точки зрения. Рассмотрим в координатной плоскости uOv прямоугольник N 1 N 2 N 3 N 4 с малыми сторонами ∆u и ∆υ, параллельными координатным осям Ou и Ov (рис. 1.9 ). Этот прямоугольник, имеющий площадь ∆σ = ∆u∆υ, при отображении ( 1.32 ) переходит в криволинейный четырехугольник M 1 M 2 M 3 M 4 в D ∗ . Вершины прямоугольника N 1 N 2 N 3 N 4 , которые мож- но записать в виде N 1 (u; υ), N 2 (u; υ + ∆υ), N 3 (u + ∆u; υ + ∆υ), N 4 (u + ∆u; υ), Рис. 1.9 при отображении ( 1.33 ) преобразуются в точки M 1 (x, y), M i (x + ∆x i ; y + ∆y i ), i = 2, 3, 4. (1.34) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 49 из 275 Назад На весь экран Закрыть Пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка по сравне- нию с ∆u и ∆υ, приближенно получаем ∆x ≈ dx = ∂x ∂u ∆u + ∂x ∂υ ∆υ, ∆y ≈ dy = ∂y ∂u ∆u + ∂y ∂υ ∆υ, (1.35) где все производные вычислены в точке (u, υ) ∈ G ∗ Точки M 2 и M 4 лежат на линиях u=const и υ=const соответственно, и поэтому для точки M 2 имеем ∆u = 0, а для точки M 4 − ∆υ = 0. Учитывая ( 1.35 ), записываем ∆x 2 ≈ ∂x ∂υ ∆υ, ∆y 2 ≈ ∂y ∂υ ∆υ; ∆x 3 ≈ ∂x ∂u ∆u + ∂x ∂υ ∆υ, ∆y 3 ≈ ∂y ∂u ∆u + ∂y ∂υ ∆υ; ∆x 4 ≈ ∂x ∂u ∆u, ∆y 4 ≈ ∂y ∂υ ∆u. Используя ( 1.34 ), заключаем, что −−−→ M 1 M 4 = {∆x 4 ; ∆y 4 } ≈ { ∂x ∂u ∆u; ∂y ∂u ∆u}, −−−→ M 2 M 3 = {∆x 3 − ∆x 2 ; ∆y 3 − ∆y 2 }; ≈ { ∂x ∂u ∆u; ∂y ∂u ∆u}, где все производные вычислены в точке (u; υ). Отсюда следует, что векторы −−−→ M 1 M 4 и −−−→ M 2 M 3 коллинеарны и равны по длине. Следовательно, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка по сравнению Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 50 из 275 Назад На весь экран Закрыть с ∆u и ∆υ можно четырехугольник M 1 M 2 M 3 M 4 приближенно считать параллелограммом, а его площадь считать равной длине векторного про- изведения векторов −−−→ M 1 M 4 и −−−→ M 1 M 2 . Учитывая значения координат век- торов в системе координат Oxy, находим ∆S ≈ | −−−→ M 1 M 4 × −−−→ M 1 M 2 | = det ∂x ∂u ∆u ∂y ∂u ∆u ∂x ∂υ ∆υ ∂x ∂υ ∆υ = = det ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂υ ∂x ∂υ ∆u∆υ = |J (u, υ) |∆u∆υ. (1.36) Рассматривая разбиение замкнутой области G прямыми, параллель- ные координатным осям Ou и Ov, на прямоугольники с малыми сто- ронами и пренебрегая "неправильными"элементами у ее границы ∂G, в результате отображения ( 1.32 ) получаем разбиение области D ⊂ D ∗ на криволинейные четырехугольники рассмотренного вида. Суммируя по- лученные выражения для площадей этих четырехугольников, приходим к ( 1.33 ). Замечание 1.4. Выражение ∆S = |J (u, υ) |∆u∆υ, (1.37) входящее в ( 1.36 ), обычно называют элементом площади в криво- линейных координатах. Если произведение ∆u∆υ рассматривать как Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 51 из 275 Назад На весь экран Закрыть элемент ∆σ площади в координатах u и υ, то ( 1.37 ) можно переписать в виде ∆S = |J (u, υ) |∆σ, откуда |J (u, υ) | = ∆S/∆σ, т.е. абсолютная ве- личина якобиана отображения играет роль коэффициента растяжения элемента площади в окрестности точки (u, υ) при заданном отображе- нии ( 1.32 ). Замечание 1.5. В теореме 1.8 предполагалось, что отображение ( 1.26 ) области G ∗ на область D ∗ является взаимно однозначным. Од- нако выражение ( 1.33 ) для площади в криволинейных координатах оста- ется в силе и в том случае, если это условие нарушено в отдельных точках или вдоль отдельных линий. Рассмотрим в качестве примера отображение прямоугольника G = {(r, ϕ) ∈ R 2 : r ∈ [0, a], ϕ ∈ [0, 2π]} на круг при помощи отображения x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, (1.38) которое соответствует введению на плоскости xOy полярных ко- ординат. Это отображение не удовлетворяет условиям теоремы 1.8 , так как в любой области, содержащей G, отображение ( 1.38 ) не яв- ляется взаимно однозначным. Тем не менее в данном случае формула ( 1.33 ) верна. Покажем это. Пусть область G ∗ ⊂ R 2 задана неравенствами 0 < r < a+δ, 0 < ϕ < 2π, а замкнутая область G - неравенствами δ ≤ r ≤ a, δ ≤ ϕ ≤ 2π −δ. Тогда G ⊂ G ∗ , при отображении ( 1.38 ) область G ∗ переходит в об- ласть D ∗ , представляющую собой круг радиуса a с разрезом по радиусу, Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 52 из 275 Назад На весь экран Закрыть а замкнутая область G - в замкнутую область D , получающуюся из замкнутого круга радиуса a с центром в начале координат выбрасыва- нием круга радиуса δ < a с тем же центром и сектора с централь- ным углом 2δ (рис. 1.10 ). На основании теоремы 1.8 для площади S δ замкнутой области D , можно записать формулу ( 1.33 ). Переходя к пределу при δ → 0, заключаем, что формула ( 1.33 ) остается верной и для прямоугольника G. Рис. 1.10: Пример 1.8. Вычислим якобиан отображения x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, соответствующего полярным координатам на плоскости: J (r, ϕ) = ∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂y ∂r ∂y ∂ϕ = cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 53 из 275 Назад На весь экран Закрыть Якобиан этого отображения отличен от нуля всюду, кроме полюса полярной системы координат (r = 0), совпадающего с началом пря- моугольной системы координат (x = y = 0). Следовательно, в соот- ветствии с ( 1.37 ), элемент площади в полярных координатах равен S = r r ϕ. Перейдем теперь к выводу общей формулы замены переменных в двойном интеграле, а именно докажем следующее утверждение. Теорема 1.9. Пусть отображение ( 1.32 ) взаимно однозначно, непре- рывно дифференцируемо и отображает область G ∗ ⊂ R 2 , причем яко- биан J (u, v) этого отображения в G ∗ отличен от нуля. Если D ⊂ D ∗ - квадрируемая замкнутая область и f (x, y) - функция, непрерывная в D или же ограниченная в D и непрерывная в D всюду, кроме некото- рого множества площади нуль, то верна следующая формула замены переменных в двойном интеграле: D f (x, y)dxdy = D f (x(u, v), y(u, v))|J (u, v)|dudv. (1.39) Рассмотрим разбиение замкнутой области G на n частичных об- ластей G i с площадями σ i |