Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
dx + dy 1 = (x + y)| D(0;−1) C(−1;0) = −1 − (−1) = 0. Отрезок DA лежит в четвертой четверти на прямой x − y = 1, здесь x положителен, y отрицателен, в силу чего |x| + |y| = x − y = 1, тогда DA = DA dx + dy = (x + y)| A(1;0) D(0;−1) = 1 − (−1) = 2 Итак, ABCDA dx + dy |x| + |y| = 0 − 2 + 0 + 2 = 0. Пример 5.19. Вычислить криволинейный интеграл второго рода с помощью формулы Грина Γ (x + y) 2 dx − (x 2 + y 2 )dy, где (Γ) - контур треугольника с вершинами A(1; 1), B(3; 2), C(2; 5) в положительном направлении. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 262 из 275 Назад На весь экран Закрыть Решение. Преобразуем данный криволинейный интеграл с помощью формулы Грина (Γ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (D) ( ∂Q(x, y) ∂x ) − ∂P (x, y) ∂y dxdy к двойному интегралу. В нашем случае P (x, y) = (x, y) 2 , Q(x, y) = −(x 2 +y 2 ), ∂P ∂y = 2(x, y), ∂Q ∂x = −2x Следовательно, (Γ) (x+y) 2 dx−(x 2 +y 2 )dy = (D) (−2x−2(x+y))dxdy = (D) (−4x−2y)dxdy, где (D) - треугольник ABC, изображенный на рисунке 5.10 Сторона треугольника AB имеет уравнение x−1 3−1 = y−1 2−1 или y = x 2 + 1 2 Сторона треугольника BC имеет уравнение x−2 3−2 = y−5 2−5 или y = −3x + 11. Наконец, сторона CA имеет уравнение x−1 2−1 = y−1 5−1 , откуда y = 4x − 3 Разобьем область (D) на две области D 1 и D 2 прямой x = 2. То- гда получим D (−4x − 2y)dxdy = (D 1 ) + (D 2 ) = 2 1 dx 4x−3 x+1 2 (−4x − 2y)dy + 3 2 dx −3x+11 x+1 2 (−4x−2y)dy = 2 1 (−4xy −y 2 ) 4x−3 x+1 2 dx+ 3 2 (−4xy −y 2 ) −3x+11 x+1 2 dx = 2 1 (−4x(4x−3)−(4x−3) 2 +4x x+1 2 +( x+1 2 ) 2 )dx+ 3 2 (−4x(−3x+11)−(−3x+ Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 263 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 5.10 11) 2 +4x x+1 2 + (x+1) 2 4 )dx = 2 1 (− 119 4 x 2 + 77 2 x− 35 4 )dx+ 3 2 ( 21 4 x 2 + 49 2 x− 483 4 )dx = (− 119 4 x 3 3 + 77x 2 4 − 35 4 x) 2 1 +( 21x 3 12 + 49x 2 4 − 483 4 x) 3 2 = −46 2 3 Пример 5.20. Найти работу поля F = (4x − 5y; 2x + y) вдоль дуги AB кривой Γ, где Γ - ломаная AQB, где A = (1; −9), B = (3; −3), Q = (3; −9). По условию задачи P (x, y) = 4x − 5y, Q(x, y) = 2x + y. По формуле для вычисления работы силового поля A = (Γ) P dx + Qdy имеем: A = AQB (4x − 5y)dx + (2x + y)dy = AQ (4x − 5y)dx + (2x + y)dy + QB (4x − 5y)dx + (2x + y)dy. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 264 из 275 Назад На весь экран Закрыть Точки A и Q соединяет прямая y = −9. Следовательно, dy = 0 и AQ (4x − 5y)dx + (2x + y)dy = 3 1 (4x + 45)dx = (4 x 2 2 + 45x) 3 1 = 2 · 9 + 135 − 2 − 45 = 106. Точки Q и B соединяет прямая x = 3. Следовательно, dx = 0 и QB (4x−5y)dx+(2x+y)dy = −3 −9 (6+y)dy = (6y+ y 2 2 ) −3 −9 = −18+ 9 2 +54− 81 2 = 0. Таким образом, работа A = AQB (4x − 5y)dx + (2x + y)dy = 106. Замечание 5.3. Если установлено, что криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования, а именно выпол- нены условия: функции P (x, y) и Q(x, y) вместе со своими частными производными ∂P ∂y , ∂Q ∂x , непрерывны, причем ∂P ∂y = ∂Q ∂y , то его вычисле- ние можно значительно упростить , выбирая соответствующим об- разом путь интегрирования, а именно удобно вычислить по отрезкам, параллельным осям координат. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 265 из 275 Назад На весь экран Закрыть ГЛАВА 6 Приложение 6...1 Приложение двойных и тройных интегралов 6.1...1 Двойные интегралы 1. Площадь плоской фигуры S = D dxdy 2. Вычисление площадей поверхностей S: 1 ◦ Q = D 1 + ( ∂z ∂x ) 2 + ( ∂z ∂y ) 2 dxdy, если S : z = f (x, y), (x, y) ∈ D; 2 ◦ . Q = D 1 + ( ∂y ∂x ) 2 + ( ∂y ∂z ) 2 dzdx, если y = f (x, z), (x, z) ∈ D; 3 ◦ . Q = D 1 + ( ∂x ∂y ) 2 + ( ∂x ∂z ) 2 dydz, если S : z = f (y, z), (y, z) ∈ D 3. Вычисление массы материальной пластинки. m = D ρ(x, y)dxdy, где ρ(x, y) — поверхностная плотность пластинки в точке M = (x, y). Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 266 из 275 Назад На весь экран Закрыть 4. Вычисление статических моментов и координат центра масс материальной пластинки ζ(x 0 , y 0 ): x 0 = D xρ(x,y) D ρ(x,y) , y 0 = D yρ(x,y) D ρ(x,y) M x = x 0 = D yρ(x, y), M x = x 0 = D xρ(x, y)— статические моменты пластинки D относительно осей O x и O y соответственно. 5. Вычисле- ние моментов инерции материальной пластинки I x = D y 2 ρ(x, y)dxdy, I η = D y 2 ρ(x, y)dxdy. 6.1...2 Тройные интегралы 1. Вычисление объемов тел V = V dxdydz 2. Вычисление массы тела m = V ρ(x, y, z)dxdydz, где ρ(x, y, z) — объемная плотность. 3. Вычисление координат центра масс тела x 0 = V ρ(x, y, z)xdxdydz V ρ(x, y, z)dxdydz , y 0 = V ρ(x, y, z)ydxdydz V ρ(x, y, z)dxdydz , z 0 = V ρ(x, y, z)zdxdydz V ρ(x, y, z)dxdydz , dxdy dxdy dxdy dxdy Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 267 из 275 Назад На весь экран Закрыть где M OY Z = V ρ(x, y, z)xdxdydz, M XOZ = V ρ(x, y, z)ydxdydz, M XOY = V ρ(x, y, z)zdxdydz статические моменты тела относительно координат плоскостей. 4. Вычисление моментов инерции тел. I 0 = V ρ(x, y, z)(x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz; I x = V ρ(x, y, z)(y 2 + z 2 )dxdydz; I η = V ρ(x, y, z)(x 2 + z 2 )dxdydz; I z = V ρ(x, y, z)(x 2 + y 2 )dxdydz; I XOY = V ρz 2 dxdydz; Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 268 из 275 Назад На весь экран Закрыть I XOZ = V ρy 2 dxdydz; I Y OZ = V ρx 2 dxdydz. 6...2 Приложение криволинейных интегралов 6.2...1 Криволинейные интегралы первого рода 1. Вычислить длину дуги кривой AB: L = AB dl, где dl — дифферен- циал дуги. 2. Вычисление массы кривой AB: m = AB ρ(M )dl, где ρ(M ) — линей- ная плотность вещества в точке M дуги AB. 3. Координаты центра тяжести плоской кривой AB: x 0 = AB xρ(M )dl AB ρ(M )dl , y 0 = AB yρ(M )dl AB ρ(M )dl , M x = AB yρ(M )dl, M y = AB xρ(M )dl — статические моменты кривой относительно координатных осей. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 269 из 275 Назад На весь экран Закрыть 6.2.2 Криволинейные интегралы второго рода 1. Площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой γ в плоскости xOy: S = 1 2 γ −ydx + xdy. 2. Работа, совершаемая силой − → a (P, Q, R) при перемещении точки по дуге AB из точки A к точке B: A = AB P dx + Qdy + Rdz, где P, Q и R — проекции силы − → a на координатные оси. 3. Восстановление функции U (x, y) по ее полному дифференциалу. P dx + Qdy = du(x, y), где du(x, y) — полный дифференциал функции ⇐⇒ ∂P ∂y = ∂Q ∂x . U (x, y) = x,y x 0 ,y 0 P dx + Qdy = x x 0 P (x, y 0 )dx + y y 0 Q(x, y)dy Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 270 из 275 Назад На весь экран Закрыть 6...3 Приложение поверхностных интегралов 6.3...1 Поверхностный интеграл первого типа 1. Вычисление площади поверхности Q = S dS. 2. Вычисление массы поверхности S: m = S ρ(x, y)dS, где ρ(x, y) — поверхностная плотность поверхности S. 6.3...2 Поверхностный интеграл второго типа 1. Вычисление потока векторного поля через поверхность: Π = S P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy, Π = S (− → a − → n )dS, где − → a = (P, Q, R), − → n = (cosα, cosβ, cosγ) - вектор нормали к поверхно- сти S. 2. Выполнение циркуляции векторного поля вдоль контура γ: Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 271 из 275 Назад На весь экран Закрыть Ц= γ P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = = S (( ∂R ∂y − ∂Q ∂z )cosα + ( ∂P ∂z − ∂R ∂x )cosβ + ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )cosγ)dS = = S cosα cosβ cosγ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q R ds или Ц= S (rot− → a − → n )dS Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 272 из 275 Назад На весь экран Закрыть 2. : 1. ) ; ) 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. S R 3 ( ) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 273 из 275 Назад На весь экран Закрыть 12. 13. 14. - 15. 16. - Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 27 4 из 275 Назад На весь экран Закрыть Литература 1. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев.- М.,1981. Ч.I-II. 2. Тер-Крикоров, А.М. Курс математического анализа / А.М. Тер- Крикоров, М.И.Шабунин.-М.:МФТИ,2000.-720 c. 3. Зорич, В.А. Математический анализ: в 2 ч. / В.А. Зорич.-М.: Фазис, 1997. Ч.1-2. 4. Ильин, В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, З.Г. Позняк. - М., 1982. Т. 1-2.-612 с. 5. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа / Г.М. Фихтенгольц. - М., 1967. Т. 1-2. 6. Колмагоров, А.Н. Элементытеории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М., 1981. 7. Будак, Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1967. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 27 5 из 275 Назад На весь экран Закрыть 8 . Виноградова, И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу: в 2 ч. / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий; под ред. В.А. Содовничего. - 3-е изд. - М.: Дрофа, . 9 . Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике: Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля: Учебное пособие / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общ. ред. А.П. Рябушко. - 2-е изд., перераб. - Мн.: Выш. шк., 2004. - 367 с.: ил. 10, вaренков, . . урс мaтемaтического aнaлизa/ . . вaренков, . . aллер.- ., .1,1966. .2,1976. 11. ило, . . aтемaтический aнaлиз. еория пределa. ифферин- циaльное и интегрaльное исчисление /учебное пособие/ . . ило.- рест. здaтельство р , 2007.-216 12, aврилов, . ., вaновa, . ., орозовa, . . рaтные и криволи- нейные интегрaлы. лементы теории поля. здaтельство имени . . aумaнa. 105005, осквa. 2003.-493с |