Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
Страница 18 из 275 Назад На весь экран Закрыть положение о неограниченности функции f и доказывает утверждение теоремы. Замечание 1.1. Ограниченность функции в замкнутой области яв- ляется лишь необходимым условием ее интегрируемости в этой об- ласти, но недостаточным. Покажем это на примере. Рассмотрим функцию X (x, y) = 1, если x и y являются рациональными числами, 0, если x и y иррациональные числа, определенную на множестве D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 x 1, 0 y 1}. Для такой функции не существует предела интегральных сумм. Дей- ствительно, если для любого разбиения P = {D 1 , . . . , D n } квадрата D выбирать в частичных областях D i точки (ξ i , η i ) с рациональными зна- чениями координат, то любая интегральная сумма примет вид σ(P ) = n i=1 X (ξ i , η i ) ∆S i = n i=1 1 · ∆S i = S D , Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 19 из 275 Назад На весь экран Закрыть где S D - площадь квадрата D. Но тогда при стремлении диаметра раз- биения к нулю предельное значение таких интегральных сумм равно S D Если же в частичных областях D i выбирать точки (ξ i , η i ) с иррациональ- ными значениями координат, то любая интегральная сумма будет равна нулю, поэтому и предельное значение таких интегральных сумм равно нулю. Это говорит о том, что множество всех интегральных сумм не имеет предела при стремлении диаметра разбиения к нулю, а функция X (x, y) не является интегрируемой в квадрате D. Для того, чтобы установить условия, при которых функция f (x, y) интегрируема в квадрируемой замкнутой области D ⊂ R 2 , введем ниж- нюю и верхнюю суммы Дарбу. Если P = {D 1 , . . . , D n } - некоторое раз- биение D на области D i с площадями ∆S i , i = 1, n, а m i и M i - точ- ные нижняя и верхняя грани функции f (x, y) в D i , то нижняя и верх- няя суммы Дарбу для функции f (x, y), соответствующие разбиению P , определяются равенствами s (P ) = n i=1 m i ∆S i (1.5) S (P ) = n i=1 M i ∆S i Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 20 из 275 Назад На весь экран Закрыть Для сумм Дарбу, как и в случае действительной функции одного дей- ствительного переменного, верны следующие свойства. 1. Для любого разбиения P интегральная сумма σ (P ) при любом выборе точек (ξ i , η i ) в частичных областях удовлетворяет неравен- ствам s (P ) ≤ σ (P ) ≤ S (P ) . (1.6) 2. Для заданного разбиения P области D верхняя S (P ) и нижняя s (P ) суммы Дарбу являются соответственно точной верхней и точ- ной нижней гранями множества интегральных сумм, отвечающих разбиению P и произвольном выборе точек (ξ i , η i ) в частичных об- ластях, т.е. s (P ) = inf (ξ i ,η i )∈D i n i=1 f (ξ i , η i ) ∆S i , (1.7) S (P ) = sup (ξ i ,η i )∈D i n i=1 f (ξ i , η i ) ∆S i 3. Для любых разбиений P и P области D верны неравенства s P ≤ S P , s P ≤ S P , Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 21 из 275 Назад На весь экран Закрыть т.е. для данной функции f (x, y) любая верхняя сумма Дарбу не меньше любой нижней суммы Дарбу. Из последнего свойства следует, что множество всех верхних сумм Дарбу данной функции имеет точную нижнюю грань I ∗ , а множество всех нижних сумм Дарбу - точную верхнюю грань I ∗ , т.е. I ∗ = inf S (P ) , I ∗ = sup s (P ) . Отметим, что для любого разбиения P s (P ) ≤ I ∗ ≤ I ∗ ≤ S (P ) . (1.8) Числа I ∗ и I ∗ называют соответственно нижним и верхним интегра- лами Дарбу от функции f (x, y) в D. Рассмотренные свойства сумм Дарбу позволяют установить критерий интегрируемости функций f (x, y) в области D. Теорема 1.3. Для того, чтобы ограниченная в квадрируемой за- мкнутой области D функция f (x, y) была интегрируема в D, необхо- димо и достаточно, чтобы в D совпадали ее нижний I ∗ и верхний I ∗ интегралы Дарбу, т.е. I ∗ = I ∗ (1.9) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 22 из 275 Назад На весь экран Закрыть Следствие 1.1. Для того, чтобы ограниченная в квадрируемой об- ласти D функция f (x, y) была интегрируема в D, необходимо и до- статочно, чтобы lim d(P )→0 (S (P ) − s (P )) = 0 (1.10) или lim d(P )→0 n i=1 ω i ∆S i = 0, (1.11) где ω i = M i − m i , i = 1, n - колебание функции f (x, y) в областях D i разбиения P , а ∆S i - площади частичных областей. 1.4 Классы интегрируемых функций Теорема 1.4. Всякая непрерывная в квадрируемой замкнутой обла- сти D ⊂ R 2 функция f(x,y) интегрируема в D. Поскольку область D является компактом, а функция f(x,y) непре- рывная в D, то она ограничена и равномерно непрерывна в D. Поэтому для любого числа ε > 0 существует такое число δ(ε) > 0, что для любо- го разбиения P = D 1 , ..., D n c диаметром d(P ) < δ колебание функции Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 23 из 275 Назад На весь экран Закрыть f(x,y) w i в каждой частичной области D 1 удовлетворяет неравенству w i < ε S n , i = 1, n, где S - площадь D. Для каждого разбиения имеем n i=1 w i S i < ε S n i=1 S i = ε S ∗ S = ε, т.е lim d(p)→0 n i=1 w i S i = 0 Согласно следствию 1.1 функция f(x,y) интегрируема в D. Приведем без доказательства теорему, имеющее важное значение при решении задач. Теорема 1.5. Если функция f(x,y) ограничена в квадрируемой за- мкнутой области D и непрерывна в D всюду, кроме точек некоторого множества площади (меры) нуль, то эта функция интегрируема в D. 1...5 Свойства двойного интеграла Поскольку все переменные свойства доказываются так же, как и со- ответствующие свойства определенного интеграла, то эти свойства не будут обосновываться подробными доказательствами. Свойство 1.1. Если D имеет площадь S, то существует двойной интеграл D dxdy = S. D dxdy = lim d(p)→0 n i=1 1 S i = S, где 1 ≡ f (x, y) в области D. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 24 из 275 Назад На весь экран Закрыть Пример 1.1. Найти среднее значение функции f (x, y) = R 2 − x 2 − y 2 в замкнутом круге D = {(x; y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ R 2 } и точку (x 0 , y 0 ) ∈ D, в которой достигается это значение. Решение. Графиком функции z = f(x, y) в D является полусфера радиуса R с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат Oxyz (рис. 1.2 ) Рис. 1.2 Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 25 из 275 Назад На весь экран Закрыть Двойной интеграл I = D f (x, y)dxdy = D R 2 − x 2 − y 2 dxdy равен объему V полушара радиуса R, т.е I = 2πR 3 3 , а площадь S области интегрирования D равно площади круга того же радиуса, т.е S = πR 2 Согласно равенству D f (x, y)dxdy = f (x 0 , y 0 )S где S - площадь области интегрирования, имеем M = f (x 0 , y 0 ) = V S = 2R 3 Свойство 1.2. (Линейность двойного интеграла). Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D, то их линейная комбинация αf (x, y)+ βg(x, y), где α, β ∈ R - произвольные константы, также интегрируе- ма в D, причем D (αf (x, y) + βg(x, y))dxdy = α D f (x, y)dxdy + β D g(x, y)dxdy (1.12) , Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 26 из 275 Назад На весь экран Закрыть Свойство 1.3. Если f (x, y) ≥ 0 и f(x,y) - интегрируема в области D, то D dxdy ≥ 0 Свойство 1.4. Если функции f(x,y) и g(x,y) - интегрируемы в области D и f (x, y) ≥ g(x, y), (x, y) ∈ D, то D f (x, y)dxdy ≥ D g(x, y)dxdy Свойство 1.5. (Об оценке двойного интеграла по модулю). Если функция f(x,y) интегрируема в D, то функция |f (x, y)| также интегрируема в D, причем | D f (x, y)dxdy| ≤ D f (x, y)dxdy (1.13) Свойство 1.6. (Об оценке двойного интеграла). Пусть функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в D и удовлетворяют в D неравенствам m ≤ f (x, y) ≤ M , g(x, y) ≥ 0 Тогда m D g(x, y)dxdy ≤ D f (x, y)g(x, y)dxdy ≤ M D g(x, y)dxdy (1.14) Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 27 из 275 Назад На весь экран Закрыть Замечание 1.2. Если в свойстве 6 положить g(x, y) ≡ 1, то двой- ное неравенство (1.13) примет вид mS ≤ D f (x, y)dxdy ≤ M S, (1.15) где S - площадь замкнутой области D. Свойство 1.7. (О среднем значении для двойного интеграла). Если функция f(x,y) непрерывна в квадрируемой замкнутой области D, то в D существует такая точка (x 0 , y 0 ), что D f (x, y)dxdy = f (x 0 , y 0 )S, (1.16) где S - площадь области D. 1...6 Вычисление двойного интеграла Теорема 1.6. Пусть: 1. Функция f (x, y) интегрируема в прямоугольнике P = f (x, y): {a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d} 2. интеграл d c f (x, y)dy существует для любого x ∈ [a, b]. Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 28 из 275 Назад На весь экран Закрыть Тогда d c f (x, y)dy есть интегрируемая функция x на отрезке [a, b] и справедлива следующая формула: P f (x, y)dxdy = b a dx d c f (x, y)dy (1.17) Доказательство Возьмем произвольные разбиения отрезков [a, b] и [c, d] точками x 0 = a < x 1 < · · · < x n = b и y 0 = c < y 1 < · · · < y m = d. Если p 1 , . . . , p n и p , 1 , . . . , p , m соответствующие промежутки , образующие разбиения [a, b] и [c, d], то P = n i=1 m j=1 P ig , где P ij = {x, y) : x ∈ p i , y ∈ p j }. Положим M ij = sup (x,y)∈P ij F (x), m ij = inf (x,y)∈P ij F (x). Так как d c f (x, y)dy существует для любого x ∈ [a, b], то при x ∈ p i справедливы неравенства m ij ∆y j ≤ y j y j−1 f (x, y)dy ≤ M ij ∆y j . где ∆y j = y j − y j−1 Суммируя эти неравенства по индексу j , получим Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 29 из 275 Назад На весь экран Закрыть m j=1 m ij ∆y j ≤ d c f (x, y)dy ≤ m j=1 M ij ∆y j (1.18) Введем следующие обозначения: F (x) = d c f (x, y)dy, M i = sup x∈p j , F (x),m i = inf F (x) x∈p i Тогда из ( 1.18 ) следует, что m j=1 m ij ∆y j ≤ m i ≤ M i ≤ m j=1 M ij ∆y j (1.19) 0 ≤ M i − m i ≤ m j=1 (M ij − m ij )∆y j (1.20) Умножая неравенство ( 1.20 ) на ∆x i и суммируя по i от 1 до n, получа- ем 0 ≤ (M i − m i )∆x i ≤ n i=1 m j=1 (M ij − m ij )m(p ij ) = S T (f, P ) − x T (f, P ) → 0, так как функция f (x, y) интегрируема на промежутке P . Но тогда и n i=1 (M i − m i )∆x i → 0 при |∆x i | → 0 и, следовательно, в силу критерия интегрируемости функции f (x) интегрируема на отрезке [a, b], т.е. повторный интеграл Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 30 из 275 Назад На весь экран Закрыть b a F (x)dx = b a d c f (x, y)dy существует. Покажем, что он равен двойному интегралу. Интегрируя неравенство ( 1.18 ) , получаем m j = 1 m ij ∆x i ∆y j ≤ x i x i−1 dx d c f 9x, y)dy ≤ m j=1 M ij ∆x i y j Проведем суммирование по i и по j от 1 до n.Получаем s T ≤ b a F (x)dx ≤ S T Так как s T ≤ P f (x, y)dxdy ≤ S T , а разность S T − s T может быть сделана сколь угодно малой, то P f (x, y)dxdy = b a dx d c f (x, y)dy. Следствие 1.2. Пусть существует P f (x, y)dxdy, при каждом x ∈ [a, b] существует d c f (x, y)dxdy и при каждом y ∈ [c, d] существует b a f (x, y)dx. Тогда справедлива формула Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 31 из 275 Назад На весь экран Закрыть P f (x, y)dxdy = b a dx d c f (x, y)dy = d c dy f (x, y)dx (1.21) Следствие 1.3. Пусть функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике P . Тогда выполнены все условия предыдущего следствия и справедлива формула ( 1.21 ) Пример 1.2. Для вычисления двойного интеграла от функции f (x, y) = x (1 + x 2 + y 2 ) 3/2 по области интегрирования D = {(x, y) ∈ R 2 :x ∈ [0, 2], y ∈ [1, 2]} целесообразно применить формулу D f (x, y)dxdy = d c dy b a f (x, y)dx xdxdy (1+x 2 +y 2 ) 3/2 = 2 1 dy 2 0 xdx (1+x 2 +y 2 ) 3/2 = − 2 1 1 √ 1+x 2 +y 2 2 0 dy = 2 1 1 √ 1+y2 − 1 √ 5+y 2 dy = ln y+ √ 1+y 2 y+ √ 5+y 2 = ln 2+ √ 5 5 −ln 1+ √ 2 1+ √ 6 = ln (2+ √ 5)(1+ √ 6) 5(1+ √ 2) D Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 32 из 275 Назад На весь экран Закрыть Замечание 1.3. Рассмотрим двойной интеграл от функции f (x, y) по прямоугольнику D. Предположим, что у подынтегральной функции переменные разделяются, т. е. она имеет вид f (x, y) = h(x)g(y), (x; y) ∈ D. Тогда при сведении двойного двойного интеграла к повторному мы фак- тически приходим к произведению двух определенных интегралов: h(x)g(y)dxdy = b a h(x) d g(y)dy dx = d c g(y)dy b a h(x)dx . Этот эффект вызван тем обстоятельством, что в повторном интеграле внутренний определенный интеграл d c g(y)dy не зависит от x и, как чис- ловой множитель , может быть вынесен за пределы внешнего интеграла. Пример 1.3. Для двойного интеграла от функции f (x, y) = x 2 √ 1−y 2 по прямоугольнику :D = {(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ √ 2 2 } имеем D x 2 √ 1−y 2 dxdy = 2 1 x 2 dx √ 2 2 0 dy √ 1−y 2 = x 3 3 | 2 1 arcsin y| √ 2 2 0 = 13π 6 ) C D Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 33 из 275 Назад На весь экран Закрыть 1...7 Сведение двойного интеграла по элементарной области к повторному Пусть φ(x) и ψ(x) - непрерывные на отрезке [a, b] функции и φ(x) < (x) при x ∈ (a, b). Область (рисунок 1.3 ) Рис. 1.3 Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 34 из 275 Назад На весь экран Закрыть Ω = {(x, y) : φ(x) < y < ψ(x), a < x < b} (1.22) будем называть элементарной относительно оси y. Так как граница ∂Ω состоит из графиков непрерывных функций , то Ω - измеримая по Жор- дану область. Рис. 1.4 Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 35 из 275 Назад На весь экран Закрыть Теорема 1.7. Пусть Ω - элементарная относительно оси y об- ласть, функция f (x, y) интегрируема на Ω, где Ω = Ω ∪ ∂Ω, и при любом x ∈ [a, b] существует (x) φ(x) f (x, y)dy . Тогда справедлива следую- щая формула Ω f (x, y)dxdy = b a dx (x) φ(x) f (x, y)dy (1.23) Доказательство Пусть c = min x∈[a,b] φ(x), d = max y x∈[a,b] (x). Область Ω ( рисунок 1.4 ) лежит в прямоугольнике Π = [a, b] × [c, d]. Положим F (x, y) = f (x, y), (x, y) ∈ Ω, 0, (x, y) ∈ Π \ Ω. (1.24) Так как функция интегрируема на Ω и на множестве Π \ Ω , то ществует двойной интеграл Π F (x, y)dxdy. Аналогично из существования при любом x ∈ [a, b] интегралов Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 36 из 275 Назад На весь экран Закрыть φ(x) c F (x, y)dy, ψ(x) φ(x) F (x, y)dy и d ψ(x) F (x, y)dy следует , что при любом x ∈ [a, b] существует интеграл d c F (x, y)dy Таким образом выполнены все условия теоремы ( 1.6 ). Поэтому Π F (x, y)dxdy = b a dx d c F (x, y)dy Подставляя сюда выражение ( 1.24 ) для функции F (x, y) получаем формулу ( 1.23 ). Следствие 1.4. Для функции f (x, y), непрерывной на Ω, справедли- ва формула ( 1.23 ). Пример 1.4. Вычислить интеграл G x 2 dxdy по области G = {(x, y) : −1 < x < 1, x 2 < y < 1}, изображенной на рисунке ( 1.5 a)). Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 37 из 275 Назад На весь экран Закрыть Применяя формулу ( 1.23 ), получаем G x 2 dxdy = 1 −1 dx 1 x 2 x 2 dy = = 1 −1 x 2 (1 − x 2 )dx = 2 1 0 x 2 − x 4 dx = 2( 1 3 − 1 5 ) = 4 15 Если область интегрирования не является элементарной относитель- но оси y, то иногда удается разбить ее на конечное число областей, эле- ментарных относительно оси y. Пример 1.5. Пусть G есть область, ограниченная окружностями x |