Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
, i = i, n. Образы D i частичных областей G i , i = 1, n, при отображении ( 1.32 ) образуют разбиение замкнутой об- ласти D. В каждой частичной области D i , площадь которой обозначим Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 54 из 275 Назад На весь экран Закрыть через S i , выберем произвольную точку (ξ i ; η i ) и составим интеграль- ную сумму n i=1 f (ξ i , η i ) S i (1.40) для функции f (x, y), отвечающую двойному интегралу в левой части ( 1.39 ). Для каждой из частичных областей в соответствии с ( 1.33 ) имеем S i = G i |J(u, v)|dudv, i = 1, n. Согласно свойству 1.7 о среднем значении для двойного интеграла, в частичной области G i найдется точка (u ∗ i , v ∗ i ) ∈ G i , для которой спра- ведливо равенство S i = |J (u ∗ i , v ∗ i )| σ i . Так как в ( 1.40 ) выбор точек (ξ i , η i ) ∈ D i , i = 1, n, произволен, то можно положить ξ i = x(u ∗ i , v ∗ i ) и η i = y(u ∗ i , v ∗ i ). Тогда ( 1.40 ) примет вид n i=1 f (ξ i , η i ) S i = n i=1 f (x(u ∗ i , v ∗ i ), y(u ∗ i , v ∗ i ))|J (u ∗ i , v ∗ i )| σ i , (1.41) а это есть интегральная сумма, отвечающая двойному интегралу в пра- вой части ( 1.39 ). Этот интеграл существует, поскольку подынтеграль- ная функция ограничена в G и непрерывна всюду, кроме, быть может, множества площади нуль. Если теперь диаметр разбиения замкнутой Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 55 из 275 Назад На весь экран Закрыть области G устремить к нулю, то в силу равномерной непрерывности отображения x = x(u, v), y = y(u, v) в G диаметр разбиения замкнутой области D также будет стремиться к нулю. При этом ( 1.41 ) перейдет в ( 1.39 ). Замечание 1.6. Замену переменных в двойном интеграле (как и в определенном интеграле) применяют для приведения его к виду, более удобному для вычисления. Однако в случае двойного интеграла, исполь- зуя замену переменных, стремятся упростить не только подынте- гральную функцию, но и вид области интегрирования, причем вторая цель зачастую более важна, чем первая. Упрощение вида области ин- тегрирования облегчает расстановку пределов в двойном интеграле и вычисление повторного интеграла. В результате замены переменных область интегрирования двойного интеграла изменяется. В общем случае необходимо построить новую об- ласть интегрирования и в ней провести расстановку пределов интегриро- вания В простейших ситуациях расстановку пределов можно выполнять на эскизе исходной области интегрирования, используя координатные линии криволинейной системы координат. Пример 1.9. В следующих интегралах перейдем к полярным коор- динатам и расставим в этих координатах пределы интегрирования: а) 1 0 dx 1−x 0 f (x, y)dy; б) 2 0 dx 2 0 f (x, y)dy; в) D f (x, y)dxdy, Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 56 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 1.11 а. Область интегрирования в данном случае описывается неравен- ствами 0 x 1, 0 y 1 − x ( 1.11 , a). Уравнение линии y = 1 − x, или x + y = 1, в полярных координатах имеет вид r(cos ϕ + sin ϕ) = 1. Поэтому область интегрирования в полярных координатах r, ϕ задается неравенствами 0 ≤ ϕ ≤ π 2 , 0 ≤ r ≤ 1 cos ϕ + sin ϕ Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 57 из 275 Назад На весь экран Закрыть Исходный интеграл в новых координатах имеет вид 1 0 dx 1−x 0 f (x, y)dy = π 2 0 dϕ 1 cos ϕ+sin ϕ 0 f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr. б. В полярных координатах линии x=2 и y=2 ( 1.11 , б) описывается уравнениями r cos ϕ = 2 и r sin ϕ = 2. Поскольку область интегриро- вания в данном случае находится в первом квадрате, полярный угол изменяется от 0 до π 2 . Но при этом луч ϕ = ϕ 0 , выходящий из на- чала координат, пересекает границу области в точке r = 2 cos ϕ 0 , если 0 ≤ ϕ 0 ≤ π 4 . Поэтому при расстановке пределов в полярных коорди- натах область определения следует разделить на две части. Тем самым двойной интеграл будет представлен как сумма двух повторных. учиты- вая уравнение ограничивающих область линий в полярных координатах, получаем 2 0 dx 2 0 f (x, y)dy = π 4 0 dϕ 2 cos ϕ 0 f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr+ π 2 π 4 dϕ 2 cos ϕ 0 f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 58 из 275 Назад На весь экран Закрыть в. Лемниската ( 1.11 , в) в полярных координатах имеет уравнение r = a 2 √ cos 2ϕ Пределы изменения переменного ϕ находим из условия неотри- цательности подкоренного выражения. Это дает неравенство cos 2ϕ ≥ 0, откуда получаем два отрезка изменения ϕ : − π 4 ≤ ϕ ≤ π 4 и 3π 4 ≤ ϕ ≤ 5π 4 В соответствии с условиями задачи выбираем первый из них. При этом двойной интеграл преобразуется в повторный: D f (x, y)dxdy = π 4 − π 4 dϕ a √ cos 2ϕ 0 f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr. Пример 1.10. Вычислим массу m полукруглой пластины диаметра a с центром в точке C(a/2;0),плотность которой в каждой точке про- порциональна расстоянию от этой точки до начала координат (рис. 1.12 ). Пластина занимает замкнутую область D, ограниченную снизу осью Ox, а сверху окружностью x 2 +y 2 = ax Плотность пластины определяет- ся функцией ρ(x, y) = k x 2 + y 2 , где k - коэффициент пропорциональ- ности. Масса пластины может быть выражена двойным интегралом. m = D ρ(x, y)dxdy = k D √ x 2 +y 2 dxdy. Форма области интегрирования D и подынтегральной функции подска- зывает, что в данном случае удобно вычислять двойной интеграл в по- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 59 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 1.12 лярных координатах r и ϕ Полярный угол при движении луча ϕ = ϕ 0 по области интегрирования пробегает отрезок [0, π/2],а полярный радиус r при фиксированном значении ϕ ∈ [0, π 2 ] - отрезок от [0, a cos ϕ]. Поэтому m = k D √ x 2 +y 2 dxdy = k π 2 0 dϕ a cos ϕ 0 r 2 dr = ka 3 3 π 2 0 cos 3 ϕdϕ = ka 3 3 π 2 0 (1 − sin 2 ϕ)d sin ϕ = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 60 из 275 Назад На весь экран Закрыть ka 3 3 1 0 (1 − t 2 )dt = ka 3 3 (t − t 3 3 ) 1 0 = 2 9 ka 3 Пример 1.11. Найти площадь замкнутой области D, ограниченной окружностями x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 4x и прямыми x=y, y=0 (рис. 1.13 ) Рис. 1.13 Согласно свойствам двойного интеграла, площадь D равна двойному интегралу от единичной функции с областью интегрирования D. На ри- сунке 1.13 видно, что область изменения область изменения полярного угла ϕ есть отрезок [0, π 4 ], а изменения полярного радиуса описывается неравенствами 2 cos ϕ ≤ r ≤ 4 cos ϕ. Действительно, произвольный луч Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 61 из 275 Назад На весь экран Закрыть ϕ = ϕ 0 , выходящий из начала координат, пересекает границу области при r = 2 cos ϕ 0 (точка входа) и при r = 4 cos ϕ 0 (точка выхода). Най- денные соотношения позволяют расставить приделы интегрирования в двойном интеграле в полярной системе координат, и в результате мы получаем S = D dxdy = π 4 0 dϕ 4 cos ϕ 2 cos ϕ rdr = 1 2 π 4 0 r 2 4 cos ϕ 2 cos ϕ dϕ = = 6 π 4 0 cos 2 ϕdϕ = 3 4 (π + 2). Если область интегрирования ограничена эллипсом x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, (1.42) то для вычисления двойного интеграла удобно использовать замену переменных x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ, r 0, ϕ ∈ [0,2π]. Эта замена переменных соответствует переходу к криволинейным координатам, называемым обобщенными полярными координатами. В этих координатах уравнения эллипса имеет вид r = 1, а якобиан замены переменных равен Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 62 из 275 Назад На весь экран Закрыть J (r, ϕ) = a cos ϕ −ar sin ϕ b sin ϕ br cos ϕ = abr. Пример 1.12. Вычислим объем V тела, ограниченного трехосным эллипсоидом (рис. 1.14 ) x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. Рис. 1.14: Из соображений симметрии вытекает, что искомый объем равен удво- енному значению интеграла от функции z(x, y) = c 1 − x 2 a 2 − y 2 b 2 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 63 из 275 Назад На весь экран Закрыть по замкнутой области D, ограниченной эллипсом ( 1.42 ). В обобщенных полярных координатах функция z(x, y) преобразуется к виду z(r, ϕ) = c √ 1 − r 2 , а области интегрирования D соответствует прямоугольник G = {(r, ϕ) ∈ R 2 : r ∈ [0, 1], ϕ ∈ [0, 2π]}. Таким образом, V = 2 D z(x, y) dx dy = 2 G z(r cos ϕ, r sin ϕ)abr dr dϕ = = 2abc 2π 0 dϕ 1 0 r 1 − r 2 dr = − 4π 3 abc(1 − r 2 ) 3/2 1 0 = 4 3 πabc. Отметим, что обобщенные полярные координаты можно ввести в бо- лее общем виде с помощью отображения x = ar cos m ϕ, y = br sin m ϕ, (1.43) , где r 0, ϕ ∈ [0, 2π], m ∈ N В этом случае I(r, ϕ) = mabr(sin ϕ cos ϕ) m−1 .При вычислении площади области D = {(x; y) ∈ R 2 : (x/a) 1/4 + (y/b) 1/4 = 1, x ∈ [0, a], y ∈ [0, b]} Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 64 из 275 Назад На весь экран Закрыть целесообразно в ( 1.43 ) выбрать m = 8. Тогда преобразуем D при отоб- ражении ( 1.43 ) будет прямоугольник G = {(r, ϕ) ∈ R 2 : r ∈ [0, 1], ϕ ∈ [0, π/2]}. Используя ( 1.33 ), находим S = D dx dy = 8ab G r(sin ϕ cos ϕ) 7 dr dϕ = = 8ab π/2 0 (sin ϕ cos ϕ) 7 dϕ 1 0 rdr = 4ab π/2 0 (1 − sin 2 ϕ) 3 sin 7 ϕ d(sin ϕ) = = 4ab 1 0 (1 − 3t 2 + 3t 4 − t 6 )t 7 dt = 4ab( 1 8 − 3 10 + 3 12 − 1 14 ) = ab 70 Пример 1.13. Найдем площадь области D, ограниченной кривыми xy = 1, xy = 2, y = x 2 и y = 2x 2 (рис. 1.15 ). Положим xy = u и y/x 2 = v. Отсюда x = (u/v) 1/3 и y = u 2/3 v 1/3 , и в соответствии с ( 1.28 ) I(u, v) = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂u ∂v = 1 3 u −2/3 v −1/3 − 1 3 u 1/3 v −4/3 2 3 u −1/3 v 1/3 − 1 3 u 2/3 v −2/3 = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 65 из 275 Назад На весь экран Закрыть = 1 9 (u −1 + 2v −1 ) = 1 3v Рис. 1.15 Криволинейному четырехугольнику в плоскости xOy (см. рис. 1.15 ) в криволинейных координатах u, v соответствует квадрат Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 66 из 275 Назад На весь экран Закрыть G = {(u; v) ∈ R 2 : u ∈ [1, 2]}. Поэтому при помощи ( 1.33 ) находим S = D dx dy = G du dv 3v = 1 3 ln v 2 1 = ln 2 3 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 67 из 275 Назад На весь экран Закрыть ГЛАВА 2 Тройные интегралы Перейдем к рассмотрению интегралов от функций трех переменных, называемых тройными. Эти интегралы, как и двойные интегралы , име- ют широкое применение при решении различных геометрических, фи- зических и технических задач. 2.1 Задача о вычислении массы тела Пусть дано некоторое материальное тело,занимающее в пространстве замкнутую область Q и имеющее неоднородное распределение массы по своему объему. Это распределение в прямоугольной декартовой систе- ме координат Oxyz характеризуется функцией плотности ρ (x, y, z) трех переменных. Для нахождения массы m материального тела разобьем за- мкнутую область Q произвольным образом на n частичных областей Q i , i = 1,n, объем каждой из которой обозначим ∆V i . Выберем в каж- дой частичной области Q i произвольную точку (ξ i ; η i ; ς i ) ∈ Q i , i = 1,n, и приближенно примем, что в пределах Q i плотность тела постоянна и равна ρ (ξ i , η i , ς i ) . Тогда масса частичной области Q i будет ∆m i ≈ ρ (ξ i , η i , ς i ) ∆V i , а для массы всего тела получим приближенное равен- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 68 из 275 Назад На весь экран Закрыть ство m ≈ n i=1 ρ (ξ i , η i , ς i ) ∆V i (2.1) Ясно, что формула ( 2.1 ) тем точнее, чем меньше размеры каждой из ча- стичных областей Q i . За точное значение массы рассматриваемого тела можно принять предел, к которому стремиться правая часть формулы ( 2.1 ) при стремлении к нулю наибольшего диаметра d из диаметров d i частичных областей Q i , i = 1,n, т.е. m = lim d→ 0 n i=1 ρ (ξ i , η i , ς i ) ∆V i (2.2) Итак, задача вычисления массы материального тела привела к кон- струкции, очень похожей на двойной интеграл. Отличие лишь в том, что рассматривается замкнутая область не на плоскости, а в пространстве, а плотность зависит не от двух переменных, а от трех. 2.2 Определение тройного интеграла Напомним вначале, что тело называют кубируемым, если точная верхняя грань V ∗ множества объемов всех включенных в это тело много- гранников равна точной нижней грани V ∗ множества объемов всех мно- гогранников, включающих в себя данное тело, причем число V = V ∗ = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 69 из 275 Назад На весь экран Закрыть V ∗ и называют объемом тела. Для кубируемости тела Q ⊂ R 3 необходи- мо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлись такие два многогран- ника Q 1 и Q 2 с объемами V 1 и V 2 соответственно, что Q 1 ⊂ Q ⊂ Q 2 и V 2 − V 1 < ε. Далее под телом будем понимать ограниченную замкнутую область в пространстве, а кубируемое тело в будущем также называть кубируемой замкнутой областью. Будем говорить, что некоторое множество в R 3 , в частности кривая или поверхность, является множеством объема нуль, если его можно заключить внутрь многогранника сколь угодно малого объема. Исполь- зуя это понятие, приведенный выше критерий кубируемости тела можно сформулировать иначе: для кубируемости ограниченной замкнутой об- ласти необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела объем нуль. Важным классом кубируемых замкнутых областей являются те, ко- торые ограничены конечным числом гладких поверхностей. Множество точек, принадлежащих таким поверхностям, имеет объем нуль. Напом- ним, что поверхность называют гладкой, если в каждой ее точке опреде- лен единичный вектор нормали к поверхности, непрерывно меняющийся от точки к точке. Далее будем рассматривать только гладкие и кусочно гладкие поверхности. Отметим, что для объема пространственной за- мкнутой области (как и для площади плоской замкнутой области) спра- ведливы свойства неотрицательности, монотонности, аддитивности и инвариантности. Пусть в некоторой кубируемой замкнутой области Q в пространстве Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 70 из 275 Назад На весь экран Закрыть с прямоугольной системой координат Oxyz определена ограниченная функция f (x, y, z) . Рассмотрим разбиение P = {Q 1 , ..., Q n } Замкнутой области Q на частичные области Q i , i = 1,n, каждая из которых име- ет объем ∆V i > 0 и диаметр d i . Наибольший из диаметров d i , как и в плоском случае, назовем диаметром разбиения P и обозначим d (P ) . В каждой частичной области Q i выберем произвольную точку (ξ i ; η i ; ς i ) . Значение функции f (ξ i , η i , ς i ) умножим на объем ∆V i и составим инте- гральную сумму σ (P ) = n i=1 f (ξ i , η i , ς i ) ∆V i (2.3) функции f (x, y, z) . Таким образом, интегральная сумма определяется разбиением T и набором точек (ξ i , η i , ς i ) в частичных областях разбие- ния. Функцию f (x, y, z) называют интегрируемой функцией в кубируе- мой замкнутой области Q ∈ R 3 , если существует конечный предел I ее интегральных сумм σ (P ) , т.е. если для любого числа ε > 0 существует такое число δ = δ (ε) > 0, что для любого разбиения P = {Q 1 , ..., Q n замкнутой области Q с диаметром d (P ) < δ (ε) и любого выбора точек (ξ i , η i , ς i ) ∈ Q i для соответствующей интегральной суммы σ (T ) выпол- няется неравенство |σ (T ) − I| < ε. При этом конечный предел I инте- гральных сумм называют тройным интегралом от функции f (x, y, z) |