Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
Начало Содержание Страница 90 из 275 Назад На весь экран Закрыть подставляем в уравнение сферы. Получаем x 2 + y 2 + (x 2 + y 2 ) 2 9 = 4. Откуда получим уравнение границы в виде x 2 +y 2 = 3. Итак, замкнутая область D есть круг x 2 + y 2 ≤ 3. При переходе к цилиндрической системе координат область D опреде- ляется неравенствами 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 3 . Вертикальная прямая, проходящая через точку (x; y) ∈D пересекает тело по отрезке, причем нижний конец (точка входа) расположен на параболе, а верхний конец (точка выхода) на сфере, т.е. r 2 3 ≤ z ≤ √ 4 − z 2 Итак, V = 2π 0 dϕ √ 3 0 r dr √ 4−z 2 r2 3 dz = 2π √ 3 0 (r 4 − r 2 − 1 3 r 3 )dr = = − 2π 3 (4 − r 2 ) 3 2 √ 3 0 − π 6 r 4 √ 3 0 = 2π 3 (−1 + 8 − 9 4 ) = 19π 6 2.5...3 Сферические координаты Сферические координаты r, ϕ и θ (рис. 2.6 ) связаны с декартовыми координатами x, y, z соотношениями ( 2.24 ) 0 ≤ r ≤ √ Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 91 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 2.6 x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = z cos θ; (2.24) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 92 из 275 Назад На весь экран Закрыть которые определяют отображение замкнутой области Ω = {(r, ϕ, θ) ∈ R 3 : r ∈ [0; +∞), ϕ ∈ [0; 2π], θ ∈ [a; π]} в замкнутую область Q = R 3 Сферические координаты имеют следующий геометрический смысл: 1)величина r есть длина радиус-вектора −−→ OM точки M ; 2) величина ϕ угол между осью Ox и проекцией −−→ OM 1 радиус-вектора −−→ OM на плоскость xOy; 3)величина θ есть угол между осью Oz и вектором −−→ OM . Якобиан отображения ( 2.24 ) равен I(r, ϕ, θ) = cos ϕ sin θ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ sin ϕ sin θ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ −r sin θ 0 = r 2 sin θ Пример 2.4. Вычислить массу шара x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , если плот- ность ρ изменяется по закону ρ = r, где r - расстояние точки шара от начала координат. Масса шара равна следующему тройному интегралу: m = S x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz = [Перейдя к сферической системе ко- ординат будем заменять] = 2π 0 dϕ π 0 dθ a 0 r r 2 sin θdr = 2π π 0 sin θ r 4 4 a 0 dθ = = πa 4 2 (− cos θ) π 0 = πa 4 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 93 из 275 Назад На весь экран Закрыть ГЛАВА 3 Криволинейные интегралы 3.1 Криволинейный интеграл первого рода Используя понятие длины кривой, а также формулы для ее вычис- ления при различных способах задания кривой, можно ввести понятие интеграла вдоль спрямляемой (в частности,гладкой или кусочно глад- кой) кривой так же, как вдоль прямолинейного отрезка. Пусть на плоскости R 2 с прямоугольной декартовой системой ко- ординат Oxy имеется непрерывная спрямляемая кривая AB ( 3.1 ), в точках которой задана действительная функция f (M ) = f (x, y) . Вы- берем разбиение T = {A 0 , A 1 , ..., A n } кривой AB с точками деления A 0 = A, A 1 , ..., A n = B. Длины элементарных дуг A i−1 A i обозначим через ∆s i , а максимальную из этих длин - через λ = λ (T ) . Возьмем на каждой дуге A i−1 A i по точке M i (x i ; y i ) . Отметим, что подобное разбиение можно построить и в случае за- мкнутой кривой, если за точку A 0 , совпадающую в этом случае с A n , взять любую точку кривой AB, а остальные точки A i , i = 1,n-1, распо- ложить в соответствии с выбранным направлением на на этой замкнутой кривой. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 94 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 3.1 Составим сумму вида n i=1 f (x i , y i ) ∆s i , (3.1) которую называют интегральной суммой функции f (x, y) вдоль кривой Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 95 из 275 Назад На весь экран Закрыть AB. Пусть существует предел I интегральных сумм ( 3.1 ) при λ (T ) → 0, не зависящий ни от выбора точек M i на элементарных дугах, т.е. для любого числа ε > 0 существует такое число δ = δ (ε) , что для любого разбиения T = {A 0 , ..., A n } кривой AB с параметром λ (T ) < δ (ε) при любом выборе точек M i на дугах A i−1 A i выполняется неравенство n i=1 f (x i , y i ) ∆s i − I < ε (3.2) Такой предел называют криволинейным интегралом первого рода (ино- гда - первого типа) вдоль кривой (или дуги) AB и обозначают I = AB f (x, y) ds. (3.3) Итак, AB f (x, y) ds = lim λ→0 n i=1 f (x i , y i ) ∆s i Отметим, что в определении криволинейного интеграла первого рода направление обхода кривой не играет никакой роли, так как от выбора направления не зависит интегральная сумма. Пусть, например, кривая AB не замкнута, а BA обозначает ту же кривую, но с противоположным Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 96 из 275 Назад На весь экран Закрыть направлением обхода (от B к A, если исходным является направление от A к B). Тогда можно записать AB f (x, y) ds = BA f (x, y) ds (3.4) Можно определить криволинейный интеграл первого рода и другим способом. Пусть на некотором множестве, содержащем кривую Г, задана функция F (x, y, z) . Если гладкая кривая Г, задана уравнением r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, t ∈ [α, β], то определенный интеграл β α F (x (t) , y (t) , z (t)) |r (t) |dt будем называть криволинейным интегралом первого рода от функ- ции F (x, y, z) по кривой Г, и обозначать Γ F (x, y, z) ds. Таким образом, по определению Γ F (x, y, z) ds = β α F (x (t) , y (t) , z (t)) |r (t) |dt. (3.5) Так как криволинейный интеграл первого рода, согласно формуле ( 3.5 ), фактически есть определенный интеграл, на него переносятся ос- новные свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность, Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 97 из 275 Назад На весь экран Закрыть оценка интеграла по модулю (модуль интеграла не превосходить инте- грала от модуля функции), теорема о среднем. 3.2 Вычисление криволинейного интеграла первого рода и его геометрическая интерпретация 1. Если гладкая кривая Γ задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β], z = z(t) а функция F (x, y, z) непрерывна на кривой Γ, то Γ F (x, y, z) ds = = β α F (x (t) , y (t) , z (t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 dt. (3.6) В частности, если Γ− плоская кривая, то Γ F (x, y) ds = Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 98 из 275 Назад На весь экран Закрыть = β α F (x (t) , y (t)) y t 2 + x t 2 dt. (3.7) 2. Пусть гладкая кривая Γ является графиком функции y = f (x) , x ∈ [a, b], то формула ( 3.7 ) примет вид Γ F (x, y) ds = = b a F (x, f (x)) 1 + (y (x)) 2 dx. (3.8) Аналогично при задании кривой функцией вида x = x (y) , y ∈ [c, d], получаем Γ F (x, y) ds = = d c F (x (y) , y) 1 + (x (y)) 2 dy. (3.9) 3. Пусть кривая Γ задана в полярной системе координат уравнени- ем r = r(ϕ), ϕ ∈ [ϕ 1 , ϕ 2 ]. Тогда, учитывая формулы x = r cos ϕ и Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 99 из 275 Назад На весь экран Закрыть y = r sin ϕ связи декартовых и полярных координат,а также вы- ражение для дифференциала длины дуги в полярных координатах ds = r 2 (ϕ) + (r (ϕ)) 2 dϕ, находим Γ F (x, y) ds = = ϕ 2 ϕ 1 F (r (ϕ) cos ϕ, r (ϕ) sin) r 2 (ϕ) + (r (ϕ)) 2 dϕ. (3.10) Если функция F (x, y, z) неотрицательна, то ее можно интерпретиро- вать как линейную плотность распределения массы вдоль этой кривой, а криволинейный интеграл Γ ρ (x, y, z) ds− как массу этой кривой. Действительно, при мелком разбиении кривой Γ на дуги A i−1 A i , i = 1,n, можно приближенно принять, что линейная плотность распределе- ния массы во всех точках каждой элементарной дуги A i−1 A i − постоян- на и равна значению ρ(M i ) линейной плотности в произвольной точке M i (x i , y y ) этой дуги. Обозначив через ∆S i длину дуги A i−1 A i , для массы этой дуги будем иметь m i ρ(M i )∆S i , i = 1,n. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 100 из 275 Назад На весь экран Закрыть В этом случае для массы m всей кривой Γ получим m n i=1 ρ(M i )∆S i Погрешность этого приближенного равенства тем меньше, чем мельче разбиение кривой Γ, т.е. чем меньше длины ∆S i всех элементарных дуг. Поэтому естественно за массу кривой Γ принять значение предела m = lim λ→0 n i=1 ρ(M i )∆S i , где λ = max i= 1,n ∆S i − наибольшая из длин ∆S i элементарных дуг. Сравнивая данное определение массы кривой с определением криво- линейного интеграла первого рода, получаем m = Γ ρ(M )ds = Γ ρ(x, y)ds. (3.11) Пример 3.1. Вычислим криволинейный интеграл первого рода AB y x dS, где AB дуга параболы y = x 2 2 , заключенная между точками A 1; 1 2 и B(2; 2). Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 101 из 275 Назад На весь экран Закрыть В данном случае dS = 1 + (y (x)) 2 dx = 1 + x 2 dx. и в соответствии с ( 3.8 ) AB y x dS = 1 2 2 1 x 1 + x 2 dx = 1 6 (1 + x 2 ) 3 2 1 = 5 √ 5 − 2 √ 2 6 Пример 3.2. Найдем криволинейный интеграл первого рода AB ye −x dS вдоль кривой AB, заданной параметрическими уравнениями x = ln 1 + t 2 y = 2 arctg t − t, t ∈ [0; 1]. В соответствии с ( 3.7 ) имеем dS = (x t ) 2 + (y t ) 2 dt = 4t 2 (1 + t 2 ) 2 + 4 (1 + t 2 ) 2 + 1 − 4 1 + t 2 dt = dt. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 102 из 275 Назад На весь экран Закрыть Кроме того, e −x y = (2 arctg t − t) 1 1+t 2 . Следовательно, AB ye −x dS = 1 0 (2 arctg t − t) 1 1 + t 2 dt = = arctg 2 t 1 0 − 1 2 ln(1 + t 2 ) 1 0 = π 2 16 − ln 2 2 Пример 3.3. Пусть Γ - правый лепесток лемнискаты Бернулли, который в полярных координатах описывается уравнением r 2 = a 2 cos 2ϕ, ϕ ∈ [− π 4 , π 4 ]. Вычислим Γ x 2 + y 2 dS вдоль кривой Γ Решение: Так как r(ϕ) = a √ cos 2ϕ, то r (ϕ) = −a sin 2ϕ √ cos 2ϕ и r 2 (ϕ) + (r (ϕ)) 2 = a 2 cos 2ϕ + a 2 sin 2 2ϕ cos 2ϕ = a 2 cos 2ϕ . Учитывая, что в данном случае x 2 + y 2 = r = a √ cos 2ϕ, и используя 3.10 находим Γ x 2 + y 2 dS = π 4 − π 4 a cos 2ϕ adϕ √ cos 2ϕ = π 2 a 2 3.3 Работа силы на криволинейном пути Пусть материальная точка перемещается вдоль некоторой кривой АВ в плоскости xOy в каждой точке M ее пути на точку действует сила Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 103 из 275 Назад На весь экран Закрыть F (M). Выясним, как можно вычислить работу силы, действующей на материальную точку. Будем считать, что кривая АВ является гладкой. Разобьем кривую АВ точками A 0 = A, A 1 , ..., A n = B на элементар- ные дуги A i−1 A i с длинами ∆s i и выберем на каждой из таких дуг точку M i (рис. 3.2 ). Если выбранное разбиение кривой АВ достаточно мелкое, то можно принять два допущения: 1)перемещение материальной точки на участке A i−1 A i ее пути яв- ляется прямолинейным, т.е. из положения A i−1 в положение A i точка перемещается вдоль прямолинейного отрезка ∆s i ; 2)сила, действующая на материальную точку при ее перемещении на участке A i−1 A i постоянна и совпадает с F (M i ). При этих допущениях работа силы при перемещении материальной точки M из положения A i−1 в положение A i вдоль элементарной дуги A i−1 A i , i = 1, n, может быть записана с помощью скалярного произве- дения (F (M i ), −−−−→ A i−1 A i ). Суммирую приближенную формулу для работы А, которую сила совершает при перемещении материальной точки по криволинейному пути АВ: A ≈ n i=1 (F(M i ), −−−−→ A i−1 A i ) (3.12) Погрешность этой формулы, определяемая принятыми допущениями, будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой АВ. Поэтому естествен- но в качестве точного значения А работы принять предел суммы в пра- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 104 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 3.2 вой части ( 3.12 ) при λ = max i ∆s i , т.е. считаем по определению, что A = lim λ→0 n i=1 (F(M i ), −−−−→ A i−1 A i ) (3.13) При λ → 0 длина ∆s i прямолинейного отрезка A i−1 A i и длина ∆s i элементарной дуги A i−1 A i являются эквивалентными бесконечно малы- ми. Кроме того, при малых λ можно считать, что угол между векторами F (M i ) и −−−−→ A i−1 A i есть угол β(M i ) между F (M i ) и касательным вектором к кривой в точке M i . Это позволяет записать равенство Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 105 из 275 Назад На весь экран Закрыть A = lim λ→0 n i=1 F (M i ) cos β(M i )∆s i (3.14) В этом равенстве сумма в правой части есть интегральная сумма для криволинейного интеграла первого рода. Поэтому A = AB F (M ) cos β(M ) ds. (3.15) Выражение F(M)cos β(M ) представляет собой проекцию вектора F(M) на касательный вектор к кривой АВ в точке M ∈ AB. Обозначим че- рез t(M) единичный касательный вектор к кривой в точке M. Тогда F (M)cos β(M )=(F(M), t(M) и равенство ( 3.15 ) перейдет в равенство A = AB (F(M ), t(M )) ds. (3.16) Пусть P(M)и Q(M)– проекция вектора F(M) на координатные оси. Вернемся к приближенной формуле ( 3.12 ). Обозначим через ∆x i и ∆y i проекции вектора −−−−→ A i−1 A i на координатные оси. Тогда в соответствии с правилом вычисления скалярного произведения (F (M i ), −−−−→ A i−1 A i ) = P (x i ; y i )∆x i + Q(x i ; y i )∆y i Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 106 из 275 Назад На весь экран Закрыть Следовательно, вместо ( 3.13 ) можно записать A = lim λ→0 n i=1 (P (x i ; y i )∆x i + Q(x i ; y i )∆y i ) (3.17) Полученная формула уже не приводит к криволинейному интегралу первого рода, но имеет простой геометрический смысл. Сумма в пра- вой части этой формулы похожа на ранее встречавшиеся интегральные суммы, и на ее основе можно построить интеграл нового типа. 3.4 Криволинейный интеграл второго рода Пусть на плоскости Oxy задана кривая АВ и на этой кривой — непрерывные функции P (x, y) и q(x, y). Разобьем кривую АВ точка- ми A 0 = A, A 1 , ..., A n = B на элементарные дуги A i−1 A i и выберем на каждой дуге точку M i (x i ; y i ) (см. рис. 3.1 ). Обозначим через x i , y i ко- ординаты точки A i . Кроме того, обозначим через ∆x i = x i − x i−1 и ∆y i = y i − y i−1 проекции векторов −−−−→ A i−1 A i на координатные оси Ox и Oy. Составим интегральные суммы n i=1 P (x i ; y i )∆x i ; n i=1 Q(x i ; y i )∆y i (3.18) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 107 из 275 Назад На весь экран Закрыть вдоль кривой АВ для функции P (x; y) по переменной x и для функции Q(x; y) по переменной y. По-прежнему через λ обозначим максимальную из длин ∆s i элементарных дуг A i−1 A i , т.е. λ = max i=1,n ∆s i Если существуют пределы I 1 , I 2 элементарных сумм ( 3.18 ) при λ → 0, не зависящие ни от разбиения кривой АВ на элементарные дуги, ни от выбора точек M i на этих дугах, то эти пределы называют криволиней- ными интегралами второго рода вдоль кривой АВ от функции P (x; y) по переменной x и для функции Q(x; y) по переменной y и обо- значают AB P (x; y)dx; AB Q(x; y)dy Итак, по определению AB P (x; y)dx = lim λ→0 n i=1 P (x i ; y i )∆x i (3.19) AB Q(x; y)dy = lim λ→0 n i=1 Q(x i ; y i )∆y i (3.20) В приложениях часто встречается сумма интегралов ( 3.19 ) и ( 3.20 ) от функций P (x; y) и Q(x; y) (в частном случае эти функции могут сов- |