Мех_нефиз_240_24.10.2011. Мех_нефиз_240_24.10. Учебнометодический комплекс по дисциплине для нефизических специальностей Лабораторный практикум Абакан 2011 ббк 22. 2я73

• Название: Учебнометодический комплекс по дисциплине для нефизических специальностей Лабораторный практикум Абакан 2011 ббк 22. 2я73
• Анкор: Мех_нефиз_240_24.10.2011.doc
• Дата: 09.05.2017
• Размер: 1.9 Mb.
• Имя файла: Мех_нефиз_240_24.10.2011.doc
• Тип: Учебно-методический комплекс; #7342
• страница: 8 из 12

Контрольные вопросы

1. 
   Какой маятник называется математическим?
   
2. 
   Какие колебания называются гармоническими?
   
3. 
   Запишите уравнение движения гармонических колебаний в дифференциальной форме.
   
4. 
   По какому закону изменяется дуговое смещение математического маятника для гармонических колебаний? Разъясните его.
   
5. 
   Дайте определение и запишите формулы для: периода, частоты, циклической частоты, амплитуды, фазы колебаний.
   
6. 
   Как изменится период собственных колебаний математического маятника, если опыт провести на экваторе? На полюсе? Если стальной шарик заменить медным таких же размеров? Ответ пояснить.
   

Лабораторная работа 13
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цели работы: 1. Определить момент инерции исследуемого тела относительно двух осей:

1. 
   оси, проходящей через центр массы;
   
2. 
   оси, не проходящей через центр массы.
   

2. Проверить теорему Штейнера.

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, метровая линейка, штангенциркуль, два цилиндрических тела.

Библиографический список: [1] § 16–17; [2] ч.1 § 21–23; [3] т.1 § 38–39, § 41–42; [4] т.1 § 10 - 11; [5] § 2.10, § 5.1, § 5.3–5.4; [7] § 1.3.3.
Введение²

Момент инерции – это физическая величина, являющаяся количественной мерой инертности вращающегося тела. Момент инерции твердого тела относительно какой-то оси вращения равен:

, (13.1)

где dm – масса бесконечно малого элементарного объёма тела, r– расстояние от оси вращения до этого объёма. Интеграл в формуле (13.1) берется по всему объёму тела V.

Согласно формуле (13.1) момент инерции – величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела (системы тел) равен сумме моментов инерции составляющих частей.

В общем случае нахождение момента инерции по формуле (13.1) представляет большие трудности. Задача упрощается, если ось вращения проходит через центр массы тела (ось симметрии). Зная момент инерции такого тела легко вычислить его момент инерции относительно любой другой оси, параллельной оси симметрии, используя теорему Штейнера. Согласно этой теореме, момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту инерции I_с относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр массы тела, плюс произведение массы тела m на квадрат расстояния между осями а:

I = I_c + mа². (13.2)

Крутильным гармоническим колебанием называется периодическое движение около оси, проходящей через центр массы тела, при котором угол отклонения от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:

, (13.3)

где φ_m и Т – амплитуда и период крутильных колебаний.
Теория метода и описание экспериментальной установки

Моменты инерции различных тел можно измерить методом крутильных колебаний с помощью трифилярного подвеса. Это однородный диск массой m и радиуса R₁, подвешенный на 3-х симметрично расположенных нитях. Наверху эти нити симметрично закреплены на диске меньшего радиуса r₁ (рис.13.1).

Т
Рис. 13.1. Трифилярный подвес
олчком к крутильным колебаниям служит небольшой вращательный импульс, сообщаемый нижнему или верхнему диску так, чтобы некрутильные колебания отсутствовали. При крутильных колебаниях центр тяжести нижнего диска поднимается по оси вращения на высоту h (рис. 13.2) и вновь возвращается в исходное положение. При отсутствии трения по закону сохранения энергии имеем:

, (13.4)

здесьm иI – масса и момент инерции нижнего диска (пустого), ω_m – наибольшая угловая скорость при прохождении положения равновесия.

Для гармонических крутильных колебаний:

, (13.5)

отсюда

. (13.6)

Теперь уравнение (13.4) можно представить в виде:

. (13.7)

В
Рис. 13.2.
ысоту h можно найти из геометрических построений. Из рис. 13.2:

. (13.8)

Так как φ_m – небольшой угол (гармонические колебания), то

h
₁ + h₂ ≈ 2l, (13.9)

где l– длина нити А₁D.

Используя рис. 13.2а и 13.2б определим h₁ и h₂:

, (13.10)

, (13.11)

где R и r – радиусы окружностей крепления нитей на нижнем и верхнем дисках (рис. 13.1).

Найдем отрезок А₁В из треугольника Δ А₁ВО (рис. 13.2б):

А₁В² = R² + r² – 2Rr∙ cos φ_m. (13.12)

Полученное выражение подставим в уравнение (13.11), тогда:

. (13.13)

С учетом (13.9), (13.10), (13.13) формула (13.7) для малых φ_m примет вид:

. (13.14)

Выразим из уравнения (13.7) момент инерции Iнижнего диска и подставим в полученное выражение формулу (13.10) для высоты h:

(13.15)

или

, (13.16)

где m – масса нижнего диска (указана на диске), t– время n полных крутильных колебаний, D и d – диаметры окружностей крепления нитей на дисках (нижнем и верхнем), А – постоянная для данного трифилярного подвеса, которая рассчитывается по формуле:

. (13.17)

Если на нижний диск поместить исследуемое тело, то изменится масса, момент инерции и период колебаний системы диск-тело, однако формула (13.16) останется справедливой с учетом происшедших изменений.

Таким образом, используя формулу (13.16) можно определить момент инерции пустого диска и диска с телом, а, следовательно, и момент инерции исследуемого тела.

Измерения и обработка результатов

1. 
   Для расчета постоянной А трифилярного подвеса измерить длину l нити, D и d – диаметры окружностей крепления нитей на дисках (нижнем и верхнем).
   
2. 
   Данные измерений занести в таблицу 13.1.
   

Таблица 13.1

l,	d,	D,

3. 
   По формуле (13.17) вычислить постоянную A трифилярного подвеса.
   
4. 
   Измерить время n полных крутильных колебаний (n задает преподаватель) для следующих случаев:
   
   1. 
      пустого диска;
      
   2. 
      диска с исследуемым телом массой m₀ (центры масс диска и тела совпадают);
      
   3. 
      диска с двумя одинаковыми телами массой m₀ для случая, когда тела расположены симметрично относительно оси ОО^/ (рис. 13.3).
      

Для каждого случая опыт повторить при одинаковых условиях 3 раза.

5. 
   Данные измерений занесите в таблицу 13.1.
   

Таблица 13.1

Колеблющаяся система	Время колебаний				m,	m0,	n
	t1,	t2,	t3,	tср,
пустой диск
диск с телом в центре
диск с двумя телами

6. 
   По формуле (13.16) вычислить момент инерции:
   

1. 
   пустого диска (I₁),
   
2. 
   диска с телом в центре (I₂),
   
3. 
   диска с двумя симметрично расположенными телами (I₃).
   

7. 
   О
   Рис. 13.3.
   пределить момент инерции исследуемого тела относительно двух осей:
   

1. 
   оси, проходящей через центр его массы:
   

I_т = I₂ – I₁;

2. 
   оси, не проходящей через центр его массы и удаленной от него на расстояние а (рис. 13.3):
   

.

8. 
   Измерив расстояние а, рассчитать момент инерции исследуемого тела относительно оси, не проходящей через центр его массы по теореме Штейнера (13.2).
   
9. 
   Сравнить моменты инерции и . Сделать вывод о справедливости теоремы Штейнера.