тест. Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
№ n p № n p № n p 11.1 400 0,02 11.12 700 0,01 11.23 600 0,025 11.2 600 0,001 11.13 7000 0,003 11.24 400 0,015 11.3 200 0,02 11.14 2000 0,003 11.25 2000 0,004 11.4 400 0,01 11.15 1000 0,004 11.26 250 0.01 11.5 600 0,01 11.16 2000 0,006 11.27 1500 0,002 11.6 100 0,03 11.17 1000 0,003 11.28 2000 0,0003 11.7 200 0,04 11.18 3000 0,001 11.29 6000 0,0002 11.8 300 0,03 11.19 1000 0,007 11.30 4000 0,0001 11.9 400 0,02 11.20 600 0,006 11.31 3000 0,0004 11.10 600 0,01 11.21 1000 0,009 11.32 1000 0,002 11.11 600 0,02 11.22 600 0,008 11.33 500 0,02 42 2.2. Случайные величины Случайная величина – это величина, которая в результате эксперимента принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Различают дискретные (принимает конечное или бесконечное, но счетное число значений) и непрерывные (принимает несчётное число значений на некотором интервале) случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины это соотношение между значениями случайной величины и вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти значения. Задается в виде таблицы распределения X 1 x 2 x … n x … p 1 p 2 p … n p … Основное свойство вероятностей Числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства случайной величины называть числовыми характеристиками. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины Математическим ожиданием (среднее значение дискретной случайной величины X называется число Х p (2.6) Дисперсией случайной величины X называется величина 2 DX M X MX , (2.7) На практике для вычисления дисперсии чаще всего используют формулу 2 2 ( ) , DX M X MX (2.8) Среднеквадратическим отклонением или стандартным отклонением случайной величины X является корень из дисперсии X DX (2.9) Универсальным способом задания случайной величины (как непрерывной, таки дискретной) является функция распределения 43 ( ) F x P X x (2.10) Непрерывную случайную величину можно также определить, задавая ее плотность распределения. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения / ( ) ( ). f x F x (2.11) Условие нормировки ( ) 1. f x Связь между функцией распределения и плотностью случайной величины ( ) ( ) . x F x f t dt (2.12) Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число ( ) MX x f x dx (2.13) Дисперсией случайной величины X называется величина 2 2 ( ) ( ) DX M X MX x MX f x dx , (2.14) Для вычисления дисперсии более удобно пользоваться формулой 2 2 ( ) ( ) DX x f x dx MX , (2.15) Среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется также, как и для дискретной (2.9). Центральные и начальные моменты случайных величин Начальным моментом порядка k случайной величины называется математическое ожидание й степени этой величины 44 ( ). k k M X (2.16) Центральным моментом порядка k случайной величины называется математическое ожидание величины ( ) k X MX : ( ) k k M X MX (2.17) Центральные моменты можно выразить через начальные 2 2 2 1 DX , 3 3 3 1 2 1 3 2 ; 2 4 4 4 1 3 1 2 1 4 6 3 Более подробно теоретический материал изложен в учебном пособии [1]. Примеры решения задач Пример Пусть случайная величина X число учащихся во взятом наудачу классе школы № 3 г. Донецка (в школе всего 12 классов. В результате испытания (выбора наудачу класса) все множество элементарных исходов можно представить в виде 1 2 12 , , ..., , где 1 2 12 , , ..., – соответственной, й, . . ., й класс. Здесь , ( ), 1,2,...,12 i X i — число учащихся в м классе. Например, 1, 2 12 ( ) 31, ( ) 28, ...., ( ) 36 X X X , то есть число учащихся во взятом наудачу классе школы № 3 г. Донецка (случайная величина X ) является функцией элементарных исходов Пример В лотерее разыгрываются холодильник стоимостью 5 000 ден. ед, 4 кухонных комбайна стоимостью 250 ден. ед, 5 DVD плееров стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1 000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет. Решение. Возможные значения случайной величины X чистого выигрыша на один билет равны 0 – 7= –7 ден. ед. (если билет не выиграл, 200 – 7=193 ден. ед, 250 – 7 =243 и 5 000 – 7 =4993 ден. ед. если на билет выпал выигрыш соответственно плеера, кухонного комбайна или холодильника. Учитывая, что из 1 000 билетов число не выигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и, используя классическое определение вероятности, получим 45 990 5 ( 7) 0,99; ( 193) 0,005; 1000 1000 4 1 ( 243) 0,004; ( 4993) 0,001. 1000 1000 P X P X P X P X То есть ряд распределения имеет вид i x -7 193 243 4993 i p 0,99 0,005 0,004 0,001 Пример Известны законы распределения случайных величин X и Y количество светофоров из 10, которые проедут без остановки первая и вторая машины. i x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i p 0,15 0,11 0,04 0,05 0,04 0,1 0,1 0,04 0,05 0,12 0,2 j y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 j p 0,01 0,03 0,05 0,09 0,11 0,24 0,21 0,1 0,1 0,04 0,02 Необходимо выяснить, какая из двух машин проедет лучше. Решение. Рассматривая ряды распределения случайных величин X и Y , ответить на этот вопрос далеко непросто из-за большого количества числовых значений. Многоугольники полигоны) распределения вероятностей случайных величин X и Y представлены на рис. 2.1. Очевидно, что из двух машин лучше проедет тау которой в среднем меньше остановок на светофорах. Рис. 2.1. Многоугольники распределения вероятностей Рассчитаем математическое ожидание числа остановок для каждой из машин по формуле (2.6): 0 0,15 1 0,1 2 0,04 ... 9 0,12 10 0,2 5,36 MX , 0 0,01 1 0,03 2 0,05 ... 9 0,04 10 0,02 5,36 MY , то есть среднее число остановок на светофорах у двух машин одинаковое. 46 Рассчитаем дисперсию по определению (2.7): 2 2 2 (0 5,36) 0,15 (1 5,36) 0,11 ... (10 5,36) 0,2 13,61 DX 2 2 2 (0 5,36) 0,01 (1 5,36) 0,03 ... (10 5,36) 0,02 4,17 DY При равенстве средних значений числа остановок ( MX MY ) дисперсия у второй машины меньше ( DY DX ), те. она проедет лучше. Найти дисперсии можно, используя формулу (2.8). Например, 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 0 0,15 1 0,1 2 0,04 ... 9 0,12 10 0, 2 42,34. n i i i M X x p и 2 2 2 ( ) ( ) 42,34 5,36 13,61 DX M X МХ Пример 2.10. Дан закон распределения дискретной случайной величины. Найти а) неизвестное значение вероятности р б) характеристику положения (математическое ожидание в) характеристики рассеивания (дисперсию, среднеквадратичное отклонение г) характеристики формы плотности (асимметрию, эксцесс д) интегральную функцию распределения и построить ее график. Решение Неизвестное значение вероятности найдем из условия 1 0,3 i i i x p p . Для вычисления числовых характеристик построим следующую таблицу i x -5 -3 -1 1 3 i p 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 1 i i x p -1 -0,9 -0,3 0,1 0,3 -1,8 2 i i x p 5 2,7 0,3 0,1 0,9 9 Математическое ожидание 1 0,9 0,3 0,1 0,3 1,8 i i i Mx x p Дисперсия 2 2 2 ( ) 9 ( 1,8) 5,76 Dx Mx Mx Среднеквадратичное отклонение 5,76 Х -5 -3 -1 1 3 Р 0,2 р 0,3 0,1 0,1 47 Коэффициент асимметрии 3 3 ( ) M А, Эксцесс 4 4 ( ) 3 M X MX Ex . Для их вычисления найдем закон распределения случайной величины X MX : X MX -5,7 -2,7 0,3 3,3 6,3 i p 0,1 0,2 0,5 0,1 0,1 1 3 ( ) i X MX p -18,52 -3,937 0,0135 3,5937 25,0047 6,336 4 ( ) i X MX p 105,56 10,629 0,004 11,859 157,529 80,9472 Тогда 3 3 6,336 ( ) 6,336, 0, 458 2, 4 M А 4 80,9472 ( ) 80,9472 3 0,56 2, 4 M X MX Ex Интегральная функция распределения 0, 5 0, 2, 5 3 0,5, 3 1 ( ) 0,8, 1 1 0,9, 1 3 1, 3 x x x F x x x x F(x) 1 0,9 0,8 0,1 -5 -3 -1 0 1 3 х Рис. 2.2. Интегральная функция распределения вероятностей 48 Пример Плотность распределения случайной величины задана функцией 2 ( ) 1 C f x x . Найти значение постоянной C . Решение. Согласно свойству нормировки, имеем 2 то есть Тогда lim или 1 2 2 C и, наконец получаем 1 C , значит Пример 2.12. Задана плотность распределения f(x) случайной величины Х. Найти а) коэффициент С б) функцию распределения F(x); в) математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение г) вероятность того, что случайная величина Х попадает в интервал ( ; ) ; 3 0, 1, ( ) , 1 С х , =2 =4. Решение Значение С находим из условия ( ) 1 f x dx , 3 1 3 3 2 1 1 3 4 9 ( ) 0 0 2 С x С х dx dx С С х 3 0, 1,3 , ( ) 9 , 1, 4 4 x f х 49 Интегральная функция распределения ( ) ( ) x F x f t dt . Рассмотрим интервалы 1) 1, ( ) 0 0 x x F x dt ; 2) 3 2 2 1 1 9 9 1 9 9 1 3, ( ) 4 4 2 8 8 x x x F x t х ; 3) 3 3 1 3 9 3, ( ) 0 1 4 x x F x t Получаем 2 0, 1, 9 9 ( ) , 1 3, 8 8 1, 3. x F х Математическое ожидание 3 3 2 1 1 9 9 3 ( ) ) 4 4 2 Mx xf x х , 3 3 2 2 1 1 1 9 9 9 ( ) ln ln 3 2, 47 4 4 4 Mx x f x dx x dx x . Дисперсия 2 2 2 2,47 1,5 0,221878 Dx Mx Mx . Среднеквадратичное отклонение 0,221878 0,471039 Dx . Вероятность того, что случайная величина Х попадает в интервал (3;4) равна ( ; ) ( ) ( ) P x F F ; 27 (2;4) (4) (2) 1 0,15625 32 P x F F Задания для самостоятельного решения 2.16. Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди наудачу взятых четырех приборов. Найти числовые характеристики этой случайной величины. 2.17. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из этих значений равна 0,8. Найти функцию распределения 50 этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия – 0,16. 2.18. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75 и для четвертого – 0,7. Составить закон распределения случайной величины Х – числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. 2.19. Впервой урне содержится 6 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из первой урны наудачу берут 2 шара и перекладывают во вторую, а затем из второй берут наудачу один шар и перекладывают в первую урну. Составить закон распределения числа белых шаров впервой и во второй урнах. 2.20. Экзаменатор задает студенту вопросы до тех пор, пока студент правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту вопросов. 2.21. Вероятность того, что необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые придется посетить студенту, если в городе их 5. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины. 2.22. У коммивояжера есть 5 телефонных номеров потенциальных покупателей, которым он звонит до тех пор, пока не получит заказ. Вероятность того, что наудачу выбранный клиент сделает заказ, равна 0,4. Найти закон распределения, функцию распределения, а также математическое ожидание и дисперсию случайной величины – числа телефонных разговоров, сделанных коммивояжером. 2.23. Абитуриент, поступающий в вуз должен сдать ГИА потрем предметами. Вероятность успешной сдачи первого предмета равна 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий предмет абитуриент сдает только в случае, если он сдал предыдущий. Составить закон распределения случайной величины – количество сданных предметов. 2.24. Стрелок, имея 4 патрона, стреляет по удаляющейся мишени до первого попадания. Вероятность попадания при первом выстреле 0,6, при каждом последующем уменьшается на 0,1. Найти закон распределения случайной величины – числа израсходованных патронов. Найти ее математическое ожидание и дисперсию. Построить функцию распределения и построить ее график. 2.25. В ремонт поступило 10 компьютеров, из которых семь нуждаются в переустановке системы. Мастер, желая выбрать компьютер, нуждающийся в переустановке, берет их поочередно и найдя такой 51 компьютер, прекращает поиски и занимается ремонтом. Составить закон распределения случайной величины – числа просмотренных компьютеров. Найти математическое ожидание и дисперсию. Построить функцию распределения и ее график. 2.26. Клиент забыл последнюю цифру пароля, однако помнит, что она нечетная. Найти закон распределения случайной величины – числа попыток набора кода до входа в систему, если последнюю цифру он набирает наудачу и набранную уже не использует. Найти математическое ожидание и дисперсию. Найти функцию распределения и ее график. 2.27. Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины – числа попыток открытия замка. Найти математическое ожидание и дисперсию. Построить функцию распределения и ее график. 2.28. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х i x 0 1 3 i p 0,2 0,5 У i y 2 3 i p 0,4 Найти неизвестные значения вероятностей и числовые характеристики этих случайных величин. Составить закон распределения случайной величины 3 2 X Y и проверить выполнение свойств математических ожиданий и дисперсий. 2.29. На двух приборах производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение часа на каждом из приборов На первом Х i x 0 1 2 i p 0,1 0,6 0,3 На втором У i y 0 2 i p 0,5 0,5 52 Необходимо составить закон распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на обоих приборах. 2.30. Случайные величины Хи У независимы и имеют один и тот де закон распределения Значения 1 2 4 i p 0,2 0,3 0,5 Составить закон распределения случайных величин 2X и Проверить, что 2X X Y , однако (2 ) ( ) M X M X Y . Убедиться в том, что 2 X XY , однако 2 ( ) ( ) M XY M X 2.31. Два стрелка стреляют по мишени дважды. Для первого вероятность попадания в мишень равна 0,6, а для второго – 0,7. Необходимо составить закон распределения общего числа попаданий, найти числовые характеристики этой случайной величины. 2.32. Пусть случайные величины доход фирмы, а затраты навыпуск некоторой продукции. Их законы распределения имеют вид i x 3 4 5 i p 1 3 1 3 1 3 i y 1 2 i p 1 2 1 Найти распределение случайной величины – прибыли предприятия Z X Y . И ее среднее значение. 2.33. Пусть случайные величины доход фирмы в долларовом эквиваленте, а курс доллара по отношению к рублю. Их законы распределения имеют вид i x 1000 2000 i p 0,7 0,3 i y 25 75 i p 0,4 0,6 Предполагая, что выручка не зависит от курса доллара, найти распределение дохода фирмы в рублях Z XY , найти средний доход фирмы. 53 2.34. Сделано два высокорисковых вклада 10 тыс. рублей в компанию Аи тысяч в компанию В Первая компания обещает 50% годовых, вторая – 40%. При этом первая компания может разориться с вероятностью 0,2, а вторая – с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка, полученной от двух компаний через год и найти ее среднее значение. 2.35. Дискретная случайная величина задана законом распределения i x 1 2 3 4 5 i p 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 Найти условную вероятность события 5 X , при условии, что 2 X 2.36. Случайные величин 1 2 , X X независимы и имеют один и тот же закон распределения i x 0 1 2 3 i p 1 4 1 4 1 4 1 Найти вероятность события 1 2 2 X X . Найти условную вероятность 1 2 1 ( ) 2 /( 1) P X X X 2.37. Распределение дискретной случайной величины X задано формулой 2 ( ) P X k Ck , где 1,2,3,4,5. k Найти константу C и вероятность события 2 1 X 2.38. Распределение дискретной случайной величины X задано формулой ( ) 2 k C P X k , где 1,2,..... k Найти константу C и вероятность события 3 X 2.39. Дана функция распределения случайной величины 0, 1; 0,3, 1 2; ( ) 0,7, 2 3; 1, 3. x x F x x x Найти закон распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсию, построить многоугольник распределения и график ( ) F x 54 2.40. Случайная величина X , сосредоточенная на интервале 1; 3 , задана функцией распределения 1 1 4 4 F x Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал 0; 2 . Построить график функции распределения. 2.41. Случайная величина X , сосредоточенная на интервале 2; 6 , задана функцией распределения 2 1 ( 4 4). 16 F x x Найти вероятность того, что случайная величина примет значения меньше 4. Меньше 6. Не меньше 3. Не меньше 6. 2.42. Случайная величина X , сосредоточенная на интервале 1; 4 , задана квадратичной функцией распределения 2 , F ax bx c имеющей максимум при 4 x . Найти параметры , , a b c и вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал 2; 3 2.43. Дана функция 0, 0; ( ) , 0. x x f x Cxe x При каком значении константы C эта функция является плотностью распределения случайной величины. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 2.44. Случайная величина задана функцией распределения 2 0, 0; ( ) , 0 1 1, 1. x F x x x x Найдите плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение. Построить графики плотности и функции распределения. Найти вероятности ( 0,5); ( 0,5); (0,5 1). P X P Индивидуальные задания Индивидуальное задание 12 Выполнить задания, используя теорию дискретных случайных величин. Определить закон распределения дискретной случайной величины X . Найти математическое ожидание ) (X M , дисперсию ( ) D X Построить 55 полигон распределения. Найти функцию распределения, построить ее график i x 7 11 15 19 12.2 i x 6 9 12 15 i p 0,6 p 2 0,1 0,1 i p 0,3 0,3 0,1 p 4 12.3 i x 1 4 7 10 12.4 i x 1 4 7 10 р 0,3 0,1 0,4 р 0,2 0,3 0,4 12.5 i x 4 6 8 х 12.6 i x 1 3 х 7 р 0,1 0,1 0,1 р 0,5 0,1 0,2 12.7 i x 2 5 8 11 12.8 i x 7 9 11 р 0,1 0,3 р 0,1 0,1 12.9 i x 3 5 7 9 12.10 i x 2 6 10 14 р 0,1 0,1 р 0,4 0,1 12.11 i x -1 2 5 8 12.12 i x 4 6 8 10 р 0,3 0,1 i p 0,1 р 0,2 12.13 i x 4 7 10 13 12.14 i x 3 6 9 12 i p 0,3 0,3 р 0,2 i p 0,4 р 0,1 12.15 i x 2 7 12 17 12.16 i x -2 1 4 7 i p 0,2 0,4 0,3 р i p 0,1 0,5 0,2 р 12.17 i x 4 8 12 16 12.18 i x 3 7 11 15 i p 0,5 0,2 0,1 р i p 0,3 0,2 0,1 р 12.19 i x 5 8 11 14 12.20 i x -3 0 3 6 р 0,1 0,1 р 0,1 0,1 12.21 i x 4 9 14 19 12.22 i x 3 7 11 15 i p 0,2 р 0,4 i p 0,2 0,3 0,4 р 12.23 i x 5 9 12 15 12.24 i x -4 -1 2 5 р 0,3 0,3 0,2 р 0,5 0,3 0,1 56 12.25 i x 2 4 6 8 12.26 i x 8 12 16 20 р 0,2 0,1 0,2 р 0,1 0,2 12.27 i x 1 3 5 7 12.28 i x 1 2 3 4 р 0,1 0,3 р 0,1 0,4 0,1 12.29 i x -1 0 1 2 12.30 i x -1 1 3 5 р 0,2 0,1 0,1 i p 0,1 р 0,3 0,4 12.31 i x 0 1 3 5 12.32 i x 3 6 9 12 i p 0,2 р 0,5 i p 0,3 0,3 0,1 р Индивидуальное задание 13 Задана плотность распределения ) (x f непрерывной случайной величины X . Найти математическое ожидание ) (X M 13.1 4 / 0 2 sin 2 4 / 0 0 ; x, x ; ; x , x f 13.2 2 / 3 0 3 cos 3 1 2 / 3 0 0 ; , x x ; ; x , x f 13.3 , , x e ; , , x x f x 0 5 0 0 5 13.4 2 0 4 sin 4 1 2 0 0 ; , x x ; ; x , x f 13.5 4 / 0 2 cos 2 4 / 0 0 ; x, x ; ; x , x f 13.6 , , x e ; , , x x f x 0 0 0 13.7 10 / 0 5 sin 5 10 / 0 0 ; x, x ; ; x , x f 13.8 8 / 0 4 cos 4 8 / 0 0 ; x, x ; ; x , x f 13.9 , , x e ; , , x x f x 0 3 0 0 3 13.10 ; , x x ; ; x , x f 0 2 sin 2 1 0 0 13.11 ; , x x ; ; x , x f 0 2 cos 2 1 0 0 13.12 , , x e ; , , x x f x 0 3 1 0 0 3 / 13.13 6 / 0 3 sin 3 6 / 0 0 ; x, x ; ; x , x f 13.14 10 / 0 5 cos 5 10 / 0 0 ; x, x ; ; x , x f 57 13.15 , , x e ; , , x x f x 0 2 0 0 2 13.16 8 / 0 4 sin 4 8 / 0 0 ; x, x ; ; x , x f 13.17 2 / 5 0 5 cos 5 1 2 / 5 0 0 ; , x x ; ; x , x f 13.18 , , x e ; , , x x f x 0 2 1 0 0 2 / 13.19 2 / 3 0 3 cos 3 1 2 / 3 0 0 ; , x x ; ; x , x f 13.20 2 0 4 cos 4 1 2 0 0 ; , x x ; ; x , x f 13.21 , , x e ; , , x x f x 0 4 0 0 4 13.22 2 / 5 0 5 sin 5 1 2 / 5 0 0 ; , x x ; ; x , x f 13.23 6 / 0 3 cos 3 6 / 0 0 ; x, x ; ; x , x f 13.24 , , x e ; , , x x f x 0 4 1 0 0 4 / 13.25 12 / 0 6 sin 6 12 / 0 0 ; x, x ; ; x , x f 13.26 , , x e ; , , x x f x 0 5 1 0 0 5 / 13.27 3 0 6 cos 6 1 3 0 0 ; , x x ; ; x , x f 13.28 5 0 10 cos 10 1 5 0 0 ; , x x ; ; x , x f 13.29 , , x e ; , , x x f x 0 7 1 0 0 7 / 13.30 , , x e ; , , x x f x 0 9 1 0 0 9 / 13.31 5 0 10 cos 10 1 5 0 0 ; , x x ; ; x , x f 13.32 20 / 0 10 sin 10 20 / 0 0 ; x, x ; ; x , Индивидуальное задание 14 Найти постоянную величину с , учитывая, что ) (x f – плотность распределения непрерывной случайной величины X , вычислить ее математическое ожидание ) (X M , дисперсию ) (X D , начальные k и центральные k моменты ( 4 , 3 , 2 , 1 , 0 k ). Построить графики плотности ) (x f и функции распределения ) (x F 58 14.1 32 1 0 32 1 5 9 , x , ; , , x x c x f 14.2 1 0 0 1 0 3 7 , x , ; , , x x c x f 14.3 1 0 0 1 0 5 7 , x , ; , , x x c x f 14.4 1 0 0 1 0 5 8 , x , ; , , x x c x f 14.5 32 0 0 32 0 5 8 , x , ; , , x x c x f 14.6 1 32 / 1 0 1 32 / 1 5 4 , x , ; , , x x c x f 14.7 1 0 0 1 0 5 1 , x , ; , , x x c x f 14.8 32 / 1 0 0 32 / 1 0 5 2 , x , ; , , x x c x f 14.9 16 1 0 16 1 4 5 , x , ; , , x x c x f 14.10 2 1 0 2 1 5 , , x ; , , x x c x f 14.11 8 1 0 8 1 3 5 , x , ; , , x x c x f 14.12 1 16 / 1 0 1 16 / 1 4 3 , x , ; , , x x c x f 14.13 1 0 0 1 0 5 3 , x , ; , , x x c x f 14.14 1 0 0 1 0 5 7 , x , ; , , x x c x f 14.14 32 1 0 32 1 5 1 , x , ; , , x x c x f 14.16 32 0 32 0 0 5 4 , , x x c ; , , x x f 14.17 8 1 0 8 1 3 2 , x , ; , , x x c x f 14.18 8 0 0 8 0 3 4 , x , ; , , x x c x f 14.19 9 4 0 9 4 2 3 , x , ; , , x x c x f 14.20 16 9 0 16 9 2 5 , x , ; , , x x c x f 14.21 4 3 0 4 3 3 , , x ; , , x x c x f 14.22 3 1 0 3 1 4 , , x ; , , x x c x f 14.23 16 1 0 16 1 , 4 , , x ; , x x c x f 14.24 3 2 0 3 2 2 , , x ; , , x x c x f 14.25 4 1 0 4 1 , , x ; , , x x c x f 14.26 8 1 0 8 1 3 , , x ; , , x x c x f 14.27 4 1 0 4 1 2 1 , x , ; , , x x c x f 14.28 8 1 0 8 1 3 1 , x , ; , , x x c x f 59 14.29 16 1 0 16 1 4 1 , x , ; , , x x c x f 14.30 1 8 0 1 8 3 , , x ; , , x x c x f 14.31 1 0 0 1 0 6 1 , x , ; , , x x c x f 14.32 16 4 0 16 4 , x , ; , , Индивидуальное задание 15 Задана интегральная функция распределения ) (x F случайной величины X . Найти плотность распределения ) (x f 15.1 2 1 2 0 2 2 2 0 0 x , ; x , x x ; x , x F 15.2 4 1 4 2 2 2 2 0 x , ; x , x ; , x x F 15.3 2 1 1 arctgx x F 15.4 0 1 0 0 2 , x e ; x , x F x 15.5 0 2 1 1 0 2 1 3 3 x e ; , x e x F , x x 15.6 ; x , х x , x F 1 1 1 1 2 arcsin 2 2 1 2 1 0 15.7 2 1 2 0 sin 0 0 , x ; x x, ; , x x F 15.8 3 1 1 3 1 1 4 3 4 3 1 0 x , ; x , x ; x , x F 15.9 2 1 2 2 2 arcsin 1 2 1 2 0 x , х x , x F 15.10 3 1 3 6 3 cos 6 0 x , ; x x, ; x , x F 15.11 1 1 1 0 0 0 2 , x ; x , x ; , x x F 15.12 1 1 1 0 2 0 0 x , ; x , x x ; x , x F 15.13 0 0 sin 3 0 6 1 6 , x ; F x x, x ; , x 15.14 0 0 1 cos 0 2 1 2 , x ; F x x, x ; , x 60 15.15 4 / 1 1 4 / 1 0 3 4 0 0 2 x , ; x x, x ; x , x F 15.16 0 1 0 1 1 1 0 2 x , ; x , x ; x , x F 15.17 2 1 2 1 1 1 0 3 x , ; x , x ; x , x F 15.18 0 1 0 2 2 25 , 0 2 0 2 x , ; x , x ; x , x F 15.19 2 / 1 1 2 / 1 0 2 / 3 0 0 2 x , ; x , x x ; x , x F 15.20 2 1 2 0 5 0 0 0 x , x x, , ; , x x F 15.21 0 0 1 cos 2 0 1 , x ; F x x , x ; , x 15.22 0 2 1 1 0 2 1 2 2 , x e ; x e x F x , x 15.23 ) ( 2 x e arctg x F 15.24 0 1 0 0 3 , x e ; x , x F x 15.25 2 1 2 1 1 1 0 , x ; x , x ; , x x F 15.26 2 1 2 1 1 1 0 2 x , ; x , x ; x , x F 15.27 1 1 1 0 0 0 3 , x ; x , x ; , x x F 15.28 4 / 1 4 / 0 2 cos 1 0 0 x , ; x x, ; x , x F 15.29 4 1 4 1 3 1 1 0 , x ; x , x ; , x x F 15.30 2 1 2 1 81 1 1 0 4 x , ; x , x ; x , x F 15.31 2 1 2 1 2 2 1 0 2 x , ; x , x x ; x , x F 15.32 1 1 1 3 64 3 3 0 3 x , ; x , x ; x , x F |