тест. Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки

• Название: Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки
• Дата: 01.01.2023
• Размер: 6.9 Mb.
• Имя файла: Teoria_veroyatnostey_zadachi.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #870162
• страница: 4 из 12

2.1. Схема Бернулли Последовательность
n
независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие Ас вероятностью ( )
P или противоположное ему событие A с вероятностью
( ) 1
P A
p
 
, называется схемой Бернулли. Вероятность того, что в серии из
n
испытаний событие А произойдет k раз определяется формулой Бернулли
( )
,
0,1,2,..., .
k
k
n k
n
n
P k
C
p
q
k
n





(2.1) Наивероятнейшим числом появления случайного события А в результате
n
независимых испытаний по схеме Бернулли называется такое число
0
k
, для вероятности которого выполнено
0
( )
( )
n
n
P k
P k

для всех
0
k
k

Это число находится из двойного неравенства
0
np
q
k
np
p
 


(2.2) Предельные теоремы в схеме Бернулли Локальная теорема Муавра-Лапласа. В тех случаях, когда число повторений
n
велико (
15
n

), а вероятность
p
неблизка к нулю
(
0,05 (
0,95))
p
q


, для вычисления вероятности того, что событие произойдет k разв независимых испытаниях используется приближенная формула
1
( )
( ),
n
P k
x
npq



где
2 2
1
( )
2
x
x
e




,
k
np
x
npq


[1, с. 36].
(2.3) Теорема Пуассона. Если число повторений
n
велико (
15
n

), а вероятность
p
близка к нулю (
0,05 (
0,95))
p
q


, то для вычисления вероятности того, что событие
A
произойдет k разв независимых испытаниях используется приближенная формула
( )
,
,
!
k
n
e
P k
np
k






(2.4)

34 Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность
p
в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что число появления события А заключено в некотором интервале
1 2
k
k
k
 
находится по приближенной формуле
1 2
2 1
(
)
( )
( )
n
P k
k
k
x
x
 
 
 
,
(2.5) где
2 2
0 1
( )
,
2
x
t
x
e
dt





1 2
1 2
,
k
np
k
np
x
x
npq
npq




[1, с. 37]. Примеры решения задач Пример 2.1. Из партии деталей, изготовленных станком, брак в которой 20%, наудачу отбирают 5 деталей. Найти вероятность событий
1
B
– среди отобранных ровно 1 брак
2
B
– среди отобранных ровно 3 стандартных
3
B
– среди отобранных не больше двух бракованных. Решение. Схема Бернулли испытание – проверка детали, событие
A – брак,
5,
0,2
n
p


. Тогда, используя формулу (2.1) получим
 
1 1
4 1
5 5
(1)
0,2 0,8 0,41;
B
C

 Если среди отобранных ровно 3 стандартных, то бракованных
5 3 2
 
. Тогда
 
 
2 2
3 2
5 5
2 0,2 0,8 0,20;
B
C

 




 




 
 
 
3 5
5 5
5 5
0 2
0 1
2 0,8 0, 41 0, 20 0,33 0,
3 стан д 







  
 Пример 2.2. Из урны, содержащей три шара, один из которых красный, наудачу извлекают по одному с возвращением 50 шаров. Найти наивероятнейшее число красных шаров. Решение. Если событие A – извлечение красного шара, то
 
1 2
,
3 3
p
A
q
 


. Наивероятнейшее число извлеченных красных шаров удовлетворяет двойному неравенству (2.2):
0 0
1 2
1 1
50 50
,
3 3
3 3
48 51 3
3
k
k
  

 Те, будет два наивероятнейших числа
0 16 и Вычислим эту наибольшую вероятность
 
16 34 16 50 50 1
2 16 3
3 0,12.
C
   




   
   Пример 2.3. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Испытывают 10 элементов. Найти а) вероятность того, что

35 испытание не выдержат ровно 2 элемента б) наивероятнейшее число элементов, выдержавших испытание. Решение. а) Формула Бернулли
( )
k
k
n k
n
n
P k
C p q



,
10,
0,1,
0,9,
2.
n
p
q
k




2 2
8 8
10 10
(2)
0,1 0,9 45 0,01 0,9 0,1937
P
С





б) Наивероятнейшее число элементов, выдержавших испытание, найдем из двойного неравенства
0
np
q
k
np
p
 


, где 10 0,9 0,1 10 0,9 0,9
k



 

,
0 0
8,9 Пример 2.4. Брак в продукции некоторого станка составляет 10%. Детали наудачу фасуются по 100 штук в коробке. Найти вероятность того, что в коробке будет 13 бракованных деталей. Не более 15 деталей с браком. Решение. Используем локальную теорему Муавра-Лапласа (2.3): п 
 
0 100 13 10 1
1 1.
13 1
0, 24197 0,08.
3 х Те. в 8% коробок будет по 13 бракованных деталей. Не более 15 бракованных
1 2
0 10 15 10 3,33,
1,67 3
3
х
х



 










100 0;15 1,67 3,33 0,4525 0,4996 0,95.

 
  

 В 95% коробок число бракованных не более деталей. Пример 2.5. На экономическом факультете учатся 1460 студентов. Какова вероятность того, что 25 июля является днем рождения одновременно 5 студентов Решение Вероятность того, что день рождения студента 25 июля равна
1 365
p

. Так как
1 1460 4 10 365
np




 
, вероятность p мала, а
1460 50
n


– велико, то используем формулу Пуассона (2.4):
5 4
1460 Пример 2.6. Всхожесть семян некоторой культуры равна 80%. Сколько семян надо посеять, чтобы с вероятностью 0,95

проросших было не менее 100? Решение.


0,8
? Используем интегральную теорему Муавра Лапласа (2.5):

36 0,8 100 0,8 0,95 0,8 0, 2 0,8 0, 2 0,8 100 0,95 2
0, 4
n
n
n
n
n
n
n
n




 
 

 



















 









Т.к.
100
n

то
5 2
n

и
0,5 Значит


0,8 100 0, 45 1,64 0, 4
n
n





 В силу возрастания
 
x

, имеем
2 0,8 100 1,64 0,85 125 0
0, 4 23, 2 0,82 22,38 11,6 2
2 0
11,6 134,6 135
n
n
n
n
n
n
n


 













 Если посеять хотя бы 135 семян, то число давших всходы будет 100 штуки больше с надежностью 0,95. Задания для самостоятельного решения
2.1. Монету подбросили 5 раз. Найти вероятность того, что герб появится а) ровно два раза б) не более двух разв) не менее двух и не более четырех раз.
2.2. Четыре процента деталей, изготовляемых в цехе, обычно бракуются. Для контроля было взято 6 деталей. Какова вероятность того, что среди них ровно 2 бракованные Нет бракованных Все бракованные
2.3. В квартире 4 лампочки. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не меньше половины лампочек
2.4. В магазин вошли 8 покупателей. Найти вероятность того, что 3 из них совершат покупку, если вероятность совершить покупку для каждого равна 0,3.
2.5. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадения двойки было равно 32?
2.6. На станке изготовили 90 деталей. Чему равна вероятность изготовления на этом станке детали первого сорта, если наивероятнейшее число таких деталей в данной партии равно 82?

37 2.7. Игральная кость налита свинцом таким образом, что вероятность выпадения каждой грани пропорциональна числу очков на ней. Чему равна вероятность того, что при 98 подбрасываниях четное число очков выпадет наивероятнейшее число раз
2.8. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины (число женщин и мужчин в городе одинаково.
2.9. Поданным телевизионного ателье в течение гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из 46 наугад выбранных кинескопов 36 проработают гарантийный срок
2.10. Среднее число заявок, поступивших на предприятие бытового обслуживания за час равно четырем. Найти вероятность того, что за 3 часа поступит заявок а) 6; б) не менее 6; в) менее 6.
2.11. Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна
0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл Окажется ровно одно бракованное сверло
2.12. Среди семян пшеницы 0,6% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить ровно 6 семян сорняков
2.13. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760?
2.14. На склад поступает продукция трех фабрик, причем изделия первой фабрики на складе составляют 30%, второй – 32%, третьей – 38%. В продукции первой фабрики 60% изделий высшего сорта, второй – 25%, третьей – 50%. Найти вероятность того, что среди 300 наудачу взятых со склада изделий, число изделий высшего сорта заключено между 130 и
170.
2.15. С конвейера сходит в среднем 85% изделий отличного качества. Сколько изделий следует изготовить, чтобы с вероятностью
0,997 отклонение относительной частоты изделий отличного качества от вероятности не превосходило по абсолютной величине 0,01? Индивидуальные задания Индивидуальное задание 8 Выполнить задания, используя формулу Бернулли
8.1. Игральная кость бросается 8 раз. Найти вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем. Найти наивероятнейшее число.

38 8.2. Среди продукции завода – 90 % годной. Найти вероятность того, что среди 6 изделий будет не более 2 бракованных. Найти наивероятнейшее число.
8.3. Вероятность некоторого события равна 0,6. Найти вероятность того, что событие произойдет в большинстве случаев при 6 испытаниях. Найти наивероятнейшее число.
8.4. Монета бросается 7 раз. Найти вероятность того, что герб появится не менее 6 раз. Найти наивероятнейшее число.
8.5. Сбрасывается 4 бомбы. Вероятность попадания в цель каждой
0,3. Найти вероятность не более чем одного попадания в цель. Найти наивероятнейшее число.
8.6. Производится 7 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в каждом – 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий будет не меньше хине больше х. Найти наивероятнейшее число.
8.7. На участке имеется 6 станков, вероятность выхода из строя для каждого – 0,1. Найти вероятность выхода из строя не более двух станков. Найти наивероятнейшее число.
8.8. Изделия некоторого производства содержат 6 % брака. Найти вероятность того, что среди 6 изделий будет 2 бракованных. Найти наивероятнейшее число.
8.9. Игральная кость бросается 10 раз. Какова вероятность, что не менее 8 раз выпадет число очков, больше х. Найти наивероятнейшее число.
8.10. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что в партии из 10 изделий бракованных будет не более двух. Найти наивероятнейшее число.
8.11. Вероятность поражения цели одной ракетой – 0,6. Проведен залп из 8 стволов. Какова вероятность, что в цель попали 3 ракеты Найти наивероятнейшее число.
8.12. Среди лотерейных билетов 10 % выигрышных. Найти вероятность того, что среди 4 билетов один выигрышный. Найти наивероятнейшее число.
8.13. Среди учебников 30% с вырванными страницами. На группу выдано 6. Какова вероятность, что среди них не более одного испорченного Найти наивероятнейшее число.
8.14. Завод отправил на базу 4 станка. Вероятность повреждения в пути одного равна 0,2. Найти вероятность того, что будет повреждено менее двух станков. Найти наивероятнейшее число.
8.15. Прибор состоит из 6 независимо работающих блоков. Какова вероятность отказа трех блоков, если для одного блока она равна 0,1? Найти наивероятнейшее число.

39 8.16. На участке 7 станков, вероятность отказа каждого – 0,2. Определить вероятность того, что ни один станок не выйдет из строя. Найти наивероятнейшее число.
8.17 Вероятность брака – 0,01. Найти вероятность того, что среди 6 деталей не более одной бракованной. Найти наивероятнейшее число.
8.18. Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 6 очков появятся не более двух раз. Найти наивероятнейшее число.
8.19. Вероятность попадания в цель миномета – 0,8. Произведено 6 выстрелов. Найти вероятность того, что цель будет поражена наивероятнейшее число раз. Найти наивероятнейшее число.
8.20. Игральная кость бросается 8 раз. Найти вероятность того, что
2 раза появится число очков, не меньше пяти. Найти наивероятнейшее число.
8.21. В популяции дрозофил мутанты составляют 6 %. Какова вероятность, что среди 10 мушек будет 3 мутанта Найти наивероятнейшее число.
8.22. Среди 9 колб с препаратом вероятность испорченного – 0,3. Какова вероятность, что будет испорченных 3 препарата Найти наивероятнейшее число.
8.23. Из ящика с деталями сборщик взял 3. Какова вероятность того, что среди них две окрашенных, если в партии деталей 40 % окрашенных Найти наивероятнейшее число.
8.24. Бросаются две игральные кости 4 раза. Какова вероятность того, что 2 раза появится четная сумма очков Найти наивероятнейшее число.
8.25. Вероятность, что при испытании нового аппарата произойдет авария, равна 0,06. Какова вероятность, что при 8 испытаниях авария произойдет не более одного раза Найти наивероятнейшее число.
8.26. Вероятность сбить самолет при одном выстреле – 0,1. Какова вероятность, что при пяти выстрелах самолет будет сбит Найти наивероятнейшее число.
8.27. Монета подбрасывается 6 раз. Какова вероятность, что она упадет гербом вверх не более х раз. Найти наивероятнейшее число.
8.28. Изделия фирмы содержат 6 % бракованных. Какова вероятность, что среди 6 изделий – два бракованных Найти наивероятнейшее число.
8.29. В хлопке 10 % коротких волокон. Найти вероятность того, что в наудачу взятом пучке из 10 волокон не более х коротких. Найти наивероятнейшее число.
8.30. На участке работает 6 станков. Все они однотипны. Вероятность, что за смену один станок выйдет из строя – 0,1. Определить вероятность, что за смену из строя выйдет не более одного станка. Найти наивероятнейшее число.

40 8.31. Среди облигаций 2 % выигрышных. Найти вероятность того, что среди 10 проданных облигаций 4 выигрышных. Найти наивероятнейшее число. Индивидуальное задание 9 Выполнить задания, используя предельные теоремы в схеме Бернулли Производится n независимых опытов, причем в каждом из них с вероятностью р появляется событие
A
. Найти вероятность того, что событие
A
появится ровно k раза) точно б) с помощью предельной теоремы в) сравнить результаты.
№ р
n
k
№
p
n
k
9.1 0,1 9
3 9.17 0,86 9
2 9.2 0,2 9
4 9.18 6/7 12 3
9.3 0,3 10 6
9.19 1/3 8
4 9.4 0,4 6
3 9.20 1/7 12 6
9.5 0,5 9
4 9.21 2/3 9
4 9.6 0,6 6
6 9.22 2/7 10 2
9.7 0,7 10 4
9.23 3/7 12 3
9.8 0,8 9
3 9.24 4/7 12 6
9.9 0,9 9
6 9.25 6/7 10 4
9.10 0,15 10 3
9.26 6/7 11 2
9.11 0,25 12 4
9.27 1/8 12 3
9.12 0,35 9
6 9.28 3/8 10 2
9.13 0,45 16 2
9.29 4/5 8
3 9.14 0,55 10 3
9.30 5/8 9
2 9.16 0,65 9
4 9.31 7/8 10 3
9.16 0,75 12 6
9.32 3/4 8
2 Индивидуальное задание 10 Выполнить задания, используя предельные теоремы в схеме Бернулли Производится
n
независимых опытов, причем в каждом из них с вероятностью p появляется событие
A
. Требуется а) найти вероятность того, что событие появится не менее k и не более
k
l

раз б) найти значение наивероятнейшего числа
0
k появления события
A
и вычислить его вероятность.

41
№
n
p
k
l
№
n
p
k
l
10.1 400 0,1 10 30 10.17 121 0,8 16 90 10.2 100 0,2 20 60 10.18 225 0,9 26 36 10.3 126 0,3 30 40 10.19 169 0,1 36 66 10.4 160 0,4 40 60 10.20 196 0,2 46 40 10.5 225 0,6 16 60 10.21 625 0,3 66 146 10.6 294 0,6 26 70 10.22 294 0,4 66 26 10.7 336 0,7 36 30 10.23 289 0,6 76 86 10.8 226 0,8 46 160 10.24 216 0,6 86 40 10.9 144 0,9 66 40 10.25 126 0,7 96 30 10.10 196 0,1 10 70 10.26 361 0,8 300 20 10.11 169 0,2 20 80 10.27 900 0,9 800 60 10.12 189 0,3 30 60 10.28 1000 0,1 100 80 10.13 96 0,4 40 30 10.29 196 0,2 40 40 10.14 121 0,6 60 60 10.30 400 0,8 300 40 10.15 160 0,6 60 60 10.31 289 0,1 200 60 10.16 626 0,7 70 240 10.32 676 0,4 400 100 Индивидуальное задание 11 Выполнить задания, используя предельные теоремы в схеме Бернулли Производится
n
независимых опытов, причем в каждом из них с вероятностью p появляется событие
A
. Найти вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз.