тест. Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
ЮН. Полшков Л.А. Гладкова А.В. Пелашенко Кафедра математики и математических методов в экономике Донецкого национального университета ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ГОУ ВПО ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ ЮН. Полшков Л.А. Гладкова А.В. Пелашенко ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки 38.00.00 Экономика и управление ДонНУ Донецк 2021 УДК 519.21+519.22(075.8) ББК В17я73 П Рекомендовано к изданию Ученым советом ГОУ ВПО Донецкий национальный университет. Протокол № 4 от 28.05.2021 г. Авторы Полшков ЮН, др экон. наук, канд. физмат. наук, доц, Гладкова Л.А., канд. физмат. наук, доц., Пелашенко А.В., старший преподаватель. Рецензенты Астапова Г.В. – др экономических наук, проф, вед. науч. сотр. отдела моделирования экономических систем ГУ Институт экономических исследований Машаров ПА. – канд. физмат. наук, доц. кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений ГОУ ВПО Донецкий национальный университет. Полшков ЮН. П Теория вероятностей и математическая статистика учебно- методическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки 38.00.00 Экономика и управление / ЮН. Полшков, Л.А. Гладкова, А.В. Пелашенко. – Донецк Изд-во ДонНУ, 2021. – 150 с. Учебно-методическое пособие обеспечивает методическую базу для проведения практических и лабораторных работ по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика. Материалы, изложенные в пособии, могут быть использованы для индивидуальной работы студентов, при дистанционном обучении, а также для самообразования. Пособие предназначено для бакалавров и специалистов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки 38.00.00 Экономика и управление, а также может быть полезно для магистров и аспирантов, применяющих в своих исследованиях вероятностные и статистические методы. УДК 519.21+519.22(075.8) ББК В17я73 © ЮН. Полшков, Л.А. Гладкова, А.В. Пелашенко, 2021 © ГОУ ВПО Донецкий национальный университет, 2021 3 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................. 6 Содержательный модуль 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................. 7 Примеры решения задач .......................................................................................... 10 Задания для самостоятельного решения ................................................................ 15 Индивидуальные задания ........................................................................................ 21 Индивидуальное задание 1 ................................................................................. 21 Индивидуальное задание 2................................................................................. 22 Индивидуальное задание 3 ......................................................... ………………23 Индивидуальное задание 4 ............................................................................. …24 Индивидуальное задание 5 ................................................................................. 27 Индивидуальное задание 6 ................................................................................. 27 Индивидуальное задание 7 ................................................................................. 29 Глава 2. СХЕМА БЕРНУЛЛИ. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ........................................................................................................ 33 2.1. СХЕМА БЕРНУЛЛИ ......................................................................................... 33 Примеры решения задач .......................................................................................... 34 Задания для самостоятельного решения ................................................................ 36 Индивидуальные задания ........................................................................................ 37 Индивидуальное задание 8 ................................................................................. 37 Индивидуальное задание 9................................................................................. 40 Индивидуальное задание 10 ....................................................... ………………40 Индивидуальное задание 11 ........................................................................... …41 2.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ............................................................................ 42 Примеры решения задач .......................................................................................... 44 Задания для самостоятельного решения ................................................................ 49 Индивидуальные задания ........................................................................................ 54 Индивидуальное задание 12 ............................................................................... 54 Индивидуальное задание 13 .............................................................................. 56 Индивидуальное задание 14 ....................................................... ………………57 Индивидуальное задание 15 ........................................................................... …59 Глава 3. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ........................... 61 Примеры решения задач .......................................................................................... 63 Задания для самостоятельного решения ................................................................ 65 Индивидуальные задания ........................................................................................ 70 Индивидуальное задание 16 ............................................................................... 70 Индивидуальное задание 17 .............................................................................. 72 4 Глава 4 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ................................................................................................................ 74 Примеры решения задач .......................................................................................... 75 Задания для самостоятельного решения ................................................................ 78 Индивидуальные задания ........................................................................................ 79 Индивидуальное задание 18 ............................................................................... 79 Индивидуальное задание 19 .............................................................................. 79 Индивидуальное задание 20 ....................................................... ………………80 Индивидуальное задание 21 ........................................................................... …81 Глава 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ................................. 82 5.1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ............................ 82 Примеры решения задач .......................................................................................... 83 Задания для самостоятельного решения ................................................................ 84 Индивидуальные задания ........................................................................................ 86 Индивидуальное задание 22 ............................................................................... 86 5.2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ … ............................ 90 Примеры решения задач .......................................................................................... 91 Задания для самостоятельного решения ................................................................ 93 Индивидуальные задания ........................................................................................ 94 Индивидуальное задание 23 ............................................................................... 94 Индивидуальное задание 24 .............................................................................. 97 Содержательный модуль 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Глава 6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ..................................................................................................... 100 Примеры решения задач ........................................................................................ 101 Задания для самостоятельного решения .............................................................. 107 Индивидуальные задания ...................................................................................... 109 Индивидуальное задание № 1 по математической статистике .................... 109 Индивидуальное задание № 2 по математической статистике .................... 111 Глава 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ .............................................................................................. 112 Примеры решения задач ........................................................................................ 112 Задания для самостоятельного решения .............................................................. 116 Индивидуальные задания ...................................................................................... 116 Индивидуальное задание № 3 по математической статистике .................... 116 Индивидуальное задание № 4 по математической статистике .................... 117 Индивидуальное задание № 5 по математической статистике .................... 121 Глава 8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ. 122 Примеры решения задач ........................................................................................ 122 5 Задания для самостоятельного решения .............................................................. 125 Индивидуальные задания ...................................................................................... 126 Индивидуальное задание № 6 по математической статистике .................... 126 Глава 9. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ ............................................... 133 Примеры решения задач ........................................................................................ 134 Задания для самостоятельного решения .............................................................. 135 Индивидуальные задания ...................................................................................... 136 Индивидуальное задание № 7 по математической статистике .................... 136 ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................. 140 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................................................... 141 ПРИЛОЖЕНИЯ ...................................................................................................... 143 6 ВВЕДЕНИЕ Задача любой науки состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Такие закономерности, в том числе касающиеся экономических и управленческих процессов, имеют не только теоретическую, но и прикладную ценность. Теория вероятностей изучает особенности случайных явлений на основе абстрактного описания, а математическая статистика, опираясь на это описание, оперирует непосредственно с результатами конкретных наблюдений. Таким образом, теория вероятностей является базисом математической статистики, результаты исследований которой применяются для решения практических задач экономики. При этом современная статистическая практика связана с методами сбора, обработки и интерпретации данных, планированием экспериментов, принятием решений в условиях неопределённости ириска, прогнозированием. Сегодня трудно себе представить изучение процессов хозяйственной деятельности без использования эконометрического моделирования, регрессионного анализа, трендовых моделей и других методов, опирающихся на теорию вероятностей. Без использования методов этой науки невозможно построение научно-обоснованных прогнозов развития общества, в том числе прогнозов в области политики, социологии и, конечно же, экономики. Кроме того, методы теории вероятностей и математической статистики широко применяются в теории массового обслуживания, в физике, астрономии, биологии, медицине, социологии и других науках. Вышесказанное предопределяет необходимость овладения методами теории вероятностей и математической статистики как инструмента анализа и прогнозирования экономических и управленческих процессов 7 Содержательный модуль 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К основным понятиям теории вероятностей относятся эксперимент испытание) и элементарные события. Под экспериментом понимают выполнение некоторого комплекса условий. Множество всех возможных исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов (событий. Обозначается 1 2 , ,..., n , элементарные исходы 1, Событием называется результат испытания или подмножество пространства элементарных событий. Различают достоверные, невозможные и случайные события. Достоверное событие – это такое событие, которое всегда происходит в рассматриваемом эксперименте. Обозначается Невозможное событие – это такое событие, которое никогда не происходит в рассматриваемом эксперименте. Обозначается Событие, которое входе испытания может наступить, а может и не наступить, называют случайным событием. Обозначается , , , А В С Основные действия над событиями Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В, называется суммой (объединением) событий Аи В. Обозначается А В ( А В ). Событие, состоящее в наступлении обоих событий и Аи В, называется произведением (пересечением) событий Аи В. Обозначается А В (А В. Событие, состоящее в том, что А происходит, а Вне происходит, называется разностью событий Аи В. Обозначается А В (А В ). Событие, заключающееся в том, что Ане произошло (произошло не А, называется противоположным. Обозначается А . \ А А Событие А влечет В, если при наступлении события А событие В обязательно происходит. Обозначается А В Если А В и В А , то события Аи В называются равными, или эквивалентными. Записывают А В 8 Если наступление события А делает невозможным наступление события В (и наоборот, то событие Аи В называются несовместными Для несовместных событий А В Классическое определение вероятности В случае, если пространство элементарных исходов конечно, и все эти исходы равновозможны, вероятность случайного события можно найти по формуле ( Р А, (1.1) где m число благоприятствующих событию А исходов, а общее число всех равновозможных исходов эксперимента. Геометрическое определение вероятности Для случаев, когда пространство элементарных исходов бесконечно или несчетно вводят понятие геометрической вероятности, те. вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д. Пусть имеется некоторая область F , в которой содержится область f . Тогда вероятность того, что точка, взятая наудачу в области F , попадет в область f можно найти по формуле ( Р А) где mesf и mesF – геометрические размеры («mes» – меры) соответствующих областей. Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления ( ) ( ) ( ) ( ). P A B P A P B P A B (1.3) Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий, например, в случае трех совместных событий она имеет вид 9 ( ) ( ) ( ) ( Р A B Р Р Р C P AB P AC P BC P ABC (1.4) Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий ( ) ( ) ( ). P A B P A P B (1.5) Следствие Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично каких, равна сумме вероятностей этих событий 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ). п п P A А А P A P А А (1.6) Вероятность события А, вычисленная при условии того, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события Аи обозначается ( / Р А Вили ) В Р А. Условную вероятность можно найти по формуле ( ) ( / ) ( Р А В Р А В Р В) Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило ( ) ( ) ( / ). P A B P A P B А) В частности, для независимых событий [1, с. 25]: ( ) ( ) ( ), P A B P A P B (1.9) те. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Следствие. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( / ) ( / ) ... ( / ) п п п P A A A A P A P А А А А А А А А А (1.10) 10 В частности, вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности [1, с. 26], равна произведению вероятностей этих событий 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ). п п P A А А P A P А А (1.11) Формула полной вероятности. Формула Байеса Пусть событие А может произойти с одним из несовместных событий 1 2 , , ..., п Н Н Н , которые образуют полную группу событий [1, с. 13], называемых гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности 1 1 2 2 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / ). n n P A P H P A H P H P A H P H P A H (1.12) Если событие А вероятность которого была найдена по формуле полной вероятности, произошло входе эксперимента, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса: ( ) ( / ) ( / ) ( ) i i i P H P A H P H A P A , (1.13) Вероятности ( ) i P H называют априорными (доопытными), а вероятности ( / ) i P H A апостериорными (послеопытными) вероятностями гипотез. Подробные теоретические выкладки поданной теме можно найти в учебном пособии авторов [1]. Примеры решения задач Пример 1.1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Описать следующие события а) при аварии не сработал ни один сигнализатор б) при аварии сработал хотя бы один сигнализатор в) при аварии сработал только один сигнализатор. Решение. Пусть события Ни Н заключаются в том, что при аварии сработал, соответственно, первый или второй сигнализатора) Пусть событие А = при аварии не сработал ни один сигнализатор. Для этого необходимо, чтобы не сработал ни первый, ни второй сигнализатор. Тогда 1 А H б) Пусть событие В = при аварии сработал хотя бы один сигнализатор. Для этого необходимо, чтобы сработал или только один 11 сигнализатора второй при этом не сработал, или оба. Тогда 1 2 1 2 1 В. Описать данное событие можно и по-другому: сработал или первый или второй сигнализатор, те. 1 2 H H В в) Пусть событие С = { при аварии сработал только один сигнализатор }. В этом случае при аварии может сработать либо первый сигнализатор, тогда второй не должен сработать, либо сработал второй сигнализатор, тогда первый не должен сработать. В этом случае событие С можно представить следующим образом 1 2 1 С H H H Пример 1.2. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет число очков кратное 3? Решение. Всего элементарных исходов в эксперименте 6 n . Из них благоприятных событию {3;6} A исходов 2 m . Значит 2 1 ( ) 6 3 m P A n Пример 1.3. В группе 25 студентов 10 юношей и 15 девушек. Наугад выбирают х студентов. Найти вероятность того, что среди них окажутся а) только юноши б) 1 юноша и 2 девушки. Решение. а) Эксперимент состоит в выборе наугад х студентов из 25, поэтому n будет одинаковым для аи б 2300 3 2 1 25 24 23 ! 22 ! 3 ! 25 Событие А ={среди выбранных х студентов только юноши, следовательно, получим 120 3 2 1 10 9 8 ! 7 ! 3 ! 10 В итоге имеем 230 12 2300 б) Событие В ={среди выбранных х студентов 1 юноша и 2 девушки. Согласно основному принципу комбинаторики 1050 2 1 15 14 ! 13 ! 2 ! 15 10 2 15 1 10 C С k Следовательно, имеем 12 1050 21 ( ) 2300 46 m P Пример 1.4. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков сумма выпавших очков равна 8 и их произведение равно 15. Решение. А= сумма выпавших очков равна 8 и их произведение равно Вероятность ( ) m P Здесь 6 6 36 n , благоприятствующих исходов, так как данное условие будет выполнено, когда на первом кубике выпадет 3, а на втором 5 или наоборот. Тогда 2 1 ( ) 36 18 m P Пример 1.5. Двое студентов договорились встретится в определенном месте в промежутке времени с 10 до 11 часов дня Пришедший первым ждет другого 20 минут, после чего уходит. Каждый из студентов может прийти навстречу в любой момент времени с 11 до 12-ти. Найти вероятность того, что студенты встретятся. Решение Рис. 1.1. Иллюстрация к примеру 1.5 Обозначим x и y время прихода соответственно. Время ожидания любым студентом составляет 1 20 3 часа. Пространство элементарных исходов – это квадрат со стороной 1 (час) (рис 1.1). Встреча состоится, если 0 1 3 x y или 0 1 3 y x Площадь квадрата 1 1 1 F mesF S Площадь заштрихованной области 1 2 2 4 5 1 2 1 2 3 3 9 9 f mesf S Тогда по геометрическому определению вероятности (1.2): 11 10 11 1/3 x y 13 5 5 9 ( ) 1 Р А. Пример 1.6. Три орудия, для которых вероятность попадания 0,7, 0,8 и 0,9, соответственно, стреляют по мишени. Найти вероятность того, что будет ровно два попадания. Решение. Введем события 1 А {первое орудие попало, 2 А {второе орудие попало, 3 А {третье орудие попало. По условию 1 2 3 ( Р АРА Р А Событие В {после залпа два попадания можно записать следующим образом 1 2 3 1 2 3 1 А А А А А А А А А По теореме сложения вероятностей для несовместных событий (1.6) и теореме умножения для независимых (1.11) получим ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1 А Р А Р А Р А Р А Р А Р А Р А Р А Р B Р 398 , 0 216 , 0 126 , 0 056 , 0 9 , 0 8 , 0 ) 7 , 0 1 ( 9 , 0 ) 8 , 0 1 ( 7 , 0 ) 9 , 0 1 ( 8 , 0 Пример 1.7. Студент знает ответы на 25 вопросов из 30 экзаменационных вопросов. Найти вероятность того, что он правильно ответит натри вопроса преподавателя. Решение. Обозначим 1 А {студент правильно ответил на первый вопрос, А студент правильно ответил на второй вопрос }, А студент правильно ответил на третий вопрос }. Тогда событие А {студент правильно ответил натри вопроса можно представить как 1 А А А А . Из условия следует, что события 1 2 3 , , А А А - зависимы. По теореме умножения для зависимых событий 1 2 3 1 2 1 3 1 2 25 24 23 115 ( ) ( ) ( ) ( / ) ( / ) 30 29 28 Р АРА А АРА Р А АРА А А |