тест. Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
Пример 1.8. Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,7. Найти вероятность того, что при аварии сработает не менее х сигнализаторов. Решение. А= при аварии сработает не менее х сигнализаторов Введем следующие события Ай сигнализатор сработал , Ай сигнализатор сработал, Ай сигнализатор сработал. Вероятности соответственно равны 2 3 1 2 Р АРА Р АРА Р АРА А А А А А А А А А А А А А По теореме сложения несовместных событий и теореме умножения независимых событий 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,9 0,8 0,7 0,1 0,8 0,7 0,9 0, 2 0,7 0,9 0,8 0,3 Р АРА Р АР АРА Р АР АРА Р АР АРА Р АРА Пример 1.9. Имеется три партии деталей по 15 в каждой. Число стандартных деталей в й, й и й партиях равно 10, 12, 14 соответственно. Из наудачу взятой партии извлечена деталь. Найти вероятность того, что а) извлеченная деталь будет стандартной б) если выбрана стандартная деталь, то она из второй партии. Решение. Введем следующие гипотезы Н 1 = деталь из 1 партии, Н 2 = деталь из 2 партии, Н 3 = деталь из 3 партии. Тогда 1 2 3 Р Н Р Н Р Н Пусть А= извлеченная деталь стандартна. По условию 1 2 3 10 12 14 ( / ) ; ( / ) ; ( / ) 15 15 РАН РАН РАН Тогда по формуле полной вероятности 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( Р АР Н Р АН Р Н Р АН Р Н Р АН б) По формуле Байеса переоценим вероятность гипотезы Н Пример 1.10. Три станка штампуют однотипные детали, которые поступают в общий контейнер сборного цеха. Производительность станков соотносится, как 2:3:5. Брак в продукции го станка составляет 15%, в продукции го – 10% и третьего – 5%. Какова вероятность того, что наудачу извлеченная из контейнера деталь будет бракованной Если деталь оказалась бракованной, то какова вероятность того, что она изготовлена м станком ( 1, 3 i ). Решение. Событие деталь, взятая из контейнера, бракованная. При этом возможны следующие гипотезы деталь из продукции i го станка, Вероятности гипотез найдем из системы 1 2 3 1 2 3 : : 2 : 3: 5, 1; P H P H P H P H P H P H 2 3 1 0, 2; 0,3; 0,5. P H P H P Условные вероятности равны 2 1 3 / 0,15; / 0,10; / 0,05. P A H P A H P A Тогда по формуле полной вероятности 0,2 0,15 0,3 0,1 0,5 0,05 0,085. P По формуле Байеса переоценим вероятности гипотез 2 2 2 ( ) ( / ) 1 3 12 15 12 1 ( / ) ( ) 36 45 36 Р Н Р АН Р НАР А 15 1 2 0, 2 0,15 0,3 0,1 0,35; 0,35. 0,085 / 0 5 / ,08 P H P А H А Вероятность третей гипотезы можно найти также, как и для предыдущих гипотез. Однако можно еще воспользоваться свойством гипотез / 1 i i P H B 3 1 0,35 0,3 / 5 0,3. A P H Задания для самостоятельного решения 1.1 Рабочий изготовил 3 детали. Пусть i A ( 1,3 i ) заключается в том, что я изготовленная им деталь имеет дефект. Описать события, заключающиеся в том, что ни одна из деталей не имеет дефектов хотя бы одна деталь имеет дефект только одна деталь имеет дефект не более двух деталей имеют дефекты по крайней мере два изделия не имеют дефектов точно два изделия дефектны. 1.2. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события обнаружен ровно один из четырех объектов обнаружен хотя бы один объект обнаружено не менее двух объектов обнаружено ровно два объекта обнаружено ровно три объекта обнаружено ровно четыре объекта. Указать пространство элементарных исходов, события А, В, … , Е, выполнить действие 1) A B ; 2) A B ; 3) B C ; 4) B C ; 5) D E F 6) B F . Совпадают ли события B F и C F ? Совпадают ли события B и D ? 1.3. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки – разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник 1.4. Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные, но различные 1.5. Сколькими способами 7 человек могут расположиться в очереди к кассе 1.6. В турнире принимали участие 12 шахматистов. Каждые 2 шахматиста встретились один раз. Сколько партий было сыграно в турнире 1.7. Сколькими способами из 9 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 5 человек 1.8. На собрании присутствовали 15 человек, из них – 9 женщин. В состав делегации из 7 человек входит 4 мужчины. Сколькими способами можно составить делегацию 16 1.9. Студенту нужно в течение 8 дней сдать 4 экзамена. Сколькими способами это можно сделать Определить количество способов, если известно, что последний экзамен будет сдан в последний день. 1.10. Сколько есть перестановок из 6 элементов, в которых данные 2 элемента не стоят рядом 1.11. Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если их имеется 4 сорта 1.12. На полке случайным образом расставляют 6 книг 6- титомника. Найдите вероятность того, что все книги будут стоять в порядке нумерации. 1.13. Ребенок, не умеющий читать, играет с кубиками, на которых написаны буквы А, АЗ, КМ. Найти вероятность того, что при случайном расположении кубиков вряд получится слово «камаз». 1.14. Решите предыдущую задачу, если на кубиках написаны буквы А, ВИЛ, С. Найдите вероятность того, что получится слово слива. 1.15. Среди 30 человек, из которых 20 девушек разыгрываются 5 билетов. Найти вероятность того, что билеты выиграют 3 девушки Четыре юноши Три девушки и 2 юноши 1.16. Из 20 магазинов определенной сети 10 расположены за чертой города. Для сбора статистических данных случайным образом выбрано 5 магазинов. Какова вероятность того, что в черте города окажется а) 3 магазина б) хотя бы один магазин 1.17. На складе имеется 30 компьютеров, среди которых 20 фирмы SONY. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу 7 телевизоров, не менее 4 будут фирмы SONY. 1.18. Наудачу выбранный номер мобильного телефона состоит из 7 цифр. Найти вероятность того, что все цифры в нема) различные б) четные в) одинаковые 1.19. Имеются 10 кубиков одинакового размера. Из них четыре – белых, и по два черных, красных и синих. Найти вероятность того, что из шести выбранных кубиков будет три белых два черных и один красный. 1.20. Найдите вероятность того, что из 8 человек, случайным образом расположившихся водном ряду кинотеатра, трое друзей будут сидеть рядом. 1.21. При бросании трех игральных кубиков для выигрыша необходимо, чтобы сумма очков была больше десяти. Найти вероятность выпадений 13 очков. Вероятность выигрыша. 1.22. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани. 17 1.23. В три вагона поезда заходят девять пассажиров. Какова вероятность того, что а) в каждый вагон войдет потри пассажира б) в первый вагон войдет три пассажира в) в один из вагонов войдет четыре пассажира, в другой – три, в третий – два 1.24. Какова вероятность того, что наудачу брошенная вкруг точка окажется внутри вписанного в него квадрата 1.25. Двое студентов договорились встретиться в парке между 18 и ю часами, и договорились, что тот, кто придет первым, ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что друзья встретятся, если приход каждого из них может произойти в любое время и не зависит от времени прихода другого. Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,6; для второго сигнализатора эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что при аварии сработает а) только один сигнализатор б) ни один сигнализатор в) оба сигнализатора г) хотя бы один сигнализатор. 1.27. Для проверки качества продукции применен двойной контроль. Контролеры работают независимо друг от друга. Вероятность того, что брак обнаружит первый контролер, равна 0,96, второй – 0,9. Найти вероятность того, что бракованную деталь обнаружит только один контролер. 1.28. Три охотника договорились стрелять в цель в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель при одном выстреле для каждого из охотников одинаковы и равны 0,7. Найти вероятность того, что будет произведено выстрелов а) один б) два в) десять. 1.29. Подбрасывают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки 1.30. По ведомостям о расходе запасных частей было установлено, что при ремонте автомобильных двигателей деталь №1 заменялась в среднем в 36% случаев, деталь № 2 – в 42% случаев, а обе эти детали – в 30% случаев. Можно ли на основании этих данных сделать вывод о том, что замены деталей № 1 и 2 связаны между собой Найти вероятность замены детали № 2 при условии, что деталь № 1 заменена. 1.31. Имеется четыре бракованных изделия на одном повреждена окраска, на другом имеется вмятина, на третьем – зазубрина, а на четвертом – одновременно все три дефекта. Пусть А, В, С – события, заключающиеся в том, что у первого, наудачу взятого изделия, повреждена окраска (А, имеется вмятина (Вили зазубрина (С. Являются ли данные события независимыми в совокупности или попарно 18 1.32. В комиссии из трех человек двое независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью 0,7. А третий для принятия решения бросает монету. Решение принимается большинством голосов. С другой стороны, некий судья принимает правильное решение с вероятностью 0,8. Кто с большей вероятностью примет правильное решение комиссия или судья. 1.33. Издательство отправило журналы моды в три фирмы. Вероятность своевременной доставки (раньше конкурентов) в первую фирму 0,95, во вторую фирму – 0,88, в третью – 0,8. Найти вероятность того, что только одна фирма вовремя получит журналы. Хотя бы одна фирма получит журнал с опозданием. 1.34. Студент ищет формулу в четырех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в соответствующем справочнике, равна соответственно 0,7; 0,8; 0,9; 0,95. Найдите вероятность того, что эта формула содержится ровно в двух справочниках не менее, чем в трех справочниках. 1.35. Вероятность того, что школьник выполнит домашнее задание по математике, русской литературе и русскому языку равна соответственно 0,6; 0,5; 0,7. Найдите вероятность того, что школьник сделал домашнее задание по двум предметам. Хотя бы по двум предметам 1.36. Три стрелка стреляют из лука по мишени. Вероятность попадания у стрелков соответственно 0,75; 0,8 и 0,9. Найдите вероятность того, что будет три попадания. Хотя бы одно попадание. 1.37. Наладчик обслуживает 5 станков, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что сломается первый станок – 0,4; второй – 0,55; третий – 0,3; четвертый – 0,2; и последний – 0, 25. Найдите вероятность того, что в течение рабочего дня ни один станок не сломается. Сломается хотя бы один станок Ровно один станок 1.38. Среди 20 поступающих в ремонт машин, 8 нуждаются в замене карбюратора. Какова вероятность того, что ваша машина, и машины двух ваших друзей, поступивших в ремонт, нуждаются в замене карбюратора 1.39. Из 15 ноутбуков, поступивших в магазин, 3 нестандартных. В течение дня покупают 5 ноутбуков. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один нестандартный. 1.40. В упаковке 10 белых, 4 синих и 7 красных мелков. Наудачу выбирают 3 мелка. Какова вероятность того, что все они разного цвета 1.41. Депозитные программы различных банков могут принести прибыль с вероятностью 0,5. Сколько депозитов различных банков необходимо приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9687, можно ожидать доход хотя бы от одного депозита 19 1.42. Сколько раз необходимо производить опыт, для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,8704, можно было бы сказать, что, по крайней мере, один раз произойдет событие, вероятность которого в каждом испытании равна 0,4. 1.43. Пакеты акций бумаг могут принести доход с вероятностью 0,5. Сколько пакетов акций необходимо приобрести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96875 можно было ожидать доход хотя бы по одному пакету. 1.44. На связке 6 ключей, из которых только один подходит к замку. Найти вероятность того, что потребуется не более трех попыток открыть замок. 1.45. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,25, второй – 0,3 и третий – 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет принят – независимы. Найти вероятность того, что вызов будет принят. 1.46. Три завода поставляют в магазины электролампы первый – 45%, второй – 40% и третий – 15% общего количества продаваемых ламп. Продукция первого завода содержит 10%, второго – 12% и третьего – 5% брака. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа годна к употреблению 1.47. По самолету стреляют залпом три орудия. Вероятности попасть для каждого из них, соответственно, равны 0,5; 0,6; 0,7. Самолет будет сбит наверняка при трех попаданиях. При двух попаданиях он будет сбит с вероятностью 0,6, при одном – 0,2. Определить вероятность того, что самолет будет сбит в результате одного залпа. 1.48. Предположим, что из 1000 лампочек число неисправных равновозможно от 0 до 5. Определить вероятность того, что среди 1000 лампочек нет ни одной неисправной, если из взятых наудачу 100 лампочек все оказались исправными. 1.49. Вероятность брака на первом станке – 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,04. Изготовленные детали складываются в ящик. Производительность го станка в 3 раза большего, а го в два раза меньшего. Определить вероятность того, что наудачу взятая из ящика деталь бракованная. 1.50. Отдел материально-технического снабжения получает детали для завода на одном из 3 складов. Вероятность того, что очередная партия будет получена с первого склада, равна 1/2, со второго – 1/3, с третьего – 1/6. Вероятности того, что деталей, необходимых снабженцу, нет на первом складе – 0,2, на втором – 1/6, на третьем – 1/8. Снабженец обратился в один из складов и получил необходимые детали. Определить вероятность того, что он это сделал на первом складе. 1.51. Два предприятия пищевой промышленности из трех выполнили план по выпуску продукции. Найти вероятность того, что 20 третье предприятие выполнило план, если вероятности выполнения плана первым, вторыми третьим предприятиями соответственно равны 0,6; 0,5; 0,4. 1.52. В цех поступают изделия от трех поставщиков в соотношении 5:8:7. Среди продукции первого поставщика 10% брака, второго – 15%, а третьего – 25% брака. Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие окажется стандартным. Вероятность того, что оно третьего поставщика. 1.53. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска 1 класс – малый риск, й класс – средний и й класс – высокий риск. Среди клиентов компании 50% первого класса, 30% второго, остальные третьего класса. Вероятность необходимости выплачивать страховку для первого класса 0,01, для второго – 0,03, для третьего – 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный клиент получит страховку. Вероятность того, что клиент, получивший страховку относится ко второму классу риска. 1.54. Два орудия стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени первым орудием – 0,6, а вторым – 0,4. После залпа было одно попадание. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель. 1.55. Продукция цеха проверяется двумя контролерами. Первый проверяет 60% всей продукции. Вероятность того, что первый контролер обнаружит брак равна 0,02, а второй – 0,01. Наудачу выбранное изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно было проверено первым контролером. 1.56. Вероятность того, что изготовленное на заводе изделие будет бракованным, равна 0,05. Изделие подвергается контролю, который признает годное изделие таковым с вероятностью 0,96 и признает годным бракованное изделие с вероятностью 0,04. Найти вероятность того, что изделие, прошедшее проверку, окажется бракованным. 1.57. Впервой корзине 5 белых и 6 черных шаров, а во второй 4 белых и 8 черных. Из первой корзины во вторую перекладывают 3 шара. Какова вероятность после этого вытащить из второй корзины 4 белых шара 1.58. В коробке 9 новых мячей. Для игры берут три мяча, и затем возвращают обратно. Найти вероятность того, что после трех игр в коробке не останется новых мячей. 1.59. Предприятие выпускает продукцию, каждая единица которой имеет брак с вероятностью 0,6. Продукцию последовательно проверяют три контролера, каждый из которых обнаруживает брак с вероятностями 0,8; 0,9; 0,85 соответственно. Найти вероятность того, что изделие будет забраковано Будет забраковано вторым контролером Будет забраковано всеми контролерами 21 Индивидуальные задания Индивидуальное задание 1 Выполнить задания, используя элементы комбинаторики 1.1. Из цифр 0, 1, 2, 3 составлены всевозможные четырехзначные числа так, что в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось чисел 1.2. Сколько может быть случаев при выборе двух карандашей и трех ручек из 5 различных карандашей и 4 различных ручек 1.3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые начинаются цифрой 3? 1.4. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 дисциплин. 1.5. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек 1.6. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые не начинаются с цифры 3? 1.7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга. Определить количество встреч, которое следует провести. 1.8. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые не начинаются с 53? 1.9. Сколькими способами можно составить трехцветные ленты из шести лент различных цветов 1.10. Сколько всевозможных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, не повторяя цифры в числе 1.11. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и трехчленов редакционной комиссии. Сколькими способами можно выбрать этих пять человек 1.12. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, не повторяя цифры в числе. 1.13. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности 1.14. В команду по плаванию должны входить 4 юноши и 2 девушки. Сколькими способами можно составить такую команду, если имеются 8 юношей и 5 девушек 1.15. Студенты группы, состоящей из 25 человек, обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек 1.16. На дежурство в корпусе назначено 30 студентов и 5 преподавателей. Сколько различных групп можно из них составить, если каждая группа состоит из 6 студентов и 1 преподавателя 22 1.17. В школе собрались 10 учеников. Каждый приходящий ученик рукопожатием здоровается с уже собравшимися учениками. Определить число рукопожатий. 1.18. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, не повторяя цифры в числе. 1.19. На станции имеются 8 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них три поезда 1.20. Имеются 6 предметов. Сколькими способами их можно распределить на две группы так, чтобы водной группе было 2 предмета, а в другой 4? 1.21. Найти сумму цифр всех пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются. 1.22. В шахматном турнире участвуют 8 студентов. Каждый из участников с каждым из остальных должен сыграть две партии. Сколько всего партий должны сыграть участники турнира 1.23. Среди перестановок цифр числа 1234567 сколько таких, которые начинаются с 123? 1.24. Сколько различных диагоналей можно провести в восьмиугольнике 1.25. Среди перестановок цифр числа 1234567 сколько таких, которые начинаются с 167? 1.26. Из 20 кандидатов в счетную комиссию необходимо избрать трех. Сколькими способами можно это сделать 1.27. Среди перестановок цифр числа 1234567 сколько таких, которые начинаются с цифр 1, 2, 3, причем эти цифры расположены в любом порядке 1.28. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем были 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами можно составить такой букет 1.29. Среди перестановок цифр числа 1234567 сколько таких, которые начинаются с рядом стоящих цифр 1 и 2? 1.30. Из 10 юношей, 8 мальчиков и 5 девушек нужно составить шахматную команду, в которой входили бы 4 юноши, 1 мальчики девушки. Сколькими способами это можно сделать Индивидуальное задание 2 Выполнить задания, используя понятия событий и операций над ними. Проводится случайный эксперимент из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 случайным образом выбирается одна. Наблюдаемый результат – значение x (цифра на карточке. События Ах- четное, В х - нечетное, С = х – простое число, D = {1< х <4}, Е = х > 5}. 23 1) Описать множество элементарных исходов и события А, ВСЕ) Какие элементарные исходы благоприятствуют событию У |