тест. Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки

• Название: Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки
• Дата: 01.01.2023
• Размер: 6.9 Mb.
• Имя файла: Teoria_veroyatnostey_zadachi.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #870162
• страница: 6 из 12

случайных величин) называется упорядоченный набор
1 2
(
,
,...,
)
n
X X
X
случайных величин
(
1, )
i
X
i
n

, заданных на одном и том же пространстве элементарных исходов Многомерную случайную величину полностью описывает ее закон распределения. Длядвумерной дискретной случайной величины ( , )
X Y , ее распределение можно представить в виде таблицы (матрицы) распределения, в клетках
( , )
i j
которой располагаются вероятности произведения событий Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из компонент, используя формулы


1
i
m
x
i
ij
j
p
P X
x
p





,


1
j
n
y
j
ij
i
p
P Обратное, вообще говоря, неверно. Функцией распределения двумерной случайной величины ( , )
X Y называется функция
( , )
F x y , выражающая вероятность совместного выполнения двух событий


X
x

и


Y
y

:


( , )
,
F x y
P X
x Y
y



(3.1) В частности, функция распределения дискретной двумерной случайной величины определяется по формуле
( , )
ij
i
j
F x y
p


(3.2) Здесь суммирование производится по всем i , для которых
i
x
x

и всем j , для которых Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит оттого, какие значения принимает другая. В противном случае величины называются зависимыми. Для независимых случайных величин по законам

62 распределения компонент
X
и
Y
, можно найти закон распределения системы.
Условным законом распределения одной из случайных величин, входящей в систему ( , )
X Y , называется ее закон распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал. Для системы дискретных случайных величин условные вероятности вычисляются по формуле

 



,
/
,
1, ;
1, .
j
i
j
i
i
P Y
y X
x
P Y
y
X
x
i
n
j
m
P X
x








(3.3) Числовые характеристики двумерной случайной величины Математическим ожиданием двумерной случайной величины
( , )
X Y называется совокупность двух математических ожиданий
MX
и
MY
, определяемых равенствами
– для системы дискретных случайных величин
1 1
1 1
,
,
n
m
n
m
i
ij
j
ij
i
j
i
j
MX
x p
MY
y p








(3.4)
– для системы непрерывных случайных величин
( , )
,
( , )
,
MX
x f x y dxdy
MY
y f x y dxdy
 
 
 
 




 
 
(3.5) Дисперсией системы случайных величин ( , )
X Y называется совокупность двух дисперсий
DX
и
DY
, определяемых равенствами
– для системы дискретных случайных величин
2 2
1 1
1 1
(
)
,
(
)
,
n
m
n
m
i
ij
j
ij
i
j
i
j
DX
x
MX
p
DY
y
MY
p










(3.6)
– для системы непрерывных случайных величин
2 2
(
)
( , )
,
(
)
( , )
DX
X
MX
f x y dxdy DY
Y
MY
f x y dxdy
 
 
 
 






 
 
(3.7)

63 Корреляционным моментом (или ковариацией) двух случайных величин
X
и
Y
называется величина cov( , )
((
)(
)).
XY
k
X Y
M X
MX Y
MY




(3.8) Коэффициентом корреляции двух случайных величин
X
и называется cov( , )
xy
xy
x
y
k
X Y
r
DX
DY
 


(3.9) Он характеризует тесноту линейной зависимости между случайными величинами
X
и
Y
. При этом чем ближе
xy
r
к единице, тем эта зависимость сильнее. Примеры решения задач Пример 3.1. Из урны, содержащей 2 красных шара, 3 белых и
5 черных, наудачу извлекают 2 шара. Компоненты двумерного случайного вектора (X,Y) – это Х = число красных шаров среди извлеченных, Y = число белых шаров среди извлеченных. Составить совместный закон распределения в табличной форме. Найти частные законы распределения каждой компоненты. Условный закон распределения Х при условии, что
0
У

Решение Возможные значения случайных величин




0,1,2 ;
0,1,2 Общее число равновозможных исходов
2 10 45
n
C


. Найдем совместные вероятности


2 5
00 10 0,
0 45 45
C
p
P X
Y





,


1 1
3 5
01 15 0,
1 45 45
C C
p
P X
Y



 

,


1 2
2 5
10 10 1,
0 45 45
C C
p
P X
Y






,


2 3
02 3
0,
2 45 45
C
p
P X
Y





,

64


1 1
2 3
11 6
1,
1 45 45
C C
p
P X
Y



 

,


12 1,
2 0
p
P X
Y




,


2 2
20 1
2,
0 45 45
C
p
P X
Y





,


21 2,
1 0
p
P X
Y


 
,


22 2,
2 0
p
P Внесем полученные вероятности в таблицу
x\y
0 1
2
i
p
0 10 45 15 45 3
45 28 45 1
10 45 6
45 0
16 45 2
1 45 0
0 1
45
j
p
21 45 21 45 3
45 1 Частные законы распределения Х 1
2
i
p
28 45 16 45 У
0 1
2
j
p
21 45 21 45 Условный закон распределения
X
0 1
2
/0)
10 21 10 21 1
21

65 Задания для самостоятельного решения
3.1. Задана дискретная двумерная случайная величина
( , )
X Y
:
Y
X
3 6
10 0,25 0,1 14 0,15 0,05 18 0,32 0,13 Найти условный закон распределения
X
при условии, что Найти условный закон распределения
Y
при условии, что
6
X

3.2. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины
Y
X
26 30 41 50 2,3 0,05 0,12 0,08 0,04 2,7 0,09 0,3 0,11 0,21 Найти частные законы распределения. Найти условный закон распределения
Y
при условии, что
30
X

3.3. Задана дискретная двумерная случайная величина
( , )
X Y
:
Y
X
2 5
8 0,4 0,15 0,3 0,35 0,8 0,05 0,12 0,03 Найти безусловные законы распределения. Условный закон распределения
X
при условии, что
0,4
Y

. Условный закон распределения
Y
при условии, что
5
X

3.4. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
( , )
X Y
имеет вид
Y
X
0 1
2 3
-1 0,02 0,03 0,09 0,01 0
0,04 0,2 0,16 0,1 1
0,05 0,1 0,15 0,05

66 Найти законы распределения одномерных случайных величин
X
и
Y
. Условные законы распределения
X
при условии, что
2
Y

и случайной величины
Y
при условии, что
1
X

. Вероятность
(
)
P Y
X

3.5. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины
( , )
X Y
имеет вид
Y
X
-1 0
1 0
0,01 0,04 0,05 1
0,06 0,24 0,1 2
0,05 0,15 0,1 3
0,04 0,07 0,09 Найти законы распределения одномерных случайных величин
X
и
Y
. Условный законы распределения
Y
при условии, что Вероятность события


2,
1
X
Y


3.6. Закон распределения системы
( , )
X Y
задан таблицей
Y
X
-1 0
1 0
0,1 0,2 0
1 0,2 0,3 0,2 Найти законы распределения одномерных случайных величин
X
и
Y
. Условный законы распределения
X
при условии, что Вероятность события


1,
0
X
Y


. Выясните. Зависимы ли случайные величины
X
и
Y
3.7. Изготавливаемые в цехе втулки сортируются по отклонениям их внутреннего диаметра от номинального размера (
X
) на 4 группы со значениями 0,01; 0,02; 0,03 и 0,04 мм и по отклонению внешнего диаметра (
Y
) на 4 группы со значениями 0,002; 0,004; 0,006 и 0,008 мм. Совместное распределение задано таблицей
Y
X
0,00 2
0,00 4
0,00 6
0,00 8
0,01 0,01 0,03 0,04 0,02 0,02 0,02 0,24 0,1 0,04 0,03 0,04 0,15 0,08 0,03 0,04 0,04 0,06 0,08 0,02

67 Найти законы распределения одномерных случайных величин
X
и
Y
. Условный закон распределения
Y
при условии, что Выясните, зависимы ли случайные величины
X
и
Y
3.8. Дважды брошена игральная кость. Пусть
X
- количество выпавших очков при первом бросании, а
Y
- сумма выпавших очков в обоих бросаниях. Найдите закон распределения системы
( , )
X Y
; законы распределения
X
ив отдельности закон распределения
Y
при условии, что
3
X

; вероятность события


1 1,
10
X
Y



. Выясните, зависимы ли случайные величины
X
и
Y
3.9 Из набора, в котором 4 красных, 2 синих и 3 зеленых шарика, наудачу извлекли 3 шарика. Пусть
X
- число красных, а
Y
- число синих шаров среди извлеченных. Найдите закон распределения системы
( , )
X Y
; законы распределения
X
ив отдельности закон распределения
X
при условии, что
1
Y

; вероятность события


3,
2
X
Y


. Выясните, зависимы ли случайные величины
X
и
Y
3.10. 10 студентов написали контрольную работу по математике, причем 4 из них получили оценку отлично, 3 – хорошо, а остальные
– удовлетворительно. Для разбора в группе случайным образом отобрано 4 работы. Пусть
X
- число отличных, а
Y
- число хороших работ среди отобранных. Найдите закон распределения системы Пусть
X
- число отличных, а
Y
- число хороших работ среди отобранных. Найдите закон распределения системы
( , )
X Y
; законы распределения ив отдельности закон распределения
X
при условии, что
2
Y

; вероятность события


2,
2
X
Y


. Выясните, зависимы ли случайные величины
X
и
Y
; законы распределения
X
ив отдельности закон распределения
X
при условии, что
2
Y

; вероятность события


2,
2
X
Y


. Выясните, зависимы ли случайные величины
X
и
Y
3.11. Два орудия стреляют в цель дважды. Вероятность попадания для первого орудия 0,8, а для второго 0,6. Пусть
X
- число, попаданий первого орудия а
Y
- число попаданий второго. Найдите закон распределения системы
( , )
X Y
; законы распределения
X
ив отдельности закон распределения
Y
при условии, что
1
X

; вероятность события


1,
1
X
Y


. Выясните, зависимы ли случайные величины
X
и
Y
3.12. Рассматриваемая двумерная случайная величина
( , )
X Y
, где
X
- поставка сырья, а
Y
- поступление требований на него. Известно, что поступление сырья и поступление требования на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Найдите выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины
( , )
X Y
; плотности вероятности и функции распределения

68 составляющих
X
и
Y
. Зависимы или независимы
X
и
Y
. Найдите вероятность того, что поставка сырья произойдет дои после поступления требования.
3.13. Двумерная случайная величина
( , )
X Y
распределена равномерно внутри квадрата
R
с центром вначале координат. Стороны квадрата равны
2 и составляют углы
0 45
с осями координат. Определить выражение совместной плотности двумерной случайной величины
( , )
X Y
; плотности вероятности составляющих
X
и
Y
, их условные плотности. Зависимы или независимы
X
и
Y
?
3.14. Даны плотности вероятности независимых составляющих двумерной случайной величины
( , )
X Y
:
1 5
0,
0,
( )
5
,
0.
x
x
x
e
x




 


и
2 2
0,
0,
( )
2
,
0.
x
y
y
e
y




 Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины.
3.15. Непрерывная двумерная случайная величина
( , )
X распределена равномерно внутри прямоугольника с центром вначале координат и сторонами
2a
и
2b
, параллельными координатным осям. Найти двумерную плотность вероятности системы плотности распределения составляющих.
3.16. Непрерывная двумерная случайная величина
( , )
X распределена равномерно внутри прямоугольного треугольника с вершинами
(0;0),
(0;8),
(8,0)
O
A
B
. Найти двумерную плотность вероятности системы плотности и условные плотности распределения составляющих.
3.17. Непрерывная двумерная случайная величина
( , )
X распределена равномерно внутри трапеции с вершинами
( 6; 0),
( Найти двумерную плотность вероятности системы плотности распределения составляющих.
3.18. Поданным задачи 16 найти ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин
X
и
Y
. Коррелированы или некоррелированы эти случайные величины
3.19. Случайная величина
X
распределена на всей числовой ос с плотностью вероятности
( )
0,5
x
x
e



. Найти плотность вероятности случайной величины
2
Y
X

и ее математическое ожидание.
3.20. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону, то есть
(0;1)
N

69 3.21. Непрерывная двумерная случайная величина
( , )
X распределена по закону
2 2
2 2
( , )
1
A
x y
x
x Найти коэффициент
A
; вероятность попадания случайной величины в пределы квадрата, центр которого совпадает с началом координата стороны параллельны осям координат и имеют длину 2. Установить, являются ли величины
X
и
Y
зависимыми найти
1 2
( ),
( )
x
y


3.22. Совместная плотность двумерной случайной величины
( , )
X имеет вид
2 2
(
),0 1, 0 1,
( , )
0, востальных случаях x
xy
y
x
y
f x y



 
 
 Найти постоянную C ; плотность вероятности одномерных составляющих, их условные плотности числовые характеристики
(
,
,
( ),
( ),
x
y
a
a
D X
D Y

).
3.23. Задана совместная плотность двумерной случайной величины
( , )
X Y
:
2 2
2 20
( , )
(16
)(25
)
x Найти функцию распределения
( , )
F x y
3.24. Совместная плотность двумерной случайной величины
( , )
X задана формулой
2 2
1
(
2)
1,2(
2)(
3) (
3)
1,28 1
( , )
1,6
x
x
y
y
x y
e








  Найти
,
,
( ),
( ),
x
y
a
a
D X
D Y

3.25. Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины
( , )
X Y
2 2
(
)
36
,
0,
0,
( , )
0,
0, или x y
x
y






 Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.
3.26. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины
( , )
X Y
:
( , )
2cos cos
f x y
x
y

в квадрате
0 4, 0 4
x
y


 
 
и
( , )
0
f x y

вне этого квадрата. Найти математические ожидания составляющих.
3.27. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины
( , )
X Y
:
( , )
0,5 sin(
)
f x y
x
y



в

70 квадрате
0 2, 0 2
x
y


 
 
и
( , )
0
f x y

вне этого квадрата. Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.
3.28. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины
( , )
X Y
: ( , )
0,25 sin sin
f x y
x
y


в квадрате
0
, 0
x
y


 
 
и
( , )
0
f x y

вне этого квадрата. Найти математические ожидания и дисперсии составляющих. Корреляционный момент.
3.29. Непрерывная двумерная случайная величина
( , )
X распределена равномерно в круге радиуса r с центром вначале координат. Доказать, что
X
и
Y
зависимы, но некоррелированны. Индивидуальные задания Индивидуальное задание 16 Используя совместное распределение вероятностей случайных величин Хи У, требуется
1) составить отдельные законы распределения [1, с. 68] случайных величин Хи У. Найти М(Х) и D(X);
2) определить условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что У
3) определить, зависимы ли случайные величины Хи У
4) вычислить МХУ, У)
5) найти коэффициент корреляции
)
,
(
Y
X
