тест. Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
. По статистическим данным примера 6.1 требуется найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочный коэффициент вариации. Решение. Непрерывная случайная величина представлена интервальным распределением вариационного ряда. Найдём середины интервалов и запишем. Середина интервала j x 53,1 53,3 53,5 53,7 53,9 Частость j w 0,2 0,15 0,3 0,25 0,1 1 Найдём выборочную среднюю 1 53,1 0, 2 53,3 0,15 53,5 0,3 53,7 0, 25 53,9 0,1 53, Вычислим выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочный коэффициент вариации 2 2 2 1 ( ) l X j j j s x w x 2 2 2 2 2 2 53,1 0,2 53,3 0,15 53,5 0,3 53,7 0,25 53,9 0,1 53, 48 0,0636 : 107 0,0636 0,2522 X s ; 0, 2522 0,0047 53, Задания для самостоятельного решения 6.1. Последующим данным выборки построить вариационный ряд, статистическое распределение, полигон частостей, найти эмпирическую функцию распределения, построит ее график a) 17 15 15 17 19 16 16 17 17 15 19 14 14 16 20 20 19 18 18 16 б) 3 3 5 7 7 1 3 3 5 7 9 9 7 5 3 1 3 5 1 1 в) 0,1 0,3 0,4 0,3 0,1 0,3 0,1 3 0,2 0,2 0,1 0,3 0,4 0,3 0,1 0,2 0,1 0,2 0,3 0,4 6.2. Последующим данным выборки построить вариационный ряд, интервальный ряд, статистическое распределение, гистограмму частостей, найти эмпирическую функцию распределения, построит ее график a) 3 5 4 7 9 11 5 1 2 8 12 15 13 14 13 8 7 6 5 6 б) 1 5 7 16 13 12 8 8 7 6 9 9 10 14 14 8 9 7 6 5 4 4 7 2 в) 0,5 0,7 0,6 0,9 0,8 0,4 0,4 0,3 1 0,9 0,7 0,8 0,9 1,1 0,6 0,7 0,6 0,5 0,3 0,5 0,4 0,8 6.3. По статистическим распределениям задачи 1 найти выборочные числовые характеристики выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение начальные и центральные моменты до го порядка, эксцесс и асимметрию. 6.4. В городе случайным образом отобрано 40 человек, которым задан вопрос Сколько раз Вы посетили магазины известной торговой сети в течение этой недели В качестве случайной величины X рассматривается количество посещений. 108 № анкетируемого 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Значение X (шт) 3 3 2 0 2 2 2 2 0 3 № анкетируемого 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Значение X (шт) 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 № анкетируемого 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Значение X (шт) 2 0 2 2 2 1 1 1 1 1 № анкетируемого 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Значение X (шт) 3 2 0 1 3 4 2 2 2 2 Требуется 1) записать эмпирическую функцию распределения 2) оценить вероятность того, что посещений будет не менее двух. 6.5. Энергетическая компания обслуживает большое число трансформаторных подстанций по всей области. Случайным образом были отобраны и проверены в течение суток 20 подстанций. В качестве случайной величины X рассматривается количество критических скачков напряжения электрического тока. Значение X (шт) 2 4 5 6 10 Количество подстанций (шт) 4 6 6 3 1 Требуется 1) построить полигон частот 2) записать эмпирическую функцию распределения и построить её график 3) оценить вероятность того, что количество скачков колеблется от 3 до 7 раз. 6.6. Фармацевтическое предприятие производит витамины. Станок- автомат упаковывает их в пластины. Пластины по 500 шт. помещают в коробки. Случайным образом были отобраны и проверены 100 коробок. В качестве случайных величин X и Y рассматривается количество повреждённых пластин в коробке дои после регулировки станка-автомата. Значение X (шт) 0 1 2 3 4 5 6 Количество коробок (шт) 83 6 4 3 2 1 1 Значение Y (шт) 0 1 2 3 4 Количество коробок (шт) 91 5 2 1 1 Требуется 1) составить распределения частостей для обеих случайных величин 2) оценить вероятности того, что в наугад выбранной коробке окажется хотя бы одна повреждённая пластина. 6.7. Опытные станции специализируются на выведении новых сортов пшеницы. Случайным образом с разных участков были отобраны и проверены 1000 зёрен. В качестве случайной величины X рассматривали процентное содержание крахмала в зерне. 109 Значение X (%) 51,5 51,6 51,7 51,8 51,9 52,0 52,1 52,2 52,3 52,4 52,5 Количество зёрен (шт) 11 15 24 25 32 49 58 59 62 65 102 Значение X (%) 52,6 52,7 52,8 52,9 53,0 53,1 53,2 53,3 53,4 53,5 53,6 Количество зёрен (шт) 98 65 68 61 52 41 30 27 25 18 13 Требуется 1) составить интервальное распределение вариационного ряда 2) записать эмпирическую функцию распределения и построить её график 3) вычислить значение эмпирической плотности распределения на каждом из интервалов и построить гистограмму частостей; 4) оценить вероятность того, что в наугад выбранном зерне содержание крахмала будет соответствовать стандарту качества 52,5 0,8 %. Индивидуальные задания Индивидуальное задание № 1 по математической статистике Из генеральной совокупности случайной величины Х сделана выборка объема n=20. Требуется 1) построить вариационный ряд 2) построить статистическое распределение 3) построить полигон частот, гистограмму частостей, найти эмпирическую функцию распределения, проиллюстрировать эту функцию графически. Вариант 1 2, 2.8, 1.5, 2, 2.4, 2.2, 2, 2.2, 2.7, 1.6, 1.8, 1.8, 2.2, 1.8, 1.6, 2.6, 2.2, 1.4, 2.1, 2.3 Вариант 2 2.5, 1.8, 2.3, 1.9, 2.3, 3.3, 2.3, 0.8, 2.2, 2.4, 1.4, 2.4, 2.6, 2.1, 1.5, 1.2, 1.8, 1.8, 1.9, 1.5 Вариант 3 2.3, 2.9, 1.1, 2.2, 1.2, 2, 1.6, 1.7, 2, 3.3, 2.3, 0.9, 0.9, 2.7, 2.3, 2, 3.3, 1.4, 1.9, 1.8 Вариант 4 1, 2, 1.6, 2.5, 1.8, 2.2, 3.5, 1.7, 0.9, 2.3, 1.6, 1.8, 3.9, 1.5, 2.9, 2.4, 2.9, 2.6, 2, 2. Вариант 5 3, 1.5, 1.7, 2.3, 1, 1.6, 2.5, 1.2, 2, 2.2, 1.8, 2.4, 1.9, 1.5, 2.6, 1.8, 2.5, 3, 1.8, 1.6 Вариант 6 2.9, 4.1, 2.5, 3.3, 1.2, 1.6, 2.2, 2.5, 2.3, 1.6, 2.2, 1.8, 2.4, 2.6, 2, 3.4, 2.5, 2.6, 1.3, 2. Вариант 7 4.5, 2.3, 3.9, 2.6, 3, 1.4, 4.4, 3.2, 4, 2.7, 3.6, 2.5, 2.1, 1.6, 2.4, 2.5, 1.5, 3., 3.2, 2.9. Вариант 8 4.3, 3, 3.2, 2.4, 0.9, 3.6, 4.1, 1.6, 3.3, 1.8, 3.4, 1.3, 1.9, 4.4, 2.2, 3.5, 2.5, 2.3, 4.6, 3.8. Вариант 9 2.5, 4.2, 2.5, 2.2, 2.7, 1.7, 3.9, 3.4, 3.2, 3.5, 4, 3.7, 2.0, 4.2, 3.9, 4, 2.3, 2.7, 3.4, 2.6. 110 Вариант 10 3.7, 2.5, 2.7, 2.7, 3.9, 4.0, 2.7, 3.1, 3.6, 3.3, .9, 2.1, 2.3, 1.9, 3.3, 2.9, 4.1, 4, 3.3, 3.1. Вариант 11 2.3, 2.7, 3.3, 2.2, 3.0, 4.4, 2.7, 3.3, 3.7, 3.5, 2.2, 3.5, 2.2, 3., 3., 3.8, 4.4, 2.7, 2.6, 2.4. Вариант 12 3.2, 3.9, 4.2, 3.0, 2.5, 3., 2.3, 2.7, 2.8, 3.5, 2.5, 3.3, 3.7, 2.5, 3.2, 3.3, 2.7, 2.6, 2.7, 3.2. Вариант 13 3., 2.8, 3.3, 2.5, 3.5, 2.7, 2.9, 3.2, 3., 3.2, 3., 3.6, 3.2, 2.9, 2.8, 2.2, 2.6, 2.7, 3.3, 3.8. Вариант 14 3.2, 3.6, 4.0, 3.9, 4.2, 3.0, 3.5, 4.4, 3.6, 4.2, 4.1, 4.2, 4.4, 3.8, 4.8, 4.1, 3.6, 3.6, 4.3, 3.9. Вариант 15 4.3, 3.8, 5.6, 4.1, 4.1, 4.6, 3.5, 3.6, 3.6, 3.3, 4., 3.5, 3.6, 4.9, 3.5, 3.2, 4.8, 3.7, 4.6, 4.2. Вариант 16 3.2, 4.2, 4., 3.2, 4.1, 4.1, 3.5, 3.6, 2.1, 3.2, 3.8, 3.4, 4.3, 3.1, 4.2, 2.6, 3.5, 4.1, 2.6, 2.8. Вариант 17 4., 5.3, 2.6, 2.8, 4., 5.3, 4.1, 4.8, 5.2, 3.1, 5.0, 3.0, 2.0, 3.1, 4.3, 2.6, 3.8, 3.2, 2.7, 3.4. Вариант 18 3.2, 3.7, 4.6, 4.0, 4.2, 4.8, 3.2, 3.7, 3.2, 3.7, 4.6, 3.0, 4., 4.5, 5.1, 3.0, 2.4, 2.6, 4.3, 4.8. Вариант 19 5.2, 1.9, 4.8, 3.7, 5.2, 2.7, 2.8, 4.3, 4.9, 4.1, 3.2, 3.6, 3.1, 4., 5.1, 4.4, 4.2, 5.2, 4.2, 4.3. Вариант 20 3.0, 4., 2.7, 4.9, 1.3, 5.8, 4.9, 4.4, 3.1, 4.2, 4.2, 3.0, 4., 5.3, 5.0, 6.0, 3.4, 3.1, 4.3, 4.9. Вариант 21 3.6, 5.0, 2.8, 5.5, 4.3, 3.2, 2.0, 5.3, 7.1, 2.6, 3.3, 5.8, 4.5, 5.1, 3.5, 2.1, 4.6, 4.8, 2.9, 6.8. Вариант 22 4.4, 3.3, 4.5, 3.3, 6.2, 3.5, 4.4, 5.2, 4.9, 3.6, 4.4, 5.2, 2.4, 3.3, 5.2, 4.5, 5.3, 2.3, 5.1, 5.3. Вариант 23 5.0, 2.9, 4.6, 4.0, 4.4, 4.2, 3.6, 3.4, 4.8, 3.0, 3.4, 3.1, 4.8, 2.4, 2.2, 5.2, 3.5, 2.3, 4.9, 3.4. Вариант 24 4.7, 4.9, 5.5, 4.8, 4.7, 5.6, 4.5, 5., 4.6, 5.1, 4.5, 4.5, 5.0, 4.8, 4.1, 5.2, 5.1, 4.4, 4.7, 5.4. Вариант 25 5.6, 5.4, 4.5, 4.8, 4.7, 4.9, 5.4, 4.8, 5.2, 5.2, 5.0, 5.9, 5.6, 5., 4.9, 5., 5., 3.9, 4.3, 3.9. Вариант 26 5.3, 3.9, 5.2, 5.8, 5.2, 4.2, 4.3, 4.7, 4.2, 4.7, 5.4, 4.7, 4.1, 5., 4.7, 5., 5.4, 4.1, 6.1, 4.9. Вариант 27 3.9, 4.1, 5., 3.6, 4.6, 5.5, 5.5, 5.8, 6.5, 3.9, 4.6, 5., 4.6, 4.3, 5.3, 4.2, 3.9, 4.5, 4.5, 5.3. Вариант 28 4.1, 4.6, 4.7, 4.0, 4.2, 4.3, 5.8, 3.6, 4.6, 3.6, 7.5, 4.2, 5.5, 6.0, 3.8, 5.8, 4.8, 4.3, 5.6, 5.2. 111 Вариант 29 5., 4.7, 7.0, 4.7, 5., 5.4, 5.8, 6.6, 4.7, 4.6, 4.8, 5.3, 5.5, 3.9, 4.9, 5.2, 4.1, 6.2, 5.2, 5.3. Вариант 30 5.7, 6.2, 5.2, 7.4, 4.5, 6.2, 5., 6.3, 5.9, 3.5, 5.2, 5.3, 7.0, 4.9, 6.0, 4.7, 2.4, 3.9, 5.1, 4.6. Индивидуальное задание № 2 по математической статистике На основе статистических данных индивидуального задания № 1: 1) найти основные характеристики центра группирования выборки – выборочную среднюю, медиану, моду 2) найти основные характеристики рассеивания выборки – выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочный коэффициент вариации, размах варьирования, положения крайних членов выборки 3) найти выборочные начальные и центральные моменты до го порядка включительно 4) вычислить асимметрию и эксцесс выборки, проиллюстрировать эти характеристики графически 112 Глава 7 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ В математической статистике рассматривают два вида оценок точечные и интервальные. Задача оценки параметров сводится к нахождению неизвестного параметра распределения по результатам измерений. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. В качестве точечной оценки выбирают некоторую функцию от измеренных величин * 1 2 ( , ,..., ) n f x x x (7.1) Значение статистики, вычисленной по реализации случайной выборки, может в значительной степени отличаться от значения оцениваемого параметра. Точность точечной оценки характеризуется дисперсией. Наилучшей считается оценка, обладающая такими свойствами, как состоятельность, несмещенность и эффективность. Для нахождения точечных оценок разработан ряд методов метод моментов, метод максимального правдоподобия, графический метод, метод наименьших квадратов и др. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр В отличие от точечной оценки интервальная оценка позволяет получить вероятностную характеристику точности оценивания неизвестного параметра. Более подробная информация, касающаяся нахождения точечных и интервальных оценок, изложена в учебном пособии [1]. Примеры решения задач Пример 7.1. По статистическим данным примера 6.2 требуется 1) для нормальной случайной величины X с параметрами a и , построить доверительный интервал для математического ожидания a с доверительной вероятностью 0,95, если стандартное отклонение неизвестно 2) для нормальной случайной величины X с параметрами a и , построить доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью 0,99. Решение. 1) Оценки параметров распределения известны 53,48; 0,2522 X x s . Требуется найти с надёжностью 95 , 0 доверительный интервал ; X X t s t s I x x n n , который покрывает неизвестное математическое ожидание 113 Т.к. объём выборки 20 n , то исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение равно 20 0, 2522 0, 2588 Воспользовавшись приложением 3, определяем Вычисляем 2,093025 0, 2588 0,1211 Находим доверительный интервал для математического ожидания 0,95 Тес надёжностью не менее 95% средний суточный прирост веса бройлера будет находиться в границах доверительного интервала 53,48 0,1211 2) Требуется найти с надёжностью 0,99 доверительный интервал ; X X X X J s s q s s q , который покрывает неизвестное среднеквадратическое отклонение По приложению 4 определяем (0,99;20) 0,577748 q q . Вычисляем 0,2588 0,577748 0,1495 X s q Находим доверительный интервал для среднего квадратического отклонения 0,99 Пример 7.2. Найти методом максимального правдоподобия оценку параметра распределения Пуассона ( ) ! x P X x e x , пользуясь выборкой, которая дала значения 1 2 , ,..., n x x x для величины Х Решение. Функция правдоподобия в этом случае имеет вид n n x n n x x x n x x x n e x x x e x x x e x e x e x x x x L n i i n n ! !... ! ! !... ! ! ! ! ) ; ,..., , ( 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 Ее логарифм, соответственно, будет таким 114 n x x x x x x x L n n i i n ) ! !... ! ln( ln ) ; ,..., , ( ln 2 1 1 Для определения выпишем уравнение правдоподобия 1 1 2 ln ( , ,..., ; ) 0 n i i n x nx L x x x n n . Откуда имеем Найдем теперь вторую производную 2 1 2 2 2 ln ( , ,..., ; ) n nx L x x x Учитывая, что значениями выборки 1 2 , ,..., n x x x могут быть только целые неотрицательные значения 0,1,2,... k , убеждаемся в том, что при x вторая производная отрицательна 2 1 2 2 2 ln ( , ,..., ; ) 0 n nx n L x x x x x x Следовательно, оценкой максимального правдоподобия * параметра для распределения Пуассона будет средняя арифметическая Пример 7.3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами и а . Поданным выборки а) Найти доверительные интервалы для математического ожидания при известном 2,5 ; б) при неизвестном при 0,99 i x 3 5 7 9 i n 5 6 10 3 Решение. Объем выборки 5 6 10 3 п . Найдем выборочное среднее 4 1 1 (3 5 5 6 7 10 9 3) 5,9 24 i Х п Найдем исправленную дисперсию и исправленное среднеквадратическое отклонение а) Для оценки математического ожидания при известном 2,5 найдем t из уравнения 2 ( ) 0,99; ( ) 0,495; 2,58 t t t 115 Тогда доверительный интервал 2,5 2,5 5,9 2,58 5,9 2,58 4,58 7, 22 24 24 a a б) При неизвестном находим табличное значение t при 0,99, 24 п 1,95 1,95 5,9 2,797 5,9 2,797 4,78 7,01 24 24 a a Пример 7.4. Из обслуживаемых банков вкладов случайным образом выбрано п вкладов. Используя полученную выборку, найти доверительные границы для генерального среднего с доверительной вероятностью =0,85. Предполагается, что распределение вкладов по их размерам подчиняется нормальному закону распределения. Х 3 – 6 6 – 9 9 – 12 12 – 15 15 – 18 п 35 81 48 15 Решение В качестве значения признака Х выбираем середину заданных интервалов, те переходим к дискретному ряду Х 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 п 35 81 48 15 200 Объем выборки 200 i i n n . Найдем выборочное среднее 1 1 (4,5 21 7,5 35 10,5 81 13,5 48 16,5 15) 10,52 200 i i i X x n n , 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (4,5 21 7,5 35 10,5 81 13,5 48 16,5 15) 200 120,8 i i i X x n n 2 2 2 120,8 (10,52) 10,21 S X X Исправленная дисперсия 2 2 2 200 10, 21 10, 27 10, 27 3, 204 1 199 n S S S S n По таблице значений распределения Стьюдента находим 1,44 t 116 3, 204 1, 44 0,327 Доверительный интервал для генерального среднего ; 10,52 0,327 ; 10,52 0,327 10,188 ; Задания для самостоятельного решения 7.1. Фирма по прокату автомобилей планирует приобрести автомобили новой модели. Одно из основных требований – при эксплуатации в условиях города машина должна расходовать не больше 9 литров на 100 км. Производитель предоставил данные 30 случайным образом выбранных новых авто средний расход топлива 8,6 литров на 100 км при отклонении 0,7 литра. Стоит ли фирме приобретать эти новые автомобили. (Указание для ответа на этот вопрос необходимо определить 99% доверительный интервал для среднеквадратического отклонения. 7.2. Результаты исследований длительности оборота финансовых средств торговых фирм города представлены в виде ряда наблюдений i x 14 22 30 38 46 54 62 i n 2 3 9 17 10 6 3 Построить с надежностью 0,95 доверительные интервалы для оценки а) средней длительности оборота финансовых средств, если среднеквадратическое отклонение известно 10 ; б) средней длительности оборота финансовых средств, если среднеквадратическое отклонение неизвестно в) неизвестного среднеквадратического отклонения Индивидуальные задания Индивидуальное задание № 3 по математической статистике На основе статистических данных индивидуального задания № 1: 1) найти несмещенные оценки дисперсии, стандартного отклонения, го иго центральных моментов 2) сравнить полученные оценки с аналогичными характеристиками выборки, вычисленными в индивидуальном задании №2. 117 Индивидуальное задание № 4 по математической статистике Выборка объема п представлена ю интервалами и частотами попаданий в интервалы. Предполагая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону 2 2 1 2 1 ) ( a x e x f 1) Оценить методом моментов параметры аи) Сравнить результаты графически, построив на одном рисунке гистограмму частостей и соответствующую кривую плотности. Вариант № 1 Интервал 2; 2,75 2,75; 3,5 3,5; 4,25 4,25; Частота 2 8 15 26 Интервал 5; 5,75 5,75; 6,5 6,5; 7,25 7,25; Частота 25 13 10 1 Вариант № 2 Интервал 2; 2,75 2,75; 3,5 3,5; 4,25 4,25; Частота 1 3 19 25 Интервал 5; 5,75 5,75; 6,5 6,5; 7,25 7,25; Частота 21 21 5 5 Вариант № 3 Интервал 2; 2,5 2,5; 3 3; 3,5 3,5; Частота 1 3 20 24 Интервал 4; 4,5 4,5; 5 5; 5,5 5,5; Частота 22 20 7 3 Вариант № 4 Интервал 1; 2 2; 3 3; 4 4; Частота 1 1 9 32 Интервал 5; 6 6; 7 7; 8 8; Частота 22 24 8 3 Вариант № 5 Интервал 2; 3 3; 4 4; 5 5; Частота 3 7 29 33 Интервал 6; 7 7; 8 8; 9 9; Частота 20 6 1 1 118 Вариант № 6 Интервал 1; 1,75 1,75; 2,5 2,5; 3,25 3,25; Частота 2 7 19 19 Интервал 4; 4,75 4,75; 5,5 5,5; 6,25 6,25; Частота 23 23 5 2 Вариант № 7 Интервал 2; 2,75 2,75; 3,5 3,5; 4,25 4,25; Частота 2 2 5 17 Интервал 5; 5,75 5,75; 6,5 6,5; 7,25 7,25; Частота 31 21 16 6 Вариант № 8 Интервал 1; 2 2; 3 3; 4 4; Частота 1 5 21 33 Интервал 5; 6 6; 7 7; 8 8; Частота 26 10 3 1 Вариант № 9 Интервал 1; 1,5 1,5; 2 2; 2,5 2,5; Частота 1 6 16 37 Интервал 3; 3,5 3,5; 4 4; 4,5 4,5; Частота 27 11 1 1 Вариант № 10 Интервал 2; 3 3; 4 4; 5 5; Частота 2 3 11 34 Интервал 6; 7 7; 8 8; 9 9; Частота 27 17 5 1 Вариант № 11 Интервал 0; 0,75 0,75; 1,5 1,5; 2,25 2,25; Частота 2 2 10 16 Интервал 3; 3,75 3,75; 4,5 4,5; 5,25 5,25; Частота 24 29 9 8 Вариант № 12 Интервал 3; 3,5 3,5; 4 4; 4,5 4,5; Частота 3 8 16 27 Интервал 5; 5,5 5,5; 6 6; 6,5 6,5; Частота 20 16 7 3 119 Вариант № 13 Интервал 3; 4 4; 5 5; 6 6; Частота 1 6 16 21 Интервал 7; 8 8; 9 9; 10 10; Частота 30 17 7 2 Вариант № 14 Интервал 4; 4,5 4,5; 5 5; 5,5 5,5; Частота 2 8 19 24 Интервал 6; 6,5 6,5; 7 7; 7,5 7,5; Частота 23 20 2 2 Вариант № 15 Интервал 2; 2,75 2,75; 3,5 3,5; 4,25 4,25; Частота 5 8 18 26 Интервал 5; 5,75 5,75; 6,5 6,5; 7,25 7,25; Частота 16 15 7 5 Вариант № 16 Интервал 1; 1,5 1,5; 2 2; 2,5 2,5; Частота 3 5 17 23 Интервал 3; 3,5 3,5; 4 4; 4,5 4,5; Частота 20 17 11 4 Вариант № 17 Интервал 1; 2 2; 3 3; 4 4; Частота 4 12 17 28 Интервал 5; 6 6; 7 7; 8 8; Частота 24 9 2 4 Вариант № 18 Интервал 0;0,75 0,75; 1,5 1,5; 2,25 2,25; Частота 7 15 25 28 Интервал 3; 3,75 3,75; 4,5 4,5; 5,25 5,25; Частота 13 6 2 4 Вариант № 19 Интервал 3; 4 4; 5 5; 6 6; Частота 3 9 16 29 Интервал 7; 8 8; 9 9; 10 10; Частота 26 13 3 1 120 Вариант № 20 Интервал 5; 6 6; 7 7; 8 8; Частота 1 3 17 17 Интервал 9; 10 10; 11 11; 12 12; Частота 27 23 7 5 Вариант № 21 Интервал 3;3,75 3,75; 4,5 4,5; 5,25 5,25; Частота 7 15 25 28 Интервал 6; 6,75 6,75; 7,5 7,5; 8,25 8,25; Частота 13 6 2 4 Вариант № 22 Интервал 0; 1 1; 2 2; 3 3; Частота 3 9 16 29 Интервал 4; 5 5; 6 6; 7 7; Частота 26 14 2 1 Вариант № 23 Интервал 1; 1,5 1,5; 2 2; 2,5 2,5; Частота 2 6 24 22 Интервал 3; 3,5 3,5; 4 4; 4,5 4,5; Частота 25 15 2 4 Вариант № 24 Интервал 1; 1,75 1,75; 2,5 2,5; 3,25 3,25; Частота 4 6 22 23 Интервал 4; 4,75 4,75; 5,5 5,5; 6,25 6,25; Частота 27 12 5 1 Вариант № 25 Интервал 1; 2 2; 3 3; 4 4; Частота 1 1 13 18 Интервал 5; 6 6; 7 7; 8 8; Частота 32 26 7 2 Вариант № 26 Интервал 0; 0,75 0,75; 1,5 1,5; 2,25 2,25; Частота 3 6 20 28 Интервал 3; 3,75 3,75; 4,5 4,5; 5,25 5,25; Частота 17 15 9 2 121 Вариант № 27 Интервал 2; 2,75 2,75; 3,5 3,5; 4,25 4,25; Частота 2 3 15 24 Интервал 5; 5,75 5,75; 6,5 6,5; 7,25 7,25; Частота 31 19 5 1 Вариант № 28 Интервал 4; 4,5 4,5; 5 5; 5,5 5,5; Частота 3 3 16 31 Интервал 6; 6,5 6,5; 7 7; 7,5 7,5; Частота 19 15 10 3 Вариант № 29 Интервал 3; 4 4; 5 5; 6 6; Частота 2 1 5 30 Интервал 7; 8 8; 9 9; 10 10; Частота 41 17 3 1 Вариант № 30 Интервал 0; 2 2; 4 4; 6 6; Частота 3 9 16 29 Интервал 8; 10 10; 12 12; 14 14; Частота 26 14 2 1 Индивидуальное задание № 5 по математической статистике Случайная величина X представлена выборкой из индивидуального задания № 1 и распределена по нормальному закону. Требуется 1) построить доверительный интервал для математического ожидания a с доверительной вероятностью 0,95, если стандартное отклонение известно Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант 27 0,8 3 0,6 8 0,9 13 0,4 18 0,9 23 1,4 28 0,9 4 0,7 9 0,8 14 0,4 19 1,0 24 0,5 29 1,0 5 0,8 10 0,7 15 0,5 20 1,1 25 0,6 30 1,1 2) построить доверительный интервал для математического ожидания a с доверительной вероятностью 0,95, если стандартное отклонение неизвестно 3) построить доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью 0,99. 122 Глава 8 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ Статистической гипотезой называется предположение о типе неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Выдвинутую гипотезу 0 H принято называть нулевой или основной. Противоречащую ей гипотезу называют конкурирующей или альтернативной Для проверки гипотез используются статистические методы. При этом возможны ошибки ошибка первого рода заключается в том, что правильная гипотеза отвергается ошибка второго рода состоит в том, что неправильная гипотеза принимается. Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости и обозначают через Для проверки нулевых гипотез используют специально подобранные случайные величины, точное или приближенное распределение которых известно. Среди них нормально распределенная случайная величина случайная величина F , распределенная по закону Фишера-Снедекора; случайная величина T , распределенная по закону Стьюдента; случайная величина 2 и др. Более подробно теоретический материал поданной теме изложен в учебном пособии авторов [1]. Примеры решения задач Пример 8.1. Используя статистические данные примера 6.2, требуется по интервальному распределению вариационного ряда с помощью критерия согласия 2 Пирсона при уровне значимости 05 , 0 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Решение. 5) Выборка имеет объем 20 n и разделена на 5 l частичных интервалов одинаковой длины. Интервал [53,0;53,2] (53,2;53,4] (53,4;53,6] (53,6;53,8] (53,8;54,0] Частота j n 4 3 6 5 2 20 Центрируя и нормируя случайную величину X , получаем случайную величину Z . Для этого из значений X вычитаем выборочную среднюю 53,48 x и делим на выборочное стандартное отклонение Помещаем в таблицу ниже новые границы интервалов, причём наименьшее значение Z полагаем равным , а наибольшее полагаем равным Поскольку эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот, то теоретические частоты находим по формуле / 1 , ( ) ( ) i i i i i n n P P z z . Здесь ( ) i z – функция Лапласа. 123 j j x 1 j x j x x 1 j x x ( ) / j j X z x x s 1 1 ( ) / j j X z x x s 1 53,0 53,2 --- -0,28 -1,1103 2 53,2 53,4 -0,28 -0,08 -1,1103 -0,3172 3 53,4 53,6 -0,08 0,12 -0,3172 0,4758 4 53,6 53,8 0,12 0,32 0,4758 1,2689 5 53,8 54,0 0,32 --- 1,2689 По таблице значений определяем на границах интервалов значения интегральной функции Лапласа ( ) z , полагая, что ( ) 0,5 и ( ) 0,5 Вычисляем теоретические вероятности j p и теоретические частоты j n j j n ( ) j z 1 ( ) j z 1 ( ) ( ) j j j p z z j j n np j j n n 2 ( ) j j n n 2 ( ) j j j n n n 1 4 -0,5 -0,3665 0,1335 2,67 1,33 1,7689 0,6625 2 3 -0,3665 -0,1255 0,2410 4,82 -1,82 3,3124 0,6872 3 6 -0,1255 0,1844 0,3099 6,198 -0,198 0,039204 0,0063 4 5 0,1844 0,3980 0,2136 4,272 0,728 0,529984 0,1241 5 2 0,3980 0,5 0,1020 2,04 -0,04 0,0016 0,0008 |