тест. Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки

• Название: Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки
• Дата: 01.01.2023
• Размер: 6.9 Mb.
• Имя файла: Teoria_veroyatnostey_zadachi.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #870162
• страница: 10 из 12

20
1
20
1,4809 Наблюдаемое значение критерия Пирсона равно
2 н. Число степеней свободы
3 5 3 2
k
l
    Находим критическую точку распределения
2

при уровне значимости
05
,
0


и числе степеней свободы
2
k

:
2
(0,05;2)
5,991476
кр


Т.к.
2 2
кр
н



, тонет оснований отвергать нулевую гипотезу. Иными словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.
Пример 8.2. Из генеральной совокупности случайной величины Х сделана выборка объема 50:
10 13 16 10 19 13 13 16 16 13 16 22 22 13 13 13 16 7
16 19 16 16 19 13 16 16 13 16 13 19 16 10 13 16 13 16 22 19 16 19 19 16 13 19 7
22 16 19 16 19 Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

124 Решение. Построим статистическое распределение х
7 10 13 16 19 22

i
n
2 3
13 18 10 4
50
/
i
n n
0,04 0,06 0,26 0,36 0,2 0,08 1
/
i
n n

0,04 0,1 0,36 0,72 0,92 1 Вычислим выборочные числовые характеристики. Выборочное среднее
1 1
779
(7 2 10 3 13 13 16 18 19 10 22 4)
15,58 50 50
i Х n
n


           Выборочная дисперсия
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
(7 2 10 3 13 13 16 18 19 10 22 4) 15,58 12,493 50
i
i
i
S
x n
X
n



 
 
 
 
 
 Выборочное среднеквадратичное отклонение
2 12,493 Поскольку эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот, то для нахождения теоретических частот используется формула
/
( Здесь
( )
i
u

– функция Гаусса. Для нахождения теоретических частот составим вспомогательную расчетную таблицу х )
i
u

/
i
n
7
-2,43 0,0208 0,88 10
-1,58 0,1145 4,9 13
-0,73 0,3056 12,9 16 0,12 0,3961 16,8 19 0,97 0,2492 10,56 22 1,82 0,0761 3,23

125 Поскольку эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот, то для нахождения теоретических частот используется формула Расчетное значение критерия Пирсона
/ 2 2
/
1
(
)
k
i
i
расч
i
i
n
n
n





Рассчитаем составляющие элементы формулы :
i
n
/
i
n
/
i
i
n
n

/ 2
(
)
i
i
n
n

/ 2
/
(
) /
i
i
i
n
n
n

2 0,88 1,12 1,2544 1,43 3
4,9
-1,9 3,61 0,74 13 12,9 0,1 0,01 0,00077 18 16,8 1,2 1,44 0,086 10 10,56
-0,56 0,3136 0,0297 4
3,23 0,77 0,5929 0,184 2
расч

2,47047 Сравним расчетное значение с табличным (критическим) значением критерия
2
(0,05; кр Так как 2,4665 7,8

, тонет оснований отвергать нулевую гипотезу то нормальном распределении генеральной совокупности. Задания для самостоятельного решения
8.1. По двум независимым выборкам, объемы которых равны
1 2
11,
14
п
п


, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Хи, найдены исправленные выборочные дисперсии
2 2
0,76,
0,38.
X
Y
S
S


При уровне значимости
0,05


проверить нулевую гипотезу Но равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н DX
DY

8.2. По двум независимым выборкам, объемы которых равны
1 2
14,
10
п
п


, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Хи, найдены исправленные выборочные дисперсии
2 2
0,84,
2,52.
X
Y
S
S


При уровне значимости
0,1


проверить нулевую гипотезу Но равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н DX
DY

8.3. Дана выборка из генеральной совокупности. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
15 23 23 23 19 23 23 23 23 23 23 27 27 31 31 15 23 23 23 19 23 27 23 23 23 19 23 31 27 27 27 23 23 31 15 23 23 23 27 23 19 23 31 23 23 27 35 27 31 19

126 8.4. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота
0,14.
m n

При уровне значимости
0,05


проверить нулевую гипотезу
0 0
:
0,2
Н
р
р


, при конкурирующей гипотезе Н р. По статистическому распределению проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. х 17 20 23 26

i
n
3 14 20 9
4 50 Индивидуальные задания Индивидуальное задание № 6 по математической статистике
1) Две независимые выборки
k
dX
и
k
dY
извлечены из нормальных генеральных совокупностей
X
и
Y
. При уровне значимости

=0,1 проверить нулевую гипотезу
DY
DX
H

:
0
о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Вариант 1 1
dX

{1.4, 2.0, 1.6, 2.2, 2.5, 1.8, 2.4, 1.8, 2.3, 1.9};
1
dY

{2.2, 3.0, 2.2, 1.0, 2.1, 2.4, 1.5, 2.3, 2.5, 2.1, 1.6, 1.4}. Вариант 2 2
dX

{1.8, 1.8, 1.9, 1.5, 2.3, 2.8, 1.2, 2.2, 1.4, 2.0 };
2
dY

{1.7, 1.7, 2.0, 3.1, 2.2, 1.1, 1.1, 2.6, 2.3, 2.0, 3.1, 1.5}. Вариант 3 3
dX

{1.9, 1.8, 1.1, 2.0, 1.6, 2.4, 1.8, 2.1, 3.3, 1.7};
3
dY

{1.0, 2.3, 1.7, 1.8, 3.6, 1.6, 2.8, 2.3, 2.8, 2.5, 2.0, 2.0 }. Вариант 4 4
dX

{2.9, 1.6, 1.8, 2.3, 1.1, 1.6, 2.4, 1.3, 2.0, 2.2};
4
dY

{1.9, 2.3, 1.9, 1.6, 2.5, 1.8, 2.5, 2.9, 1.8, 1.6, 2.7, 3.7}. Вариант 5 5
dX

{2.4, 3.2, 1.3, 0.8, 2.2, 2.5, 2.3, 1.6, 2.1, 1.8};
5
dY

{2.3, 2.5, 2.0, 3.3, 2.4, 2.5, 1.4, 2.0, 1.5, 1.2, 1.7, 2.4}. Вариант 6 6
dX

{2.5, 1.6, 2.6, 3.2, 1.1, 0.6, 0, 3.3, 2.1, 3.0};
6
dY

{0.7, 2.9, 2.8, 1.9, 3.7, 3.5, 3.4, 1.4, 2.8, 1.6, 2.0, 0.6}. Вариант 7 7
dX

{4.4, 3.2, 4.0, 2.7, 3.6, 2.5, 2.1, 1.6, 2.4, 2.5, 1.5};
7
dY

{3.2, 2.9, 4.4, 3.0, 3.2, 2.3, 0.7, 3.6, 4.2}.

127 Вариант 8 8
dX

{3.3, 1.8, 3.4, 1.3, 1.9, 4.4, 2.2, 3.5, 2.5, 2.3, 4.6};
8
dY

{2.5, 4.3, 2.4, 2.0, 2.6, 1.6, 4.1, 3.5, 3.2}. Вариант 9 9
dX

{2.3, 1.8, 3.3, 2.9, 4.3, 4.1, 3.4, 3.1, 2.1, 2.6, 3.4};
9
dY

{3.0, 4.9, 2.6, 3.4, 3.9, 3.6, 1.9, 3.7, 2.0}. Вариант 10 10
dX

{3.0, 3.9, 4.6, 2.6, 2.6, 2.4, 3.3, 4.3, 4.7, 3.0, 2.3};
10
dY

{2.1, 2.6, 2.7, 3.6, 2.3, 3.5, 4.1, 2.2, 3.2}. Вариант 11 11
dX

{2.7, 2.5, 2.7, 3.0, 2.3, 3.0, 2.7, 3.4, 2.2, 3.7, 2.6, 2.8};
11
dY

{3.0, 3.4, 3.0, 3.8, 3.3, 2.9, 2.7, 1.8, 2.4}. Вариант 12 12
dX

{3.4, 4.0, 1.9, 2.5, 3.0, 2.9, 3.3, 1.8, 2.3, 3.4, 2.5};
12
dY

{3.1, 3.3, 3.6, 2.8, 4.0, 3.2, 2.5, 2.5, 3.3}. Вариант 13 13
dX

{3.2, 2.8, 4.3, 3.1, 3.1, 3.5, 2.6, 2.7, 2.7, 2.5, 3.0};
13
dY

{2.7, 3.7, 2.6, 2.4, 3.6, 2.8, 3.5, 3.1, 2.8}. Вариант 14 14
dX

{4.6, 4.1, 4.0, 3.9, 3.8, 4.3, 4.0, 3.6, 4.3, 4.3, 4.0, 4.5};
14
dY

{4.3, 4.0, 4.0, 4.0, 4.0, 3.9, 3.6, 4.1, 4.0, 3.5, 4.1}. Вариант 15 15
dX

{3.7, 3.7, 2.6, 3.4, 3.9, 3.5, 4.2, 3.4, 4.1, 3.0, 3.7, 4.1};
15
dY

{3.0, 3.2, 4.0, 4.8, 3.1, 3.2, 4.0, 4.8, 4.1, 4.5, 4.8}. Вариант 16 16
dX

{4.8, 3.1, 2.3, 3.2, 4.3, 2.7, 3.8, 3.2, 2.9, 3.5, 3.4, 3.7};
16
dY

{4.5, 4.0, 4.2, 4.6, 3.4, 3.7, 3.4, 3.7, 4.4, 3.3, 4.0 }. Вариант 17 17
dX

{5.0, 3.1, 2.6, 2.8, 4.3, 4.7, 5.0, 2.4, 4.7, 3.8, 5.0, 3.0};
17
dY

{3.0, 4.3, 4.7, 4.0, 3.3, 3.7, 3.3, 4.0, 4.9, 4.4, 4.1}. Вариант 18 18
dX

{4.2, 4.3, 3.2, 4.0, 2.8, 4.8, 1.8, 5.4, 4.8, 4.3, 3.3, 4.2};
18
dY

{4.2, 3.2, 4.0, 5.1, 4.8, 5.6, 3.5, 3.2, 4.3, 4.8, 3.7}. Вариант 19 19
dX

{3.0, 5.2, 4.2, 3.4, 2.3, 5.1, 6.5, 2.8, 3.4, 5.5, 4.4, 4.9};
19
dY

{3.6, 2.4, 4.5, 4.7, 3.1, 6.3, 4.3, 3.4, 4.4, 3.4, 5.7}.

128 Вариант 20 20
dX

{4.4, 5.0, 4.7, 3.7, 4.3, 5.0, 2.7, 3.4, 5.0, 4.4, 5.1, 2.6};
20
dY

{4.9, 5.1, 2.8, 4.8, 4.0, 6.0, 3.3, 5.7, 4.6, 3.2, 4.8}. Вариант 21 21
dX

{3.5, 3.6, 3.3, 5.8, 1.2, 2.8, 3.5, 4.1, 2.2, 5.2, 4.9, 3.0};
21
dY

{4.5, 4.0, 4.4, 4.1, 3.7, 3.5, 4.7, 3.1, 3.5, 3.2, 4.7}. Вариант 22 22
dX

{2.3, 5.2, 3.6, 2.4, 4.8, 3.4, 3.2, 3.6, 5.3, 3.4, 3.3, 5.7};
22
dY

{2.7, 4.0, 3.0, 4.3, 2.6, 2.8, 4.1, 3.5, 1.7, 4.6, 4.2}. Вариант 23 23
dX

{3.1, 5.1, 5.4, 5.0, 2.7, 3.4, 3.3, 3.7, 4.9, 3.6, 4.4, 4.4};
23
dY

{4.0, 6.1, 5.3, 4.0, 3.7, 4.0, 4.0, 1.5, 2.5, 1.5, 4.5}. Вариант 24 24
dX

{5.2, 5.6, 5.1, 4.4, 4.5, 4.8, 4.4, 4.8, 5.3, 4.8, 4.4};
24
dY

{4.8, 5.0, 5.3, 4.3, 5.8, 4.9, 4.3, 4.4, 5.0, 4.2, 4.8, 5.3, 5.3}. Вариант 25 25
dX

{6.1, 4.2, 4.7, 5.0, 4.7, 4.5, 5.2, 4.4, 4.2, 4.6, 4.6};
25
dY

{4.4, 4.7, 4.8, 4.4, 4.4, 4.5, 5.6, 4.0, 4.8, 4.1, 6.6, 4.5, 5.3}. Вариант 26 26
dX

{4.1, 5.6, 4.9, 4.5, 5.5, 5.1, 5.0, 4.8, 6.4, 4.8, 5.0};
26
dY

{5.6, 6.2, 4.8, 4.7, 4.8, 5.2, 5.4, 4.2, 4.9, 5.2, 4.4, 5.8, 5.2}. Вариант 27 27
dX

{5.5, 5.8, 5.2, 6.8, 4.6, 5.9, 5.0, 6.0, 5.7, 3.9, 5.1};
27
dY

{6.4, 5.0, 5.7, 4.8, 3.2, 4.2, 5.0, 4.7, 3.9, 5.7, 4.4, 4.5, 4.8}. Вариант 28 28
dX

{5.0, 7.5, 5.4, 3.9, 4.7, 5.3, 5.5, 4.8, 5.3, 2.8, 3.8};
28
dY

{5.0, 4.1, 5.1, 5.2, 4.5, 4.8, 4.7, 5.0, 4.8, 5.4, 4.5, 4.6, 4.6}. Вариант 29 29
dX

{5.4, 6.2, 6.2, 5.5, 4.8, 4.4, 6.3, 5.2, 6.0, 2.8, 4.4};
29
dY

{6.3, 5.7, 5.9, 4.8, 6.0, 5.7, 4.7, 5.4, 4.8, 4.0, 5.9, 5.2, 5.5}. Вариант 30 30
dX

{5.8, 5.9, 3.2, 5.0, 4.3, 3.8, 4.2, 4.7, 5.5, 3.0, 3.1};
30
dY

{5.9, 3.2, 4.2, 4.7, 4.4, 4.1, 3.2, 6.2, 4.8, 5.4, 6.3, 3.6, 6.2}.
2) Случайная величина
X
представлена выборкой из лабораторной работы № 1 и распределена по нормальному закону. Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу
2 0
2 0
:



H
о равенстве генеральной дисперсии гипотетическому значению
0

, приняв в качестве конкурирующей
2 0
2 1
:



H

129 Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант 27 0,8 3
0,6 8
0,9 13 0,4 18 0,9 23 1,4 28 0,9 4
0,7 9
0,8 14 0,4 19 1,0 24 0,5 29 1,0 5
0,8 10 0,7 15 0,5 20 1,1 25 0,6 30 1,1 3) Две независимые выборки
k
dX
и
k
dY
извлечены из нормальных генеральных совокупностей
X
и
Y
. Генеральные дисперсии известны
2 и
2 0


DY
. Требуется при уровне значимости
01
,
0


проверить нулевую гипотезу
MY
MX
H

:
0
о равенстве генеральных средних, при конкурирующей гипотезе
MY
MX
H

:
1 4) Случайная величина
X
представлена выборкой из лабораторной работы № 1 и распределена по нормальному закону. Требуется при уровне значимости
05
,
0


проверить нулевую гипотезу
0 0
:
a
a
H

о равенстве неизвестной генеральной средней с неизвестной дисперсией) гипотетическому значению
0
a
, при конкурирующей гипотезе
0 Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант Вариант
27 5
3 2
8 3
13 3
18 4
23 4
28 5
4 2
9 3
14 4
19 4
24 5
29 5
5 2
10 3
15 4
20 4
25 5
30 5
5) Станок-автомат штампует детали. С конвейера случайным образом отобраны 200 деталей. Среди них оказалось
m
бракованных. При уровне значимости
001
,
0


проверить нулевую гипотезу
0 0
:
p
p
H

о равенстве неизвестной вероятности
p
появления брака в партии деталей гипотетической вероятности
0
p
(табл. 9.9), при конкурирующей гипотезе
0 Вариант Вариант Вариант
m
0
p
1 2
0,01 11 19 0,11 21 52 0,21 2
3 0,02 12 22 0,12 22 38 0,22 3
5 0,03 13 30 0,13 23 40 0,23 4
8 0,04 14 20 0,14 24 47 0,24 5
10 0,05 15 23 0,15 25 50 0,25 6
14 0,06 16 41 0,16 26 48 0,26 7
8 0,07 17 39 0,17 27 49 0,27 8
18 0,08 18 35 0,18 28 59 0,28 9
19 0,09 19 40 0,19 29 65 0,29 10 23 0,10 20 48 0,20 30 63 0,30

130 6) Выборка задана интервальным распределением. С помощью критерия согласия
2

Пирсона при уровне значимости
05
,
0


проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Вариант 1 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; Частота
18 30 35 17 Вариант 2 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; Частота
15 29 33 16 7 Вариант 3 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; Частота
10 25 35 22 8 Вариант 4 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; Частота
9 31 25 24 11 Вариант 5 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; Частота
11 27 33 18 11 Вариант 6 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; Частота
11 24 24 26 15 Вариант 7 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; Частота
6 20 35 33 6 Вариант 8 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; Частота
27 32 27 9
5 Вариант 9 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; Частота
7 12 43 23 15 Вариант 10 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; Частота
5 11 30 28 19 7

131 Вариант 11 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; Частота
18 23 34 17 8 Вариант 12 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7


7; 8
 
8; 9


9; Частота
14 22 30 17 12 5 Вариант 13 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; Частота
7 15 20 32 17 9 Вариант 14 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; Частота
13 26 27 26 8 Вариант 15 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7


7; 8
 
8; 9


9; Частота
14 29 20 20 11 6 Вариант 16 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7


7; 8
 
8; 9


9; Частота
10 25 24 21 14 6 Вариант 17 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7


7; 8
 
8; 9


9; Частота
15 23 21 25 11 5 Вариант 18 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7


7; 8
 
8; 9


9; Частота
8 19 35 24 7
7 Вариант 19 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; Частота
5 11 17 24 22 12 9 Вариант 20 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7


7; 8
 
8; 9


9; Частота
14 15 16 28 15 12 Вариант 21 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7


7; 8
 
8; 9


9; Частота
6 13 14 37 24 6

132 Вариант 22 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; Частота
7 15 18 25 19 10 6 Вариант 23 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; 10


10; Частота
6 12 22 20 21 9
10 Вариант 24 Интервал
 
3; 4
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; Частота
7 11 18 11 20 20 13 Вариант 25 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; 10


10; Частота
5 15 14 21 25 13 7 Вариант 26 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; 10


10; Частота
10 10 23 24 12 14 7 Вариант 27 Интервал
 
4; 5
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; 10


10; Частота
6 12 18 14 27 16 7 Вариант 28 Интервал
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; 10


10; Частота
9 19 22 17 20 13 Вариант 29 Интервал
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; 10


10; Частота
10 18 25 22 14 11 Вариант 30 Интервал
 
5; 6
 
6; 7
 
7; 8
 
8; 9


9; 10


10; Частота
17 19 11 19 18 16

133 Глава 9 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ Между двумя переменными возможны функциональная детерминированная) и статистическая (стохастическая) зависимости. При функциональной зависимости каждому значению одной переменной однозначно ставится в соответствие единственное значение другой переменной. При статистической зависимости каждому значению соответствует не единственное значение. Точнее, соответствует условный закон распределения второй переменной. Для определения статистической зависимости между двумя переменными используется понятие условного математического ожидания одной случайной величины при условии, что вторая приняла определенное значение. Корреляционной зависимостью между двумя переменными называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием второй. Основная задача регрессионного анализа – определение вида и параметров уравнения связи между переменными. Эту задачу называют сглаживанием экспериментальной зависимости. Основная задача корреляционного анализа – определение связи между параметрами и оценка тесноты этой связи. Наиболее часто исследуется случай, когда связь между параметрами ищется в виде линейной функции у ах b


. В этом случае необходимо найти оценки параметров уравнения регрессии, используя п наблюдений признаков
)
;
(
Y
X
. Для этого обычно применяют метод наименьших квадратов. Наилучшей в этом случае считается прямая, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей кривой минимальна. Одним из показателей тесноты линейной связи между показателями является коэффициент корреляции r . Он может принимать значения из интервала


1; 1

. При этом, чем ближе его значение по модулю к единице, тем линейная связь между показателями теснее. Знак же коэффициента корреляции определяет направление связи прямая или обратная. В случае, когда наблюдения исследуемых признаков сгруппированы в корреляционную таблицу, для определения вышеперечисленных параметров можно, например, использовать статистические формулы Коэффициент корреляции
xy
x
y
x y n
n X Y
r
nS S
 




(9.1) Уравнение регрессии


y
x
S
y Y
r
x
X
S
 

(9.2)

134 Примеры решения задач Пример 9.1. Поданной корреляционной таблице для двух признаков Хи. определить выборочные законы распределения признаков Хи. вычислить основные числовые характеристики выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратичное отклонение для признаков Хи. найти выборочный коэффициент корреляции, интерпретировать полученный результат
4. написать выборочное уравнение регрессии