тест. Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки
 Скачать 6.9 Mb.
|
|
5.1. Предельные теоремы теории вероятностей Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом числе испытаний над ними. Они являются основой математической статистики. Неравенство Чебышева. Если случайная величина имеет математическое ожидание MX a и дисперсию DX , то для любого справедливо неравенство Чебышева 2 DX P Другая форма записи неравенства Чебышева 2 1 DX P X MX (5.2) Неравенство Маркова.Для любой неотрицательной случайной величины X , имеющей математическое ожидание MX и 0 , справедливо неравенство MX P X (5.3) Его можно записать в другой форме 1 MX P X (5.4) Закон больших чисел в форме Чебышева. Если случайные величины 1 2 , ,..., ,... n X независимы и существует такое число 0 C , что , 1,2,..., i DX C i то для любого 0 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X MX n n , (5.5) 83 Закон больших чисел в форме Бернулли.Если вероятность появления события A водном испытании равна p , число появления этого события при n независимых испытаниях равно k , то для любого числа 0 имеет место равенство lim 1 n k P p n (5.6) Центральная предельная теорема. Пусть случайные величины 1 2 , ,..., n X X X независимы, одинаково распределены, имеют конечные математические ожидания i MX a и дисперсии 2 , 1, i DX i n . Кроме того, 1 2 n n S X X X Если при n выполняется условие 3 1 3 lim 0 n i i i n n M X MX DS , то функция распределения стандартной случайной величины n n n n S S MS Z , у которой 0 n MZ , 1 n DZ , стремится при n к функции распределения стандартной нормальной случайной величины 2 2 1 lim ( ) lim 0;1 2 x t n n n n F x P Z x e dt N (5.7) Примеры решения задач Пример 5.1. Среднее число звонков, поступающих на коммутатор в течение часа равна 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вывозов превысит 400. Решение. По условию 300 МХ . Тогда, по неравенству Маркова: 300 400 0,75 400 400 МХ Р Х Пример 5.2. Сумма всех вкладов в отделении банка составляет 2 млн. руб. Вероятность того, что случайно выбранный вклад не превысит 10 тыс. руб. равна 0,6. Оцените число вкладчиков банка. 84 Решение. Случайная величина Х – размер наудачу выбранного вклада, п число вкладов. Тогда средний размер вклада 2000 МХ п тыс. руб. Тогда по неравенству Маркова: 10 1 10 МХ Р Х или 2000 10 Р Х Учитывая, что 10 Р Х, получаем 2000 1 0,6 10 , откуда п, те. количество вкладов не превышает 500 человек. Пример 5.3. Средний расход воды на ферме равняется 1000 л. вдень, а среднеквадратичное отклонение случайной величины – расхода воды, не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды в течение дня не превысит 2000 л. Используя а) неравенство Маркова; б) неравенство Чебышева. Решение. Пусть Х случайная величина – расход воды на ферме (л. По условию 1000 МХ а) Применяем неравенство Маркова: 1000 2000 Р Х б) Так как интервал 0; 2000 симметричен относительно математического ожидания, то для оценки вероятности можно использовать неравенство Чебышева 2 2 200 2000 0; 2000 1000 1000 Р Х Р Х Р Х Таким образом, неравенство Чебышева дало более точную оценку вероятности. Задания для самостоятельного решения 5.1. Среднее изменение курса валют в течение месяца составляет 0,03%. Оценить вероятность того, что в ближайший месяц курс изменится более, чем на 3%. 5.2. Вероятность того, что в течение времени t станок не выйдет из строя (надежность, равна 0,98. В цехе 500 станков. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что доля надежных станков отличается по абсолютной величине от 0,98 не более, чем на 0,1. 5.3. В течение суток предприятие, в среднем, расходует 125 квт электроэнергии. Считая, что суточная потребность в электроэнергии есть случайная величина, оценить вероятность того, что в ближайшие сутки предприятие потребит менее 500 киловатт. 85 5.4. Средняя ширина изделия равна 50 см, а дисперсия 0,1. Используя неравенство Чебышева, найти вероятность того, что ширина наудачу выбранного изделия будет не менее 49,5 и не более 50, 5 см. 5.5. Опыт работа страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый восьмой договор. Оценить с помощью вероятностью, не меньше, чем 0,8, можно было утверждать, что частота страховых случаев отклонится от вероятности не более, чем на 0,01 по абсолютно величине. Уточнить результат с помощью теоремы Муавра-Лапласа. 5.6. В среднем каждый й DVD диск, записываемый фирмой, оказывается бракованным. Оценить вероятность того, что из 900 дисков число бракованных окажется от 25 до 35. Решить задачу с помощью неравенства Чебышева и интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Сравнить результаты. 5.7. В среднем 10% населения некоторого региона старше 70 лет. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 10 000 жителей города доля тех, кому больше 70 лет будет в пределах от 9 до 11%. 5.8. В страховой компании застраховано 10 000 человек. Вероятность наступления страхового случая равна 0,006. Каждый застрахованный платит ежемесячно 12 грн. ив случае наступления страхового случая получает от страховой компании 1000 грн. Найти вероятность того, что в течение месяца страховая компания понесет убыток. 5.9. Вероятность того, что при обращении к конкретной компьютерной программе, она сработает правильно, равна 0,95. Найти минимальное число запросов (обращений, при котором частота правильной работы программы будет заключена в границах от 0,93 до 0,97 включительно с вероятностью не менее 0,93. Применить неравенство Чебышева. 5.10. Телефонная станция предприятия обслуживает 1600 абонентов. Вероятность того, что абонент обратится в течении суток равна 0,9. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число абонентов, обратившихся в течение суток, будет отличаться по абсолютной величине от своего математического ожидания не более, чем на 100. Найти вероятность этого же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. 5.11. Заданы законы распределения попарно независимых случайных величин, образующих случайную последовательность , 1,2,..... n X n . Выяснить, применим лик этим последовательностям закон больших чисел 86 а) ni x n 0 n ni p 1 n 2 б) ni x na 0 na ni p 2 1 2n 2 1 1 n 2 в) ni x na 0 na ni p 1 2 n 1 1 1 2 n 1 г) ni x ln n ln n ni p 1 2 1 Индивидуальные задания Индивидуальное задание 22 Решить задачи используя закон больших чисел (одно из неравенств или теорем Чебышева, Бернулли, Маркова, Пуассона. 22.1. Число пасмурных дней для данной местности является случайной величиной с математическим ожиданием, равным 75 дней. Оценить снизу вероятность того, что в следующем году в данной местности будет меньше 150 пасмурных дней. 22.2. Математическое ожидание начальной скорости полета данного типа снаряда равно 500 м/сек. Оценить сверху вероятность того, что при испытании очередного снаряда его начальная скорость окажется не менее, чем 800 м/сек. 22.3. Средняя температура в студенческом общежитии в период отопительного сезона 20 градусов, а среднее квадратичное отклонение равно 2 град. Оценить снизу вероятность того, что температура в общежитии отклонится от средней по абсолютной величине менее, чем на 4 градуса. 87 22.4. Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали равно см, а среднее квадратическое отклонение равно 0.2 см. Оценить снизу вероятность того, что длина случайно отобранной детали колеблется в пределах от 49.5 до 50.5 см. 22.5. Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин равна 4. Оценить снизу вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0.1. 22.6. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка при одном выстреле равна 1/3. Найти наименьшее число выстрелов N , чтобы с вероятностью не меньшей 0.99 частота попаданий отклонялась по абсолютной величине от вероятности попадания в мишень не более, чем на 0.01. 22.7. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время T равна 0.05. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время T окажется меньше двух не меньше двух. 22.8. Последовательность независимых случайных величин 1 2 , ,..., n X X X задана законом распределения i n X 3 0 3 i P 1 3 1 3 1 Применима лик данной последовательности теорема Чебышева 22.9. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов, если информация о дисперсии отсутствует. 22.10. В осветительную сеть параллельно включено 22 лампы. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется а) меньше трех б) не меньше трех. 22.11. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что в партии из 10000 подшипников отклонение частоты бракованных подшипников от вероятности 0,01 подшипнику быть бракованным превысит 0,003. 88 22.12. Последовательность независимых случайных величин 1 2 , ,..., n X X X задана законом распределения i n X nA 0 nA i P 2 1 2n 2 1 1 n 2 Применима лик данной последовательности теорема Чебышева ? 22.13. При контрольной проверке изготовляемых приборов была установлено, что среднем 20 штук из 100 изготовленных оказываются с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 300 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания не более, чем на 0,15. 22.14. Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин равна 2. Оценить снизу вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0.1. 22.15. Дискретная случайная величина X имеет распределение i X 0 1 2 3 i P 0,1 0,2 0,3 0,4 Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего больше, чем на 0.1. 22.16. Последовательность независимых случайных величин 1 2 , ,..., n X X X задана законом распределения i n X a 0 a i P 2 1 n n 1 2 1 n 2 Применима лик данной последовательности теорема Чебышева ? 22.17. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка при одном выстреле равна 1/3. Найти наименьшее число выстрелов N , чтобы с вероятностью не меньшей 0.99 частота попаданий отклонялась по абсолютной величине от вероятности попадания в мишень не более, чем на 0.01. 22.18. Вероятность некоторого события A в каждом из 12100 независимых испытаний равна 1/3. Найти границу абсолютной 89 величины отклонения частоты события A от его вероятности, которую можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,99. 22.19. Средняя температура в студенческом общежитии в период отопительного сезона 20 градусов, а среднее квадратическое отклонение равно 2 град. Оценить снизу вероятность того, что температура в общежитии отклонится от средней по абсолютной величине менее, чем на 4 градуса. 22.20. Поезд состоит из 98 вагонов. Вес каждого вагона – случайная величина с математическим ожиданием, равным 65 т, и средним квадратическим отклонением, равным т. Локомотив может везти поезд, если его масса не превышает т. В противном случае подцепляют второй локомотив. Какова вероятность, что этого делать не придется. 22.21. Число солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным отклонением 20 дней. Оценить сверху вероятности событий 150 X , 200 X 22.22. Последовательность независимых случайных величин 1 2 , ,..., n X X X задана законом распределения i n X ln( ) n 0 ln( ) n i P 1 n 2 Применима лик данной последовательности теорема Чебышева ? 22.23. Шестигранная кость бросается 10 000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления шести очков от вероятности появления шести очков меньше, чем на 0,01 22.24. Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 20 000 кВт/час, а дисперсия составляет 2 000 (кВт/час) 2 . Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что в ближайший день расход электроэнергии в этом населенном пункте от 19 600 до 20 400 кВт/час. 22.25. Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина X – проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события ( 80 X км/час), если путем многолетних измерений установлено, что 16 M X км/час. 22.26. Вероятность рождения девочки равна 0.485. Оценить снизу вероятность того, что число девочек среди 3000 новорожденных будет 90 отличаться от математического ожидания этого число по абсолютной величине менее, чем на 50. 22.27. Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/ч, а среднее квадратичное отклонение – 4,5 км/ч. Какие скорости ветра можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9? 22.28. Вероятность получить с конвейера пару обуви высшего качества равна 0.6. Оценить снизу вероятность того, что среди 600 пар обуви, полученных с конвейера, содержится от 340 до 380 изделий высшего качества. 22.29. Случайная величина X имеет математическое ожидание, равное 1, и среднее квадратическое отклонение, равное 0,2. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность неравенства 0,5 1,5 X 22.30. Дискретная случайная величина X имеет распределение i X 0,1 0,4 0,6 i P 0,2 0,3 0,5 Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего больше, чем на 0, 4 5.2. Элементы теории случайных процессов Случайной функцией ( ) X t называют случайную величину, зависящую от неслучайного аргумента t T . Если параметр интерпретируется как время, то случайная функция называется случайным процессом. Случайным процессом называется семейство случайных величин ( , ) X t , заданных на одном и том же пространстве элементарных событий , зависящих от параметра t T . Случайный процесс можно задать формулой, если вид случайной функции известен, а случайные величины, определяющие параметры случайной функции можно задать аналитически. Случайный процесс с дискретными состояниями называется марковским, если для любого момента времени 0 t условная вероятность каждого из состояний системы S в будущем (то есть, при 0 t t ) зависит только от ее состояния в настоящем (то есть, при 0 t t ) и не зависит оттого, когда и как система пришла в это состояние (то есть, каковы были состояния системы S в прошлом, при 0 t t ). Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют цепью Маркова. 91 Переходной вероятностью ( ) ij p k называют условную вероятность перехода системы S нам шаге в состояние j s , если известно, что на предыдущем ( 1) k м шаге она была в состоянии i s , то есть, ( ) ( ) / ( 1) , , 1,2,3,..., ij j i p k P S k s S k s i j n (5.8) Для случайных процессов с дискретным временем и дискретным множеством состояний обычно определяются вероятности после k го шага. Справедлива формула ( ) n P n P , те. матрица переходов за n шагов есть я степень матрицы переходов за один шаг [1, с. 123-124]. Цепь Маркова представляет собой дальнейшее обобщение схемы Бернулли уже на случай зависимых испытаний независимые испытания являются частным случаем марковской цепи. Марковским процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем называется процесс, в котором переходы системы из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени. Для непрерывного марковского процесса необходимо определить предельные вероятности. Для их нахождения нужно решить систему дифференциальных уравнений – уравнений Колмогорова 1 1 ( ) ( ) ( ) n n i j ji i ij j j j i j i dp t p t p t dt ( 1,..., i n ) (5.9) с начальными условиями 1 2 1 (0), (0),..., (0); (0) 0, (0) и условием нормировки 1 ( ) 1 n i i p Примеры решения задач Пример 5.4. Построить граф состояний следующего случайного процесса устройство S в случайные моменты времени может выйти из строя, оно рассматривается в определенные моменты времени, например, через каждый три часа ив случае необходимости – ремонтируется. 92 Решение. Возможные состояния системы (устройства) S : 1 s – устройство исправно 2 s – устройство неисправно, требуется ремонт 3 s – устройство неисправно, ремонту не подлежит, списано. Граф системы имеет вид Процесс представляет собой случайное блуждание системы S по состояниям, время (3 часа) – шаг процесса. Реализация случайного процесса блуждания системы может иметь, в частности, такой вид (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1 1 1 2 1 Что означает прим, мим осмотрах устройство исправно прим осмотре – неисправно, ремонтируется прими м – исправно прим устройство признано негодным, списано. Процесс закончился. Пример 5.5. Дана система S , размеченный граф состояний которой показан на рисунке. Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Решение. Система дифференциальных уравнений будет иметь вид / 1 21 2 12 13 1 / 2 12 1 21 23 2 / 3 13 1 23 2 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). p t p t p t p t p t p t p t p t p t S1 S2 S3 12 21 23 13 S1 S2 S3 93 Нормировочное условие 1 2 3 ( ) ( ) ( ) 1. p t p t p При интегрировании такой системы следует учесть состояние системы в начальный моменты, те. при 0 t . Так, если в этот момент она была в состоянии k s , то полагают (0) Задания для самостоятельного решения 5.12. Происходит случайное блуждание частицы по точкам 0 1 2 3 , , , A A A A с координатами 0, 1, 2, 3 соответственно. Граничные точки 0 A и 3 A являются поглощающими экранами. Если частица в момент времени t n находится водной из внутренних точек 1 2 , A A , тов следующий момент времени 1 t n она переходит в соседнюю справа точку с вероятностью (0 1) p p ив соседнюю слева точку с вероятностью 1 q p . Найдите матрицу переходов данной цепи Маркова. Найдите матрицу переходов за 2 шага. 5.13. Используя условие предыдущей задачи будем считать, что точки 0 A и 3 A являются отражающими, то есть частица, попадая в любую из них, в следующий момент времени возвращается в соседнюю внутреннюю точку. В точках 1 2 , A A частица ведет себя, как ив предыдущей задаче. Найдите матрицу переходов данной цепи Маркова. Найдите матрицу переходов за 2 шага. 5.14. Существуют ли предельные вероятности для цепей Маркова, управляемых следующими матрицами переходов а) 0 1 1 0 ; б) 1 0 1 0 ; в) 1 0 0 1 ; г) 0,5 0,5 0 1 ; д) 0,5 0,5 1 0 5.15. Цепь Маркова управляется матрицей 0 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,5 0 P Убедитесь в применимости теоремы Маркова к этой цепи. Найдите предельные вероятности * * * 1 2 3 , , p p p 5.16. Цепь Маркова управляется матрицей 1 0 1 2 3 Убедитесь в существовании предельных вероятностей и найдите их. 94 5.17. Частица движется по точкам 1 2 3 4 5 , , , , A A A A A числовой оси с абсциссами 1, 2, 3, 4, 5 соответственно. Каждый шаг направлен вправо с вероятностью p и влево с вероятностью 1 q p . Частица движется, пока не достигнет одной из двух крайних точек 1 A или 5 A . Достигнув крайней точки, она отражается и возвращается в состояние, из которого пришла. Составьте матрицу переходов описанной цепи Маркова. 5.18. В условии предыдущей задачи, достигнув одной из двух крайних точек 1 A или 5 A , частица в следующий момент времени направляется в среднюю точку 3 A . Поведение в средних точках тоже, что ив предыдущей задаче. Найдите матрицу переходов. 5.19. В условии задачи 5.17, достигнув одной из двух крайних точек, частица с вероятностью 0, остается в ней и с вероятностью 0,5 переходит в другую граничную точку. Поведение в средних точках тоже, что ив предыдущей задаче. Найдите матрицу переходов. 5.20. Пусть частица (см. задачу 5.17), находясь водной из внутренних точек 2 3 4 , , A A A , с равными вероятностями движется вправо, влево, или остается на месте. Если частица находится на границе, то она не может оставаться на месте и с равными вероятностями переходит в одну из остальных четырех точек. Найдите матрицу переходов. Убедитесь в существовании предельных вероятностей, найдите их. Индивидуальные задания Индивидуальное задание 23 Определить вероятности состояний после третьего шага. Начальное состояние 2 S 23. 1. 23. 2. 0,5 0,2 0,15 0,2 0,3 S1 S2 S4 S3 0,6 0,4 0,1 0,2 0,3 S1 S3 S4 S2 95 23. 3. 23. 4. 23. 5. 23. 6. 23. 7. 23. 8. 0, 15 0, 2 0, 4 0, 6 S1 S2 S0 0,1 0,2 0,4 0,3 0,2 0,3 0,15 S1 S3 S2 S4 0,5 0,25 0,4 0,2 0,3 S0 S2 S1 S3 0,15 0,4 0,3 0,2 S1 S3 S2 0,5 0,4 0,2 0,3 S2 S1 S3 0, 3 0, 4 0, 15 0, 2 S2 S3 S1 96 23. 9. 23. 10. 23. 11. 23. 12. 23. 13. 0,1 0,5 0,4 0,4 S1 S2 S0 0, 5 0, 3 0, 25 0, 3 0, 2 0, 1 S1 S4 S2 S3 0, 4 0, 15 0, 3 0, 25 0, 15 S0 S2 S1 S3 0, 2 0, 4 0, 3 0, 3 0, 4 0, 1 S1 S2 S0 S3 0,2 0,3 0,1 0,2 0,1 0,2 0,3 S1 S2 S0 S3 97 23. 14. 23. 15. Индивидуальное задание 24 Определить предельные вероятности состояний системы 24. 1. 24. 2. 24. 3. 0,1 0,15 0,2 0,3 0,3 0,4 0,1 S1 S4 S2 S3 0,25 5 0,2 0,3 0,1 0,4 S2 S3 S1 5 1 4 5 3 S0 S2 S1 S3 2 3 6 5 2 4 S1 S4 S2 S3 6 4 5 2 S2 S3 S1 98 24. 4. 24.5. 24. 6. 24. 7. 24. 8. 9 2 5 3 S1 S2 S0 5 4 3 7 2 S1 S2 S0 S3 7 3 6 5 4 3 S1 S3 S2 S4 3 4 2 S2 S1 S3 5 1 5 3 4 S1 S2 S4 S3 3 99 24. 9. 24. 10. 24. 11. 24. 12. 3 4 3 1 S1 S3 S2 4 1 5 3 S1 S3 S4 S2 7 3 7 5 S0 S2 S1 S3 4 2 4 3 5 4 1 S1 S4 S2 S3 6 100 Содержательный модуль 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Глава 6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Пусть для изучения количественного признака Х генеральной совокупности извлечена выборках х х объема п. Наблюдаемые значения i х называют вариантами. Последовательность вариант, расположенных по возрастанию называют вариационным рядом. Статистическое распределение называют перечень вариант и соответствующих им частот пили относительных частот i i п п , где п объем выборки (дискретное распределение. Статистическое распределение выборки можно также задать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (непрерывное распределение. Эмпирическое функцией распределения называют функцию * ( ) F x , определяющую для каждого значениях относительную частоту события Х * ( ) , x n F x n (6.1) где x n – число вариант, меньших х Выборочные числовые характеристики Выборочное среднее вычисляется по формуле k i i i k i i i w x n n x x 1 1 , (6.2) Выборочная дисперсия 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) . k k k X i i i i i i i i i s x x n x n x x w x x x n n (6.3) Выборочное среднее квадратическое (стандартное) отклонение X s – это квадратный корень из выборочной дисперсии Коэффициент вариации выборки вычисляется по формуле x s v X X (6.4) 101 Примеры решения задач Пример 6.1. На заводе случайным образом взято 50 проб однотипных изделий. В качестве случайной величины X рассматривается количество бракованных изделий в пробе. № пробы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Значение X (шт) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 № пробы 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Значение X (шт) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 № пробы 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Значение X (шт) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 № пробы 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Значение X (шт) 3 2 0 0 0 0 0 0 2 2 № пробы 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Значение X (шт) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Требуется 1) составить вариационный ряди вычислить размах варьирования 2) для повторяющихся вариант составить таблицу распределения частот и частостей, построить полигон частот 3) оценить вероятность того, что в пробе будет хотя бы одно бракованное изделие 4) записать эмпирическую функцию распределения и построить её график. Решение. 1) Случайная величина X является дискретной. Расположим данные в порядке возрастания значения случайной величины (варьирующего признака. Значение X (шт) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Значение X (шт) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Значение X (шт) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Значение X (шт) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Значение X (шт) 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 Объём выборки 50 n . Размах варьирования 3 0 3 R 2) Количество повторяющихся вариант 4 k . Введём обозначения i x – количество бракованных изделий в пробе (значение случайной величины i n – количество проб (частота i w – частость ( 1, 4 i ). Запишем в таблице ниже и построим рисунок. i x 0 1 2 3 i n 38 7 3 2 50 / i i w n n 38/50=0,76 0,14 0,06 0,04 1 102 Рис. 6.1. Полигон частот 3) По таблице оценим вероятность того, что в пробе будет хотя бы одно бракованное изделие. Для этого надо рассчитать частость этого события ( 1) 1 ( 1) 1 ( 0) 1 0, 76 0, 24 W X W X W X 4) Запишем эмпирическую функцию распределения 0, 0; 0,76, 0 1; ( ) 0,9, 1 2; 0,96, 2 3; 1, 3. n x x F x x x x График функции изображён на рис. 6.2. Рис. 6.2. График эмпирической функции распределения 103 Пример 6.2. На птицеферме откармливают бройлеров. Случайным образом из большого числа птиц отобрано 20 бройлеров. В качестве случайной величины X рассматривают суточный прирост веса в граммах. № испытания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Значение X (г) 53,7 53,0 53,3 53,4 53,5 53,6 53,9 53,9 53,8 53,2 № испытания 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Значение X (г) 53,3 53,1 53,6 53,5 53,8 53,2 53,5 53,8 53,5 53,7 Требуется 1) составить интервальное распределение вариационного ряда 2) записать эмпирическую функцию распределения, построить её графики оценить вероятность того, что наугад выбранный бройлер даст суточный прирост веса не менее 53,2 (г 3) вычислить значение эмпирической плотности распределения на каждом из интервалов и построить гистограмму частостей. Решение. 1) Выборка из табл. 1 характеризует непрерывную случайную величину X . Составим вариационный ряд № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Значение X (г) 53,0 53,1 53,2 53,2 53,3 53,3 53,4 53,5 53,5 53,5 № п/п 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Значение X (г) 53,5 53,6 53,6 53,7 53,7 53,8 53,8 53,8 53,9 53,9 Поскольку имеются повторяющиеся элементы, поэтому сформируем новую таблицу i x 53,0 53,1 53,2 53,3 53,4 53,5 53,6 53,7 53,8 53,9 i n 1 1 2 2 1 4 2 2 3 2 20 Объём выборки, минимальный и максимальный элементы, размах варьирования, соответственно, равны min max 20; 53,0; 53,9; 53,9 53,0 Вычислим по правилу Стерджесса количество интервалов 2 2 1 log 1 log 20 1 4,3219 5,3219 5 l n Определим ширину интервала 0,9 0,18 5 R x l Т.к. элементы выборки – это десятичные дроби с одним знаком после запятой, то округлим 104 0,2 x Границы интервалов определяют последовательным прибавлением ширины x к Интервал [53,0;53,2] (53,2;53,4] (53,4;53,6] (53,6;53,8] (53,8;54,0] Частота j n 4 3 6 5 2 20 Частость / j j w n n 4/20=0,2 0,15 0,3 0,25 0,1 1 2) Т.к. рассматривается непрерывная случайная величина, то эмпирическая функция распределения ) (x F n также должна быть непрерывной. Вычислим её значения. Значения аргумента Значение функции ( ;53, 0] x 0 53,0 0 53,2 0,2 53,4 0,2+0,15=0,35 53,6 0,2+0,15+0,3=0,65 53,8 0,2+0,15+0,3+0,25=0,9 54,0 0,2+0,15+0,3+0,25+0,1=1 (54, 0; ) x 1 График функции ) (x F n проходит через точки (53,0;0), (53,2;0,2), (53,4;0,35), (53,6;0,65), (53,8;0,9), (54,0;1), которые соединяют отрезками прямой. Кроме того, ( ) 0 n F x при ( ;53, 0] x и ( ) 1 n F x при (54, Рис. 6.3. График эмпирической функции распределения 105 На интервале [53, 0;53, 2] x график ( ) n F x будет отрезком прямой, проходящей через точки (53,0;0) и (53,2;0,2). Найдём уравнение этой прямой 0 53,0 0, 2 0 ; 0 ( 53,0); 53,0. 0, 2 0 53, 2 53,0 53, 2 53,0 y x y x y x Нам интервале вариационного ряда, те. при (53, 2;53, 4] x график ( ) n F x будет отрезком прямой, проходящей через точки (53,2;0,2) и (53,4;0,35). Имеем уравнение прямой 0, 2 53, 2 0,35 0, 2 ; 0, 2 ( 53, 2); 0,75 39,7. 0,35 0, 2 53, 4 53, 2 53, 4 53, 2 y x y x y x Проделав подобные вычисления на всех интервалах, запишем эмпирическую функцию распределения 0, ( ;53,0]; 53,0, (53,0;53, 2]; 0,75 39,7, (53, 2;53, 4]; ( ) 1,5 79,75, (53, 4;53,6]; 1, 25 66,35, (53,6;53,8]; 0,5 26,0, (53,8;54,0]; 1, (54,0; ). n x x x x x F x x x x x x x x Оценим вероятность того, что наугад выбранный бройлер даст суточный прирост веса не менее 53,2 (г. Для этого рассчитаем частость события ( 53,2) 1 ( 53,2) 1 (53,2) n W X W X F 1 (53,2 53,0) 1 0,2 0,8 То. можно утверждать, что в среднему бройлеров суточный прирост веса составляет не менее 53,2 (г. 3) Вычислим значение эмпирической плотности распределения на каждом из интервалов. Интервал [53,0;53,2] (53,2;53,4] (53,4;53,6] (53,6;53,8] (53,8;54,0] Частость j w 0,2 0,15 0,3 0,25 0,1 Эмпирическая плотность / j j f w x 0,2/0,2=1 0,75 1,5 1,25 0,5 |