тест. Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки

• Название: Учебнометодическое пособие для студентов, обучающихся по программам высшего образования укрупнённой группы специальностей и направлений подготовки
• Дата: 01.01.2023
• Размер: 6.9 Mb.
• Имя файла: Teoria_veroyatnostey_zadachi.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #870162
• страница: 7 из 12

16.1
Y
0 1
2
16.2
Y
0 1
2
X
X
1 0,1 0,1 0,1 0
0,1 0,1 0,2 2
0,1 0,1 0,5 1
0,1 0,2 0,3
16.3
Y
0 1
2
16.4
Y
0 1
2
X
X
Y
0 1
2 0
0,2 0,2 0,2
X
1 0,2 0,1 0,1
16.5
Y
1 2
3
16.6
Y
0 1
2
X
X
1 0,3 0,2 0,1 0
0,4 0,1 0,1 2
0,1 0,2 0,1 1
0,1 0,1 0,2
16.7
Y
0 1
2
16.8
Y
1 2
3
X
X
1 0,1 0,5 0,1 0
0,1 0,4 0,1 2
0,1 0,1 0,1 1
0,1 0,2 0,1
16.9
Y
0 1
2
16.10
Y
1 3
5
X
X
1 0,3 0,1 0,2 0
0,1 0,1 0,2 2
0,1 0,2 0,1 1
0,1 0,4 0,1

71
16.11
Y
0 1
3
16.12
Y
1 2
3
X
X
1 0,1 0,2 0,2 0
0,2 0,1 0,3 2
0,2 0,2 0,1 1
0,1 0,2 0,1
16.13
Y
0 1
3
16.14
Y
1 2
3
X
X
1 0,1 0,1 0,1 0
0,2 0,1 0,2 2
0,4 0,1 0,2 1
0,1 0,2 0,2
16.15
Y
0 1
2
16.16
Y
1 3
5
X
X
1 0,1 0,2 0,1 0
0,3 0,1 0,1 2
0,3 0,1 0,2 1
0,1 0,1 0,3
16.17
Y
1 2
3
16.18
Y
1 3
5
X
X
1 0,2 0,2 0,1 0
0,2 0,1 0,1 2
0,1 0,2 0,2 1
0,1 0,4 0,1
16.19
Y
0 1
3
16.20
Y
1 2
3
X
X
1 0,3 0,1 0,1 0
0,2 0,1 0,2 2
0,1 0,3 0,1 1
0,2 0,1 0,2
16.21
Y
0 1
2
16.22
Y
1 3
5
X
X
1 0,1 0,2 0,1 0
0,1 0,3 0,1 2
0,1 0,1 0,4 1
0,2 0,1 0,2
16.23
Y
0 1
3
16.24
Y
1 2
4
X
X
1 0,1 0,1 0,3 0
0,2 0,2 0,1 2
0,3 0,1 0,1 1
0,1 0,2 0,2
16.25
Y
0 1
3
16.26
Y
1 2
3
X
X
1 0,1 0,1 0,4 0
0,1 0,1 0,1 2
0,2 0,1 0,1 1
0,2 0,3 0,2
16.27
Y
0 1
2
16.28
Y
1 3
5
X
X
1 0,1 0,3 0,1 0
0,2 0,2 0,1 2
0,3 0,1 0,1 1
0,2 0,2 0,1
16.29
Y
0 1
3
16.30
Y
1 2
3
X
X
1 0,4 0,1 0,1 0
0,1 0,2 0,1 2
0,1 0,2 0,1 1
0,2 0,3 0,1
16.31
Y
0 1
4
16.32
Y
0 1
5
X
X
1 0,3 0,2 0,1 0
0,1 0,1 0,2 2
0,1 0,1 0,2 1
0,3 0,1 0,2

72 Индивидуальное задание 17 Выполнить задания, используя теорию многомерных непрерывных случайных величин Задана совместная плотность распределения случайных величин Хи У
( , ), ( , )
;
( , )
0, ( , )
,
G x y
x y
D
f x y
x y
D


 где
}
Требуется
1) найти постоянную величину С
2) определить х, ух, ух
3) определить совместную F(x,y) и отдельные функции распределения вероятностей х, у
4) вычислить M(X) и D(X);
5) найти Ми построить график линии регрессии Y на X;
6) вычислить коэффициент корреляции.
№
)
,
( y
x
G
a
b
c
d
17.1
C(2х+у)
0 1
-1 0
17.2
C(ху+1)
0 2
0 1
17.3
C(3х+у)
0 1
-1 0
17.4
C(4х+у)
0 2
0 1
17.5
C(х+2у)
0 1
-1 0
17.6
C(х+3у)
0 2
0 1
17.7
C(х+4у)
0 1
-1 0
17.8
C(ху+2)
0 2
0 1
17.9
C(ху+3)
0 1
-1 0
17.10
C(ху+4)
0 2
0 1
17.11
C(х+2у+1)
0 1
-1 0
17.12
C(х+3у+1)
0 2
0 1
17.13
C(х+4у+1)
0 1
-1 0
17.14
C(2х+у+1)
0 2
0 1
17.15
C(3х+у+1)
0 1
-1 0

73
17.16
C(4х+3у)
0 2
0 1
17.17
C(2х+3у)
0 1
-2 0
17.18
C(2х+4у)
0 2
-1 0
17.19
C(3х+2у)
0 1
0 1
17.20
C(4х+2у)
0 2
-1 0
17.21
C(4х+3у)
0 1
0 1
17.22
C(3х+4у)
0 2
-1 0
17.23
C(х+2у+2)
0 1
0 1
17.24
C(х+2у+3)
0 2
-1 0
17.25
C(х+2у+4)
0 1
0 1
17.26
C(2х+у+2)
0 2
-1 0
17.27
C(2х+у+3)
0 1
0 1
17.28
C(2х+у+4)
0 2
-1 0
17.29
C(3х+у+2)
0 1
0 1
17.30
C(3х+у+3)
0 2
-1 0
17.31
C(ху+1,5)
0 1
0 1
17.32
C(2-ху)
0 1
-1 2

74 Глава 4 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Биномиальный закон распределения Параметры распределения , .
n p Закон распределения
i
x
0 1
…
m
…
n
i
p
n
q
1 1
n
n
p
C
q


…
m
m
n
n m
p
C
q


…
n
p


m
m
n m
m
n
p
P X
m
C p q




, где
0 1,
1
,
0, 1, 2,..., .
p
q
p m
n
 
 Числовые характеристики MX
np

, Нормальный закон распределения Параметры распределения ,
а

Плотность распределения 2
(
)
2 1
( )
2
x a
f Функция распределения
2 2
(
)
2 1
( )
2
t a
x
F Числовые характеристики
2
,
МХ
а Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал




2 1
1 2
;
( )
( ),
,
a
a
P x
x
x
x
x


 





 
 Правило трех сигм»:


3 Р Ха Равномерный закон распределения Параметры распределения , а b

75 Плотность распределения )
0,
,
x
a b
f x
b a
x
a Функция распределения
0, при )
, при, при x
a
x
b
b a
x
b


 


 
 Числовые характеристики
,
2
a
b
MX


2
(
)
12
b Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал




;
P x
b
a
 
 Показательный (экспоненциальный) закон распределения Параметры распределения Плотность распределения
,
0,
( )
0,
0.
x
e
x
f x
x





 Функция распределения
0,
0,
( )
1
,
0,
x
x
F x
e
x




 Числовые характеристики
1
,
MX


2 Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал




;
P ее Примеры решения задач Пример 4.1. Согласно статистическим данным вероятность рождения мальчика составляет 0,515. Составить закон распределения случайной величины Х – числа мальчиков в семье из х детей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

76 Решение. Число мальчиков представляет собой случайную величину, которая принимает значения


0, 1, 2, 3, Х, вероятности которых вычисляются по формуле Бернулли
(
)
k
k
n Р Х p q



, то есть бернуллиевская случайная величина с параметрами
4,
0,515,
1 0,515 пр 

. Вычислим вероятности


0 0
4 4
0 0,515 0,485 0,055;
P X
C







1 1
3 4
1 0,515 0,485 0,235;
P X
C
 





2 2
2 4
2 0,515 0,485 0,375;
P X
C







3 3
1 4
3 0,515 0,485 0,265;
P X
C







4 4
0 4
4 0,515 0,485 0,070.
P Закон распределения Х 1
2 3
4
i
p
0,055 0,235 0,375 0,265 0,070 Числовые характеристики случайной величины можно найти по общим формулам, однако, учитывая, что это бернуллиевская случайная величина, можно воспользоваться формулами
4 0,515 2,06;
4 0,515 0,485 0,999
МХ
пр
DX
прq

 


 Пример 4.2. Автобусы отправляются регулярно с интервалом в 2 минуты. Пассажир выходит на остановку в случайный момент времени Какова вероятность того, что пассажиру придется ждать менее полминуты. Найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины – времени ожидания пассажиром автобуса. Решение. Случайная величина Х – время ожидания пассажиром автобуса равномерно распределена на интервале


0; 2
. Следовательно, ее плотность имеет вид




1
,
0; 2 ;
2
( )
0,
0; 2
x
f x



 
 Параметры равномерного распределения Вероятность того, что время ожидания не превысит полминуты
0,5 0,5 0
0 1
1 1
(
0,5)
2 Р Х
dx
x





Математическое ожидание
0 2
1 2
МХ



, те. пассажир в среднем ждет автобуса одну минуту.

77 Дисперсия
2
(2 0)
1 12 3
DХ



Пример 4.3. Время ремонта телевизора – случайная величина, имеющая показательный закон распределения. Найти вероятность того, что время ремонта будет не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизора составляет 15 дней. Найти плотность распределения, функцию распределения и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Решение. Среднее время ремонта это математическое ожидание случайной величины, те.
1 15.
МХ

 
Отсюда
1 Тогда плотность распределения
1 15 1
,
0
( )
,
15 0,
0
x
e
x
f x
x




 Функция распределения
1 15 0,
0
( )
1
,
0
x
x
F x
e
x



 
 Искомая вероятность
20 15
(
20) 1
(
20) 1
(20) 1 (Р Х
Р Х 

 
  Пример 4.4. Рост мужчин некоторого возраста является нормальной случайной величиной с параметрами а,
2 36


. Найти а) плотность и функцию распределения случайной величины б) долю костюмов го размера (соответствует росту 176-182 см, которые необходимо предусмотреть в общем объеме производства в) сформулировать правило трех сигм». Решение. а) Плотность распределения нормальной случайной величины с заданными параметрами имеет вид
2
(
173)
2 36 1
( )
6 2
x
f Функция распределения
2
( 173)
2 36 1
( )
6 2
x
t
F б) Доля костюмов заданного размера


182 173 176 173
(
176; 182 )
6 6
(1,5)
(0,5)
0, 4332 0,1915 0, Р Х 
 









 
 Таким образом в общем объеме выпуска костюмов необходимо запланировать чуть больше 24% указанного размера.

78 в)
3 173 3 6 155,
3 173 3 6 191
а
а




  


  Те, практически достоверно, что рост мужчин данного возраста находится в указанных пределах. Следовательно, нецелесообразно шить костюмы для роста меньше 155 см. и больше 191 см. Пример 4.5. Известно, что нормальная случайная величина
(25; )
X
N


и
P(10 15)
0,2.
X



Найти
P(35 40)
X


Решение.Искомая вероятность равна 0,2, т.к. нормальное распределение симметрично относительно своего среднего значения, и интервалы (10;15) и (35,40) симметричны относительно Пример Известно, что случайная величина X имеет нормальное распределение и её плотность такова, что
1
max ( )
(2)
(4 ) .
f x
f




Найти Решение. Известно, что нормальное распределение с параметрами
m и
2

достигает своего максимума, равного


1 2


, в точке Сравнивая это сданными задачи, получим
2
m

,
2 2



. Тогда искомая вероятность
4 2
P(
4) Ф
Ф(
) Ф) 0,5 0,16 0,5 0,56.
2 2
X







 Пример 4.6. Суточной надой молока (в литрах) от одной коровы – это случайная величина

(20;5,4).
X
N
В каких границах практически всегда будет колебаться суточный надой?
Решение. Ответ дает правило трех сигм»:
3 3
5,4 7
[
3 ,
3 ] [13;27].
m
m



 
 Практически всегда колеблется между лил Задания для самостоятельного решения
4.1. Игральный кубик подбрасывается 5 раз. Найти закон распределения случайной величины – числа появления шестерки. Вычислить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.
4.2. Изделия содержат 5% брака. Найти закон распределения числа годных изделий из х выбранных. Найти числовые характеристики случайной величины.
4.3. Текущая цена акции распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 150 руби среднеквадратическим отклонением 2 руб. Найти вероятность того, что цена акции будет а) не выше 153 руб б) не ниже 154 руб вот до 153 руб. Сформулировать правило трех сигм.

79 4.4. Коробки конфет упаковываются автоматически. Средний вес коробки 540 гр. Известно, что вес коробки имеет нормальный закон распределения, и 5% коробок весят менее 540 гр. Какой процент коробок, вес которых а) меньше, чем 470 гр бот до 550 гр в) больше
550 гр г) отличается по абсолютной величине от среднего не более, чем на 30 гр.
4.5. Одно деление измерительного прибора соответствует 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого числа. Считая, что ошибка округления распределена по равномерному закону найти
1) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины 2) вероятность того, что ошибка округления меньше, чем 0,04.
4.6. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Считая, что время безотказной работы прибора распределено по показательному закону, найти а) плотность распределения и функцию распределения б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя. Индивидуальные задания Индивидуальное задание 18 Устройство состоит из
n
работающих независимо элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна
p
. Составить закон распределения и функцию распределения числа отказавших элементов. Найти математическое ожидание и дисперсию.
№
n
p
№
n
p
№
n
p
18.1 3
0,1 18.12 2
0,25 18.23 5
1/8 18.2 4
0,2 18.13 3
0,35 18.24 3
1/9 18.3 5
0,3 18.14 4
0,45 18.25 2
0,2 18.4 2
0,4 18.15 5
0,55 18.26 4
0,1 18.5 3
0,5 18.16 2
0,65 18.27 5
0,05 18.6 4
0,06 18.17 3
0,75 18.28 3
1/3 18.7 5
0,07 18.18 4
1/3 18.29 2
0,1 18.8 2
0,08 18.19 5
0,2 18.30 3
0,6 18.9 3
0,09 18.20 2
1/5 18.31 4
0,1 18.10 4
0,05 18.21 3
1/6 18.32 4
0,4 18.11 5
0,15 18.22 4
1/7 18.33 5
0,02 Индивидуальное задание 19 Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины
X
равны
a
и

1) Найти вероятность того, что в результате испытания
X
примет

80 значение, заключенное в интервале
)
,
(


. 2) Определить плотность вероятности
)
(x
f
№
a



№
a



19.1 10 1
12 14 19.17 23 2
25 28 19.2 9
2 10 12 19.18 3
3 2
5 19.3 8
3 9
12 19.19 4
2 5
7 19.4 7
4 5
7 19.20 5
15 6
8 19.5 6
5 3
5 19.21 6
10 7
10 19.6 5
6 0
3 19.22 7
5 3
5 19.7 4
7 1
3 19.23 8
6 4
7 19.8 3
8
-1 2
19.24 9
7 4
8 19.9 12 9
9 12 19.25 10 8
5 9
19.10 14 10 12 15 19.26 11 3
10 16 19.11 15 11 16 18 19.27 12 4
13 15 19.12 16 12 16 19 19.28 10 2
9 12 19.13 18 13 20 24 19.29 9
4 7
12 19.14 20 14 20 25 19.30 9
2 8
11 19.15 21 15 20 23 19.31 8
3 6
15 19.16 22 1
24 27 19.32 10 4
5 18 Индивидуальное задание 20 Определить плотность и функцию распределения равномерной случайной величины
X
, если известно, что
1 1
1
)
(
p
b
X
a
P



,
0
)
(
2 2



b
X
a
P
и для любого интервала
)
,
[
)
,
(
1 1
b
a
d
c

выполняется условие
0
)
(



d
X
c
P
. Найти математическое ожидание и дисперсию
X
№ 1
a
1
b
2
a
2
b
1
p
№ 1
a
1
b
2
a
2
b
1
p
20.1 0
1 1
3 0,1 20.17 0
1/3 1/3 1
0,5 20.2 2
4 0
2 2/9 20.18 1/4 2
0 1/4 3/7 20.3 1
3 3
6 3/8 20.19 0
1/5 1/5 1
2/5 20.4 4
6 2
4 4/7 20.20 1/6 2
0 1/6 1/6 20.5 3
5 5
8 5/6 20.21 0
1,1 1,1 2
0,6 20.6 6
9 3
6 0,2 20.22 12 14 6
12 7/12 20.7 0
1,5 1,5 4
4/9 20.23 0,5 1
1 2
1/5 20.8 2,5 6
1,5 2,5 5/8 20.24 2
4 1
2 0,7 20.9 1,5 3,5 3,5 6
1/9 20.25 3
7 7
10 5/7 20.10 4,5 7
1,5 4,5 0,3 20.26 4
5 1
4 0,25 20.11 4
5,5 5,5 9
2/7 20.27 1,5 3
3 5
0,8 20.12 6,5 8
3,5 6,5 3/4 20.28 7
9 3
7 6/7 20.13 2,5 7,5 7,5 10 1/8 20.29 4
6 6
11 1/3 20.14 8,5 10 6
8,5 0,4 20.30 3
6 1
3 0,9 20.15 7
9,5 9,5 12 3/5 20.31 7
11 11 14 1/11 20.16 10 13 6
10 1/7 20.32 2
3
-1 2
5/12

81 Индивидуальное задание 21 Известно, что плотность распределения случайной величины удовлетворяет при
0

x
дифференциальному уравнению Найти плотность
)
(x
f
, функцию распределения
)
(x
F
и математическое ожидание
)
(X
M
№

№

№

№

21.1 1,1 21.9 4,6 21.17 4,4 21.25 3,6 21.2 2,9 21.10 2,6 21.18 3,8 21.26 4,8 21.3 3,1 21.11 1,3 21.19 2,4 21.27 4,2 21.4 4,7 21.12 3,3 21.20 1,5 21.28 2,2 21.5 2,7 21.13 4,5 21.21 3,5 21.29 1,7 21.6 1,2 21.14 2,5 21.22 4,3 21.30 2,8 21.7 3,2 21.15 1,4 21.23 2,3 21.31 3,7 21.8 5,1 21.16 3,4 21.24 1,6 21.32 4,1

82 Глава 5 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ