Рро. методичка+к+решению+кр. Учебнометодическое пособие для выполнения расчетнографических работ и проведения практических занятий

• Название: Учебнометодическое пособие для выполнения расчетнографических работ и проведения практических занятий
• Дата: 27.12.2022
• Размер: 2.03 Mb.
• Имя файла: методичка+к+решению+кр.docx
• Тип: Учебно-методическое пособие; #866630
• страница: 5 из 11

.

Решив систему уравнений, найдем контурные токи:

I₁₁=2 A; I₂₂=3 A; I₃₃=8 A.

Токи в ветвях:

I₁=I₁₁=2 A; I₂=I₁₁I₂₂=2(3)=5 A; I₃=I₂₂+I₃₃=

=(3)+8=11 A; I₄=I₃₃=8 A.

1.1.7 Метод двух узлов. Этот метод применяется для расчета электрических цепей с двумя узлами, между которыми включены активные и пассивные ветви (рисунок 1.14). Идея метода состоит в том, что по расчетной формуле определяется напряжение между узлами, называемое узло­вым напряжением U_ab, а затем по закону Ома рассчиты­ваются токи в ветвях.
Выведем формулу для расчета узлового напряжения. Положительные направления токов в ветвях выберем от узла а к узлу b. Напряжение U_ab узловое напряжение, общее для всех ветвей схемы.

Токи в ветвях по закону Ома:

I₁=(U_ab  E₁)G₁; I₂=U_abG₂;

I₃=(U_ab + E₃)G₃; … ; I_n=(U_ab + E_n)G_n.



Рисунок 1.14

Запишем первый закон Кирхгофа для узла а. Подставляя значения токов в ветвях, имеем:

(U_ab  E₁)G₁ + U_abG₂ + (U_ab + E₃)G₃ + … + (U_ab + E_n)G_n=0

или

E₁G₁  E₃G₃ + ... + E_nG_n =U_ab(G₁ + G₂ + G₃ + … + G_n).

Напряжение между узлами



или в общем виде

.

Если ЭДС направлена к узлу, обозначенному первым, индексом (а), то произведение E_kG_k записывается со знаком плюс, если от узла  со знаком минус независимо от положительных направлений токов. Если в ветви нет ЭДС, то произведение E_kG_k=0.

Пример 1.9 Решить пример 1.7 методом двух узлов.

Решение. Рассчитаем проводимости ветвей (см. рисунок 1.13):

См; Cм;

См; См.

Узловое напряжение U_ab (положительное направление от узла aк узлу b) равно:

В.

Токи в ветвях:

А; А;

А;

А.

1.1.8 Принцип и метод наложения. Этот принцип является вы­ражением одного из основных свойств линейных систем любой физической природы и применительно к линейным электрическим цепям формулируется следующим образом: ток в какой-либо ветви сложной электрической цепи равен. алгебраической сумме частичных токов, вызванных каждым действующим в цепи источником электрической энергии в отдельности.

Использование принципа наложения позволяет во мно­гих случаях упростить задачу расчета сложной цепи, так как она заменяется несколькими относительно простыми цепями, в каждой из которых действует один источник энергии. Из принципа наложения вытекает метод наложе­ния для расчета электрических цепей.

Метод наложения и порядок расчета. Рассмотрим порядок расчета на примере определения токов в схеме (рисунок 1.15,а). Заданную схему разобьем на вспомогательные, число которых равно числу ветвей с источниками электри­ческой энергии (в данном примере две вспомогательные схемы по рисунку 1.15,б и в). Выберем произвольно положи­тельные направления всех токов и обозначим все величи­ны, относящиеся к какой-либо вспомогательной схеме, со­ответствующим числом штрихов.

Рассчитаем токи вспомогательных схем, в которых, исключая все ЭДС, кроме одной, оставляем все сопротив­ления, включая внутренние сопротивления источников.



Рисунок 1.15

Для схемы на рисунке 1.15, б:

; ;

; ;

Для схемы на рисунке 1.15, в:

; ;

; .

Токи в ветвях заданной схемы согласно принципу на­ложения равны алгебраическим суммам соответствующих токов вспомогательных схем:

I₁=I₁I₁; I₂=I₂+I₂; I₃=I₃+I₃.

1.1.9 Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника). Метод эквивалентного генератора дает возможность часть сложной электричес­кой цепи с источниками энергии и двумя выделенными выводами, т.е. активный двухполюсник (рисунок 1.16,а), за­менить эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на выводах двухполюсника и внутреннее сопротивление  входному сопротивлению двухполюсника. Если в активный двухполюсник входят все элементы схемы, кроме одного выделенного сопротив­ления R, то можно найти ток I в этом сопротивлении. Поэтому метод эквивалентного генератора рационально применять, если необходимо найти ток в одной ветви сложной электрической цепи, не рассчитывая токи в дру­гих ветвях.

Доказательство метода. В сложной электричес­кой цепи (рисунок 1.16,а), показанной в виде активного двух­полюсника А с выделенным участком, сопротивление кото­рого R, требуется найти ток I. Включим последовательно с сопротивлением R два источника ЭДС: Е' и Е" (рисунок 1.16,б), с напряжениями, равными напряжению между выводами а и b активного двухполюсника при отключен­ном сопротивлении R, т.е. в режиме холостого хода Е'=Е"=U_x, и направленными навстречу друг другу. Ток I при этом не изменится.



Рисунок 1.16

В соответствии с принципом наложения схему (рисунок 1.16,б) можно представить в виде двух вспомогательных схем, в одной из которых действует источник ЭДС Е' и все источники внутри активного двухполюсника (рисунок 1.16,в), а в другой  (рисунок 1.16,г) действует только источник ЭДС Е", а источник Е' и все источники в активном двухполюс­нике не действуют, т.е. активный двухполюсник становит­ся пассивным.

По принципу наложения ток I равен сумме частичных токов вспомогательных схем: I=I'+I''. Так как Е'=Е"=U_x, то во вспомогательной схеме рисунка 1.16,в частичный ток I' равен нулю, что следует из закона Ома:



Следовательно, частичный ток I" (рисунок 1.16,г) равен искомому току I. По закону Ома


где R_вх  внутреннее или входное сопротивление пассив­ного двухполюсника, т.е. сопротивление пассивного двух­полюсника (рисунок 1.16,г) относительно выводов а и b. Та­кой же ток будет и в схеме рисунка 1.16,д, если Е_Э=U_x и R_Э=R_вх. Ток I в сопротивлении исходной схемы (рисунок 1.16,а) и в схеме рисунок 1.16,д один и тот же, т.е. активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генерато­ром.

Порядок расчета. Для расчета тока в сопротив­лении R следует сначала отключить это сопротивление и определить напряжение U_x на его выводах. Далее нужно исключить все ЭДС в оставшейся части схемы (внутрен­ние сопротивления источников остаются) и найти ее со­противление относительно выводов отключенного сопро­тивления. Наконец, рассчитать искомый ток.

Пример 1.10 Для схемы по рисунку 1.17, а заданы ЭДС и сопротивления: Е₁=72 В, Е₂=48 В, R₁=3 Ом, R₂=4 Ом, R₃=12 Ом. Найти ток I₃ в ветви с сопротивлением R_3.

Решение.

В соответствии с порядком расчета отключим сопротивление R₃ и найдем напряжение U_х (рисунок 1.17,б) по:

В.



Рисунок 1.17

Входное сопротивление между выводами а иb при исключенных ЭДС Е₁ и Е₂ (рисунок 1.17,в)

Ом

(сопротивления R₁ и R₂ включены параллельно).

Ток

А.

2 Электрические цепи переменного

синусоидального тока
2.1 Общие сведения

Понятие «синусоидальный ток» относится ко всем периодическим токам, изменяющимся во времени по синусоидальному закону. Наибольшее распро­странение в энергетике получили электрические цепи сину­соидального тока. По сравнению с постоянным током сину­соидальный имеет ряд преимуществ: производство, переда­ча и использование электрической энергии наиболее экономичны при синусоидальном токе. В цепях синусои­дального тока в отличие от постоянного можно относитель­но просто преобразовывать напряжения (получать напря­жения различных значений) при сохранении формы кривой напряжения. Самыми простыми, надежными, экономичны­ми и, следовательно, наиболее распространенными явля­ются электрические двигатели трехфазного синусоидально­го тока  синхронные двигатели. Синусоидальные токи широко используются в радиоэлектронике, электротехно­логии, контрольно-измерительной технике и других облас­тях. Теория однофазных синусоидальных токов служит базой для изучения более сложных видов токов: трехфаз­ных синусоидальных и других периодических токов.

2.1.1 Основные величины, характеризующие синусо­идальные функции времени. В линейных цепях синусоидаль­ного тока и напряжение, и ЭДС, и ток являются синусо­идальными функциями времени:
u=U_msin(t+_u); e=E_msin(t+_e); i=I_msin(t+_i),
здесь и, е, i — соответственно мгновенные значения напряжения, ЭДС, тока, т.е. значения этих величин в рассматриваемый момент времени; t+_u, t+_e, t+_i  аргументы синусоидальных функций, называемые фазой или фазовым углом. Фаза отсчитывается от точки перехо­да синусоидальной функции через нуль к положительному значению. Синусоидальные напряжение и и ток i показаны на рисунке 2.1.


Рисунок 2.1

Каждая синусоидальная функция времени однозначно определяется тремя параметрами:

амплитудойU_m,E_m,I_m (максимальное значение сину­соидальной функции);

угловой частотой  (скорость изменения аргумента си­нусоидальной функции), где   в рад/с;

начальной фазой _u, _е, _i (значение аргумента сину­соидальной функции в момент начала отсчета времени, т. е. при t=0) в радианах или градусах.

Кроме того, для характеристики синусоидальных функ­ций времени используют следующие величины:

1) период  наименьший интервал времени, по истечении которого мгновенные значения периодической величины повторяются;

2) частота , т. е. число периодов в секунду. Еди­ница частоты  герц (Гц) (1 Гц=1 с^1);

3) сдвиг фаз между напряжением и током   алгеб­раическая величина, определяемая как разность начальных фаз, напряжения и тока: =_u_i. Сдвиг фаз между од­ноименными синусоидальными величинами (токами, на­пряжениями, ЭДС) принято обозначать другой буквой, например ;

4) действующее значениеU,E,I среднеквадратичное значение переменной величины за период. Наименование «действующее» объясняется тем, что тепловой и силовой эффекты синусоидального тока за период равны эффекту постоянного тока, значение которого равно действующему значению синусоидального тока за тот же интервал вре­мени. Так, при синусоидальном токе за период Т в сопро­тивлении R та же электрическая энергия преобразуется в тепловую, что и при равном его действующему значению постоянном токе за то же время:



В соответствие с определением действующее, т.е. среднеквадратичное, значение синусоидального тока



.

Аналогично определяются действующие значения на­пряжения и ЭДС:

; .

Важно знать, что в паспорте электротехничес­ких устройств синусоидального тока указаны действующие значения напряжений и токов и что большинство приборов, применяемых для измерений синусоидальных напряжений и токов, градуированы в действующих значениях;

5) среднее значение I_ср, U_ср, E_ср. Среднее значение си­нусоидальной функции за период равно нулю (одинаковые площади положительной и отрицательной полуволн сину­соиды). Поэтому условились под средним значением сину­соидальной функции понимать ее среднее значение за по­ложительный полупериод (мгновенные значения положи­тельные).

Мгновенное значение тока i=I_msin(t+_i). Среднее значение тока за положительный полупериод не зависит от начальной фазы, поэтому примем _i =0. По определению среднего значения имеем:

.
Аналогично определяются средние значения напряжения и ЭДС:

; .
2.2 Представление синусоидальных функций в различных формах

2.2.1 Аналитическое представление синусоидальных функций. Синусоидальную функцию можно аналитически задать тригонометрической формулой i=I_msin(t+_i). Для расчета электрических цепей такое выражение неудобно, так как алгебраические дейст­вия с тригонометрическими функциями приводят к гро­моздким вычислениям. Так, сумма синусоидальных токов i₁=I_1msin(t+_i1) и i₂=I_2msin(t+_i2) равна:

i=i₁+ i₂=I_1msin(t+_i1)+ I_2msin(t+_i2)= I_msin(t+_i),
где ;

.
Графическое представление синусоидальных величин (рисунок 2.1,а) достаточно наглядно, но из-за сложности построения синусоид применяется сравнительно редко.
2.2.2 Представление синусоидальных функций при по­мощи векторов. Оно позволяет наглядно показать количе­ственные и фазовые соотношения в цепях синусоидального тока и широко применяется при объяснении физических процессов и выводе основных соотношений.

В прямоугольной системе координат хОу (рисунок 2.1,б) отложим вектор (векторы, изображающие синусоидаль­ные функции времени, обозначаются буквами, подчеркну­тыми снизу). Длина вектора должна быть равна амплиту­де тока, а угол наклона к оси абсцисс  начальной фазе тока _i. Его проекция на ось ординат I_msin_iравна мгно­венному значению тока в момент времени t=0, т.е. i(0)=I_msin_i. Будем вращать вектор с постоянной угловой скоростью  вокруг начала координат против направления движения часовой стрелки. За время t вектор 1т повернет­ся на угол t относительно начального положения, так что угол наклона к оси абсцисс станет равным (t+_i).

Проекция вращающегося вектора на ось ординат i= I_msin(t+_i) и представляет собой мгновенное значе­ние тока  синусоидальную функцию.

В электротехнике векторы изображают не вращающи­мися, а неподвижными для момента времени t=0 (рисунок 2.2) и их масштабы выбирают так, чтобы длина вектора соответствовала не амплитуде, а действующему значению. Уг­лы наклона к оси абсцисс равны начальным фазам (_i, _u). Таким образом, неподвижные векторы определяют два параметра синусоидальной функции: действующее зна­чение или амплитуду и начальную фазу. Третий пара­метр  угловая частота   должен быть известен.



Рисунок 2.2
Угол между вектором напряжения и вектором тока равен углу сдвига фаз =_u_i. Если _u>>_i (как на рисунке 2.2), то >0 и напряжение опережает по фазе ток на угол сдвига фаз . В противном случае <0 и напряжение отстает по фазе от тока. Угол  всегда откладывается от вектора тока к вектору напряжения .

Совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов, изо­браженных в общей системе координат, называют век­торной диаграммой, которая дает наглядное пред­ставление об амплитудах (действующих значениях), на­чальных фазах и углах сдвига фаз указанных величин. При вращении векторов с общей угловой скоростью  их взаимное положение зависит не от начальных фаз, а от углов сдвига фаз.

2.2.3 Представление синусоидальных функций при по­мощи комплексных чисел. От векторного изображения си­нусоидальных функций можно перейти к их выражению комплексными числами.

На комплексной плоскости с осями координат +1  ось действительных чисел и величин и +j ось мнимых чисел и величин (рисунок 2.5) (в электротехнике в отличие от математики мнимую единицу обозначают j, так как буква i принята для обозначения мгновенного значения то­ка) отложим вектор длиной I под углом _i к действи­тельной оси. Его проекцию на ось действительных чисел обозначим I, на ось мнимых чисел I. Любая точка на комплексной плоскости или вектор, проведенный из начала координат в эту точку, изображается комплексным числом , где а  координата точки по оси действительных чисел; b  по оси мнимых чисел. Поэтому вектор тока может быть записан в комплексной форме . Та­кая запись комплексных чисел или величин называется ал­гебраической формой.



Рисунок 2.3

Из рисунка 2.3 следует, что I=Icos_i и I=Isin_i. Поэтому вектор можно записать и в так называемой тригонометрической форме:

= Icos_i +j Isin_i.

Принимая во внимание формулу Эйлера тот же вектор запишем еще в показательной фор­ме: , где модуль вектора I и начальная фаза _iпредставляют собой полярные координаты вектора.

Выражение называют оператором поворота, так как умножение на какого-либо вектора равносильно по­вороту этого вектора на комплексной плоскости на угол  (рисунок 2.4). Угол _i показывает поворот вектора относи­тельно оси действительных величин (рисунок 2.3).



Рисунок 2.4

Таким образом, вектор может быть выражен тремя различными комплексными формами записи:

.

Переход от алгебраической формы записи к показа­тельной и тригонометрической выполняется по формулам, которые следуют из рисунка 2.3:

.

Таким образом, комплексное число отображает вектор и, так же как вектор, определяет два параметра синусо­идальной функции амплитуду (действующее значение) и начальную фазу, третий параметр синусоидальной функции  должен быть известен.

Величины , , называют комплексными амплиту­дами соответственно тока, напряжения, ЭДС, а , ,  комплексными действующими значениями тока, напряже­ния, ЭДС или, короче, комплексным током, комплексным напряжением, комплексной ЭДС.
Пример 2.1 Дано комплексное действующее значение тока I=4j3. Найти параметры синусоидальной функции времени – мгновенного значения тока, соответствующего заданному комплексному числу.

Решение.

Действующее значение тока

=5 А;

Амплитуда тока

=7,07 А;

начальная фаза тока

.

Искомое мгновенное значение тока

i=I_msin(t+_i)=7,07sin(t+21652) А.

Угловая частота  предполагается известной.

Пример 2.2 Заданы параметры синусоидального тока: амплитуда А, начальная фаза _i=30, угловая частота =314 рад/с. Требуется записать мгновенное значение тока, рассчитать его комплексное действующее значение в трех формах.

Решение.

i=I_msin(t+_i)=56,5sin(314t30) А;

40 А;

40cos(30)+jsin(30)=34,7j20 А.

Пример 2.3 Заданно комплексное напряжение =400+j300; частота Гц. Требуется найти мгновенное значение напряжения u.

Решение. Комплексное напряжение из алгебраической формы переведем в показательную

=500 В;

;

В.
По известному действующему значению напряжения определим его амплитуду

707 В;

угловая частота

=2f =250314 рад/с;

мгновенное значение напряжения

u=U_msin(t+_u)=707sin(314t+1438) В.

2.2.4 Алгебраические операции с комплексными числами. Как было показано, комплексные числа отображают векторы, а векторы  синусоидальные функции времени. Поэтому операции с комплексными числами отображают соответствующие операции с векторами и синусоидальными функциями. Например, сложение двух комплексных чисел означает сложение двух векторов и, следовательно, сложе­ние двух синусоидальных функций.

При сложении и вычитании комплексных чисел или ве­личин следует пользоваться алгебраической формой запи­си комплексных чисел или величин. Например, два синусо­идальных тока заданы в комплексной форме: , . При их сложении или вычи­тании алгебраически суммируются действительные и мни­мые части:

;

.

При умножении, делении и логарифмировании предпоч­тительнее пользоваться показательной формой чисел или величин:

;

;

,

Расчеты с применением комплексных чисел упрощаются при применении микрокалькуляторов. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме и наоборот соответствует пе­реходу от декартовых координат к полярным и от поляр­ных координат к декартовым.