Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
6.8. Канонические уравнения для определения максимальных значений инерционных сил Рассмотрим вынужденные колебания упругой системы на примере невесомой балки с массами, на которые действуют динамические нагрузки рис 6.12). n k m m m m K K , , , , 2 1 n I I I K , , 2 1 n 153 Будем полагать, что все действующие на систему возмущающие силы имеют одну и туже частоту θ и подчиняются одному закону ( ) ( ) t P t P θ sin = , а силы сопротивления движению масс отсутствуют. Перемещения масс, силы инерции этих масс, усилия в системе и ее перемещения также будут функциями времени, подчиняясь закону изменения нагрузки. m m m m y 1 1 I (t) P (t) 2 I (t) 1 P (t) m m 1 2 2 I (t) P (t) i m m i i x I (t) n n n P (t) n i 2 y ( t) 1 y ( t) 2 y (t ) i y (Рис. 6.12 На основании принципа независимости действия сил полные перемещения точек расположения масс в любой момент времени можно записать ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∆ + + + + = = ∆ + + + + = = ∆ + + + + = , 0 ; 0 ; 0 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 2 1 1 2 12 1 11 1 t t I t I t I t y t t I t I t I t y t t I t I t I t y p n n n n n n n p n n p n n δ δ δ δ δ δ δ δ δ K K K K K K K K K K K K K K K (6.36) где и – соответственно перемещение точки расположения массы и сила инерции этой массы в некоторый момент времени ( ) t y i ( ) t I i i m t , а ( ) t p i ∆ – перемещение массы в это же время, вызванное статическим действием амплитудного значения динамической нагрузки i m ( ) t P ; k i δ – перемещение - ой массы от действия статической силы, приложенной в точке к. Перемещение можно записать ( ) t p i ∆ ( ) t t P t P t P t p i n n i i i p i θ θ δ θ δ θ δ sin sin sin sin 2 2 1 Колебания масс будут подчиняться гармоническому закону изменения действующей нагрузки t P θ sin и поэтому перемещение массы можно записать) а вторая производная этого равенства ( Инерционная сила определяется равенством ( ) ( ) t y m t I i i i ″ − = , или С учетом (6.37), ( ) t y m t I i i i θ θ sin 2 = ( ) ( ) t y m t I i i i 2 θ = , откуда ( ) ( ) 2 θ i i i m t I t y = (6.38) Тогда е уравнение системы (6.36) будет i - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 1 2 = ∆ + + + + + = t t I t I t I t I m t I p i n n i i i i i i i i δ δ δ δ θ K , или ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 На основании (6.38) имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 Подставив выражение ( ) t y i в уравнение (6.36) и сгруппировав слагаемые, получаем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∆ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + + + = ∆ + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = ∆ + + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 0 1 ; 0 1 ; 0 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 2 1 11 t t I m t I t I t t I t I m t I t t I t I t I m p n n n n n n n p n n p n n θ δ δ δ δ θ δ δ δ δ θ δ K K K K K K K K K K K K K K K (6.39) Так как все инерционные силы в уравнениях (6.39) являются периодическими функциями ( ) t I t I i i θ sin = и ( ) t t p i p i θ sin ∆ = ∆ , то сократив эти 155 уравнения на t θ sin и обозначив o ii i i i m δ θ δ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 получаем (6.40) Решив систему уравнений (6.40), определяют максимальные значения инерционных сил, далее по зависимостями) вычисляют усилия и перемещения, вызываемые динамическими нагрузками. Из выражений коэффициентов видно, что каждой частоте вынужденных колебаний ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∆ + + + + = ∆ + + + + = ∆ + + + + 0 0 0 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 p n n n n n n p n n p n n I I I I I I I I I o o o K K K K K K K K K K K δ δ δ δ δ δ δ δ δ o i i δ θ соответствуют свои амплитудные значения инерционных сила, следовательно, и свои амплитудные значения усилий и перемещений. Уравнения (6.40) по своей структуре аналогичны каноническим уравнениям метода сил и носят название канонических уравнений для определения максимальных значений инерционных сил. Они справедливы для любой стержневой (в том числе шарнирно-стержневой) системы, как статически определимой, таки статически неопределимой. Физический смысл коэффициентов и свободных членов уравнений p i ∆ тот же, что ив канонических уравнениях метода сил. В системах, элементы которых работают преимущественно на изгиб, эти перемещения могут быть найдены, например, путем перемножения эпюр. Если рассматриваемая стержневая система статически неопределима, то при определении перемещений одна из эпюр может быть взята в любой основной статически определимой системе метода сил. При определении перемещений эпюра должна быть построена в заданной (статически неопределимой) системе эпюры вспомогательного состояния p i ∆ p M , а ( ) i M могут быть приняты в любой основной системе метода сил. Построение эпюрным методом Сист резонанса любой изв статически неопределимой системе выполняется любым извест- , например, методом сил. емы со многими степенями свободы могут оказаться в состоянии при совпадении частоты возмущающей гармонической нагрузки с частот усилия при собственных колебаний системы. Однако, динамический коэффициент, и перемещения, как правило, достигают наибольших своих значений совпадении частоты θ с наименьшей частотой ω собственных колебаний системы. Поэтому в динамических расчетах конструкций наиболее важной является наименьшая частота собственных колебаний системы, независимо оттого, с одной или со многими степенями свободы эта система. В системах со многими степенями свободы самую низкую частоту собственных колебаний обычно называют основной частотой. 6.9. Примеры расчета рам на динамическую нагрузку Применение статического метода в динамике сооружений рассмотрим на примерах расчета рам, нагружаемых динамическими нагрузками. Рассматривая системы с конечным числом степеней свободы, будем находить экстремальные значения динамических изгибающих моментов , поперечных и продольных ) D Q ( ) D N сил. В приводимых примерах расчета соотношение частот собственных и вынужденных колебаний принято таким, что явление резонанса заведомо отсутствует. Поэтому проверки систем на резонанс не проводились. Ниже приведены примеры расчета статически определимой и статически неопределимой рамы. Расчет статически определимой рамы Для рамы, изображенной на (рис. 6.13), требуется определить динамические усилия при амплитуде возмущающей силы к D D D N Q M , , Н P 2 = , частоте нагрузки вибрационной и = = , где массах кг m кг m 500 , 400 2 1 min ω – наименьшая частота собственных колебаний 3м 3м 4м 2м мм t 3м θ Рис. Учитывая принимаемые допущения (п. 6.1), положение масс в любой момент времени определяется следующими параметрами масса может перемещаться по вертикали, а масса – в горизонтальном направлении. Других перемещений эти массы не имеют и система обладает двумя степенями свободы. Определим частоты собственных колебаний На основании равенства (6.33) уравнение колебаний для системы с двумя степенями свободы имеет вид 1 m 2 m ( ) ( ) 0 2 22 1 21 2 12 Раскрыв определитель получаем ( )( ) , 0 2 1 2 12 2 22 1 11 = − − − m m m m δ λ δ λ δ ( ) ( ) 0 2 1 2 12 22 11 2 22 1 11 откуда , (6.41) где 22 21 12 11 , , , δ δ δ δ – перемещения масс, вызванные статическими силами, прикладываемыми поочередно в точках расположения масс по направлению перемещений этих масс. Эпюры изгибающих моментов от сил 1 1 = P и приведены на рис. 6.14а,б. 1 2 = P 2,5 2,5 2 P =1 1 H =0,4 A H =0,5 A V =1 A B V =0 A V =0,8333 B V =0,8333 P =1 2 2 M M 1 а) б) H =0,4 H Рис. 6.14 158 Перемещения k i i i δ δ , найдем по формуле Мора, пользуясь правилом Верещагина: 125 , 28 5 , 2 3 2 5 , 2 5 , 2 2 1 2 5 , 2 3 2 3 5 , 2 2 1 5 , 2 3 2 5 5 , 2 2 1 1 ; 333 , 8 5 , 2 3 2 5 2 2 1 1 ; 333 , 9 2 3 2 5 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 1 0 2 2 22 0 2 1 21 12 0 2 Подставляя значения перемещений в уравнение (6.41), имеем , 0 333 , 8 125 , 28 333 , 9 125 , 28 333 , 9 2 1 2 2 1 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − m m EI EI EI m EI m EI λ λ ( ) , 0 500 400 333 , 8 125 , 28 333 , 9 500 125 , 28 400 333 , 9 2 2 или ) 0 66386000 17796 откуда Корни этого равенства ( ) EI EI EI EI EI 3576 8898 2 66386000 4 17796 17796 2 2 2 , 1 ± = ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ± ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − = λ ; 5322 ; 12474 Частоты собственных колебаний будут 014 , 0 1 ; 009 , 0 1 1 2 2 1 1 Круговая частота вибрационной нагрузки ( ) 1 min 0045 , 0 009 , 0 5 , 0 − = ⋅ = = с EI EI αω θ Эпюра изгибающих моментов от статического действия вибрационной нагрузки по условию P M M р ст ⋅ = 1 приведена на рис. 6.15. 159 с кН Рис. 6.15 Максимальные значения инерционных сил находим по условию 1 11 11 EI EI EI m EI EI EI m − = ⋅ − = − = − = ⋅ − = − = θ δ δ θ δ δ o o ∑ ∫ − = = = l EI EI dx M M 0 2 1 21 12 333 , 8 δ δ ; ; 67 , 18 2 3 2 5 4 2 1 4 3 2 2 2 2 1 ст 4 3 2 5 5 , 2 2 1 2 2 EI EI dx M M P ст P − = ⋅ ⋅ − = = ∆ ∑∫ Подставив в уравнение (6.42), имеем ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − − = + − − , 0 67 , 16 65 , 70 333 , 8 ; 0 67 , 18 333 , 8 2 , 114 2 1 откуда и 1 = I 2574 , 0 Достоверность полученных сил инерции проверяется подстановкой их значений в исходные уравнения. Эпюру получаем по условию 2 1 1 I M I M M M P ст D + + = Эпюры и окончательная эпюра изгибающих моментов приведены на рис. (6.16). D M 160 M D I 2 2 M I 1 1 M 4,3646 0,6435 0,6435 0,6435 0,6435 0,3646 5,008 I = 2 0,2574 0,1823 1 I = а) б) в) Рис. 6.16 Правильность построения эпюры состоит в проверке равновесия узлов системы. Проверяем равновесие узлов E ирис Рис. 6.17 Равновесие узлов E и . F 0 3646 , 4 6435 , 0 008 , 5 = − − − = ∑ E M 0 6435 , 0 С помощью эпюры обычными приемами находятся значения поперечных сила затем из равновесия узлов находятся продольные силы в стержнях системы юры и приведены на рис. 6.18. условий. Эп D Q D N а) б) I = 1 0,1823 I = 2 0,2574 0,2574 0,2145 2,1823 1,002 1,9678 0,2145 1,2594 Рис. 6.18 Для проверки их правильности можно использовать уравнения и, рассматривая равновесие системы в целом. В эти уравнения должны быть включены опорные реакции, найденные инерционные силы с учетом их знаков и действующие динамические нагрузки. Для рассматриваемой рамы указанные проверки приведены на рис. 6.19. ∑ = − − = 002 , 1 2574 , 0 2594 , 1 X 0,1823 I = 1 2 I = 0,2574 0,2574 1,002 1,2594 1,9678 P=2 кН y x 0 2594 , 1 2594 , 1 = − = ; ∑ = − − + = 1823 , 0 2 2145 , 0 9678 , 1 Y 0 1823 , 2 Рис. 6.19 Расчет статически неопределимой рамы Для заданной рамы (рис. 6.20) требуется определить динамические изгибающие моменты, поперечные и продольные силы и построить их эпюры при 6 , 0 ; 2 ; 5 , 0 = = = α кН Р m m 2м 8м 4 м Psin t Рис. 6.20 С учетом принимаемых допущений (п. 6.1) масса может перемещаться поверти- калии в горизонтальном направлении, а рассматриваемая система обладает двумя степенями свободы. Равенство (6.33) в этом случае принимает вид m ( ) ( ) , 0 22 21 12 откуда) В уравнении (6.43) ( )( ) 0 2 2 12 22 11 = − − − m m m δ λ δ λ δ ik ii δ δ , силами – перемещения массы в заданной системе, вызванные статическими, действующими по направлениям 162 возможных перемещений этой массы. Так как заданная система статически неопределима, то указанные перемещения и Каноническое должны быть найдены после раскрытия ее статической неопределимости Воспользуемся методом сил (основная система приведена на рис. 6.21). уравнение и выражение неизвестного 1 X ∗ ∗ ∆ − = ⇒ = ∆ + 11 1 1 1 1 11 ; 0 δ δ p p X X (6.44) O.C. m Рис. 6.21 Эпюра изгибающих моментов от действия силы 1 вертикальной приведена на риса от силы 1 1 = P – на рис 6.23. 1 x =1 M 1 4 4 M P 2 P =1 Рис. 6.22 Рис. 6.23 2 4 3 2 4 4 2 1 1 2 1 11 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ∑∫ ∗ EI EI dx M δ 3 320 64 3 128 4 8 4 2 1 EI EI EI EI = + = ⋅ ⋅ + ∑∫ = ⋅ ⋅ = ′ = ∆ EI EI EI dx M M p p 16 4 8 2 2 1 2 1 1 По формуле (6.44) имеем 15 , 0 320 3 16 Окончательная эпюра изгибающих моментов ( ) 1 M , полученная по условию 1 1 1 X M M M p ′ + ′ = , приведена на рис. 6.24. 163 M 1 2 0,6 0,6 Рис. 6.24 Кинематическая проверка правильности этой эпюры ( ) 1 M : 0 4 , 6 4 , 6 2 6 , 0 4 , 1 8 4 2 1 2 6 , 0 3 2 4 4 2 1 1 1 1 = + − = − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∑ ∫ − = EI EI EI EI EI dx M M 4 P =1 Рис. 6.25 Эпюра изгибающих моментов в основной системе от действия горизонтальной силы приведена на рис. 6.25. Перемещение, вызываемое этой нагрузкой 1 2 = P ∑ ∫ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ′′ = ∆ ′′ 4 3 2 4 4 2 1 1 1 1 EI EI dx M M p p EI EI EI EI 3 160 32 3 64 4 8 4 2 1 2 1 = + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 5 , 0 320 3 3 160 По условию (6.44) Окончательная эпюра изгибающих моментов от горизонтальной нагрузки, полученная по условию 1 1 2 X M M M p ′′ + ′′ = , приведена на рис. 6.26. Кинематическая проверка правильности этой эпюры M 2 2 2 − ⋅ ⋅ = ∑ ∫ 4 3 2 4 2 2 1 1 1 2 EI EI dx M M = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − 0 8 4 2 1 4 3 2 4 2 2 1 1 EI EI 0 3 32 Рис. 6.26 Статические проверки правильности окончательных эпюр и неприводим в развернутом виде, так как легко убедиться, что они выполняются. Перемещения, вызванные единичными силами в статически неопределимой системе, будут ; 2667 , 4 2 3 2 2 2 2 1 2 1 6 , 0 3 1 4 , 1 3 2 8 2 2 1 2 1 1 2 1 11 EI EI EI EI dx M M EI dx M p = ⋅ ⋅ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⋅ = ′ = = ∑ ∫ ∑ ∫ δ ; 0 , 16 2 3 1 2 3 2 8 4 2 1 2 1 4 3 2 4 2 2 1 1 2 2 2 22 EI EI EI EI dx M M EI dx M p = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − × × ⋅ + ⋅ = ′′ = = ∑∫ ∑∫ δ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ = ′ = ′′ = ⋅ = = EI dx M M EI dx M M EI dx M M p p 2 1 2 1 21 12 δ δ 6667 , 2 2 3 2 2 3 1 8 2 2 1 Подставив найденные значения перемещений в уравнение (6.43), получаем , 0 = откуда 6667 , 2 0 , 16 2667 , 4 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − m EI m EI m EI λ λ ; 0 6667 , 2 16 2667 , 4 0 , 16 2667 , 4 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − + − ⋅ − ⋅ m EI m EI m EI m EI m EI λ λ λ ( ) ; 0 378 , 75 267 , 20 2 2 2 = + − m EI m EI λ λ ( ) 0 845 , 18 134 , 10 Корни этого равенства ( ) ; 6133 , 2 067 , 5 4 845 , 18 4 2 134 , 10 2 134 , 10 2 2 2 , 1 EI EI EI EI EI ± = ⋅ ⋅ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ − ± ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − = λ EI 6803 , 7 1 = λ и EI 4537 , 2 Частоты собственных колебаний ( ) ; 3608 , 0 6803 , 7 1 1 1 1 − = = = c EI EI λ ω ( ) 63839 , 0 4537 , 2 1 1 Частота вибрационной нагрузки (при 6 , 0 = α ): ( ) 1 1 min 21648 , 0 3608 , 0 6 , 0 Эпюра изгибающих моментов от статического действия амплитудного 165 значения вибрационной нагрузки при 2 = P кН, получаемая по условию , приведена на рис. 6.27. ст 2 кН 4 1,2 1,2 сm Рис. 6.27 Максимальные значения инерционных сил найдем, пользуясь уравнениями. В нашем случае эти уравнения имеют вид (6.45) где ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∆ + + = ∆ + + , 0 ; 0 2 2 0 22 1 21 1 2 12 1 0 11 P P I I I I δ δ δ δ ( ) ; 410 , 38 21648 , 0 5 , 0 1 2667 , 4 1 2 2 11 0 11 EI EI EI m − = − = − = θ δ δ ( ) ; 677 , 26 21648 , 0 5 , 0 1 16 1 2 2 22 0 22 EI EI EI m − = − = − = θ δ δ ; 6667 , 2 21 12 EI − = = δ δ ; 5333 , 8 2 , 1 3 1 8 , 2 3 2 8 2 2 1 2 1 4 3 2 2 2 2 1 2 1 1 1 EI EI EI EI dx M M EI dx M M P ст P P ст P = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ′ = ⋅ = ∆ ∑∫ ∑∫ 3333 , 5 2 , 1 3 2 8 , 2 3 1 8 4 2 1 2 1 4 3 2 4 2 , 1 2 1 1 2 2 EI EI EI EI dx M M EI dx M M P ст P P ст P − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − × × + ⋅ ⋅ − = ⋅ ′′ = ⋅ = ∆ ∑∫ ∑∫ Подставив значения коэффициентов при неизвестных и свободных членов в уравнения (6.45) имеем ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − − = + − − , 0 3333 , 5 677 , 26 6667 , 2 ; 0 5333 , 8 6667 , 2 410 , 38 2 1 откуда 166 22367 , 0 , 23769 , 0 Максимальные усилия в элементах рамы при установившихся вынужденных колебаниях будут Эпюры изгибающих моментов от статического действия динамической нагрузки 2 1 ст ) р ст M и фактических значений инерционных сил приведены на рис. 6.28а,б,в, а окончательная эпюра динамических моментов на рис. 6.29. ( ) i i I M изгибающих D M P сm M а) 2,8 4 1 M 1 I I M 2 2 б) в) 0,14261 0,14261 0,44734 0,44734 0,44538 0,33277 1,2 Рис. 6.28 M D 0,89505 0,89527 1,7900 3,5801 Рис. 6.29 Проверки правильности построения эпюры остаются обычными статическая и кинематическая. Статическая проверка D M ∑ = − − = 89527 , 0 5801 , 3 4754 , 4 A M 0,89527 4,4754 3,5801 0 4754 , 4 4754 , 4 = − = 167 0 1 = ∑ Кинематическая проверка Эпюра 1 M изображена на рис. 6.22 и, пользуясь правилом Верещагина, имеем 0 321 , 14 321 , 14 7748 , 4 321 , 14 5467 , 9 4 3 2 4 89527 , 0 2 1 1 89505 , 0 8 4 2 1 4 3 2 4 79 , 1 2 1 Поперечные и продольные силы, вызываемые динамическими нагрузками, строятся теми же приемами, что ив расчетах на действие статических нагрузок. С помощью эпюры строится эпюра , а затем из условия равновесия узлов находятся продольные силы в хи строится эпюра . Указанные эпюры приведены соответственно на рис. 6.30а,б. На рис. в обозначены действующие на раму нагрузки и опорные реакции, вклю- в уравнения равновесия D M D Q стержня D N 6.30, ченные ∑ = 0 X и 0 = ∑ Y при выполнении проверок равновесия системы в целом. N I = 1 0,23769 а) 2,2377 б) в) 0,22367 I = 2 P=2 H = B 0,22382 H =0,4475 0,67126 V = 2,909 V = y x 0,4475 2,909 0,4475 0,22382 0,67126 Рис. 6.30 ∑ = − = − + = 0 4475 , 0 4475 , 0 4475 , 0 22382 , 0 22367 , 0 ; 0 X ∑ = − = − − − = 0 909 , 2 909 , 2 67126 , 0 2 23769 , 0 909 , 2 ; 0 Y 0 272 , 23 272 , 23 89468 , 0 20 3769 , 2 272 , 23 4 22367 , 0 10 2 10 23769 , 0 8 909 , 2 ; 0 = + − = + + + − = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ∑ А М 168 |