Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
Критическая нагрузка рму равновесия при любых малых внешних или внутренних дополнительных возмущениях. Это означает, что если ка- ким-то малым возмущением на систему будет нарушено ее равновесное состояние, то после удаления причины возмущения система должна вернуться в первоначальное положение, те. сохранить свою первоначальную форму равновесия. В период возведения и эксплуатации сооружений возмущающие воздействия всегда имеют место. Это непредвиденные толчки сооружения внешние возмущения, дефекты п влении конструкции (внутренние возму ного числ ными несущими стальными конструк- у ений было несовершенство ны предпосылки потери конструкций, включающих гиб- з расчетов на устойчивость нельзя из основ р ровать безопасное состояние этих конструкций. Была востребована и получила дальнейшее развитие теория Л. Эйлера. Выделилась в самостоятельную науку и начала интенсивно развиваться теория расчета сооружений на устойчивость. 5.2. Формы потери устойчивости. Системы под действием нагрузок должны находиться в состоянии устойчивого равновесия. Каждому виду загружения сооружения нагрузками соответствует своя особая форма деформаций его элементов, соответствующие этим нагрузкам форма равновесия и положение системы. Устойчивостью называют способность сооружения сохранять в деформированном состоянии соответствующие заданной нагрузке первоначальное положение и первоначальную фо ри изгото щения). Понятие устойчивость охватывает две разновидности этого явления потерю устойчивости сооружением своего положения и потерю устойчивости формы его равновесия (деформаций. В первом случае система переходит в новое положение, сохраняя неизменной свою структуру по геометрическим параметрам, а во втором изменение формы равновесия сопровождается количественным, а в определенных случаях и качественным изменением деформаций в элементах системы. Эти формы потери устойчивости могут происходить одновременно или в отдельности в зависимости от типа сооружения и характера действующих на него нагрузок. Ниже рассматривается потеря системой устойчивости формы равновесия в деформированном состоянии. Возможность системы сохранять устойчивое положение в деформированном состоянии зависит от величины действующей на нее нагрузки. С увеличением нагрузки может наступать такое положение системы, которое становится неустойчивым состоянием равновесия. При наличии какого-либо сколь угодно малого возмущения происходит нарушение формы равновесия и система переходит в новое равновесное деформированное состояние. Переход системы в качественно новое деформированное состояние принято называть потерей устойчивости ее равновесия или потерей устойчивости предыдущей формы деформаций. При этом деформации могут существенно возрастать при незначительном увеличении внешней нагрузки иди даже без ее увеличения. Рассматриваемый вид потери устойчивости обычно характеризуется деформациями системы, но это явление неразрывно связано с нарушением равновесия между внешними нагрузками и внутренними силами системы. Равновесие между внешними и внутренними силами упругой системы может быть устойчивым или неустойчивым. Граничное состояние системы между устойчивыми неустойчивым ее положением принято называть безразличным состоянием системы. Проследим это явление на примере центрально сжатого идеально упругого стержня (риса. Если при некотором значении монотонно возрастающей нагрузки Р дать свободному концу стержня весьма малое отклонение от вертикального положения и убрать возмущающее воздействие, внешняя нагрузка будет стремиться удержать стержень в 71 деформированно его вис- ходно м изогнутом состоянии, а внутренние силы – вернуть е прямолинейное положение. а) а) P P б) P P в) г) I P P P I P II P P II тельно вертикального своего положения, вернется в первоначальное состояние деформации центрального сжатия (рис. б. На рис. в по без- Рис. 5.1 При устойчивом равновесии стержень, совершая колебания относи- казано различное состояние стержня, когда нагрузка возросла до P P I новесия стержня не изменяется. Упругие внутренние силы уже неспособны вернуть стержень в исходное прямолинейное положение, а внешняя нагрузка еще не достигла такого значения при котором происходил бы дальнейший его изгиб. Дальнейшее увеличение нагрузки до некоторого значения I II > . Под действием некоторого возмущения стержень перешел в новое равновесное деформированное состояние. При удалении постороннего возмущения форма рав- P P > создает условие неустойчивого равновесия стержня. Любое сколь угодно малое возму произойдет положении, щение или увеличение нагрузки вызовет переход стержня в новое состояние, характеризуемое интенсивным ростом деформаций изгиба и дальнейшим отклонением его от начального положения (рис. г. Таким образом, потеря устойчивости первоначальной формы равновесия центрально сжатого стержня. Наибольшую нагрузку, при которой деформированная система еще находится в устойчивом принято называть критической нагрузкой ( ) кр Р , а состояние системы под действием критической нагрузки – критические состоянием. м е При потере устойчивости переход системы в новое деформированное состояние происходит практически мгновенно с резким нарастанием деформаций Существуют и высшие формы потери устойчивости, когда каждому значению критической нагрузки соответствует своя форма изогнутой оси сжимаемого элемента. Для одного итого же упругого стержня теоретически может быть найдено множество значений критических сил, каждой из которых соответствует своя форма изогнутой оси этого стержня. На рис. 5.2а-в показано, как с увеличением нагрузки изменяются формы потери устойчивости шарнирно опертой центрально сжатой стойки. и перераспределением усилий в элементах системы. В результате, как правило, конструкция переходит в аварийное состояние. π КР = а) КР P P P P P б 2 4π ΕΙ КР КР 2 2 9π ΕΙ P = КР 2 КР в) P P /3 /2 /3 /3 ; ; и т.д. Рис. 5.2 Второй и третьей критическим силам (рис. 5.2б,в) соответствуют более сложные (высшие) формы изогнутой оси можны теоретически, не являются устойчивыми простейшей форме деформации стержня При решении практических задач нагрузок, которым соответствуют наиболее простые формы потери устойчивости. Ниже рас наиболее часто используемые в расчетной практике метод ных стойках и рамах при самой простой форме деформации сжимаемых элементов. сжимаемой стойки, которые вози мгновенно переходят к (риса. отыскиваются значения критических смотрены ы определения критических сил в отдель В зависимости от вида начальных деформаций и деформаций в момент 73 потерю устойчивости первого и второго. Потер первого рода характерна тем, что в момент потери устойчивости появляются и сильно развиваются новые деформации ф рмации качественно отличаются от тех, которые воз- вости иначе называют потерей устойчивости по Эйлеру. К потере устойчивости первого рода относятся формации. Приведем примеры потери устойчивости ервого рода. Наиболее пром рально- сжато тся в состоянии центрального сжатия, в ее сечениях возникают продольные деформации. Если нагрузка дости- своего значения ия иволинейное, которое будет для н раст ать деформации центрального сжатия. и устойчивости различают (условно) потер рода я устойчивости. Эти новые де о никают вначале загружения. Указанный вид потери устойчи – потеря устойчивости центрального сжатия – потеря устойчивости плоской формы изгиба – потеря устойчивости симметричной формы деп стым случаем этого явления ожет быть потеря устойчивости цент й стойки (рис. 5.1). Если нагрузка меньше ее критического значения, стойка остается прямолинейной, находи гает равного кр , то прямолинейная форма равновес стойки становится неустойчивой и малейшее возмущение может вызвать переход стойки в новое деформированное состояние – кр ее устойчивым. При этом возникают и интенсивно на ают деформации нового вида – деформации изгиба. На рис. 5.3 изображена ферма, элементы верхнего пояса которой при нагрузках кр будут испытыв P КР КР P Рис. 5.3 При возрастании значений нагрузок, становится возможной потеря устойчивости первоначальной формы равновесия системы, элементы верхнего пояса могут выпучиться, их новая форма равновесия будет криволинейной с 74 появлением и развитием деформаций изгиба. В трехшарнир араболического очертания под действием сплошной равномерно распреде ной арке пленной нагрузки, меньшей критической, все сечения будут испытывать деформации центрального сжатия (рис. 5.4). При увеличении нагрузки устойчивыми любое до кр , состояние системы становится немалое возмущение может спровоцировать переход системы в новое деформированное состояние с появлением деформаций нового вида – деформаций изгиба. q P P P КР КР P А С КР B Рис. 5.4 Рис. 5.5 P КР P Рис. 5.6 Стойки рамы (рис. 5.5) при нагрузках кр испытывают только центральное сжатие. При нагрузках кр потеря устойчивости стоек рамы будет характеризоваться появлением нового вида деформаций (изгиба. Защемленная тонкая полоса при определенном значении внешней нагрузки отклонится от вертикального положения, произойдет дополнительный ее изгиб в горизонтальной плоскости и закручивание (рис. 5.6). До потери ус- тойчи тся качественно новые деформации – деформации кручения. При потере устойчивости второго рода деформации качественно остаются теми же, что ив начале загружения, но они интенсивно развиваются. вости балка испытывала только изгиб в вертикальной плоскости действия нагрузки. При потере устойчивости возникают и развиваю Примерами могут служить внецентре трехшарнирная аркана которую дейс 5.7б). В обоих случаях, вначале загруж сечения элементов системы испытываю ое ции качественно не изменяются. нно загруженная стойка (риса твует сосредоточенная нагрузка (рис. ения ив момент потери устойчивости, т внецентренн сжатие, и деформа- а) P P КР P КР б) P Рис. 5.7 кот проектного положения (эксцентриситеты), неоднородности ма риала и др. В результате сжим х потери устойчивости испытывают внецентренное сжатие. Выход из типа ентов вследствие потери ими несущей способности (потери устойчивости второго рода) при нагрузках, численно меньших критических нагрузок первого рода. Тем не менее, при определении несущей способности сжа- то-изогнутых элементов сооружений необходимо знать их расчетные длины ью критических сил первого рода. П устойчивости первого рода имеет не только теоретическое, но и большое практическое о- пласт ала ти первого рода плоских упругих стерж стем. В реальных конструкциях преобладает, как правило, потеря устойчивости второго рода ввиду неизбежного отклонения нагрузо те аемые элементы стержневы систем еще до строя такого элем обычно происходит и гибкости, которые определяются с помощ оэтому изучение потери значение. Потеря устойчивости может происходить как в упругой, таки в упруг ической стадии работы матери конструкции. Ниже рассмотрены некоторые простые задачи потери устойчивос невых си 5.3. Число степеней свободы и формы равновесия й частях курса строитель й механики ол тся понят б рое позволяет выявить пригодно ения и принадлежность ее к определенному классу сооружений В первой и второ но исп ьзуе ие число степеней сво оды системы, кото сть системы в качестве инженерного сооруж ( ) оп С Ш Д W − − = 2 3 . При этом полагается, что все диски, составляющие систему, являются абсо недеформируемыми. я т а степеней свободы любой стержневой системы (балка, рама и т.д.) равно бесконечности. Колич весия и соответствующих этим формам критических сил характеризуется числом степене свободы системы. Реаль- о- нечны мации эл С целью упрощения расчета упругая система может быть заменена более простой, имеющей конечное число заданная система, а также удовлетворя тату. Это позволяет дифференциальны раическими и упростить решение задач ной на риса жесткость нагруженног лютно жесткими и В теории устойчивости рассматриваютс системы в деформированном состоянии. Число степеней свободы характеризуе (отраж ет) это состояние, а именно числом степеней свободы называют количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех точек системы в деформированном ее состоянии Из этого следует, что число ество возможных форм равной ная упругая система обладает бесконечным числом степеней свободы, беск м множеством форм равновесия и соответствующих этим формам критических нагрузок. В практических расчетах отыскивается наименьшее (неравное нулю) значение критической нагрузки. Этой нагрузке будет соответствовать наиболее простая форма дефор ементов системы. степеней свободы, если это допускает ются требования к конечному резуль- е уравнения изгиба заменить алгеб- и. Например, если в раме, изображено стержня AB на изгиб ( ) EI велика, а жесткость стержня на изгиб CD ( ) 1 EI мала, то расчетную схему системы б. Пренебрегая изгибом нагруженно можно принять, как показано на рис. й стойки AB, горизонтальные перемещения всех ее чек можн выразить через параметр то о , ϕ d те. ( ) ϕ d tg x x y = и мы получаем систему с одной степенью 77 свободы. Величина кр будет зависеть от линейного перемещения упругой опоры (конкретное такой задачи буд ием чис ность решения задач устойчивости существенно возрастает. решение ет показано ниже. Отметим, что с увеличен ла степеней свободы системы слож- x А P а) EI B d y D А б) EI I C КР P P y(x) P B ω x xx f Рис. 5.8 5.4. Уравнение устойчивости упругого сжато-изогнутого стержня Рассмотрим некоторое поперечное се ь от нагрузки, приложенной выше ра чение упругого сжато-изогнутого стержня, защемленного одним концом. Пуст ссматриваемого сечения, будут вертикальная P и горизонтальная составляющие (рис. 5.9). Опре л делим поперечную в этом сечении из ус- овия силу y d ω P 90° x k n Q Q оперечная сила в указанном сече- ка малости (прогибов и их производ- П нии с учетом величин первого порядных по длине стрежня) будет ϕ ϕ d P d Q Q sin Рис. 5.9 Ввиду малости перемещениям имеете (а) 78 Как известно из сопротивления материалов , x M EIy = ″ − а Тогда Подставляя последнее выражение в уравнение (а, получаем ( ) Q y P y EI = ′ − ′ ′′ − по Дифференцируя еще рази учитывая, что q Q − = ′ (где – попе- речна авнение равновесного с я нагрузка на стержень, получаем окончательное ур остояния упругого сжато-изогнутого стержня ( ) ( ) q y P y EI = ′ ′ + ″ ′′ , те. q Py EIy II IV = + (5.1) Полное решение линейного дифференциального уравнения (5.1) с постоянными коэффициентами имеет вид ( ) ( ) , cos sin 0 4 3 где кр 2 1 , , C C C и 4 C – произвольные постоянные интегрирования, а 0 y – частное решение, которое может быть найдено, например, методом неопределенных коэффициентов или другими приемами. Для определения постоянных интегрирования 3 2 1 , , C C C и 4 C используются граничные условия (нужно иметь четыре независимых друг от друга условия. Практическое использование граничных условий будет показано ниже при решении конкретных задач. При отсутствии внешней поперечной нагрузки уравнение (5.1) превращается в однородное дифференциальное уравнение q 0 = + II IV Py EIy (5.2) Решение уравнения (5.2) ан приведенному выше общему ре- шени алогичною уравнения (5.1) стем отличием, что отсутствует частное решение 0 y . 79 При решении многих задач устойчивости отдельных стержней и стержневых систем (в случае малых деформаций в момент потери устойчивости) можно воспользоваться более простым дифференциальным уравнением второго порядка , x M y EI = ′′ ± применение которого будет показано также ниже на конкретных примерах. 5.5. Методы решения задач устойчивости Решения задач устойчивости может выполняться точными (с учетом принимаемых допущений, или же приближенными методами мы рассмотрим те методы, которые наиболее часто исп. Ниже ользуются в расчетной практике. Статический метод При использовании этого метода упругую систему рассматривают в таком деформированном состоянии, которое отличается от заданного бесконечно малыми перемещени точного ями, обеспечивающими появление деформаций нового вида, качественно ают решение. Ис- пользу иметь системе однородных новременно неравны нулю. В этом случае определитель, составленный из коэф- нулю отличающихся от начальных. Для элементов системы в деформированном состоянии составляют дифференциальные уравнения равновесия и путем их интегрирования отыскив я граничные условия, формируют систему однородных линейных уравнений, количество которых равно числу неизвестных постоянных после интегрирования уравнений равновесия. Новое деформированное состояние системы будет место, если все постоянные в линейных уравнений од- фициентов при постоянных, должен быть равным, те. ( ) 0 = n D (5.3) Равенство (5.3) называется характеристическим уравнением (уравнением устойчивости, решая которое, находят критические силы или же критические пар лы. рассм центр аметры, через которые затем отыскивают критические си Применение статического метода отрим на примере упругого ально сжатого стержня постоянного сечения (рис. 5.10). 80 При бесконечно малых перемещения описывается лиженно дифференциальным А 0 y -x y(x) КР B P P R в x x B ях можно принять, что положение изогнутой оси стержн приб уравнением Рис. 5.10 вместо точного − ( ) [ ] x M y y EI = ′ + ′′ − 2 3 2 1 оизвольном сечении стержня а) Изгибающий момент в пр ( ) x R y P M B кр x − − = l С учетом принятого направления координатных осей дифференциальное уравнение изгиба по условию (5.4) получаем в виде ( ) x R y P y EI B кр = + ′′ − l Разделив все слагаемые на EI и обозначив кр, (а) получаем Решение этого неоднородного дифференциального уравнения будет ( ) ( ) ( ) , cos x C nx B sin nx A y − + l (5.5) где A, B и C – постоянные интегриров Так как по условию (а) n P = (5.6) то критическая нагрузка может быть найдена, если известен параметр « ». Для определения постоянных ания. , EI крив уравнении (5.5) воспользуемся кин : При ематическими граничными условиями 2) При ; 0 , 0 = ′ = y x 3) При 0 , = = y x l 81 По первому условию 0 1 0 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = l C B A y (1) По второму условию ( ) ( При 0 = x 0 1 0 1 = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ′ C B n A y (2) По третьему условию ( ) ( ) 0 cos sin = ⋅ + ⋅ + ⋅ = C nl B nl A y 0 (3) Система однородных уравнений имеет вид ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 0 cos sin ; 0 1 0 ; 0 1 0 C nl B nl A C B n A l C B A (5.7) довлетворяются, ес Уравнения (5.7) у ли 0 = = = C B A , но это условие системы. Если A, B и C соответствует недеформированному состоянию отличны ствую от нуля, то должно выполняться условие (5.3). Этому случаю соответ- т неопределенные значения постоянных, что характеризует безразличное состояние системы. Таким образом, уравнение устойчивости имеет вид ( ) ( ) 0 0 cos sin 1 0 1 Раскрыв определитель, имеем ( ) ( ) 0 sin 1 cos = ⋅ − ⋅ nl nl nl , или ( ) nl nl tg = (5.8) ля) значение критической силы, н уравнения (5.8). В общем случае такого типа уравнения решаются способом последовательных прибл Чтобы найти наименьшее (отличное от ну ужно отыскать наименьший положительный корень ижений. Путем подбора находим 493 , 4 = nl и по формуле (5.6) 2 кр Для упругой центрально нагружен- ой шарнирно опертой стойки постоянного сечения (рис. 5.11) определение критической нагрузки статическим методом повторит предыдущий Приняв дифференциальное равнение по зависимости (5.4), КР н расчету Рис. 5.11 , y P M кр x = 0 = + ′′ y P y EI кр и однородное дифференциальное уравнение изгиба получаем в виде 0 2 = + ′′ y n y , (5.9) где кр) Решение уравнения (5.9) имеет вид ( ) ( ) nx B nx A y cos sin ⋅ + ⋅ = , где B A, – постоянные интегрирования, определяемые по кинематическим граничным условиям при 0 = x , 0 = y ; при l x = , По первому условию 0 = B и изогнутая ось стержня является синусоидой, определяемой уравнением ( ) nx A y sin ⋅ = (5.11) По второму условию ( ) 0 sin = ⋅ nl A , итак как 0 ≠ A , то ( Наименьшее значение положительного корня (отличного от нуля) этого уравнения π = nl и по (5.6) формуле кр, (5.12) те. получена известная формула Л. Эйлера. Установим физический смысл постоянной A в формуле (5.11), так как она осталась неопределенной. Подставив в уравнение (5.11) значение l n π = и 2 l x = , имеем 83 1 2 sin 2 sin ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ = A A l l A y π π , те. ого его положения в середине пролета стойки. 0 y = – максимальное отклонение стержня от начальн Изогнутую ось стержня в деформированном состоянии можно представить в виде l x y y π sin 0 = (5.13) Полученное выше (по второму граничному условию) равенство sin nl ( ) 0 = удовлетворяется, если π = nl , π 2 = nl , π 3 = nl и т.д., что подтверждает зависимость формы деформации элемента (рис. 5.2) от значений критических сил. и малых деформациях. С ости от способа нахождения уравнения устойчивости (5.3): – метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения и е уравнений в конечных разностях – приближенные способы, основанные пр ремещений. Заметим, что приведенные выше решения статическим методом будут справедливы при малых перемещениях (потеря устойчивости в малом, так как использовалось приближенное дифференциальное уравнение изгиба (5.4), справедливое пр татический метод имеет разновидности в зависим зогнутой оси стержня – использование метода сил и метода перемещений – интегрировани еимущественно на методе пе- Энергетический метод. Этот метод используется в расчетной практике для пру олная потенциальная энергия системы иближенного определения критических нагрузок для стоек сложного ив том числе переменного сечения, атак же для плоских и пространственных рам, ферм, комбинированных систем. В основу его положен энергетический признак равновесия, согласно котором п П в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение, в 84 состо злич- ного состояния системы приращение отенциальной энергии янии неустойчивого равновесия – максимальное, а в случае безра П ∆ п должно быть рано нулю. Этот принцип наглядно прослеживается на примере абсолютно твердого шарика, помещаемого на различных поверхностях (рис 5.12). а) П=min П=max б) ∆П=0 в) Q Q Q Рис. 5.12 Шарик, находящийся на вог рической поверхности, располагается ке ус (рис. плоскости рис. нутой сфе в самой низкой ее точ (рис. аи при любом отклонении его от этого положения он под действием собственного веса Q , будет возвращаться в начальное положение. Располагаясь в самой низкой точке сферы, шарик обладает минимальной потенциальной энергией и находится в состоянии тойчивого равновесия. Находясь в верхней точке выпуклой сферической поверхности б, шарик находится в состоянии неустойчивого равновесия и обладает максимальной потенциальной энергией. При любом на него воздействии он будет перемещаться в более низкие точки сферы, занимая устойчивое положение. Если шарик находится на горизонтальной в, то при любых горизонтальных перемещениях его потенциальная энергия не изменяется. Приращение потенциальной энергии П, что соответствует безразличному состоянию системы. Полная потенциальная энергия упругой системы численно равна работе внешних и внутренних сил, совершаемой ими при переводе системы из деформированного состояния в начальное, недеформированное. Изменение потенциальной энергии определяется равенством П, (5.14) где T U , – изменения работы соответственно внутренних и внешних сил системы при небольшом отклонении ее от состояния равновесия. 85 Расчет систем на устойчивость энергетическим методом состоит в следующем. При бесконечно малом отклонении системы от начальной формы равновесия в ее элементах возникнут дополнительные внутренние силы Q M , и N . Эти внутренние силы M Q , и N и внешние нагрузки ( ) P q, совершат некоторую работу. Если окажется, что П, то система устойчива, а если П – система неустойчива. Равенство дает значения нагрузок, при которых станови возможной потеря устойчивости первоначальной формы равновесия системы. В случае безразличного состояния системы будем иметь тся П ∆ 0 = − = T U , откуда T U = . (5.15) Как известно, потенциальная энергия внутренних сил определяется выражением) где Q M , и N – дополнительные усилия в элементах системы, возникаю- при щие отклонении ее от начального положения равновесия m – количество элементов в системе µ – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в сечениях элементов. Для систем из элементов сплошного сечения, пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил, имеем ∑ ∫ = m l EI 0 dx M U 1 2 2 , (5.17) или, учитывая зависимость x M y EI = ′′ − : ( ) [ ] ∑ ∫ ′′ = m l dx x y EI U 1 0 2 2 1 (5.18) Работу вертикально приложенных узловых нагрузок можно определить i n i i P T δ ∑ = = 1 , (15.19) 86 где i δ – перемещение точки приложения внешней силы по ее направлению, вызванное изгибом сжимаемого стержня. dx а) КР P P P P δ dx cosd ω d ω б) ∆∆ ω ω δδ ∆ δ ω ω dx Рис. 5.13 Например направлению при изгибе стержня, им, перемещение силы Р по ее изображенного на риса, пр ме равным δ . Для определения δ выделим из стержня бесконечн малый лемент и определим вертикаль- ещение его конца при повороте некоторый о dx э ное см элемента dx на малый угол ϕ d (рис. б ( ) dx d dx dx dx 2 sin 2 cos 1 cos 2 ϕ ϕ ϕ δ = − = − = ∆ ма ϕ d можно принять Ввиду лости угла 2 2 4 1 2 2 sin tg d d = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ϕ ϕ ( ) 2 2 4 1 y d ′ = ϕ ( ) ( ) y dx 2 2 1 ′ = ∆ δ dx y 2 4 1 2 ′ = и полное перемещение при изгибе стержня Тогда ( ) ∫ ′ dx y 0 2 δ (5.20) = l 2 Работа внешн й силы для рассмат е риваемого стержня ( ) ∫ l dx y 0 2 2 (5.21) тв (5.18) и (5.21), из полученного ′ = = кр кр P P T 1 δ Приравнивая правые части равенс уравнения имеем [ ( ) [ ] ( кр 5.22) и любых закреплениях концов стержня. Для системы с несколькими сжатыми стержнями критические нагрузки Формула (5.22) справедлива пр для них находятся приравниванием авых частей раве При этом внешние узловые нагрузки целесообразно выразить через одну из них спр нств (5.18) и (5.19). поправочными множителями i k и формула (5.22) примет вид ( ) [ ] ( ) [ ] ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ′ − = i m l k dx y EI 1 1 0 2 , (5.23) ′ ′ = n кр 0 где n – число загруженных стержней системы. Критические нагрузки получаем по условию ( ) кр i i кр P k P = Применение энергетического метода рассмотрим на примере упругого шарнирно опертого стержня постоянного сечения (рис. 5.11), приняв уравнение упругой линии в деформированно его состоянии по формуле (5.13), тем, где 0 y – прогиб стержня в середине пролета. В случае нашем и ′ l x l y y π π sin 2 Числитель в выражении (5.22) ( ) [ ] ′′ 3 4 4 2 0 4 2 2 l x EI l l π π π π = = ′′ ∫ ∫ 2 0 4 0 0 4 0 Знаменатель в выражении (5.22) ( ) [ ] l y l l y dx l x l y dx x y l l 2 2 cos 2 2 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 Критическая нагрузка по формуле (5.22) 2 2 2 2 0 3 4 2 0 2 2 l EI y l l y EI P кр π π π = ⋅ = Получено точное решение, так как изогнутая ось стойки принята по той кривой, которая соответствует действительному изгибу стойки в момент потери ею устойчивости (5.13). 88 Недостатком энергетического метода является то, что необходимо задаваться уравнениями упругих линий изогнутых стержней в момент потери устойчивости. Отсюд и приближенность получаемого решения этим методом. Чем ближе принятые уравнения изогнутых осей стержней к действительной их форме деформации в момент потери устойчивости, тем точнее получаемый результат. Кроме того, для вычисленной критической нагрузки неизвестна степень точности ее чения. В общем случае энергетический метод дает завышенные значения критических ила зна с Динамический метод. В общем случае решение динамическим методом своди и определению частот собственных колебаний этих масс. Равновеси системы будет устойчивым л ания ее масс будут затухающими или просто восстанавли- состояние системы. Значение критической нагрузки находят по частотам собственных колебаний. Если эта частота положительна, то итическом безразличном) состоянии, а мнимое зна ствует неустойчивому состоянию системы. тойчивости упругих стержневых систем выполняется, как правило, татическим или энергетическим методам мся в дальнейшем. |