Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004
 Скачать 2.66 Mb.
|
|
, , , ; X 0 5766 1 5766 1 = + − , , ; ∑ = 0 Y ; 0 8613 , 8 = + BA N ; Окончательная эпюра продольных сил кН 8613 , 8 − = ( ) N приведена на рис. 3.14. Рис. 3.14 45 Проверим равновесие системы в целом. По эпюрами из условий равновесия опорных узлов получены опорные реакции (рис. 3.15). Рис. 3.15 По формулам (3.7) имеем ∑ = ; 0 X 0 5766 , 1 5766 , 1 0876 , 0 5766 , 1 4890 , 1 = − = + − ; ∑ = ; 0 Y 0 28 28 12 8 2 6 1397 , 13 8613 , 8 ⋅ − + + = − = − ; − ; + ⋅ ⋅ + ⋅ 0 = ∑ A M + + ⋅ − 576 , 1 2191 , 2 35037 , 0 11 2 57 , 198 57 , 98 1 4 8 2 6 6 1 14 6 8 139 , 13 0 = − + = ⋅ − ⋅ − 46 Глава 4 Расчет стержневых систем методом перемещений 4.1. Общие положения Метод перемещений (деформаций, широко применяется в расчетах слож рамных ных каркасов, ферм с жесткими узлами и многих других статически вестные прини- маютс отыскивают эти перемещения с помощью уравнений равновесия. Мы рассмотрим применение перемещений в расчетах плоских стати зованы неопределимых стержневых систем. Он оказался эффективным методом для решения задач устойчивости и динамики сооружений, явился хорошей основой для разработки многих приближенных способов расчета рам и других стержневых систем. В методе сил основными неизвестными являются усилия в избыточных связях и для отыскания этих усилий используются кинематические уравнения, выражающие условие отсутствия перемещения по направлению отбрасываемых связей. В методе перемещений за основные неиз я угловые и линейные перемещения узлов, и метода чески неопределимых рам. Приведенные сведения могут быть исполь- в расчетах этим методом и других стержневых систем. 4.2. Кинематическая неопределимость упругой стержневой системы Под действием нагрузок элементы системы, выполненной из реальных материалов, будут деформироваться и происходят перемещения ее узлов. Количество возможных перемещений узлов системы служит показателем сложности расчета методом перемещений. Чем большим количеством перемещений узлов обладает система, тем более трудоемок ее расчет.На рис. 4.1 изображена рама под действием нагрузки P . Ввиду деформаций ее элементов жесткий узел 1 повернется на некоторый угол ( ) 1 Z , переместится по горизонтали и по вертикали ( ) 3 Z . Таким образом, каждый жесткий вне опорный узел системы в общем случае обладает тремя возможными перемещениями. P 2 Z 1 Z 1 Z 3 Z 2 венно на изгиб, пренебрегают перемещениями узло Рис. 4.1 ают преимуществ, вызванными продольными деформациями жней, ввиду малости 2) Пренебрегают сближением концов стержней при их изгибе, те. длины ст ени- ям в начальном недеформированном состоянии. С целью упрощения расчета в методе перемещений принимаются следующие основные допущения 1) В системах, элементы которых работ стер этих перемещений в сравнении с перемещениями от изгиба этих стержней. ержней принимаются постоянными, численно равными своим знач Рис. 4.2 будет обладать одним перемещением – углом поворота 1 Z (рис. 4.2). При этом все стержни, примыкающие к узлу 1, повернутся на один и тот же угол 1 Z , так как должно обеспечиваться условие неразрывности деформаций. Если учесть принятые допущения, тов раме, приведенной на рис следует принять Z Z и узел 1 0 , 0 Z 1 Z 1 Z 2 Z 2 Z 2 3 Z P 3 Z Z 3 1 2 Рис. С учетом принятых допущений, установим подвижность узлов рамы, изображенной на рис. 4.3. Вертикальными и горизонтальными смещениями узлов 1, 2 и 3, вызванными продольными деформациями стержней и сближением концов этих стержней при изгибе пренебрегаем. Нагрузка P вызовет изгиб ригеля в пролете 2-3. Жесткие узлы 2 и 3 повернутся на некоторые углы, произойдет изгиб остальных стержней системы и поворот узла 1, как показано на рис 4.3. При этом в каждом узле все стержни повернуться на один и тот же угол ( ) 3 и. Таким образом, под действием внешней нагрузки все жесткие внеопорные узлы системы могут иметь угловые перемещения, количество которых обозначим через y n . В нашем случае При изгибе стержней узлы системы (жесткие и шарнирные) могут перемещаться линейно. В рассмотренном примере (рис. 4.3) можно принять, что перемещения нтальный правой опоре, а взаимными перемещениями узлов пренебрегаем в силу принятого допущения. Перемещением этих узлов по вертикали пренебрегаем на ос принятого допущения о малости перем ригеля рамы и ее внеопорных узлов 1, 2 ив горизонтальном направлении отсутствуют, так как этому препятствует горизо опорный стержень на крайней новании ещений, обусловленных продольными деформациями. Рассмотрим раму, изображенную на риса. А б в 2 В А В А 1 3 4 г 4 д) В 2 1 3 4 В А 1 1 P а) 2 P 2 В А Рис. 4.4 Количество угловых перемещений равно числу жестких узлов, те. 3 = y n . Перемещениями узлов по вертикали и их взаимным сближением пренебрегаем по принятым выше допущениям. По горизонтали рама в целом может перемещаться, так как при изгибе стоек сместятся ее узлы. При этом узлы одного этажа переместятся по горизонтали на одну и туже величину. Для омы можно воспользоваться ее шарнирной схемой, получаемой пу пределения линейных перемещений узлов ра тем введения шарниров в жесткие промеж очные узлы и опорные защемления заданной системы. Ч ут исло степеней свобо йных перемещений узлов системы. В нашем случае шарнирная схема рамы показана на рис. б и число линейных ды полученного механизма равно числу возможных лине перемещений узлов 2 4 6 2 6 3 2 3 = − ⋅ − ⋅ = − − = оn л С Ш Д п (на рис. б цифрами 1, 2 обозначена кратность шарниров. Найденное выше число линейных перемещений узлов системы является количественным показателем. Направления этих переме- а аст системе следует поставить две связи (рис. д. и линейных перемещений щений узлов выявляются путем анализа изменения структуры шарнирной схемы системы. Например, в нашем случ е в горизонтальном направлении могут сместиться на одну и туже величину узлы 2 и 4 независимо от остальной ч и рамы (рис. вили же узлы 1, 3 независимо от узлов 2 ирис. г. Чтобы воспрепятствовать этим линейным перемещениям, в заданной Таким образом, общее число возможных угловых узлов рассматриваемой рамы будет 5 2 3 = + = + = л y n n n Количество независимых угловых и линейных перемещений всех узлов системы называют степенью ее кинематической неопределимости. 4.3. Сущность метода перемещений. Канонические уравнения кис Последовательность расчета методом перемещений остается по существу такой же, как ив методе сил. Расчет методом перемещений выполняется ед ым угловым (защемляющие связи Метод перемещений основан на том, что в ачестве основных неизвестных принимаются угловые и линейные перемещения узлов стемы. Зная эти перемещения, можно определить усилия в элементах системы. также с использованием вспомогательной системы, называемой основной системой (ОС. Основную систему принимают путем вв ения дополнительных связей, препятствующих всем возможн ) и линейным (отдельные стержни) перемещениям узлов системы. При 50 этом вводимые защемляющие связи препятствуют только повороту закрепляемых узлов, ноне препятствуют их линейным смещениям при изгибе стержней. Добавляемые защемляющие связи в промежуточных жестких лах системы допускают возникновение только одной реакции – момента и существенно отличаются по статическим свойствам от опорных защемлений стерж сновные неизвестные метода перемещений (угловые и линейные пе- ремещ добавленными в этих узлах связями. уз- ней, так как опорные защемления стержней допускают возникновение трехопорных реакций. В основной системе метода сил удаляют связи, и снижается степень статической неопределимости заданной системы. В основную систему метода перемещений вводят дополнительные связи, и степень статической неопределимости системы возрастает. О ения узлов) находят из условия эквивалентности по деформациям заданной и принятой основной системы. При этом условии заданная и основная система в деформированном состоянии должны быть одинаковы и должны быть одинаковы углы поворота и линейные перемещения одних и тех же узлов. При этом в ОС. это будут угловые и линейные перемещения узлов вместе с Для выявления зависимостей между перемещениями узлов и реакциями во введенных связях сопоставим заданную систему с основной системой метода перемещений (рис. 4.5). Заданная система l P h l q 1 Z Z 2 l l О сновная система Основная система отличается от заданной системы наличием связей 1 и 2. П ей- Рис. 4.5 ервая связь препятствует углу поворота жесткого узла, а вторая – лин 51 ному поворот жес активный момента во второй – реактивная по направлению связи ет иметь никакого отличия от заданной системы. смещению узлов ригеля по горизонтали. Под действием нагрузок в заданной системе неизбежны деформации элементов, ткого узла на угол 1 Z и линейное смещение узлов ригеля на величину 2 Z . В основной системе перемещениями препятствуют связи 1, 2 ив первой из них возникнет ре, сила 2. Чтобы устранить различие между основной и заданной системой нужно отыскать такие перемещения 1 Z и 2 Z , при которых суммарные реакции во введенных связях 1 и 2 были бы равны нулю. В этом случае связи 1 и 2 не окажут влияния на деформации и усилия в элементах основной системы, она не буд Таким образом, нужно выполнить условия 0 1 = R ; 0 2 = R , (4.1) где 1 R и 2 R – реакции в дополнительно введенных связях 1 и 2. В развернутой форме равенства (4.1) можно представить) где первый индекс при R в равенстве (4.2) указывает порядковый номер связи, в которой возникает реакция, а – номер воздействия, явившегося Например в н акция, возни второй индекс причиной появления реакции. : 1 R – суммарная реакция дополнительно введен ой первой связи (суммарный реактивный момент 11 R – реактивный момент в защемляющей связи 1, вызванный поворотом этой связи вместе с жестким узлом на угол ; 1 Z 12 R – реактивный момент в этой же связи, вызванный линейным смещением узлов ригеля на величину ; 2 Z p R 1 – реактивный момент в этой же связи, вызванный совокупностью заданных нагрузок. Аналогично расшифровывается второе уравнение равенства (4.2). Отличие в том, что приравнивается нулю суммарная горизонтальная ре кающая во второй дополнительно введенной связи основной системы. Равенства (4.2) можно записать в виде 52 ⎩ ⎧ = + + ⎨ = + + , 0 ; 0 2 2 22 1 21 1 2 12 где 11 r – реактивный момент впервой (защемляющей) связи, вызванный поворотом этой же связи на угол 1 Z , равный единице 12 r – реактивный момент впервой связи, вызванный линейным смещением связи 2 на единицу r и 22 r – реакции в связи 2, вызванные соответственно поворотом связи 1 на угол p p ответственно реактивный момент в связи 1 и горизонтальная реакция в связи (4.3) единице и линейным смещением связи 2 на единицу. , – со- вызван и – фактические значения перемещений (углового и линейного. пер ⎨ = + + + + = + + + + + 0 ; 0 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 p n n n n n n n p n n R Z r Z r Z r Z r R Z r Z r Z r Z r (4.4) При решении конкретных задач количество уравнений в системе (4.4) ммарную к, должна быть равна нулю. в сечениях элементов и равный 1 2, ные заданными внешними нагрузками В случае n неизвестных условия (4.1) должны быть выполнены для всех дополнительно введенных в основной системе связей и система уравнений метода емещений в канонической форме принимает вид 1 1 3 13 2 12 1 11 p n n R Z r Z r Z r Z r ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ + определяется степенью кинематической неопределимости заданной системы Каждое уравнение системы (4.4) выражает су реакцию в определенной связи. Физический смысл аждого уравнения состоит в том, что суммарная реакция в дополнительно введенной связи, вызванная фактическими значениями перемещений n Z Z Z , , , 2 и внешней нагрузкой Если суммарные реакции во всех дополнительно введенных связях равны нулю, то эти связи не оказывают влияния на распределение усилий в элементах системы и на перемещения сечений этих элементов. Основная и заданная системы будут полностью совпадать по усилиям перемещениям сечений, и нет различия между заданной и основной системами. Уравнения метода перемещений выражают условия равновесия и являются статическими уравнениями в отли от кинематических уравнений метода сил, выражающих условия для перемещений. Коэффициенты i i r , расположенные на главной диагонали уравнений (4.4) чие , не могут быть отрицательными или равными нулю. Побочные коэфф об и быть положительными, отрицательными или равными нулю. Свободные этих уравнений также могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. 4.4. Определение и проверки правильности коэффициентов при неизвестны одных членов уравнений метода перемещений Реакции могут быть н ции в защемляющих связях находят из ициенты ладают свойством взаимности, те. i k k i r r = (на основании теоремы о взаимности реакций) могут члены х и своб p i k i i i R r r , , айдены статическим методом. Реак- равновесия узлов узла в ещениям – из уравнений проекций риложенные к отсеченной части сис- связях препятствующих линейным см проецируя все силы, п темы, на соответствующую ось. Напомни метода перемещений коэффициенты при неизвестных выражают реакции в дополнительно введенных связях основной с ьными сяк основной системе, изображенной на рис. 4.5 и на примере этой м, что в уравнениях истемы, вызванные последовател перемещениями этих связей на единицу, а свободные члены уравнений – реакции в этих же связях от внешней нагрузки. Вернем системы проследим определение реакций k i i i r r , и p i R . На риса приведена основная система и обозначены узлы стержней, включая опорные. Этой ОС. соответствуют канонические уравнения (4.3), те. ⎩ ⎨ ⎧ = + + = + + 0 ; 0 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 p p R Z r Z r R Z r Z r 54 m r 11 1 2 3 1 ОС =1 4 1 5 а) б) q m 1-3 2 3 2 1-2 m 21 r m 1 M Z =1 1 4-3 4 5-1 5 1 M 2 m 1-5 22 12 r в 2 Z =1 m 1-5 2 l l 1 Рис. 4.6 типов таких балок будет не более трех ремещения их концевых сечений, хорошо изучены, ив общем виде получены решения методом сил, позволяющие пол их моментов и реакций ны в таблицы (см. табл. 4.1). моментов насте концах стерж Обозначим положительное направление момента (почасовой стрелке. Реакция в связи ой, если она по направлению совпадает н перемещения этой связи. Заметим, что в ОС. метода перемещений все стержни рамы представляют собой однопролетные статически неопределимые балки с разными опорными закреплениями. Количество оба конца защемлены один конец защемлена второй шарнирно опертый обе опоры шарнирные. Напряженно-деформированные состояния таких стержней при различных воздействиях, включая действие внешних нагрузок и единичные пе учать значения изги- бающ на концах стержней. Эти решения имеются в справочной и учебной литературе и сведе На рис. б изображены в общем виде эпюры изгибающих ржнях, примыкающих к узлу 1 при повороте почасовой стрелке защемляющей связи (в этом узле вместе с узлом) на угол 1 1 = Z Эти эпюры взяты по табл. 4.1. Там же взяты численные значения моментов на ней. Реактивный момент 11 r в дополнительно введенной связи первого узла найдем из условия равновесия узла 1, отсекая примыкающие к узлу стержни бесконечно близко от узла и прикладывая действующие на них моменты с учетом растянутых волокон на стержнях (риса. реактивного 11 r т любого воздействия считается положительно с направлением единич ого Из условия равновесия узла 1 имеем ; 0 = ∑ узл M 11 5 1 3 1 2 1 0 − − − 5 1 3 1 2 От поворота узла 1 на угол 1 1 = Z в дополнительно введенной связи 2 55 возникнет горизонтальная реакция, которую находим, рассматривая равнове- от сие сеченной части рамы и пользуясь уравнением проекций ∑ = 0 X (рис. б. По эпюре изгибающих моментов настойке поперечная сила а) б) r r m 1-5 m 1-3 m 1-2 1 r 11 Z =1 1 3 3-4 1-5 1 2 1 Z =1 21 21 x Q бой по знаку и до стрелки, как показано на рис. б. Численное значение поперечной силы перемещения Рис. 4.7 5 1 − Q удет отрицательн лжна вращать узел 1 против часовой Q можно взять по таблице (оно равно реакции на конце стержня. Примем положительной по знаку реакцию 21 r , те. совпадающую по направлению с направлением линейного 1 − 1 2 = Z (см. рис. в) и этого жена- правления примем ось x . Из условия равновесия ∑ = 0 X меем: , 0 5 1 21 21 5 1 − − и − = → = + Q r r Q т.е. реакция 21 r численно равна поперечной силе , 5 1 − Q но противоположна ей по знаку. Эта реакция (на рис. б показана ниже) не совпадает с направлением единичного перемещения 2 Z в основной системе (рис. в) ив каноническое уравнение должна быть введена со знаком минус. Эпюры изгибающих моментов в элементах основной системы от горизонтального перемещения связи 2 на 1 2 = Z , показаны на рис. в. Рассматривая равновесие узла 1 в этом состоянии системы (из условия 0 = ∑ узл M ), против часовой стрелки должен быть принят сом минус, так как направление этого момента не совпадает получим численное значение реактивного момента r который и знако с направлением (почасовой стрелке) перемещения Реакцию получим из условия равновесия отсеченной части систе- , направлен 1 = Z 22 r 56 мы, пользуясь уравнением ∑ = 0 X (рис. 4.8). Q Q 3 3-4 ∑ = ; 0 X = + 1 Z =1 2 1-5 2 r 22 x Рис. 4.8 ; 0 22 5 1 4 3 − − − − Z Q Q 5 1 4 3 22 − − + = Q Q r R 8 3 16 Pl 1 2 P M 2P R ql 2 1P x Рис. На рис. 4.9 показан изгибаю в ОС. зок. Аналогично предыдущему, рассматривая равновесие узла 1, получим значение (со знаком плюса из условия общий вид эпюр щих моментов на стержнях от действия заданных нагру- реактивного момента p R 1 ∑ = 0 X д ченной по I-I верхней части рамы – значение (со знаком минус. На рис. 4.9 показаны фактические направления силы и реакций в дополнительно вве- Кроме изложенного выше статического метода коэффициенты при не- могут быть найдены кинематическим методом путем перемножения эпюра именно ля отсе p R 2 поперечной p p R R 2 денных связях. известных и свободные члены канонических уравнений метода перемещений |